Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2024 (page 2/3 : Partie Sciences de l'Ingénieur (questions 1 à 10))

1. Orientation du plan (A_1A_2A_3) :

Les points A_i (i \in \{1,2,3\}) sont définis par :

Pour tout i, \vec{u}_i \cdot \vec{z}_0 = 0. Les points A_1, A_2 et A_3 appartiennent donc au plan (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0). Ainsi, le plan (A_1A_2A_3) est orthogonal au vecteur unitaire \vec{z}_0.

2. Justification de la base associée au solide 3 :

Pour chaque chaîne cinématique i \in \{1,2,3\} :

• Les points B'_i et B''_i sont portés par l'axe (B_i, \vec{v}_i) avec \overrightarrow{B'_iB''_i} = 2e\vec{v}_i.
• Les deux biellettes b'_i et b''_i ont même longueur : B'_iC'_i = B''_iC''_i = L_2.
• Les points de liaison sur la plateforme 3 vérifient C'_iC''_i = 2e = B'_iB''_i.

Le quadrilatère B'_iB''_iC''_iC'_i possède deux côtés opposés de même longueur 2e et deux côtés opposés de même longueur L_2 : c'est un parallélogramme articulé. Par conséquent, les vecteurs côtés sont égaux :

Comme \vec{v}_i = -\sin\alpha_i \vec{x}_0 + \cos\alpha_i \vec{y}_0 avec \alpha_i constant, le vecteur \vec{v}_i a une direction fixe dans le repère R_0.

Les segments [C'_1C''_1] et [C'_2C''_2] sont liés au solide indéformable 3. Leurs vecteurs directeurs respectifs \vec{v}_1 et \vec{v}_2 sont non colinéaires (puisque \alpha_1 \neq \alpha_2) et restent constamment fixes dans le repère R_0.

Un solide possédant au moins deux directions vectorielles distinctes et fixes dans un repère est dépourvu de toute rotation par rapport à ce repère :

Le solide 3 est donc en translation spatiale par rapport à la base 0. On peut par conséquent choisir la base vectorielle liée au solide 3 identique à celle de la base 0 :

3. Parallélisme des plans (C_1C_2C_3) et (A_1A_2A_3) :

Les points C_i sont définis par rapport au point C de la plateforme par :

On en déduit l'expression des vecteurs reliant les sommets du triangle (C_1C_2C_3) :

Comme \vec{u}_i \cdot \vec{z}_0 = 0 pour tout i, on a :

Le plan (C_1C_2C_3) a donc également pour vecteur normal le vecteur \vec{z}_0.

D'après la question précédente, le vecteur rotation instantané de la plateforme 3 par rapport à la base 0 est identiquement nul :

Par conséquent, la plateforme ne possède aucune possibilité de rotation par rapport à la base 0 : les trois degrés de liberté en rotation sont verrouillés (R_x = R_y = R_z = 0).

En revanche, le point de référence C peut occuper une position arbitraire (x, y, z) dans son espace de travail tridimensionnel grâce à l'actionnement indépendant des trois bras motorisés d'angles (\theta_1, \theta_2, \theta_3) :

• La plateforme 3 possède donc 3 degrés de liberté, correspondant aux trois translations indépendantes suivant les axes \vec{x}_0, \vec{y}_0 et \vec{z}_0 (notées T_x, T_y, T_z).
• Le mouvement de la plateforme 3 par rapport à la base 0 est un mouvement de translation spatiale (ou translation curviligne quelconque dans l'espace).

Exprimons la position des points B_i et C_i dans le repère \mathcal{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0) :

• Pour le point B_i situé sur le bras br_i :

  \overrightarrow{OB_i} = \overrightarrow{OA_i} + \overrightarrow{A_i B_i} = L_0 \vec{u}_i + L_1 \vec{x}_{1i}

  D'après la définition du repère \mathcal{R}_{1i}, la rotation d'angle \theta_i autour de l'axe \vec{y}_{1i} = \vec{v}_i donne :

  \vec{x}_{1i} = \cos\theta_i \vec{u}_i - \sin\theta_i \vec{z}_0

  D'où :

  \overrightarrow{OB_i} = (L_0 + L_1 \cos\theta_i)\vec{u}_i - L_1 \sin\theta_i \vec{z}_0

