Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2024

On étudie l'élément (M) de masse m dans le référentiel d'étude \mathcal{R}(O, x) supposé galiléen. L'action de la pesanteur étant négligée, l'élément (M) est soumis, le long de l'axe (Ox), aux forces exercées par le ressort et l'amortisseur :

• la force de rappel élastique : \vec{F}_k = -k s \, \vec{e}_x ;
• la force d'amortissement visqueux : \vec{F}_\lambda = -\lambda \dot{s} \, \vec{e}_x.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à (M) :

En introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} et le facteur d'amortissement \alpha = \dfrac{\lambda}{2\sqrt{km}} (soit \dfrac{\lambda}{m} = 2\alpha\omega_0), on obtient l'équation différentielle :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Comme \alpha < 1, son discriminant réduit est strictement négatif :

Le régime est donc pseudo-périodique, de pseudo-pulsation :

Les racines sont r = -\alpha\omega_0 \pm \mathrm{i}\omega, d'où la solution générale :

On choisit l'origine des dates t = 0 à l'instant où le pied (P) entre en contact avec la surface (S). Les conditions initiales sont :

• solide non déformé : s(0) = 0 \implies A = 0 ;
• vitesse initiale de (M) : \dot{s}(0) = V_0.

En dérivant s(t) = B\,\mathrm{e}^{-\alpha\omega_0 t} \sin(\omega t), il vient :

En t = 0, cette relation donne \dot{s}(0) = B\omega = V_0, d'où :

La loi horaire du déplacement s'écrit donc :

Le choc débute à t = 0 et se termine au premier instant t_c > 0 où le solide retrouve sa longueur à vide (s(t_c) = 0) avec une vitesse dirigée vers l'arrière (\dot{s}(t_c) < 0). Cela correspond à :

L'intervalle de temps sur lequel cette loi temporelle s'applique est donc :

Pendant toute la durée du choc, le pied (\mathrm{P}) reste immobile contre la surface rigide fixe (\mathrm{S}) (x_{\mathrm{P}} = \text{cste}). La vitesse de l'élément (\mathrm{M}) dans le référentiel galiléen \mathcal{R}(\mathrm{O}, x) s'écrit donc :

D'après le résultat de la question 1, le déplacement s'écrit pour tout t \in \mathrm{I_c} :

En dérivant par rapport au temps :

À l'instant de séparation t_{\mathrm{c}} = \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{\omega_0 \sqrt{1 - \alpha^2}}, on a \sin(\omega t_{\mathrm{c}}) = 0 et \cos(\omega t_{\mathrm{c}}) = -1. La vitesse de sortie V_1 = \dot{s}(t_{\mathrm{c}}) vaut donc :

Le coefficient de restitution en vitesse r = -V_1/V_0 s'en déduit immédiatement :

Commentaires sur cette expression :

• Comme \alpha \in [0, 1[, l'argument de l'exponentielle est négatif ou nul, d'où r \in ]0, 1].
• Cas limite sans frottement (\alpha \to 0) : r \to 1, ce qui correspond à un choc élastique parfait avec conservation de l'énergie mécanique (V_1 = -V_0).
• Influence de l'amortissement : la fonction r(\alpha) est strictement décroissante avec \alpha. Plus l'amortisseur est dissipatif (plus \alpha est élevé), plus une fraction importante de l'énergie cinétique initiale est dissipée par effet visqueux au cours du contact, et plus la vitesse de rebond est faible.
• Cas limite apériodique (\alpha \to 1^-) : r \to 0, le choc devient totalement inélastique (le solide s'amortit sans rebondir).

Indépendance vis-à-vis de la vitesse initiale V_0 :

• Le modèle rhéologique choisi est linéaire (force de rappel élastique proportionnelle au déplacement s, force visqueuse proportionnelle à la vitesse \dot{s}).
• Par conséquent, l'équation différentielle régissant s(t) est linéaire à coefficients constants. La réponse \dot{s}(t) est donc rigoureusement proportionnelle à la condition initiale V_0.
• En outre, la durée du choc t_{\mathrm{c}} = \pi/\omega présente la propriété d'isochronisme des oscillateurs harmoniques linéaires : elle ne dépend pas de l'amplitude du mouvement, et donc pas de V_0.
• Le rapport V_1 / V_0 = \dot{s}(t_{\mathrm{c}})/V_0 est donc strictement indépendant de V_0.

Pendant le temps de vol \tau_n = t_{n+1} - t_n du rebond n, la balle est en chute libre dans le champ de pesanteur uniforme (la durée de contact étant négligée devant \tau_n). En choisissant l'axe vertical ascendant Oz issu de la surface rigide, l'accélération de la balle vaut \ddot{z}(t) = -g.

Avec pour conditions initiales au début du rebond z(t_n) = 0 et \dot{z}(t_n^+) = V_n^+ > 0, l'intégration temporelle donne :

À l'instant d'impact t_{n+1}, la balle touche la surface immobile (z(t_{n+1}) = 0), d'où :

La vitesse de la balle immédiatement avant ce choc est \dot{z}(t_{n+1}^-) = V_{n+1}^- = V_n^+ - g\tau_n = -V_n^+.

La surface étant fixe, la définition du coefficient de restitution établie à la question 2 donne la vitesse immédiatement après le choc n+1 :

La suite des vitesses initiales de vol est donc une suite géométrique de raison r :

La durée du vol étant proportionnelle à cette vitesse, il vient :

En prenant le logarithme népérien, on obtient :

Validité du modèle vis-à-vis des mesures :
D'après cette relation, \ln(\tau_n/\tau_1) est une fonction affine du rang n, de pente \ln r < 0 et s'annulant en n = 1. Sur la figure 2, les données expérimentales s'alignent remarquablement selon une droite passant par l'origine (n=1, \, y=0). Cela confirme que le coefficient de restitution r est constant et indépendant de la vitesse d'impact sur la gamme explorée : le modèle viscoélastique linéaire est donc en excellent accord avec les observations.

