X ENS Physique SI MP 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2024

Partie Physique

Rebonds d'une balle sur une surface en mouvement périodique

1 Une modélisation du comportement viscoélastique d'un solide lors d'un choc contre une surface rigide.

Figure 1 - Modélisation viscoélastique d'un solide : (a) Solide non déformé en progression à vitesse constante V⃗_0 = V_0 e⃗_x en direction de la surface rigide fixe (S); (b) Déformation du solide durant la phase de son contact avec la surface (S). Cette déformation est paramétrée par l'abscisse s.

1. Établir l'expression de la dépendance temporelle s = s(t) du déplacement de l'élément (M) au cours du choc. On indiquera l'intervalle de temps I_c sur lequel cette dépendance doit être considérée. On fera intervenir les constantes ω_0, α et V_0.
2. Nous notons V⃗_1 = V_1 e⃗_x la vitesse du solide après la phase de rebond sur la surface rigide. Établir que le coefficient de restitution en vitesse r, défini par le rapport r = − V_1/V_0, s'exprime selon la relation suivante :

Figure 2 - Durée τ_n = t_(n + 1) − t_n du rebond n(n ≥ 1), entre les impacts n et n + 1 de la balle contre la surface, en fonction de n (représentation dans le système de coordonnées linéaire-logarithmique).

Figure 3 - Système constitué de la surface rigide ( S ) en mouvement vertical ( z_s = z_s(t) ) et de la balle (B) en mouvement balistique ( h = h(t) ) dans le champ de pesanteur g⃗.

• Nous notons :
• R = R(O, z), le référentiel d'étude, supposé galiléen (ce n'est plus celui utilisé dans la partie (1));
• g⃗ = − ge⃗_z, l'accélération de la pesanteur;
• m, la masse de la balle;
• z_s et v⃗_s = v_s e⃗_z(v_s = z˙_s), respectivement l'altitude et la vitesse de la surface mobile;
• h et v⃗ = ve⃗_z(v = h˙), respectivement l'altitude et la vitesse de la balle;
• v⃗^− = v^−e⃗_z(v^− < 0) et v⃗^+ = v^+e⃗_z, respectivement les vitesses de la balle immédiatement avant et après un choc contre la surface;
• r(r ∈ ]0, 1[), le coefficient de restitution en vitesse caractérisant le choc entre la balle (B) et la surface rigide (S)(r = − v^+/v^−dans le cas particulier où v_s = 0). Ce coefficient est supposé indépendant de la vitesse d'impact.
• Nous considérons que les chocs entre la surface et la balle sont "instantanés" et, par ailleurs, qu'ils ne perturbent pas le mouvement de la surface ^3. L'évolution temporelle z_s = z_s(t) de son altitude est donc imposée par la différence de potentiel délivrée par le générateur, indépendamment de l'action qu'exerce la balle sur la surface lors d'un choc.

4. Établir que la vitesse v^+de la balle s'exprime selon la relation suivante :

2.1 Condition de synchronisation.

Figure 4 - Rebond n, de l'impact A_n à l'impact A_(n + 1), de la balle ( B ) sur la surface ( S ) oscillant verticalement et sinusoïdalement (la situation de rebond est quelconque).

• Nous notons :
• t_n, l'instant correspondant à l'impact A_n numéro n;
• v⃗_n^− = v_n^−e⃗_z(v_n^− < 0) et v⃗_n^+ = v_n^+e⃗_z, respectivement les vitesses de la balle immédiatement avant et après l'impact n;
• z_s(t) = asinωt(a = Cste > 0, ω = Cste > 0), l'évolution temporelle de l'altitude de la surface;
• φ = ωt; φ_n = ωt_n; T = 2π/ω; Γ = aω^2/g.

5. Nous nous plaçons dans une situation générale telle que celle illustrée sur la figure (4) (c'est-à-dire que les rebonds ne sont pas nécessairement synchronisés). Nous considérons un rebond n, de l'impact A_n(t_n) à l'impact A_(n + 1)(t_(n + 1)). Nous notons τ_n = t_(n + 1) − t_n le temps de vol de la balle durant ce rebond. Exprimer les dépendances suivantes :

• La vitesse v_n^+en fonction de v_n^−, φ_n et des paramètres r, a et ω;
• L'altitude z_s(t_(n + 1)) en fonction de z_s(t_n), v_n^+, τ_n et g;
• La vitesse v_(n + 1)^−en fonction de v_n^+, τ_n et g;
• La vitesse v_(n + 1)^+en fonction de v_n^+, τ_n, φ_(n + 1) et des paramètres g, r, a et ω.

Figure 5 - Évolution temporelle de l'altitude z_s = asinωt de la surface ( S ) et celle du signal de détection des chocs de la balle contre cette dernière ( ω = 2π × 25 ≃ 157rad ⋅ s^(− 1) ). Sur l'intervalle de temps considéré, ce signal fait apparaître deux impulsions correspondant, chacune, à un choc.

2.2 Condition de stabilité.

Figure 6 - Rebond n, de l'impact A_n^′ à l'impact A_(n + 1)^′, de la balle (B) sur la surface (S) oscillant verticalement et sinusoïdalement : situation s'écartant légèrement de la condition de synchronisme correspondant à la suite ( A_n ) des impacts.

• Afin d'étudier la stabilité de la situation pour laquelle les rebonds sont synchronisés, nous considérons que chaque impact A_n^′ reste voisin de son correspondant "synchronisé" A_n. Écrivons alors les variables φ_n^′ et v_n^(+ ^′) sous la forme suivante :

• Nous recherchons les solutions générales de cette suite récurrente linéaire du deuxième ordre sous la forme suivante :

12. Indiquer à quelle condition générale, portant sur la raison μ, la suite ( ε_–_n ) converge vers zéro.
13. Établir que la raison μ vérifie l'équation algébrique suivante:

• Nous envisageons le cas où Q ∈ D_2 = ] − ∞, − 1] ∪ [1, + ∞[.

