Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2024 (page 3/3 : Partie Sciences de l'Ingénieur (questions 11 à 19))

1. Figures de calcul (changements de base)

• Première rotation : de la base \mathcal{B}_0 = (\vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0) à la base \mathcal{B}_1 = (\vec{x}_1, \vec{y}_t, \vec{z}_0), par une rotation d'axe (A, \vec{z}_0) et d'angle \varphi :

  \begin{aligned} \vec{x}_1 &= \cos\varphi \, \vec{x}_0 + \sin\varphi \, \vec{y}_0 \\ \vec{y}_t &= -\sin\varphi \, \vec{x}_0 + \cos\varphi \, \vec{y}_0 \end{aligned}

• Deuxième rotation : de la base \mathcal{B}_1 = (\vec{x}_1, \vec{y}_t, \vec{z}_0) à la base \mathcal{B}_t = (\vec{x}_t, \vec{y}_t, \vec{z}_t), par une rotation d'axe (A, \vec{y}_t) et d'angle \theta. Comme le trièdre (\vec{x}_1, \vec{y}_t, \vec{z}_0) est direct, on a \vec{z}_0 \wedge \vec{x}_1 = \vec{y}_t. Dans le plan orthogonal à \vec{y}_t orienté par ce dernier, l'angle \theta = (\vec{z}_0, \vec{z}_t) = (\vec{x}_1, \vec{x}_t) donne :

  \begin{aligned} \vec{z}_t &= \cos\theta \, \vec{z}_0 + \sin\theta \, \vec{x}_1 \\ \vec{x}_t &= -\sin\theta \, \vec{z}_0 + \cos\theta \, \vec{x}_1 \end{aligned}

2. Détermination de \Delta x, \Delta y, \Delta z

En substituant l'expression de \vec{x}_1 dans celle de \vec{z}_t :

Comme \overrightarrow{AB} = \lambda \vec{z}_t = \Delta x \, \vec{x}_0 + \Delta y \, \vec{y}_0 + \Delta z \, \vec{z}_0, on obtient par identification :

3. Inversion des relations

En sommant les carrés des composantes :

La longueur \lambda = AB étant strictement positive :

Puis, pour les angles \theta et \varphi (la plateforme supérieure b restant au-dessus de a, soit \Delta z > 0 et \theta \in [0, \pi/2[) :

et pour l'azimut \varphi :

La plateforme a étant en translation par rapport au bâti 0, le repère R_a = (A, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0) conserve une orientation fixe dans R_0, soit :

D'après le paramétrage défini dans le préambule :

• la base intermédiaire \mathcal{B}_1 = (\vec{x}_1, \vec{y}_t, \vec{z}_0) s'obtient à partir de la base \mathcal{B}_0 par une rotation d'axe (A, \vec{z}_0) et d'angle \varphi, d'où :

  \vec{\Omega}(1/0) = \dot{\varphi}\,\vec{z}_0

• la base \mathcal{B}_t = (\vec{x}_t, \vec{y}_t, \vec{z}_t) s'obtient à partir de la base \mathcal{B}_1 par une rotation d'axe (A, \vec{y}_t) et d'angle \theta, d'où :

  \vec{\Omega}(t/1) = \dot{\theta}\,\vec{y}_t

Par composition des vitesses angulaires, on a :

En projetant le vecteur \vec{z}_0 dans la base \mathcal{B}_t (puisque d'après la figure de calcul de l'angle \theta, \vec{z}_0 = -\sin\theta\,\vec{x}_t + \cos\theta\,\vec{z}_t), on obtient :

(ou dans la base \mathcal{B}_0, sachant que \vec{y}_t = -\sin\varphi\,\vec{x}_0 + \cos\varphi\,\vec{y}_0 : \vec{\Omega}_{t/a} = -\dot{\theta}\sin\varphi\,\vec{x}_0 + \dot{\theta}\cos\varphi\,\vec{y}_0 + \dot{\varphi}\,\vec{z}_0).

Le point A est le centre de rotation de la liaison à la Cardan reliant la tige t à la plateforme a, donc :

Le torseur cinématique associé s'écrit donc au point A :

a) Torseur cinématique de la liaison hélicoïdale entre p et t :

La liaison entre la tige t et la poignée p est une liaison hélicoïdale d'axe (B, \vec{z}_t).