Estimation numérique de r :
La pente de la droite moyenne est p = \ln r. En lisant sur le graphe les points (n_1 = 1, y_1 = 0) et (n_{12} = 12, y_{12} \simeq -1{,}00) :

Comme |\ln r| \ll 1, on en déduit :

Le choc ayant lieu à l'instant t_i, la surface (S) est alors animée de la vitesse \vec{v}_s(t_i) = v_s(t_i)\,\vec{e}_z par rapport au référentiel d'étude \mathcal{R}.

Considérons le référentiel \mathcal{R}_s en translation rectiligne par rapport à \mathcal{R}, animé à l'instant t_i de la vitesse de la surface \vec{v}_s(t_i). Dans ce référentiel, la surface est instantanément au repos.

D'après la loi de composition des vitesses, les vitesses algébriques de la balle relatives à la surface immédiatement avant et après le choc sont données par :

Le coefficient de restitution r caractérise la collision viscoélastique entre la balle et la surface. Par définition de r lors d'un rebond sur une surface au repos (énoncé ligne 64 : r = -v^+/v^- pour v_s = 0), la vitesse relative après impact est liée à la vitesse relative avant impact par la relation :

En substituant les expressions des vitesses relatives :

En isolant v^+, on obtient directement la relation souhaitée :

1. Expression de v_n^+ :

   D'après la loi de choc établie à la question 4, la vitesse de la balle immédiatement après le choc numéro n à l'instant t_n s'écrit :

   v_n^+ = -r v_n^- + (1+r) v_{\mathrm{s}}(t_n)

   L'altitude de la surface étant z_{\mathrm{s}}(t) = a \sin(\omega t), sa vitesse est :

   v_{\mathrm{s}}(t) = \dot{z}_{\mathrm{s}}(t) = a \omega \cos(\omega t)

   En évaluant cette vitesse à l'instant t_n, avec \phi_n = \omega t_n, on obtient :

   \boxed{v_n^+ = -r v_n^- + (1+r) a \omega \cos \phi_n}

2. Expression de z_{\mathrm{s}}(t_{n+1}) :

   Entre les instants t_n et t_{n+1}, la balle est en vol libre dans le référentiel d'étude \mathcal{R}(O, z) galiléen. Elle n'est soumise qu'à son poids \vec{P} = -m g \vec{e}_z. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe vertical (Oz) donne :

   \ddot{h}(t) = -g

   Par intégrations successives pour t \in [t_n, t_{n+1}], avec les conditions initiales h(t_n) = z_{\mathrm{s}}(t_n) et \dot{h}(t_n^+) = v_n^+ :

   \begin{aligned} \dot{h}(t) &= v_n^+ - g(t - t_n) \\ h(t) &= z_{\mathrm{s}}(t_n) + v_n^+(t - t_n) - \frac{1}{2} g(t - t_n)^2 \end{aligned}

   À l'instant t_{n+1}, le nouvel impact a lieu, d'où h(t_{n+1}) = z_{\mathrm{s}}(t_{n+1}). Avec le temps de vol \tau_n = t_{n+1} - t_n, il vient :

   \boxed{z_{\mathrm{s}}(t_{n+1}) = z_{\mathrm{s}}(t_n) + v_n^+ \tau_n - \frac{1}{2} g \tau_n^2}

3. Expression de v_{n+1}^- :

   La vitesse de la balle immédiatement avant l'impact n+1 s'obtient directement par évaluation de la vitesse balistique en t = t_{n+1}^- :

   \boxed{v_{n+1}^- = v_n^+ - g \tau_n}

4. Expression de v_{n+1}^+ :

   En appliquant la loi de choc à l'instant t_{n+1} :

   v_{n+1}^+ = -r v_{n+1}^- + (1+r) v_{\mathrm{s}}(t_{n+1})

   En substituant v_{n+1}^- = v_n^+ - g \tau_n et v_{\mathrm{s}}(t_{n+1}) = a \omega \cos \phi_{n+1} (avec \phi_{n+1} = \omega t_{n+1}) :

   \boxed{v_{n+1}^+ = -r v_n^+ + r g \tau_n + (1+r) a \omega \cos \phi_{n+1}}

Lorsque les rebonds sont synchronisés sur le mouvement oscillant de la surface de période T = 2\pi/\omega, la balle effectue un rebond par période :

La fonction z_{\mathrm{s}}(t) étant T-périodique, l'altitude de la surface aux instants de choc successifs vérifie :

En utilisant la relation cinématique établie à la question 5 :

il vient immédiatement, puisque \tau_n = T \neq 0 :

La vitesse de la balle immédiatement avant l'impact n+1 vaut alors (d'après la question 5) :

En régime périodique synchronisé, tous les chocs sont identiques, soit v_n^- = v_{n+1}^- = -v_n^+.

Reprenons l'expression de la vitesse après choc de la question 5 :

En y remplaçant v_n^- par -v_n^+, on obtient :

D'où l'expression du cosinus de la phase :

En introduisant l'accélération adimensionnée de la surface \Gamma = \frac{a\omega^2}{g}, on aboutit bien à :

La relation (3) s'écrit :

où r \in ]0, 1[ et \Gamma = \dfrac{a\omega^2}{g} > 0 représente l'accélération maximale adimensionnée de la surface.

