X ENS Physique SI MP 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR (X)

Durée : 4 heures

Asservissement en fréquence d'un laser continu

1 Principe de fonctionnement d'un laser

• un amplificateur qui permet d'amplifier une onde électromagnétique, dans le domaine spectral propre à l'optique;
• une boucle de réaction, qui permet de réinjecter à l'entrée de l'amplificateur tout ou une partie de son signal de sortie.
  L'amplification est généralement confiée à un système matériel qui peut être un atome ou une molécule en phase gazeuse, un colorant organique en solution, un ion implanté dans une matrice solide, voire la jonction entre deux semi-conducteurs dopés N et P (diode laser). Tous ces systèmes ont en commun de posséder un ou plusieurs électrons qui interagissent avec le champ électrique d'une onde électromagnétique; ils échangent de l'énergie avec celle-là, et peuvent donc l'amplifier (ou l'amortir) selon les conditions expérimentales. Par la suite, nous appellerons génériquement ce système l' "atome".
  La boucle de réaction est fournie par une cavité électromagnétique qui présente des fréquences de résonance dans le domaine optique. On peut envisager deux types de cavité selon que la cavité est constituée de deux miroirs (cavité linéaire, représentée sur la figure 1-a) ou de plus de deux miroirs (cavité en anneau, représentée sur la figure 1-b). En insérant un milieu amplificateur dans ces cavités, on obtient un laser linéaire ou en anneau.

Figure 1 - Cavités : (a) - cavité linéaire ; (b) - cavité en anneau.

1. Modélisez le laser en anneau par schéma-blocs. Justifiez votre représentation et précisez la nature physique du signal de sortie et celle d'un éventuel signal d'entrée.
   Faire de même pour le laser linéaire.
   Nous allons maintenant étudier séparement les deux ingrédients essentiels du laser que sont la cavité et l'amplificateur optique. Puis nous insérerons l'amplificateur dans la cavité pour étudier les conditions de fonctionnement du laser.

- Notations et conventions utilisées dans la partie 1

1.1 Cavité électromagnétique dans le domaine optique

2. Cette question a pour but d'évaluer les ordres de grandeurs caractéristiques de l'optique et d'introduire le vocabulaire de l'opticien.
   2-a) On souhaite construire un laser qui produit un rayonnement de longueur d'onde (dans le vide) λ_ℓ ≃ 600 nm. Calculer la période T_0 d'oscillation du champ électrique de cette onde et sa fréquence ν, en exprimant les résultats dans des unités SI adaptées à leurs ordres de grandeur.
   2-b) Les opticiens définissent souvent l'intensité lumineuse de l'onde électromagnétique ^1 par la relation I = |E_–(z, t)|^2.
   En se limitant à l'onde linéairement polarisée donnée par (1), montrer que I est directement proportionnelle à la valeur moyenne < Π > _(T_0) sur une période T_0 du vecteur de Poynting Π⃗ de cette onde et donner l'expression du coefficient de proportionnalité. Préciser la signification physique du vecteur de Poynting et celle de sa valeur moyenne < Π > _(T_0).
3. Nous allons d'abord étudier la cavité optique la plus simple qu'on puisse imaginer : cette cavité est formée de deux miroirs plans parallèles, et parfaitement réfléchissants, séparés par du vide. C'est donc une cavité linéaire (voir figure 1-a), d'axe Oz, de longueur développée L (ce qui signifie que la distance entre les deux miroirs est L/2 ) et ses miroirs peuvent être considérés comme des plans conducteurs parfaits.
   3-a) Etablir que les ondes électromagnétiques qui peuvent exister dans cette cavité sont quantifiées, et exprimer leurs fréquences ν_N en fonction de L et N.