• Pour le point C_i lié à la plateforme 3 :

  \overrightarrow{OC_i} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{C_i C} = \overrightarrow{OC} + L_3 \vec{u}_i

Le vecteur reliant B_i à C_i s'écrit donc :

Posons pour simplifier K_i = L_0 - L_3 + L_1 \cos\theta_i. Sachant que \overrightarrow{OC} = x \vec{x}_0 + y \vec{y}_0 + z \vec{z}_0 et \vec{u}_i = \cos\alpha_i \vec{x}_0 + \sin\alpha_i \vec{y}_0, les composantes de \overrightarrow{B_i C_i} dans la base \mathcal{B}_0 sont :

La longueur du parallélogramme de biellettes étant constante et égale à L_2, on a \|\overrightarrow{B_i C_i}\|^2 = L_2^2, soit :

En développant :

Comme \cos^2\alpha_i + \sin^2\alpha_i = 1, il vient :

On obtient bien trois équations (pour i \in \{1, 2, 3\}) de la forme :

avec les expressions suivantes :

où l'expression de D_i résulte de l'identité :

D'après la question Q3, les coordonnées (x,y,z) du point C vérifient pour chacun des trois bras i \in \{1, 2, 3\} l'équation de sphère :

En effectuant la différence membre à membre entre l'équation relative au bras i et celle relative au bras j, le terme quadratique x^2 + y^2 + z^2 s'élimine identiquement :

En appliquant cette opération aux trois couples d'indices (i,j) \in \{(1,2),\, (2,3),\, (3,1)\}, on obtient bien le système linéaire (2) :

Remarque : l'énoncé comporte une coquille typographique sur la troisième ligne en notant D_{3,1}.z au lieu de C_{3,1}.z.

Par identification directe, les coefficients s'écrivent :

Rappelons les expressions obtenues à la question Q3 :

On en déduit les expressions demandées :

a) Annulation de x et y et nature du mouvement du point C

Lorsque \theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta, les termes définis à la question Q3 vérifient :

• K_i = L_0 - L_3 + L_1 \cos\theta = K = \text{Cste} pour tout i \in \{1, 2, 3\} ;
• C_i = 2 L_1 \sin\theta = C = \text{Cste} pour tout i, d'où C_{i,j} = C_i - C_j = 0 ;
• D_i = D(\theta) = \text{Cste} pour tout i, d'où D_{i,j} = D_i - D_j = 0.

Le système linéaire d'équations (2) se réduit alors à un système homogène en x et y :

Avec \alpha_1 = 0, \alpha_2 = \frac{2\pi}{3} et \alpha_3 = \frac{4\pi}{3}, calculons les coefficients :

Comme K = L_0 - L_3 + L_1 \cos\theta \neq 0 dans tout le domaine de fonctionnement normal, la seconde équation donne immédiatement :

En reportant dans la première équation :

Puisque x(t) = 0 et y(t) = 0 pour toute valeur de \theta, le vecteur position du point C s'écrit \overrightarrow{OC} = z(\theta) \vec{z}_0.

b) Coplanarité des points et forme du parallélogramme

Exprimons la position des différents points dans la base orthonormée locale (\vec{u}_i, \vec{v}_i, \vec{z}_0) associée au bras i :

• \overrightarrow{OO} = \vec{0} ;
• \overrightarrow{OA}_i = L_0 \vec{u}_i ;
• \overrightarrow{OB}_i = \overrightarrow{OA}_i + L_1 \vec{x}_{1i} = (L_0 + L_1 \cos\theta)\vec{u}_i - L_1 \sin\theta \, \vec{z}_0 ;
• \overrightarrow{OC} = z \vec{z}_0 ;
• \overrightarrow{OC}_i = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CC}_i = z \vec{z}_0 + L_3 \vec{u}_i.

Tous ces vecteurs ont une composante strictement nulle selon \vec{v}_i. Par conséquent :

Étudions la forme du parallélogramme formé par les biellettes :

• Les segments [B'_i B''_i] et [C'_i C''_i] sont portés par la direction \vec{v}_i, de longueur commune 2e.