1. Signe du cosinus et sens du mouvement de la surface : Puisque r \in ]0, 1[, le rapport \dfrac{1 - r}{1 + r} est strictement positif, de sorte que :

La vitesse de la surface à l'impact vaut v_{\mathrm{s}}(t_n) = a\omega \cos\phi_n > 0. L'impact a donc nécessairement lieu lorsque la surface est en phase de montée. Cela est indispensable sur le plan énergétique : le choc étant inélastique (r < 1), de l'énergie mécanique est dissipée à chaque rebond ; la surface doit donc fournir du travail à la balle lors du contact pour compenser cette perte.

2. Condition d'existence d'une solution synchrone : La condition |\cos \phi_n| \leqslant 1 impose une valeur minimale à l'accélération de la surface :

Si \Gamma < \Gamma_{\min}, l'accélération de la surface est insuffisante pour apporter l'énergie nécessaire à l'entretien du régime périodique de période T.

3. Limite du choc élastique (r \to 1^-) : Dans la limite d'un choc parfaitement élastique sans dissipation (r \to 1^-) :

• La vitesse de la surface à l'instant du choc tend vers zéro :

  v_{\mathrm{s}}(t_n) = a\omega \cos\phi_n \xrightarrow[r \to 1^-]{} 0

  L'impact s'effectue à l'apogée de la trajectoire de la surface (z_{\mathrm{s}} = a). Puisqu'il n'y a plus de perte d'énergie par dissipation (r = 1), aucun apport net d'énergie mécanique de la part du vibreur n'est requis pour maintenir le régime périodique : le travail échangé lors du choc est nul.

• Le seuil d'accélération tend vers zéro (\Gamma_{\min} \to 0) : une oscillation d'amplitude arbitrairement faible suffit à entretenir le mouvement synchrone.

1. Lectures graphiques sur la figure 5 :

• L'amplitude de l'oscillation sinusoïdale de la surface s'élève à :

  a = 0{,}10\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}
• Deux impulsions sonores successives apparaissent à \dfrac{\omega t}{2\pi} \simeq 0{,}14 et \dfrac{\omega t}{2\pi} \simeq 1{,}14. L'intervalle de temps entre deux chocs consécutifs est donc \Delta\left(\dfrac{\omega t}{2\pi}\right) = 1{,}0, soit un temps de vol égal à la période T = \dfrac{2\pi}{\omega} des oscillations : les rebonds sont bien synchronisés.
• La phase de l'impact correspond à \phi_n = \omega t_n \simeq 2\pi \times 0{,}14 \simeq 0{,}88\text{ rad}, valeur effectivement voisine de \pi/4 \simeq 0{,}79\text{ rad}.

2. Calcul du paramètre d'accélération \Gamma : Par définition, avec g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \simeq \pi^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \omega = 2\pi \times 25 \simeq 157\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

3. Estimation du coefficient de restitution r : D'après la relation (3) établie à la question 6 :

Puisque r est proche de 1, on effectue l'approximation 1 + r \simeq 2. Avec \phi_n \simeq \pi/4, on a \cos \phi_n \simeq \dfrac{\sqrt{2}}{2} :

En prenant \sqrt{2} \simeq 1{,}41 et \pi \simeq 3{,}14 :

(Un calcul sans l'approximation 1+r \simeq 2 conduit à \dfrac{1-r}{1+r} \simeq 0{,}056, soit r = \dfrac{1 - 0{,}056}{1 + 0{,}056} \simeq 0{,}89).

Entre les deux impacts successifs A'_n et A'_{n+1}, la balle n'est soumise qu'au champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g \vec{e}_z. D'après la relation établie à la question 5, l'altitude de la balle au cours de cette phase balistique s'écrit pour tout t \in [t'_n, t'_{n+1}] :

Aux instants d'impact t'_n et t'_{n+1}, la balle est en contact avec la surface oscillante, de sorte que :

La durée du vol relatif au rebond n s'exprime en fonction des phases d'impact par :

En évaluant l'altitude de la balle en t = t'_{n+1}, on obtient l'égalité des altitudes :

soit en explicitant z_{\mathrm{s}} et en introduisant les phases :

Entre les instants t'_n et t'_{n+1}, la balle n'est soumise qu'à son poids dans le référentiel galiléen \mathcal{R}. Son accélération verticale est donc \ddot{h}(t) = -g, ce qui donne pour la vitesse immédiatement avant l'impact n+1 (en accord avec le troisième point de la question Q5) :

Le temps de vol \tau'_n = t'_{n+1} - t'_n s'exprime en fonction des phases d'impact par :

d'où :

D'après la loi de choc établie à la question Q4, la vitesse de la balle immédiatement après l'impact en t'_{n+1} s'écrit :

avec z_{\mathrm{s}}(t) = a\sin\omega t, d'où v_{\mathrm{s}}(t'_{n+1}) = \dot{z}_{\mathrm{s}}(t'_{n+1}) = a\omega \cos\phi'_{n+1}.