• La poignée p est orientée par rapport à la tige t par l'angle de rotation propre \psi = (\vec{x}_t, \vec{x}_p) autour de l'axe \vec{z}_t, de sorte que :

  \vec{\Omega}(p/t) = \dot{\psi}\,\vec{z}_t

• Le point A est fixe sur la tige t, et \vec{z}_t est un vecteur fixe de la base \mathcal{B}_t liée à t. Le point B appartenant à p, la vitesse de translation de B \in p par rapport à la tige t s'écrit :

  \vec{V}(B, p/t) = \left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{AB}}{\mathrm{d}t}\right|_{t} = \left.\frac{\mathrm{d}(\lambda\,\vec{z}_t)}{\mathrm{d}t}\right|_{t} = \dot{\lambda}\,\vec{z}_t

• Le pas de l'hélice étant un pas à droite, une rotation dans le sens direct d'angle \Delta\psi = 2\pi induit un déplacement hélicoïdal selon +\vec{z}_t d'une valeur égale au pas. La relation cinématique signée liant l'avance \dot{\lambda} à la vitesse angulaire de rotation \dot{\psi} est donc :

  \dot{\lambda} = \frac{pas}{2\pi}\,\dot{\psi}

Le torseur cinématique associé à la liaison au point B s'exprime ainsi :

b) Torseurs cinématiques des plateformes par rapport au bâti :

Les robots Delta maintiennent les plateformes a et b en translation pure par rapport au bâti 0, ce qui implique :

Les torseurs cinématiques de translation s'écrivent donc directement en leurs points caractéristiques A et B :

1. Expression du vecteur vitesse angulaire \vec{\Omega}(p/0)

Par composition des mouvements entre les solides en chaîne ouverte 0 \to a \to t \to p :

• La plateforme a est en translation pure par rapport au bâti 0, d'où \vec{\Omega}(a/0) = \vec{0}.

• D'après la question 14, la liaison Cardan en A donne :

  \vec{\Omega}(t/a) = \dot{\varphi}\vec{z}_0 + \dot{\theta}\vec{y}_t

• D'après la question 15.a, la liaison hélicoïdale d'axe (B,\vec{z}_t) donne :

  \vec{\Omega}(p/t) = \dot{\psi}\vec{z}_t

On obtient donc :

où \dot{\psi} = \dfrac{2\pi}{pas}\,\dot{\lambda}, les paramètres d'orientation \varphi, \theta et la longueur \lambda (ainsi que leurs dérivées temporelles) étant entièrement déterminés par les positions et vitesses des points A et B (question 13).

2. Expression de la vitesse linéaire \vec{V}(G, p/0)

Le point G est le centre de masse de la poignée p, solide indéformable. La relation fondamentale du champ des vecteurs vitesse (formule de Varignon) entre G et B s'écrit :

Or, d'après les données de l'énoncé, \overrightarrow{BG} = -H\vec{z}_t.

De plus, la liaison entre la plateforme b et la poignée p est une liaison rotule de centre B, ce qui implique :

Par composition des vitesses au point B :

où \vec{V}(B, b/0) = \dot{x}_B\vec{x}_0 + \dot{y}_B\vec{y}_0 + \dot{z}_B\vec{z}_0 (question 15.b).

En reportant cette expression dans la relation de Varignon, on obtient :

Remarque : On peut également exprimer \vec{V}(G, p/0) à partir du point A en suivant la tige t :

ce qui conduit à l'expression équivalente :

Dans la configuration initiale verticale, on a \vec{z}_t = \vec{z}_p = \vec{z}_0, \overrightarrow{GB} = H \vec{z}_0 et \overrightarrow{GA} = -(\lambda_0 - H)\vec{z}_0 avec \lambda_0 - H > 0. Les plateformes a et b étant en translation pure par rapport au bâti, on a :

1. Translation selon +\vec{y}_0 (T_{y_0}) : Le mouvement est une translation pure de vitesse V \vec{y}_0 :

D'où \dot{y}_A = \dot{y}_B = V, toutes les autres composantes étant nulles.

2. Translation selon +\vec{z}_0 (T_{z_0}) : Le mouvement est une translation pure selon l'axe vertical :

D'où \dot{z}_A = \dot{z}_B = V, toutes les autres composantes étant nulles.

3. Rotation selon (G,\vec{x}_0), sens direct (R_{x_0}) : La poignée pivote autour de (G,\vec{x}_0) avec \vec{\Omega}(p/0) = \Omega \vec{x}_0 (\Omega > 0) et \vec{V}(G,p/0) = \vec{0}. Par champ des vitesses du solide p :

En normalisant à la vitesse scalaire caractéristique V, on obtient \dot{y}_A = V et \dot{y}_B = -V, les autres composantes étant nulles.

4. Rotation selon (G,\vec{z}_0), sens direct (R_{z_0}) : La rotation a lieu autour de l'axe vertical (G,\vec{z}_0) avec \vec{\Omega}(p/0) = \Omega_z \vec{z}_0 (\Omega_z > 0) et \vec{V}(G,p/0) = \vec{0}.