• Le vecteur reliant leurs milieux respectifs B_i et C_i vaut :

  \overrightarrow{B_i C_i} = (L_3 - L_0 - L_1 \cos\theta)\vec{u}_i + (z + L_1 \sin\theta)\vec{z}_0

  Ce vecteur appartient au plan (O, \vec{u}_i, \vec{z}_0) et est donc orthogonal à \vec{v}_i :

  \overrightarrow{B_i C_i} \cdot \vec{v}_i = 0

Le segment reliant les milieux des côtés opposés [B'_i B''_i] et [C'_i C''_i] étant orthogonal à ces côtés, le parallélogramme possède des angles droits :

c) Invariances et éléments de symétrie

• Invariance par rotation : Les points d'ancrage A_i sont disposés régulièrement à 120^\circ les uns des autres sur le cercle de rayon L_0, et les trois chaînes cinématiques sont géométriquement identiques. Comme \theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta, le mécanisme est invariant par :

  \boxed{\text{une rotation d'axe } (O, \vec{z}_0) \text{ et d'angle } \frac{2\pi}{3} \pmod{\frac{2\pi}{3}}.}

• Plans de symétrie : Pour chaque chaîne i \in \{1, 2, 3\}, le plan (O, \vec{u}_i, \vec{z}_0) est un plan de symétrie du bras i (les rotules B'_i et B''_i sont symétriques par rapport à ce plan car \overrightarrow{B_i B''_i} = -\overrightarrow{B_i B'_i} = e\vec{v}_i). De plus, la réflexion par rapport à ce plan échange les deux autres chaînes cinématiques (par exemple pour i=1, la réflexion par rapport à (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) transforme \alpha_2 = 2\pi/3 en \alpha_3 = 4\pi/3 \equiv -2\pi/3). Comme \theta_2 = \theta_3 = \theta, le robot Delta possède :

  \boxed{\text{trois plans de symétrie verticaux : les plans } (O, \vec{u}_i, \vec{z}_0) \text{ pour } i \in \{1, 2, 3\}.}

D'après l'équation (1) établie à la question 3, appliquée à la configuration symétrique où x = y = 0 et \theta_i = \theta :

avec C_i = 2L_1\sin\theta et D_i = L_2^2 - L_1^2 - (L_0 - L_3)^2 - 2(L_0 - L_3)L_1\cos\theta.

Cette relation s'écrit sous forme canonique :

La plateforme 3 étant située au-dessus de la base le long de l'axe (O, \vec{z}_0) (les bras pointant vers le haut, z > 0), la racine physique correspond au signe positif :

Le débattement angulaire des bras est limité à \pm 60^\circ, soit \theta \in [-\pi/3, +\pi/3]. Sur cet intervalle, la fonction \theta \mapsto -\sin\theta est strictement décroissante, et le terme sous le radical :

prend la même valeur aux deux bornes symétriques \theta = \pm \pi/3 puisque \cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2.

La fonction z(\theta) est strictement décroissante sur [-\pi/3, +\pi/3], de sorte que :

soit explicitement, avec \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 et \cos(\pi/3) = 1/2 :

Le débattement linéaire \Delta z selon \vec{z}_0 s'obtient par différence des deux expressions, le terme sous radical s'éliminant :

Application numérique : Avec L_1 = 200\text{ mm} et \sqrt{3} \simeq 1{,}73 :

En respectant la règle des deux chiffres significatifs :

Commentaire : Le cahier des charges stipule un espace de travail en translation de dimensions 200 \times 200 \times 200\text{ mm}. La course axiale disponible sur l'axe central est \Delta z \simeq 346\text{ mm} > 200\text{ mm}. Ce résultat montre que le dimensionnement cinématique des bras permet largement de couvrir la hauteur requise de 200\text{ mm} le long de l'axe vertical, laissant une marge nécessaire pour assurer l'espace de travail tridimensionnel lorsque x \neq 0 et y \neq 0.

1. Symétries particulières du robot Delta

Les angles d'implantation des trois bras sur la base valent :

Les directions radiales associées sont :

Sous la réflexion orthogonale par rapport au plan vertical \Pi = (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) :

• \vec{x}_0 \mapsto \vec{x}_0, \vec{y}_0 \mapsto -\vec{y}_0, \vec{z}_0 \mapsto \vec{z}_0 ;
• \vec{u}_1 \mapsto \vec{u}_1 et \vec{v}_1 \mapsto -\vec{v}_1 ;
• \vec{u}_2 \leftrightarrow \vec{u}_3 et \vec{v}_2 \leftrightarrow -\vec{v}_3.