En substituant l'expression de v_{n+1}^{-\prime}, on obtient :

Soit finalement :

Puisque B = \frac{1+r}{2} \neq 0 (avec r \in ]0, 1[), la relation (a) permet d'exprimer \underline{\eta}_n en fonction de termes de la suite (\underline{\varepsilon}_n) :

En décalant d'un rang cette relation, on obtient :

En substituant ces deux expressions dans la relation (b), il vient :

En multipliant par B \neq 0 et en regroupant l'ensemble des termes :

On obtient ainsi la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 :

La solution recherchée est de la forme :

Le module du terme général s'écrit :

Pour une perturbation initiale non nulle (K \neq 0), la limite lorsque n \to +\infty dépend du module de \mu :

• Si |\mu| < 1, alors \lim_{n \to +\infty} |\mu|^n = 0, donc la suite (\underline{\varepsilon}_n) converge vers zéro ;
• Si |\mu| = 1, la suite ne s'amortit pas (terme constant si \mu = 1, ou oscillations non nulles si \mu \neq 1) ;
• Si |\mu| > 1, alors \lim_{n \to +\infty} |\mu|^n = +\infty, la perturbation diverge.

La condition générale pour que la suite (\underline{\varepsilon}_n) converge vers zéro (amortissement des perturbations) est donc :

D'après la question Q11, la suite (\underline{\varepsilon}_n) satisfait la relation de récurrence :

En introduisant la forme cherchée \underline{\varepsilon}_n = K\mu^n (avec K \neq 0 et \mu \neq 0), on obtient l'équation caractéristique :

Par identification avec les relations de récurrence (5) et (6) de l'énoncé :

Calculons le terme constant AD - BC :

L'équation caractéristique s'écrit donc bien sous la forme :

Par identification du terme d'ordre 1 en \mu, on a :

soit :

L'équation caractéristique (9) s'écrit :

Son discriminant réduit vaut :

Comme Q \in \mathcal{D}_1 = [-1, +1], on a Q^2 - 1 \le 0, d'où \Delta' \le 0. Les deux racines sont donc complexes conjuguées (ou confondues si Q = \pm 1) :

Calculons le module de ces racines :

Comme le coefficient de restitution vérifie r \in ]0, 1[, on a :

Pour Q \in ]-1, 1[, en posant Q = \cos\psi avec \psi \in ]0, \pi[, les racines s'écrivent \mu_{\pm} = r\,\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}\psi}. La solution générale réelle pour l'écart angulaire \varepsilon_n = \mathrm{Re}(\underline{\varepsilon}_n) est de la forme :

où K_0 et \varphi_0 sont des constantes réelles fixées par les conditions initiales. Pour les cas limites Q = \pm 1, la racine double réelle \mu = \pm r donne \varepsilon_n = (K_1 + n K_2)(\pm r)^n.

Puisque r < 1, le facteur d'amortissement r^n tend vers zéro quand n \to +\infty. La suite (\varepsilon_n) effectue donc des oscillations amorties et converge vers zéro :

Conséquence sur la stabilité : tout écart infinitésimal à la synchronisation s'atténue exponentiellement au cours des rebonds successifs. Le régime de rebonds synchronisés est donc asymptotiquement stable sur tout le domaine \mathcal{D}_1.

L'équation caractéristique (9) s'écrit :

Le discriminant réduit associé vaut :

Puisque Q \in \mathcal{D}_2 = ]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[, on a Q^2 \ge 1, de sorte que \Delta' \ge 0. Les solutions sont donc réelles et s'expriment par :

On remarque que \mu_+ \mu_- = r^2 et \mu_+ + \mu_- = 2Qr.

Comportement sur le domaine \mathcal{D}_2 :

• Pour Q \in [1, +\infty[ :

  • En Q = 1 : \mu_+(1) = \mu_-(1) = r. La demi-tangente y est verticale car \frac{\mathrm{d}\mu_{\pm}}{\mathrm{d}Q} \xrightarrow[Q \to 1^+]{} \pm\infty.
  • \mu_+(Q) est strictement croissante avec \mu_+(Q) \sim 2rQ \xrightarrow[Q \to +\infty]{} +\infty.
  • \mu_-(Q) est strictement décroissante avec \mu_-(Q) = \frac{r}{Q + \sqrt{Q^2-1}} \xrightarrow[Q \to +\infty]{} 0^+.

• Pour Q \in ]-\infty, -1] :

  • En Q = -1 : \mu_+(-1) = \mu_-(-1) = -r, avec également des demi-tangentes verticales en -1^-.
  • \mu_-(Q) est strictement croissante depuis -\infty (avec \mu_-(Q) \sim 2rQ \xrightarrow[Q \to -\infty]{} -\infty) jusqu'à -r.
  • \mu_+(Q) est strictement décroissante depuis 0^- (pour Q \to -\infty) jusqu'à -r.

D'après la question Q12, la convergence de la suite perturbative (\varepsilon_n) vers zéro (stabilité asymptotique) nécessite que les deux racines réelles vérifient :

Distinguons les deux composantes connexes de \mathcal{D}_2 = ]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[ :

• Pour Q \in [1, +\infty[ (soit 2Qr \ge 2r) :

  Les deux racines sont positives, avec \mu_+(Q) \ge \mu_-(Q) > 0. La condition de stabilité se résume donc à \mu_+(Q) < 1.

  Puisque \mu_+(1) = r < 1 et que la fonction Q \mapsto \mu_+(Q) est strictement croissante sur [1, +\infty[, la racine \mu_+ atteint la valeur critique +1 en un point Q_{\text{lim}} vérifiant l'équation caractéristique (9) :

  \begin{aligned} 1^2 - 2Qr(1) + r^2 = 0 \iff 2Qr = 1 + r^2 \end{aligned}

  La condition \mu_+(Q) < 1 impose ainsi :

  2r \le 2Qr < 1 + r^2

  (Dans ce cas, \mu_-(Q) = \frac{r^2}{\mu_+(Q)} vérifie automatiquement r^2 < \mu_-(Q) \le r < 1).