• Le point B étant situé sur l'axe de rotation, sa vitesse est nulle :

  \vec{V}(B,b/0) = \vec{V}(B,p/0) = \vec{\Omega}(p/0) \wedge \overrightarrow{GB} = (\Omega_z \vec{z}_0) \wedge (H \vec{z}_0) = \vec{0} \implies \dot{x}_B = \dot{y}_B = \dot{z}_B = 0

• La liaison Cardan en A bloque la rotation de la tige t autour de son propre axe (\vec{\Omega}(t/0) \cdot \vec{z}_0 = 0). La rotation s'effectue donc dans la liaison hélicoïdale de pas à droite entre p et t : \dot{\psi} = \Omega_z > 0. La relation cinématique associée s'écrit :

  \vec{V}(B \in p/t) = \frac{\text{pas}}{2\pi}\dot{\psi}\vec{z}_0 = \dot{\lambda}\vec{z}_0 \quad (\dot{\lambda} > 0)

  Comme \dot{\lambda} = \dot{z}_B - \dot{z}_A et \dot{z}_B = 0, il vient immédiatement :

  \dot{z}_A = -\dot{\lambda} < 0

  Soit, avec l'amplitude de vitesse imposée : \dot{z}_A = -V.

Le tableau complété est donc :

1. Simplification de la matrice d'inertie I_p(G) :

D'après la figure (5), la poignée présente une géométrie cylindrique de révolution autour de son axe longitudinal (G,\vec{z}_t) (avec \vec{z}_p = \vec{z}_t). Il en résulte :

• L'axe (G,\vec{z}_t) est un axe de révolution matérielle, donc un axe principal d'inertie, et tout plan contenant cet axe ou perpendiculaire à lui est plan de symétrie matérielle. Les produits d'inertie sont donc nuls :

  D = E = F = 0

• Les moments d'inertie principaux transverses sont égaux par symétrie de révolution :

  A = B

Dans la base liée à la poignée \mathcal{B}_p = (\vec{x}_p, \vec{y}_p, \vec{z}_t), la matrice d'inertie s'écrit donc :

Comme la base \mathcal{B}_t = (\vec{x}_t, \vec{y}_t, \vec{z}_t) se déduit de \mathcal{B}_p par une simple rotation d'angle -\psi autour de l'axe de révolution \vec{z}_t, la matrice d'inertie conserve la même forme diagonale isotrope dans le plan transverse :

2. Calcul du moment cinétique \vec{\sigma}(G,p/0) :

Le point G étant le centre d'inertie de la poignée p, le moment cinétique en G est donné par :

D'après les questions précédentes (Q14, Q15, Q16), le vecteur vitesse angulaire de la poignée par rapport au référentiel galiléen R_0 s'écrit :

Or, la base intermédiaire \mathcal{B}_1 = (\vec{x}_1, \vec{y}_t, \vec{z}_0) et la base \mathcal{B}_t = (\vec{x}_t, \vec{y}_t, \vec{z}_t) sont reliées par une rotation d'angle \theta autour de \vec{y}_t, ce qui donne la projection de \vec{z}_0 dans \mathcal{B}_t :

On en déduit l'expression de \vec{\Omega}(p/0) décomposé dans la base \mathcal{B}_t :

En effectuant le produit matriciel avec \mathbb{I}_p(G) exprimée dans la base \mathcal{B}_t, on obtient :

Système isolé : l'ensemble matériel constitué de la poignée et de la tige, noté \{p+t\}.

• Les éléments d'inertie de la tige étant négligeables (m_t \simeq 0, I_t \simeq 0), le centre d'inertie de l'ensemble coïncide avec le centre de masse G de la poignée p, et la masse totale est m_p.

• Les torseurs cinétique et dynamique de l'ensemble \{p+t\} par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_0 se réduisent à ceux de la poignée seule :

  \vec{P}(\{p+t\}/0) = m_p\,\vec{V}(G, p/0) \quad \text{et} \quad \vec{\sigma}(G, \{p+t\}/0) = \vec{\sigma}(G, p/0)

Bilan des actions mécaniques extérieures agissant sur \{p+t\} :

• Action de la plateforme a sur la tige t au point A :

  \{\mathcal{T}_{a \to t}\}_A = \begin{Bmatrix} \vec{F}_A \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_A \quad \implies \quad \vec{M}(G, a \to t) = \overrightarrow{GA} \wedge \vec{F}_A

• Action de la plateforme b sur la poignée p au point B :