Comme \theta_2 = \theta_3 = \theta, les bras br_2 et br_3 ainsi que leurs parallélogrammes de biellettes respectifs se déduisent l'un de l'autre par cette réflexion. De plus, le bras br_1 et ses biellettes associées sont disposés symétriquement de part et d'autre de \Pi.

Le robot Delta présente donc un plan de symétrie matériel et cinématique unique :

2. Vérification analytique à partir des relations (2)

D'après les résultats de la question 4, la deuxième équation du système (2) s'écrit :

avec, pour \theta_2 = \theta_3 = \theta :

Pour les dimensions du mécanisme (L_0 - L_3 = -20\text{ mm}, L_1 = 200\text{ mm} et \theta \in [-60^\circ, +60^\circ]), on a L_0 - L_3 + L_1\cos\theta \ge 80\text{ mm} \neq 0, donc B_{2,3} \neq 0. L'équation impose immédiatement :

3. Mouvement obtenu

Le point C reste confiné à tout instant dans le plan (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) : il dispose de 2 degrés de liberté de position (x et z), pilotés par les deux variables indépendantes \theta_1 et \theta.

Comme la plateforme 3 est astreinte à une translation spatiale par rapport au bâti 0 (\vec{\Omega}(3/0) = \vec{0}, d'après la question 1), son mouvement se réduit ici à :

Analysons les courbes de la figure 3 pour chaque intervalle de temps :

• Premier intervalle T_1 = [1\text{ s}, 80\text{ s}] : On constate que les évolutions temporelles des trois angles sont strictement identiques :

  \theta_1(t) = \theta_2(t) = \theta_3(t)

  D'après le résultat de la question 5-a, cette configuration correspond à x(t) = 0 et y(t) = 0, soit un mouvement purement vertical. Cet intervalle correspond donc au déplacement selon \vec{z}_0.

• Deuxième intervalle T_2 = [81\text{ s}, 160\text{ s}] : Les angles des bras 2 et 3 sont strictement égaux à chaque instant (\theta_2(t) = \theta_3(t)), tandis que l'angle du bras 1 a une évolution différente (de plus forte amplitude). D'après la question 7, l'égalité \theta_2 = \theta_3 traduit l'invariance par rapport au plan de symétrie (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0), ce qui impose y(t) = 0. Comme z = z_0 est maintenu constant, seul x(t) varie. Cet intervalle correspond donc au déplacement selon \vec{x}_0.
• Troisième intervalle T_3 = [161\text{ s}, 240\text{ s}] : Les angles \theta_2(t) et \theta_3(t) ne sont plus égaux : lorsque l'un présente un maximum, l'autre présente un minimum, ce qui reflète l'antisymétrie par rapport au plan (O, \vec{x}_0, \vec{z}_0) lors d'une translation selon \vec{y}_0 (\theta_2(y) = \theta_3(-y)). Cet intervalle correspond donc au déplacement selon \vec{y}_0.

L'ordre des mouvements imposés est par conséquent :

Isolons la biellette b'_i dans le référentiel galiléen R_0 associé à la base 0.

Bilan des actions mécaniques extérieures :

• L'action du bras br_i sur b'_i, modélisée par une liaison rotule de centre B'_i :

  \{\mathcal{T}_{br_i \to b'_i}\} = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{B'_i} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_{B'_i}

• L'action de la plateforme 3 sur b'_i, modélisée par une liaison rotule de centre C'_i :

  \{\mathcal{T}_{3 \to b'_i}\} = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{C'_i} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_{C'_i}
• L'action de la pesanteur est négligée.

Application du principe fondamental de la dynamique : Les quantités inertielles de la biellette étant négligées (solide sans masse), son torseur dynamique est nul :

Le PFD se réduit donc aux équations d'équilibre du principe fondamental de la statique (PFS) :

Détermination de la direction des résultantes :

• Le théorème du moment dynamique (ou statique) appliqué en B'_i donne :

  \vec{M}_{B'_i}(\text{ext} \to b'_i) = \vec{0} \implies \vec{0} + \overrightarrow{B'_i C'_i} \wedge \vec{R}_{C'_i} = \vec{0}

  Puisque B'_i \neq C'_i, la résultante \vec{R}_{C'_i} est colinéaire au vecteur \overrightarrow{B'_i C'_i}.