• Pour Q \in ]-\infty, -1] (soit 2Qr \le -2r) :

  Les deux racines sont négatives, avec \mu_-(Q) \le \mu_+(Q) < 0. La racine de plus grand module est \mu_-(Q), la condition de stabilité s'écrit donc \mu_-(Q) > -1.

  Comme \mu_-(-1) = -r > -1 et que la fonction Q \mapsto \mu_-(Q) est strictement croissante, elle décroît lorsque Q s'éloigne vers -\infty et atteint la valeur critique -1 lorsque :

  \begin{aligned} (-1)^2 - 2Qr(-1) + r^2 = 0 \iff 2Qr = -(1 + r^2) \end{aligned}

  La condition \mu_-(Q) > -1 impose ainsi :

  -(1 + r^2) < 2Qr \le -2r

  (Dans ce cas, \mu_+(Q) = \frac{r^2}{\mu_-(Q)} vérifie bien -1 < -r \le \mu_+(Q) < -r^2).

En réunissant ces deux conditions, la condition de stabilité sur le domaine \mathcal{D}_2 s'écrit :

ou de manière équivalente :

D'après la question Q14, pour tout Q \in \mathcal{D}_1 = [-1, +1], les valeurs propres sont complexes conjuguées de module |\mu_{\pm}| = r < 1 : le régime est toujours stable, ce qui correspond à l'intervalle :

D'après la question Q16, pour Q \in \mathcal{D}_2, la stabilité impose que les racines réelles vérifient |\mu_{\pm}| < 1, ce qui correspond aux intervalles :

Sur la réunion \mathcal{D}_1 \cup \mathcal{D}_2, la condition nécessaire et suffisante de stabilité asymptotique (|\mu| < 1) s'écrit donc simplement :

En utilisant l'expression de 2Qr obtenue à la question Q13, à savoir 2Qr = 1 + r^2 - \pi(1-r^2)\tan \phi_n, la condition devient :

Isolons les deux inégalités :

• L'inégalité de droite :

  \begin{aligned} 1 + r^2 - \pi(1-r^2)\tan \phi_n < 1+r^2 &\iff -\pi(1-r^2)\tan \phi_n < 0 \\ &\iff \tan \phi_n > 0 \quad (\text{car } r \in [0, 1[) \end{aligned}

• L'inégalité de gauche :

  \begin{aligned} -(1+r^2) < 1 + r^2 - \pi(1-r^2)\tan \phi_n &\iff \pi(1-r^2)\tan \phi_n < 2(1+r^2) \\ &\iff \tan \phi_n < \frac{2(1+r^2)}{\pi(1-r^2)} = F(r) \end{aligned}

On aboutit ainsi à la condition de stabilité recherchée :

1. Représentation dans le plan (X, Y)

Par définition des variables X = g/\omega^2 et Y = a, le paramètre d'accélération adimensionnée \Gamma s'écrit :

Puisque les grandeurs physiques g, \omega et a sont strictement positives, on a X > 0 et Y > 0. L'encadrement (11) se réécrit donc :

Dans le plan (X, Y), les frontières de ce domaine sont deux demi-droites issues de l'origine :

• la droite inférieure d'équation Y = \Gamma_{\min} X, de pente \Gamma_{\min} = \pi \left(\frac{1-r}{1+r}\right) ;
• la droite supérieure d'équation Y = \Gamma_{\max} X, de pente \Gamma_{\max} = \pi \left(\frac{1-r}{1+r}\right)\sqrt{1+F^2}.

Le domaine de stabilité à la période T est le secteur angulaire délimité par ces deux droites dans le premier quadrant.

2. Interprétation qualitative de l'encadrement de \Gamma

• Borne inférieure \Gamma > \Gamma_{\min} (bilan d'énergie) : Le choc de la balle sur la surface est inélastique (r < 1) : à chaque impact, une fraction 1 - r^2 de l'énergie cinétique est dissipée. Pour maintenir un régime périodique de période T, la surface mobile doit restituer cette énergie à la balle en la heurtant lors de sa phase ascendante. Si l'accélération de la surface est trop faible (\Gamma < \Gamma_{\min}), la vitesse maximale de la paroi a\omega ne permet pas de compenser les pertes dissipatives : la relation (3) donnerait \cos\phi_n > 1, ce qui est physiquement impossible. Les rebonds s'amortissent alors inéluctablement.
• Borne supérieure \Gamma < \Gamma_{\max} (stabilité dynamique) : Lorsque l'accélération de la surface est excessive (\Gamma > \Gamma_{\max}), l'asservissement naturel du rebond devient trop réactif. Une infime perturbation de phase ou de vitesse provoque un sursaut d'énergie lors du choc suivant, conduisant à une alternance de rebonds alternativement trop hauts et trop bas. La solution de période T subit une bifurcation par doublement de période (bifurcation sous-harmonique vers un régime de période 2T).

1. Orientation du plan (A_1A_2A_3) :

Les points A_i (i \in \{1,2,3\}) sont définis par :

Pour tout i, \vec{u}_i \cdot \vec{z}_0 = 0. Les points A_1, A_2 et A_3 appartiennent donc au plan (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0). Ainsi, le plan (A_1A_2A_3) est orthogonal au vecteur unitaire \vec{z}_0.

2. Justification de la base associée au solide 3 :

Pour chaque chaîne cinématique i \in \{1,2,3\} :

• Les points B'_i et B''_i sont portés par l'axe (B_i, \vec{v}_i) avec \overrightarrow{B'_iB''_i} = 2e\vec{v}_i.
• Les deux biellettes b'_i et b''_i ont même longueur : B'_iC'_i = B''_iC''_i = L_2.
• Les points de liaison sur la plateforme 3 vérifient C'_iC''_i = 2e = B'_iB''_i.