  \{\mathcal{T}_{b \to p}\}_B = \begin{Bmatrix} \vec{F}_B \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_B \quad \implies \quad \vec{M}(G, b \to p) = \overrightarrow{GB} \wedge \vec{F}_B

• Action extérieure imposée à la poignée en G :

  \{\mathcal{T}_{\text{ext} \to p}\}_G = \begin{Bmatrix} \vec{F} \\ \vec{M} \end{Bmatrix}_G \quad \implies \quad \vec{M}(G, \text{ext} \to p) = \vec{M}

D'après les relations géométriques de position le long de l'axe (B,\vec{z}_t) :

Application du Principe Fondamental de la Dynamique dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0 :

• Théorème de la résultante dynamique :

  m_p \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{V}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}

  soit :

  \boxed{\vec{F} = m_p \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{V}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0} - \vec{F}_A - \vec{F}_B}

• Théorème du moment dynamique au point G : Puisque G est le centre d'inertie de l'ensemble, le moment dynamique en G est la dérivée temporelle du moment cinétique en G dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0 :

  \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\sigma}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0} = \vec{M} + \overrightarrow{GA} \wedge \vec{F}_A + \overrightarrow{GB} \wedge \vec{F}_B

  soit :

  \boxed{\vec{M} = \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\sigma}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0} - (H - \lambda)\,\vec{z}_t \wedge \vec{F}_A - H\,\vec{z}_t \wedge \vec{F}_B}

1. Translation selon +\vec{y}_0 (T_{y_0}) : Le mouvement est une translation pure de la poignée à la vitesse +V\vec{y}_0, ce qui implique \vec{\Omega}(p/0) = \vec{0} et \dot{\lambda} = 0. Tous les points de la tige et de la poignée ont la même vitesse linéaire :

On en déduit :

2. Translation selon +\vec{z}_0 (T_{z_0}) : De manière analogue, la poignée est en translation pure à la vitesse +V\vec{z}_0, sans rotation (\vec{\Omega}(p/0) = \vec{0}) ni élongation (\dot{\lambda} = 0) :

On a donc :

3. Rotation selon (G,\vec{x}_0) dans le sens direct (R_{x_0}) : Pour une rotation pure autour de (G,\vec{x}_0), on a \vec{\Omega}(p/0) = \Omega_x \vec{x}_0 avec \Omega_x > 0, et \vec{V}(G,p/0) = \vec{0}.

• La vitesse du point B vaut :

  \vec{V}(B,b/0) = \vec{V}(G,p/0) + \vec{\Omega}(p/0)\wedge\overrightarrow{GB} = \vec{0} + (\Omega_x\vec{x}_0)\wedge(H\vec{z}_0) = -\Omega_x H \vec{y}_0

  d'où un déplacement de la plateforme b selon -\vec{y}_0 : \dot{y}_B = -V.

• Sans glissement hélicoïdal (\dot{\lambda} = 0), l'ensemble \{t+p\} bascule autour de l'axe passant par G. Le point A, situé sous G (\overrightarrow{GA} = -(\lambda_0 - H)\vec{z}_0), a une vitesse :

  \vec{V}(A,a/0) = \vec{V}(G,p/0) + \vec{\Omega}(p/0)\wedge\overrightarrow{GA} = (\Omega_x\vec{x}_0)\wedge\bigl(-(\lambda_0 - H)\vec{z}_0\bigr) = \Omega_x(\lambda_0 - H)\vec{y}_0

  Comme \lambda_0 > H, ce déplacement s'effectue selon +\vec{y}_0 : \dot{y}_A = V.

Les autres composantes sont nulles : \dot{x}_A = \dot{z}_A = \dot{x}_B = \dot{z}_B = 0.

4. Rotation selon (G,\vec{z}_0) dans le sens direct (R_{z_0}) : On impose une rotation propre \vec{\Omega}(p/0) = \dot{\psi}\vec{z}_0 avec \dot{\psi} > 0, tout en maintenant le point G fixe : \vec{V}(G,p/0) = \vec{0}.

• Le point B étant situé sur l'axe (G,\vec{z}_0), on a \vec{\Omega}(p/0)\wedge\overrightarrow{GB} = \dot{\psi}\vec{z}_0 \wedge H\vec{z}_0 = \vec{0}, d'où \vec{V}(B,b/0) = \vec{V}(G,p/0) = \vec{0}. La plateforme b reste donc strictement immobile : \dot{x}_B = \dot{y}_B = \dot{z}_B = 0.