• Le théorème de la résultante dynamique (ou statique) donne :

  \vec{R}_{B'_i} + \vec{R}_{C'_i} = \vec{0} \implies \vec{R}_{B'_i} = -\vec{R}_{C'_i}

Les deux forces sont directement opposées et dirigées selon la droite joignant les deux centres d'articulation. Sachant que le quadrilatère B'_i B''_i C''_i C'_i est un parallélogramme, on a \overrightarrow{B'_i C'_i} = \overrightarrow{B_i C_i} = L_2 \vec{z}_{2i}.

1. Isolement de la plateforme 3 (3 équations scalaires)

• Système isolé : la plateforme 3, de masse m.
• Référentiel : R_0(O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), supposé galiléen.

• Mouvement : la plateforme est en translation spatiale pure par rapport à R_0, donc l'accélération de tous ses points est identique :

  \vec{a}(C/R_0) = \ddot{x} \vec{x}_0 + \ddot{y} \vec{y}_0 + \ddot{z} \vec{z}_0

• Bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à 3 :

  • Action extérieure appliquée en A : résultante \vec{F} = F_x \vec{x}_0 + F_y \vec{y}_0 + F_z \vec{z}_0.

  • Actions des trois paires de biellettes (b'_i, b''_i) pour i \in \{1, 2, 3\}. D'après le résultat de la question 9, chaque biellette exerce un effort purement axial le long de \vec{z}_{2i}. L'effort total exercé par la paire de biellettes du bras i s'écrit :

    \vec{R}_{b_i \to 3} = \vec{R}_{b'_i \to 3} + \vec{R}_{b''_i \to 3} = N_i \vec{z}_{2i}

    où N_i représente l'effort normal global de traction-compression transmis par les deux biellettes.

  • La pesanteur est négligée.

• Théorème utilisé : Théorème de la résultante dynamique (TRD) :

  m \vec{a}(C/R_0) = \vec{F} + \sum_{i=1}^3 \vec{R}_{b_i \to 3} = \vec{F} + \sum_{i=1}^3 N_i \vec{z}_{2i}

  En projetant cette égalité vectorielle sur la base (\vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), on obtient les trois premières équations scalaires :

  m\ddot{x} = F_x + \sum_{i=1}^3 N_i (\vec{z}_{2i} \cdot \vec{x}_0) \tag{1}
  m\ddot{y} = F_y + \sum_{i=1}^3 N_i (\vec{z}_{2i} \cdot \vec{y}_0) \tag{2}
  m\ddot{z} = F_z + \sum_{i=1}^3 N_i (\vec{z}_{2i} \cdot \vec{z}_0) \tag{3}

2. Isolement de chaque ensemble \{bras_i + moteur_i\} (3 équations scalaires)

• Systèmes isolés : les ensembles \{bras_i + moteur_i\} pour i \in \{1, 2, 3\}, de moment d'inertie J_i selon l'axe de rotation.
• Mouvement : rotation d'axe fixe (A_i, \vec{v}_i), de vitesse de rotation \dot{\theta}_i \vec{v}_i et d'accélération angulaire \ddot{\theta}_i \vec{v}_i.

• Bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à \{bras_i + moteur_i\} :

  • Couple moteur exercé par l'actionneur : \vec{C}_{mi} = C_{mi} \vec{v}_i.
  • Action de la liaison pivot d'axe (A_i, \vec{v}_i) avec le bâti 0, supposée sans frottement : son moment en A_i a une projection nulle sur \vec{v}_i.

  • Action des deux biellettes (b'_i, b''_i) en B'_i et B''_i. En vertu du principe des actions réciproques, la résultante totale exercée par les biellettes sur le bras vaut :

    \vec{R}_{b_i \to br_i} = - \vec{R}_{b_i \to 3} = - N_i \vec{z}_{2i}

    Cette résultante s'applique au point milieu B_i, avec \overrightarrow{A_i B_i} = L_1 \vec{x}_{1i}.

  • La pesanteur et l'inertie des biellettes sont négligées.