Le quadrilatère B'_iB''_iC''_iC'_i possède deux côtés opposés de même longueur 2e et deux côtés opposés de même longueur L_2 : c'est un parallélogramme articulé. Par conséquent, les vecteurs côtés sont égaux :

Comme \vec{v}_i = -\sin\alpha_i \vec{x}_0 + \cos\alpha_i \vec{y}_0 avec \alpha_i constant, le vecteur \vec{v}_i a une direction fixe dans le repère R_0.

Les segments [C'_1C''_1] et [C'_2C''_2] sont liés au solide indéformable 3. Leurs vecteurs directeurs respectifs \vec{v}_1 et \vec{v}_2 sont non colinéaires (puisque \alpha_1 \neq \alpha_2) et restent constamment fixes dans le repère R_0.

Un solide possédant au moins deux directions vectorielles distinctes et fixes dans un repère est dépourvu de toute rotation par rapport à ce repère :

Le solide 3 est donc en translation spatiale par rapport à la base 0. On peut par conséquent choisir la base vectorielle liée au solide 3 identique à celle de la base 0 :

3. Parallélisme des plans (C_1C_2C_3) et (A_1A_2A_3) :

Les points C_i sont définis par rapport au point C de la plateforme par :

On en déduit l'expression des vecteurs reliant les sommets du triangle (C_1C_2C_3) :

Comme \vec{u}_i \cdot \vec{z}_0 = 0 pour tout i, on a :

Le plan (C_1C_2C_3) a donc également pour vecteur normal le vecteur \vec{z}_0.

D'après la question précédente, le vecteur rotation instantané de la plateforme 3 par rapport à la base 0 est identiquement nul :

Par conséquent, la plateforme ne possède aucune possibilité de rotation par rapport à la base 0 : les trois degrés de liberté en rotation sont verrouillés (R_x = R_y = R_z = 0).

En revanche, le point de référence C peut occuper une position arbitraire (x, y, z) dans son espace de travail tridimensionnel grâce à l'actionnement indépendant des trois bras motorisés d'angles (\theta_1, \theta_2, \theta_3) :

• La plateforme 3 possède donc 3 degrés de liberté, correspondant aux trois translations indépendantes suivant les axes \vec{x}_0, \vec{y}_0 et \vec{z}_0 (notées T_x, T_y, T_z).
• Le mouvement de la plateforme 3 par rapport à la base 0 est un mouvement de translation spatiale (ou translation curviligne quelconque dans l'espace).

Exprimons la position des points B_i et C_i dans le repère \mathcal{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0) :

• Pour le point B_i situé sur le bras br_i :

  \overrightarrow{OB_i} = \overrightarrow{OA_i} + \overrightarrow{A_i B_i} = L_0 \vec{u}_i + L_1 \vec{x}_{1i}

  D'après la définition du repère \mathcal{R}_{1i}, la rotation d'angle \theta_i autour de l'axe \vec{y}_{1i} = \vec{v}_i donne :

  \vec{x}_{1i} = \cos\theta_i \vec{u}_i - \sin\theta_i \vec{z}_0

  D'où :

  \overrightarrow{OB_i} = (L_0 + L_1 \cos\theta_i)\vec{u}_i - L_1 \sin\theta_i \vec{z}_0

• Pour le point C_i lié à la plateforme 3 :

  \overrightarrow{OC_i} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{C_i C} = \overrightarrow{OC} + L_3 \vec{u}_i

Le vecteur reliant B_i à C_i s'écrit donc :

Posons pour simplifier K_i = L_0 - L_3 + L_1 \cos\theta_i. Sachant que \overrightarrow{OC} = x \vec{x}_0 + y \vec{y}_0 + z \vec{z}_0 et \vec{u}_i = \cos\alpha_i \vec{x}_0 + \sin\alpha_i \vec{y}_0, les composantes de \overrightarrow{B_i C_i} dans la base \mathcal{B}_0 sont :

La longueur du parallélogramme de biellettes étant constante et égale à L_2, on a \|\overrightarrow{B_i C_i}\|^2 = L_2^2, soit :

En développant :

Comme \cos^2\alpha_i + \sin^2\alpha_i = 1, il vient :

On obtient bien trois équations (pour i \in \{1, 2, 3\}) de la forme :

avec les expressions suivantes :

où l'expression de D_i résulte de l'identité :

D'après la question Q3, les coordonnées (x,y,z) du point C vérifient pour chacun des trois bras i \in \{1, 2, 3\} l'équation de sphère :

En effectuant la différence membre à membre entre l'équation relative au bras i et celle relative au bras j, le terme quadratique x^2 + y^2 + z^2 s'élimine identiquement :

En appliquant cette opération aux trois couples d'indices (i,j) \in \{(1,2),\, (2,3),\, (3,1)\}, on obtient bien le système linéaire (2) :

Remarque : l'énoncé comporte une coquille typographique sur la troisième ligne en notant D_{3,1}.z au lieu de C_{3,1}.z.

Par identification directe, les coefficients s'écrivent :

Rappelons les expressions obtenues à la question Q3 :

On en déduit les expressions demandées :

a) Annulation de x et y et nature du mouvement du point C

Lorsque \theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta, les termes définis à la question Q3 vérifient :

• K_i = L_0 - L_3 + L_1 \cos\theta = K = \text{Cste} pour tout i \in \{1, 2, 3\} ;
• C_i = 2 L_1 \sin\theta = C = \text{Cste} pour tout i, d'où C_{i,j} = C_i - C_j = 0 ;
• D_i = D(\theta) = \text{Cste} pour tout i, d'où D_{i,j} = D_i - D_j = 0.