• La rotation relative \dot{\psi} > 0 dans la liaison hélicoïdale à pas à droite induit une élongation axiale :

  \dot{\lambda} = \dot{z}_B - \dot{z}_A = \frac{pas}{2\pi}\,\dot{\psi} > 0 \implies \dot{z}_A = -\dot{\lambda} < 0

  Pour obtenir cette rotation dans le sens direct sans déplacement de B, la plateforme a doit donc reculer vers le bas selon -\vec{z}_0, soit \dot{z}_A = -V.

Toutes les autres composantes sont nulles.

1. Simplification de la matrice d'inertie :

D'après la figure (5), la poignée p présente une géométrie de révolution autour de son axe matériel (G, \vec{z}_p) = (G, \vec{z}_t). Il en découle que :

• Tout plan contenant l'axe (G, \vec{z}_t) est un plan de symétrie matérielle, donc les axes (G, \vec{x}_p), (G, \vec{y}_p) et (G, \vec{z}_t) sont des axes principaux d'inertie. Par conséquent, les produits d'inertie s'annulent :

  D = E = F = 0

• En raison de la symétrie de révolution axiale, tout axe orthogonal à (G, \vec{z}_t) et passant par G est axe principal d'inertie avec le même moment principal :

  A = B

La matrice d'inertie exprimée dans la base \mathcal{B}_p = (\vec{x}_p, \vec{y}_p, \vec{z}_t) est diagonale :

Puisque la base \mathcal{B}_t = (\vec{x}_t, \vec{y}_t, \vec{z}_t) se déduit de la base \mathcal{B}_p par une rotation d'angle -\psi autour de \vec{z}_t et que les deux premiers moments principaux sont égaux (A = B), cette matrice est invariante par rotation d'axe \vec{z}_t. Elle s'écrit donc de façon identique dans la base \mathcal{B}_t :

2. Calcul du moment cinétique en G :

La plateforme a étant en translation pure par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_0 associé au bâti (\vec{\Omega}(a/0) = \vec{0}), la composition des vecteurs vitesse angulaire donne :

D'après la question Q14, l'expression de \vec{\Omega}_{t/a} projetée dans la base \mathcal{B}_t est :

On en déduit l'expression de \vec{\Omega}(p/0) dans la base \mathcal{B}_t :

Le point G étant le centre d'inertie de la poignée p, le moment cinétique \vec{\sigma}(G, p/0) s'obtient directement par :

En effectuant le produit matriciel dans la base \mathcal{B}_t, on obtient :

Système isolé : On isole le sous-ensemble constitué de la poignée et de la tige :

Puisque les grandeurs inertielles de la tige sont supposées négligeables (m_t \simeq 0, I_t \simeq 0), le centre d'inertie du système S est confondu avec celui de la poignée p, noté G, et sa masse totale est m_p.

Référentiel d'étude : Le référentiel \mathcal{R}_0 lié au bâti 0, supposé galiléen.

Actions mécaniques extérieures appliquées à S :

• Action de la plateforme a sur la tige t en A :

  \{\mathcal{T}_{a \to t}\}_A = \begin{Bmatrix} \vec{F}_A \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_A

• Action de la plateforme b sur la poignée p en B :

  \{\mathcal{T}_{b \to p}\}_B = \begin{Bmatrix} \vec{F}_B \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_B

• Action mécanique imposée sur la poignée p en G :

  \{\mathcal{T}_{\text{ext} \to p}\}_G = \begin{Bmatrix} \vec{F} \\ \vec{M} \end{Bmatrix}_G

Moments en G des actions extérieures : D'après les données géométriques, \overrightarrow{AB} = \lambda \vec{z}_t et \overrightarrow{BG} = -H \vec{z}_t. Les vecteurs positions s'écrivent :

En transportant les moments au point G :

Application du Principe Fondamental de la Dynamique :

1. Théorème de la résultante dynamique (TRD) :

   \vec{F} + \vec{F}_A + \vec{F}_B = m_p \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{V}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0}

   d'où :

   \boxed{\vec{F} = m_p \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{V}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0} - \vec{F}_A - \vec{F}_B}

2. Théorème du moment dynamique (TMD) en G : Puisque G est le centre d'inertie du système, le moment dynamique en G s'écrit \vec{\delta}(G, S/0) = \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\sigma}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0}. Ainsi :

   \vec{M} + (H - \lambda)\vec{z}_t \wedge \vec{F}_A + H\vec{z}_t \wedge \vec{F}_B = \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\sigma}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0}

   d'où :

   \boxed{\vec{M} = \left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\sigma}(G, p/0)}{\mathrm{d}t} \right]_{\mathcal{R}_0} - (H - \lambda)\vec{z}_t \wedge \vec{F}_A - H\vec{z}_t \wedge \vec{F}_B}