• En réalité, les miroirs de la cavité ne sont pas parfaits et engendrent des pertes, soit par absorption de l'onde lumineuse incidente, soit par transmission pour le miroir de couplage M_c.
  Le miroir de couplage est caractérisé par des coefficients de réflexion et de transmission en intensité R et T tels que R = (I_(réfléchi))/(I_(incident)) et T = (I_(transmis))/(I_(incident)). La conservation de l'énergie impose R + T = 1 − A où A est la fraction de la puissance incidente qui est absorbée par le miroir. On note que le faisceau de sortie du laser représente une perte supplémentaire pour la cavité. Dans la perspective de limiter les pertes, on choisit un miroir de couplage tel que R≫T≫A.
  Le ou les autres miroirs M' de la cavité sont totalement réfléchissants; donc, pour ces miroirs, T^′ = 0 et R^′ = 1 − A^′.
  Pour caractériser l'efficacité de la réflexion ou de la transmission par un miroir, on peut aussi introduire les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de ce miroir, définis par r = (E_(réfléchi))/(E_(incident)) et t = (E_(transmis))/(E_(incident)), les amplitudes complexes des ondes incidente, réfléchie et transmise étant évaluées en un même point à la surface du miroir. Nous admettrons ici que ces coefficients sont réels ^2; et on a pour le miroir de couplage : t = √T et r = − √R (voir note de bas de page ^3 ), et pour tout autre miroir, r^′ = − √(R^′) et t^′ = 0.
• Dans la perspective de limiter les pertes dans la cavité, on utilise des miroirs diélectriques multicouches qui présentent des pertes par absorption très faibles. On a typiquement A ≃ A^′ ≃ 2 × 10^(− 4). Ainsi les pertes les plus importantes dans la cavité sont dues à la transmission du faisceau de sortie. On choisit ici T = 4 × 10^(− 2).

Figure 2 - Cavité linéaire : définitions des amplitudes complexes E_(in), E, E^′ et E_(out) des ondes incidente, aller et retour dans la cavité, et sortant de la cavité.

5. On injecte dans la cavité linéaire une onde électromagnétique d'amplitude complexe E_(in) (sur le miroir de couplage M_c ) et de pulsation ω quelconque (ne coïncidant pas nécessairement

1.2 Amplification optique

• Pour décrire les échanges d'énergie entre un atome à un électron actif avec une onde électromagnétique, nous avons besoin de ne prendre en compte que deux seulement de ses niveaux d'énergie, d'énergies E_a et E_b(avecE_a < E_b) : nous serons alors en mesure de décrire l'absorption d'énergie électromagnétique par l'atome initialement dans le niveau d'énergie E_a ou le processus inverse, c'est-à-dire l'émission ^6 d'énergie électromagnétique par l'atome initialement dans le niveau d'énergie E_b. De plus, pour simplifier, nous allons considérer que chacun de ces deux niveaux est non dégénéré, ce qui signifie que l'atome ne possède qu'un seul état stationnaire φ_a d'énergie E_a, et qu'un seul état stationnaire φ_b d'énergie E_b. Le système étudié est ainsi ramené à un système à deux états stationnaires.
• Par ailleurs, on peut montrer que les propriétés générales des états stationnaires d'une particule confinée par le potentiel (4) qui ont été démontrées aux questions 12-b et 12 -c se généralisent aux états stationnaires d'une particule confinée par un potentiel V(x) quelconque ^7, et par conséquent au système matériel qui nous intéresse ici, dès lors que les deux états stationnaires φ_a et φ_b sont deux états liés, pour lesquels l'électron actif est confiné au voisinage du noyau. Donc vous admettrez que φ_a(x) et φ_b(x) sont deux fonctions réelles, orthogonales (et même orthonormées) au sens du produit scalaire (5). Elles sont aussi orthogonales à tout autre état stationnaire de l'atome.