Le système linéaire d'équations (2) se réduit alors à un système homogène en x et y :

Avec \alpha_1 = 0, \alpha_2 = \frac{2\pi}{3} et \alpha_3 = \frac{4\pi}{3}, calculons les coefficients :

Comme K = L_0 - L_3 + L_1 \cos\theta \neq 0 dans tout le domaine de fonctionnement normal, la seconde équation donne immédiatement :

En reportant dans la première équation :

Puisque x(t) = 0 et y(t) = 0 pour toute valeur de \theta, le vecteur position du point C s'écrit \overrightarrow{OC} = z(\theta) \vec{z}_0.

b) Coplanarité des points et forme du parallélogramme

Exprimons la position des différents points dans la base orthonormée locale (\vec{u}_i, \vec{v}_i, \vec{z}_0) associée au bras i :

• \overrightarrow{OO} = \vec{0} ;
• \overrightarrow{OA}_i = L_0 \vec{u}_i ;
• \overrightarrow{OB}_i = \overrightarrow{OA}_i + L_1 \vec{x}_{1i} = (L_0 + L_1 \cos\theta)\vec{u}_i - L_1 \sin\theta \, \vec{z}_0 ;
• \overrightarrow{OC} = z \vec{z}_0 ;
• \overrightarrow{OC}_i = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CC}_i = z \vec{z}_0 + L_3 \vec{u}_i.

Tous ces vecteurs ont une composante strictement nulle selon \vec{v}_i. Par conséquent :

Étudions la forme du parallélogramme formé par les biellettes :

• Les segments [B'_i B''_i] et [C'_i C''_i] sont portés par la direction \vec{v}_i, de longueur commune 2e.

• Le vecteur reliant leurs milieux respectifs B_i et C_i vaut :

  \overrightarrow{B_i C_i} = (L_3 - L_0 - L_1 \cos\theta)\vec{u}_i + (z + L_1 \sin\theta)\vec{z}_0

  Ce vecteur appartient au plan (O, \vec{u}_i, \vec{z}_0) et est donc orthogonal à \vec{v}_i :

  \overrightarrow{B_i C_i} \cdot \vec{v}_i = 0

Le segment reliant les milieux des côtés opposés [B'_i B''_i] et [C'_i C''_i] étant orthogonal à ces côtés, le parallélogramme possède des angles droits :

c) Invariances et éléments de symétrie

• Invariance par rotation : Les points d'ancrage A_i sont disposés régulièrement à 120^\circ les uns des autres sur le cercle de rayon L_0, et les trois chaînes cinématiques sont géométriquement identiques. Comme \theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta, le mécanisme est invariant par :

  \boxed{\text{une rotation d'axe } (O, \vec{z}_0) \text{ et d'angle } \frac{2\pi}{3} \pmod{\frac{2\pi}{3}}.}

• Plans de symétrie : Pour chaque chaîne i \in \{1, 2, 3\}, le plan (O, \vec{u}_i, \vec{z}_0) est un plan de symétrie du bras i (les rotules B'_i et B''_i sont symétriques par rapport à ce plan car \overrightarrow{B_i B''_i} = -\overrightarrow{B_i B'_i} = e\vec{v}_i). De plus, la réflexion par rapport à ce plan échange les deux autres chaînes cinématiques (par exemple pour i=1, la réflexion par rapport à (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) transforme \alpha_2 = 2\pi/3 en \alpha_3 = 4\pi/3 \equiv -2\pi/3). Comme \theta_2 = \theta_3 = \theta, le robot Delta possède :

  \boxed{\text{trois plans de symétrie verticaux : les plans } (O, \vec{u}_i, \vec{z}_0) \text{ pour } i \in \{1, 2, 3\}.}

D'après l'équation (1) établie à la question 3, appliquée à la configuration symétrique où x = y = 0 et \theta_i = \theta :

avec C_i = 2L_1\sin\theta et D_i = L_2^2 - L_1^2 - (L_0 - L_3)^2 - 2(L_0 - L_3)L_1\cos\theta.

Cette relation s'écrit sous forme canonique :

La plateforme 3 étant située au-dessus de la base le long de l'axe (O, \vec{z}_0) (les bras pointant vers le haut, z > 0), la racine physique correspond au signe positif :

Le débattement angulaire des bras est limité à \pm 60^\circ, soit \theta \in [-\pi/3, +\pi/3]. Sur cet intervalle, la fonction \theta \mapsto -\sin\theta est strictement décroissante, et le terme sous le radical :

prend la même valeur aux deux bornes symétriques \theta = \pm \pi/3 puisque \cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2.

La fonction z(\theta) est strictement décroissante sur [-\pi/3, +\pi/3], de sorte que :

soit explicitement, avec \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 et \cos(\pi/3) = 1/2 :

Le débattement linéaire \Delta z selon \vec{z}_0 s'obtient par différence des deux expressions, le terme sous radical s'éliminant :

Application numérique : Avec L_1 = 200\text{ mm} et \sqrt{3} \simeq 1{,}73 :

En respectant la règle des deux chiffres significatifs :

Commentaire : Le cahier des charges stipule un espace de travail en translation de dimensions 200 \times 200 \times 200\text{ mm}. La course axiale disponible sur l'axe central est \Delta z \simeq 346\text{ mm} > 200\text{ mm}. Ce résultat montre que le dimensionnement cinématique des bras permet largement de couvrir la hauteur requise de 200\text{ mm} le long de l'axe vertical, laissant une marge nécessaire pour assurer l'espace de travail tridimensionnel lorsque x \neq 0 et y \neq 0.