• Théorème utilisé : Théorème du moment dynamique (TMD) en A_i en projection sur l'axe de rotation \vec{v}_i :

  \vec{\delta}(A_i, \{br_i\}/R_0) \cdot \vec{v}_i = \vec{M}_{A_i}(\text{actions extérieures}) \cdot \vec{v}_i

  Le moment dynamique selon l'axe fixe étant \vec{\delta}(A_i, \{br_i\}/R_0) \cdot \vec{v}_i = J_i \ddot{\theta}_i, on obtient, pour chacun des trois bras i \in \{1, 2, 3\} :

  J_i \ddot{\theta}_i = C_{mi} + \left( \overrightarrow{A_i B_i} \wedge (- N_i \vec{z}_{2i}) \right) \cdot \vec{v}_i \quad (i \in \{1, 2, 3\}) \tag{4}

Les 6 équations scalaires recherchées reliant (F_x, F_y, F_z) et (C_{m1}, C_{m2}, C_{m3}) aux coordonnées x, y, z, \theta_i et à leurs dérivées temporelles sont donc :

D'après l'énoncé, le mécanisme complet est modélisé à l'aide de cinq solides :

• le bâti noté 0 (référentiel galiléen R_0) ;
• les deux plateformes a et b des robots Delta ;
• la tige t ;
• la poignée p.

Les liaisons entre ces solides sont les suivantes :

• Liaison entre le bâti 0 et la plateforme a : liaison translation spatiale (3 translations indépendantes selon \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), résultat du guidage parallèle du robot Delta a ;
• Liaison entre le bâti 0 et la plateforme b : liaison translation spatiale (3 translations indépendantes selon \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), résultat du guidage parallèle du robot Delta b ;
• Liaison entre la plateforme a et la tige t : liaison Cardan (ou sphérique à doigt) de centre A, de degrés de liberté les deux rotations d'angles \varphi (autour de \vec{z}_0) et \theta (autour de \vec{y}_t) ;
• Liaison entre la tige t et la poignée p : liaison hélicoïdale d'axe (AB) = (B, \vec{z}_t) et de pas à droite pas ;
• Liaison entre la poignée p et la plateforme b : liaison rotule (sphérique) de centre B.

On en déduit le graphe des liaisons ci-dessous :

D'après la figure 5 et les données de l'énoncé, la liaison entre la plateforme a et la tige t est réalisée par un assemblage en série faisant intervenir une pièce intermédiaire, le « cardan extérieur » (noté ce), et le « cardan intérieur » solidaire de la tige t :

1. Liaison entre la plateforme a et le cardan extérieur ce :
   Deux roulements à billes espacés guident le cardan extérieur par rapport à la plateforme a. Chaque roulement modélise au premier ordre une liaison rotule ; l'association de ces deux rotules d'axes confondus, avec arrêt axial, élimine tous les degrés de liberté en translation ainsi que les deux rotations hors axe. Elle constitue une liaison pivot de centre A et d'axe horizontal (noté \vec{\Delta}_1), contenu dans le plan de la plateforme a (orthogonal à \vec{z}_0).
2. Liaison entre le cardan extérieur ce et la tige t :
   De même, le cardan intérieur (solidaire de la tige t) est guidé en rotation par rapport au cardan extérieur par une seconde paire de roulements à billes. Cela constitue une deuxième liaison pivot d'axe (noté \vec{\Delta}_2) perpendiculaire à \vec{\Delta}_1 et sécant avec lui au point A.

Le système mécanique forme une chaîne cinématique ouverte en série de deux liaisons pivot concourantes en A :

Puisque les deux axes de rotation concourent au point A, la vitesse de ce point est nulle dans les deux mouvements relatifs :

Il n'y a donc aucun degré de liberté en translation.

Concernant les rotations, le vecteur vitesse angulaire résultant s'écrit :

Comme les axes \vec{\Delta}_1 et \vec{\Delta}_2 sont orthogonaux et concourants en A, la tige possède deux degrés de liberté en rotation indépendants autour de ces deux axes. En revanche, la rotation autour de la normale au plan (\vec{\Delta}_1, \vec{\Delta}_2), qui correspond à la rotation propre de la tige autour de son axe longitudinal \vec{z}_t, est bloquée.

Cette association cinématique équivaut à un joint de Cardan (ou liaison sphérique à doigt / rotule à doigt de centre A), ce qui correspond exactement à la modélisation adoptée sur le schéma cinématique de la figure 4.