13. L'atome étant toujours isolé, on envisage maintenant la situation où il est dans une superposition d'états stationnaires φ_a et φ_b; sa fonction d'onde ψ(x, t) est donc une combinaison linéaire des deux états stationnaires φ_a(x) et φ_b(x), soit :

• Nous allons maintenant induire une transition entre les états a et b, en illuminant l'atome par l'onde électromagnétique présente dans la cavité. L'énergie d'interaction entre l'atome et le rayonnement est donnée par l'énergie dipolaire électrique V_(int) = − D⃗ ⋅ E⃗ du dipôle atomique D⃗ dans le champ électrique E⃗(z, t) = u⃗_x E_0 cos(kz − ωt + φ_0) de l'onde électromagnétique. D'où :

• En fait le dipôle atomique (ou sa composante D_x selon Ox ) dépend de l'état stationnaire dans lequel est cet atome, comme en dépend son énergie interne (cette énergie interne est E_a si l'atome est dans l'état stationnaire φ_a et E_b dans l'état φ_b ). C'est pourquoi, dans l'équation d'évolution de sa fonction d'onde ψ(x, t) = a(t)φ_a(x) + b(t)φ_b(x), le dipôle atomique va intervenir, non pas comme une constante, mais comme une matrice 2 × 2.
  Dans le référentiel du centre de masse de l'atome, le système noyau + électron actif (situé en x, y, z ) a un dipôle électrique dont la composante selon Ox est D_x = − ex. On s'attend donc à ce que la matrice 2 × 2 représentant D_x dans la base {φ_a, φ_b} soit :

14. Évaluer ces intégrales pourrait être délicat, car nous ne connaissons pas les fonctions φ_a et φ_b. Néanmoins nous savons qu'elles peuvent être choisies réelles. Et nous avons pu déterminer les états stationnaires de l'atome en modélisant l'énergie d'interaction de l'électron actif avec le noyau par un puits de potentiel infini (4). Dans un premier temps, nous allons nous servir de ce modèle pour déterminer la matrice 2 × 2 ci-dessus.
    14-a) En assimilant les états stationnaires φ_a(x) et φ_b(x) à deux des trois états stationnaires φ_n du puits de potentiel infini (dans un premier temps, on prendra φ_a = φ_1 et φ_b = φ_2 ), montrer que (D_(aa), D_(ab); D_(ba), D_(bb)) = (0, d; d, 0) où d = D_(ab) est une grandeur réelle ( d ∈ ℝ ) qu'on ne cherchera pas à calculer.
    Comment choisir les états stationnaires φ_a et φ_b pour que d ne soit pas nul?
    14 − b) Montrer que l'énergie d'interaction entre l'atome et l'onde électromagnétique V_(int)s 'exprime dans le sous-espace vectoriel de base {φ_a, φ_b} sous la forme d'une matrice 2 × 2 de la forme : (0, f(t); f(t), 0) = f(t) × (0, 1; 1, 0)
    et exprimer la fonction f(t). On introduira la grandeur Ω_R = (dE_0)/ℏ, appelée pulsation de Rabi ^8.
    14-c) En déduire l'équation de Schrödinger décrivant l'évolution de la fonction d'onde ψ(x, t) = a(t)φ_a(x) + b(t)φ_b(x) de cet atome interagissant avec le rayonnement.
    Montrer que les coefficients a(t) et b(t) vérifient le système d'équations différentielles:

• Évidemment le modèle du puits de potentiel infini n'est absolument pas réaliste pour déterminer les états stationnaires d'un atome à un électron actif : si on prend l'exemple de l'atome d'hydrogène, déterminer les états stationnaires de l'atome d'hydrogène nécessiterait de prendre en compte le caractère tridimensionnel de l'atome d'hydrogène et l'existence de l'interaction Coulombienne entre l'électron et le noyau (en d'autres termes, le potentiel V(x) du puits de potentiel infini devrait être remplacé par l'énergie potentielle V(x, y, z) = − (e^2)/(4πε_0)1/r ).
  Mais le potentiel V(x, y, z) de l'atome d'hydrogène possède la même symétrie en x que le potentiel V(x) du puits de potentiel infini (1D), et par conséquent les états stationnaires de l'atome d'hydrogène (3D) ont une parité bien déterminée vis à vis de la variable x, conmme les états stationnaires du modèle du puits de potentiel infini (1D). Et cette propriété de symétrie reste vraie pour beaucoup de systèmes matériels, atome, molécule, ion, etc, envisagés pour construire un laser (éventuellement en moyennant sur toutes les orientations possibles de ce système matériel isolé). Ainsi, dès lors que le système matériel étudié se laisse modéliser comme un "atome" à un électron actif, possédant deux états stationnaires φ_a et φ_b, d'énergies respectives E_a et E_b, ayant une parité bien déterminée vis à vis de x, et couplés par un élément de matrice D_(ab) = d non nul (ce qui suppose que les deux états stationnaires sont de parités opposées), l'évolution de la fonction d'onde ψ(t) = a(t)φ_a + b(t)φ_b obéit au système d'équations différentielles (10).
• Pour simplifier ces équations (10), on va introduire deux nouvelles variables α(t) et β(t) définies par:

• Dans la mesure où nous nous intéressons à l'évolution de la fonction d'onde ψ(x, t) aux temps longs par rapport à la période T_0 = (2π)/ω de l'onde électromagnétique, nous pouvons négliger les termes oscillant à haute fréquence, de l'ordre de ω, devant ceux à plus basse fréquence, qui décrivent les variations lentes de α(t) et β(t). Cette approximation est appelée l'approximation séculaire. Dans le cadre de cette approximation, les équations d'évolution de α(t) et β(t) deviennent :

16. L'atome est dans une superposition d'états stationnaires ψ(x, t) = a(t)φ_a(x) + b(t)φ_b(x).

• Il apparaît clairement que les variables p_a, p_b et C sont bien adaptées à la description de l'état quantique de l'atome et de son dipôle électrique. Les équations différentielles décrivant leurs évolutions au cours du temps se déduisent sans difficulté de (12); on obtient:

• Nous venons de déterminer l'évolution de l'état quantique de l'atome sous l'effet de l'interaction avec le rayonnement, en l'occurrence ici le champ E⃗(z, t) = u⃗_x E_0 cos(kz − ωt + φ_0). Mais cet atome est soumis à d'autres effets qui affectent aussi l'évolution de son état quantique : ce sont l'émission spontanée de rayonnement ^9 par cet atome et l'effet des interactions de cet atome avec son environnement (collisions dans un gaz, interactions avec son environnement, liquide ou solide, à l'échelle microscopique) que nous désignons ici sous le terme générique de "collisions".
  L'émission spontanée a tendance à faire décroître la probabilité p_b de trouver l'atome dans l'état b selon la loi exponentielle (dp_b)/(dt)|_(esp) = − γ_b p_b où τ_b = 1/(γ_b) est la durée de vie de l'état b par émission spontanée. Il en est de même pour l'état a qu'on suppose ici être un état excité, de durée de vie radiative τ_a = 1/(γ_a). Enfin la cohérence C = β^∗ α entre les états a et b décroît aussi selon une loi exponentielle (dC)/(dt)|_(esp) = − γ_(ab)C, avec γ_(ab) = 1/2(γ_a + γ_b).
  Les collisions ont un effet similaire; par conséquent les constantes d'amortissement γ_b, γ_a, γ_(ab) en sont augmentées (et donc les durées de vie correspondantes sont diminuées). mais les collisions affectent beaucoup plus la cohérence C que les probabilités p_b et p_a, et γ_(ab) devient notablement plus grand que γ_a ou γ_b. Pour simplifier, nous admettrons ici que, en présence de collisions, γ_a ≃ γ_b ≃ γ_1 = 1/(τ_1) et que γ_(ab) = γ_2 = 1/(τ_2) est significativement plus grand que γ_1.
• On retiendra que la prise en compte conjointe de l'émission spontanée et des collisions conduit à des termes de relaxation des grandeurs p_b, p_a et C donnés par :