1. Symétries particulières du robot Delta

Les angles d'implantation des trois bras sur la base valent :

Les directions radiales associées sont :

Sous la réflexion orthogonale par rapport au plan vertical \Pi = (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) :

• \vec{x}_0 \mapsto \vec{x}_0, \vec{y}_0 \mapsto -\vec{y}_0, \vec{z}_0 \mapsto \vec{z}_0 ;
• \vec{u}_1 \mapsto \vec{u}_1 et \vec{v}_1 \mapsto -\vec{v}_1 ;
• \vec{u}_2 \leftrightarrow \vec{u}_3 et \vec{v}_2 \leftrightarrow -\vec{v}_3.

Comme \theta_2 = \theta_3 = \theta, les bras br_2 et br_3 ainsi que leurs parallélogrammes de biellettes respectifs se déduisent l'un de l'autre par cette réflexion. De plus, le bras br_1 et ses biellettes associées sont disposés symétriquement de part et d'autre de \Pi.

Le robot Delta présente donc un plan de symétrie matériel et cinématique unique :

2. Vérification analytique à partir des relations (2)

D'après les résultats de la question 4, la deuxième équation du système (2) s'écrit :

avec, pour \theta_2 = \theta_3 = \theta :

Pour les dimensions du mécanisme (L_0 - L_3 = -20\text{ mm}, L_1 = 200\text{ mm} et \theta \in [-60^\circ, +60^\circ]), on a L_0 - L_3 + L_1\cos\theta \ge 80\text{ mm} \neq 0, donc B_{2,3} \neq 0. L'équation impose immédiatement :

3. Mouvement obtenu

Le point C reste confiné à tout instant dans le plan (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) : il dispose de 2 degrés de liberté de position (x et z), pilotés par les deux variables indépendantes \theta_1 et \theta.

Comme la plateforme 3 est astreinte à une translation spatiale par rapport au bâti 0 (\vec{\Omega}(3/0) = \vec{0}, d'après la question 1), son mouvement se réduit ici à :

Analysons les courbes de la figure 3 pour chaque intervalle de temps :

• Premier intervalle T_1 = [1\text{ s}, 80\text{ s}] : On constate que les évolutions temporelles des trois angles sont strictement identiques :

  \theta_1(t) = \theta_2(t) = \theta_3(t)

  D'après le résultat de la question 5-a, cette configuration correspond à x(t) = 0 et y(t) = 0, soit un mouvement purement vertical. Cet intervalle correspond donc au déplacement selon \vec{z}_0.

• Deuxième intervalle T_2 = [81\text{ s}, 160\text{ s}] : Les angles des bras 2 et 3 sont strictement égaux à chaque instant (\theta_2(t) = \theta_3(t)), tandis que l'angle du bras 1 a une évolution différente (de plus forte amplitude). D'après la question 7, l'égalité \theta_2 = \theta_3 traduit l'invariance par rapport au plan de symétrie (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0), ce qui impose y(t) = 0. Comme z = z_0 est maintenu constant, seul x(t) varie. Cet intervalle correspond donc au déplacement selon \vec{x}_0.
• Troisième intervalle T_3 = [161\text{ s}, 240\text{ s}] : Les angles \theta_2(t) et \theta_3(t) ne sont plus égaux : lorsque l'un présente un maximum, l'autre présente un minimum, ce qui reflète l'antisymétrie par rapport au plan (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) lors d'une translation selon \vec{y}_0 (\theta_2(y) = \theta_3(-y)). Cet intervalle correspond donc au déplacement selon \vec{y}_0.

L'ordre des mouvements imposés est par conséquent :

Isolons la biellette b'_i dans le référentiel galiléen R_0 associé à la base 0.

Bilan des actions mécaniques extérieures :

• L'action du bras br_i sur b'_i, modélisée par une liaison rotule de centre B'_i :

  \{\mathcal{T}_{br_i \to b'_i}\} = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{B'_i} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_{B'_i}

• L'action de la plateforme 3 sur b'_i, modélisée par une liaison rotule de centre C'_i :

  \{\mathcal{T}_{3 \to b'_i}\} = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{C'_i} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_{C'_i}
• L'action de la pesanteur est négligée.

Application du principe fondamental de la dynamique : Les quantités inertielles de la biellette étant négligées (solide sans masse), son torseur dynamique est nul :

Le PFD se réduit donc aux équations d'équilibre du principe fondamental de la statique (PFS) :

Détermination de la direction des résultantes :

• Le théorème du moment dynamique (ou statique) appliqué en B'_i donne :

  \vec{M}_{B'_i}(\text{ext} \to b'_i) = \vec{0} \implies \vec{0} + \overrightarrow{B'_i C'_i} \wedge \vec{R}_{C'_i} = \vec{0}

  Puisque B'_i \neq C'_i, la résultante \vec{R}_{C'_i} est colinéaire au vecteur \overrightarrow{B'_i C'_i}.

• Le théorème de la résultante dynamique (ou statique) donne :

  \vec{R}_{B'_i} + \vec{R}_{C'_i} = \vec{0} \implies \vec{R}_{B'_i} = -\vec{R}_{C'_i}

Les deux forces sont directement opposées et dirigées selon la droite joignant les deux centres d'articulation. Sachant que le quadrilatère B'_i B''_i C''_i C'_i est un parallélogramme, on a \overrightarrow{B'_i C'_i} = \overrightarrow{B_i C_i} = L_2 \vec{z}_{2i}.