15. Exprimer, en fonction de r et Q, les solutions μ_−et μ_+de l'équation ( 9 ). Représenter l'allure graphique de la dépendance de chacune d'elles vis-à-vis du paramètre Q.
16. En s'appuyant sur l'allure des représentations graphiques des dépendances μ_+ = μ_+(Q) et μ_− = μ_−(Q), déterminer la condition de stabilité des rebonds synchronisés, sur le domaine D_2. On fera porter cette condition sur le produit 2Qr.
17. Établir que la condition de stabilité de la situation pour laquelle les rebonds sont synchronisés, sur la réunion des deux domaines D_1 et D_2, prend la forme suivante :

Partie Sciences de l'Ingénieur

Le Delthaptic, un dispositif haptique parallèle à six degrés de liberté actifs

1 Présentation.

Figure 1 - Prototype du robot Delthaptic.

2 Analyse d'un robot Delta.

2.1 Modélisation d'un robot.

Figure 2 - Modèle cinématique d'un robot Delta. Seul le paramétrage d'un bras et de deux biellettes a été représenté. On notera que l'angle θ_2 représenté sur la figure a une valeur négative ( θ_2 < 0 ); ainsi, le point B_2 est situé au dessus du plan (OA_1 A_2 A_3).

• On associe, à la base 0 , le repère R_0 = (O, x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)). Les points A_i, i ∈ {1, 2, 3} sont tels que OA_i^(→−) = L_0 u_i→avec(x_0^(→−), u_i→) = (y_0^(→−), v_i→) = α_i, où α_i, i ∈ {1, 2, 3} sont des angles constants (à n'utiliser que sous forme littérale dans tout le sujet).
• On associe, à chaque bras br_i, le repère R_(1i) = (A_i, x_(1i)^(→−), y_(1i)^(→−), z_(1i)^(→−)) tel que y_(1i)^(→−) = v_i→ et (z_0^(→−), z_(1i)^(→−)) = (u_i→, x_(1i)^(→−)) = θ_i, où θ_i ∈ [ − π/2, + π/2[. Le point B_i est défini par A_i B_i^(→−) = L_1 x_(1i)^(→−) et il est situé au milieu des centres B_i^′ et B_i^(′′) de 2 liaisons rotules, de sorte que B_i^′ B_i^(→−) = B_i B_i^(′′)^(→−) = ev_i→.
• Les biellettes b_i^′ et b_i^(′′) sont de même longueur L_2, ce qui se traduit par B_i^′ C_i^′ = B_i^(′′)C_i^(′′) = L_2 où C_i^′ et C_i^(′′) sont les centres de 2 liaisons rotules avec la plateforme 3. Le point C_i est situé au milieu des points C_i^′ et C_i^(′′) et on a C_i^′ C_i^(′′) = B_i^′ B_i^(′′) = 2e. On associe, à l'ensemble des deux biellettes b_i^′ et b_i^(′′), le repère R_(2i) = (B_i, x_(2i)^(→−), y_(2i)^(→−), z_(2i)^(→−)) où B_i C_i^(→−) = L_2 z_(2i)^(→−).
• On associe, à la plateforme 3, le repère R_3 = (C, x_3^(→−), y_3^(→−), z_3^(→−)) tel que C_i C^(→−) = − L_3 u_i→; les points C_i, C_i^′ et C_i^(′′) sont situés dans le plan de la plateforme 3 et les segments (C_i^′ C_i^(′′)) et (C_i C) sont orthogonaux.
  On rappelle que tous les trièdres ( x_k^(→−), y_k^(→−), z_k^(→−) ) introduits dans ce problème sont orthonormés et directs.

1. Montrer que les plans ( C_1 C_2 C_3 ) et ( A_1 A_2 A_3 ) sont parallèles et justifier que la base associée au solide 3 est la même que celle associée à la base 0 .
2. Préciser les degrés de liberté que possède la plateforme 3 et indiquer le type de mouvement qu'elle peut faire.

2.2 Analyse des configurations du robot Delta.

• Les bras ont un débattement angulaire limité à ± 60^∘.

5. On s'intéresse ici aux configurations du robot Delta où les 3 angles pilotés θ_i sont égaux, soit : ∀i ∈ {1, 2, 3}, θ_i = θ.
   Dans cette question, on pourra, si besoin, utiliser les valeurs des angles α_i. On a : α_1 = 0, α_2 = 2π/3 et α_3 = 4π/3.
   a) En utilisant les relations (2), montrer que ces configurations conduisent toutes à x = y = 0. En déduire la nature du mouvement du point C de la plateforme lorsqu'on fait varier θ.
   b) Montrer que les points O, A_i, B_i, C_i et C sont situés dans un même plan. Quelle forme particulière présente le parallélogramme B_i^′ B_i^(′′)C_i^(′′)C_i^′ ?
   c) Justifier que les configurations du robot Delta étudiées ici sont invariantes par une rotation d'axe et d'angle à préciser, et qu'elles possèdent aussi plusieurs plans de symétrie que l'on précisera.
6. En se limitant aux configurations du robot Delta possédant les symétries identifiées précédemment pour lesquelles x = y = 0, déterminer les expressions des valeurs minimale z_(min) et maximale z_(max) de z, compte tenu du débattement angulaire des bras br_i.
   En déduire l'expression du débattement linéaire Δz selon z_0^(→−).
   Calculer ce débattement Δz en prenant L_0 = 80 mm, L_1 = 200 mm, L_2 = 250 mm et L_3 = 100 mm.
   Commenter la valeur obtenue par rapport au cahier des charges.