Propagation d’ondes dans des milieux non homogènes et simulateur de conduite de moto
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Le sujet associe la propagation d’ondes électromagnétiques lumineuses dans des milieux non homogènes (fibre optique à profil parabolique, milieu stratifié, analogie avec la mécanique quantique semi-classique) à l’étude d’un simulateur de conduite de moto à plateforme mobile. La seconde partie porte sur les modèles géométrique et cinématique inverses du simulateur, puis sur la commande destinée à restituer les sensations d’accélération au conducteur.
1I. Propagation dans les milieux non homogènesOn étudie la légitimité de négliger la dispersion spatiale dans l’équation de propagation, dans le cas d’une fibre optique à profil parabolique d’indice (analogie avec l’oscillateur harmonique quantique) puis d’un milieu stratifié en mode TE, avant une analogie avec l’approximation semi-classique en mécanique quantique.
2II. Simulateur de conduite de véhicule à deux rouesOn détermine les courses des vérins d’une plateforme mobile puis son modèle cinématique inverse, avant d’étudier la commande qui transforme l’accélération du véhicule simulé en mouvement de la plateforme tout en respectant les contraintes de perception.
Difficulté moyenne. La moyenne de l’épreuve s’établit à 9,33/20 avec un écart-type de 3,87, et la répartition des notes est proche d’une loi gaussienne ; le rapport note que les questions nécessitant un esprit d’analyse ont été significativement moins abordées et moins bien traitées que les questions calculatoires.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Applications numériques sans unité · Longueurs d’onde du visible mal connues · Question 7 très peu abordée
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Les deux parties du sujet ont été abordées de manière équilibrée, mais les questions nécessitant un esprit d’analyse ont été significativement moins abordées que les questions calculatoires, ce qui est jugé regrettable pour de futurs ingénieurs. Les taux de réussite montrent une baisse de la qualité de rédaction, alors que la majorité des questions demandait de la réflexion pour être traitées complètement.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Applications numériques sans unité
Des applications numériques simples ont fait perdre des points à une bonne partie des candidats faute d’indiquer l’unité du résultat.
« des applications numériques fort simples ont fait perdre des po ints à une bonne partie des candidats. »
2
Longueurs d’onde du visible mal connuesQ10
Le jury s’étonne que des candidats de deuxième année de CPGE ne connaissent pas les longueurs d’onde du domaine visible.
« il a été surprenant de constater que certains candidats en 2 ème année de CPGE ne connaissaient pas les longueurs d’onde du domaine visible. »
3
Question 7 très peu abordéeQ7
Cette question demandait de manier les coordonnées cylindriques pour montrer que le terme de dispersion spatiale était négligeable dans le mode fondamental de la fibre.
« La question 7 a été très peu abordée et encore moins bien réuss ie »
4
Absence de schéma sur la course des vérinsQ17
Le faible taux de réussite à la question 17 s’explique par l’absence de schéma, certains candidats obtenant sans s’en étonner des courses de vérin totalement irréalistes.
« Certains candidats n’ont eu aucun problème à encadrer sur leurs copie s des courses de vérin de 200 m pour un simulateur de moto. »
5
Analyse dimensionnelle prise pour une démonstration
Le rapport relève, parmi les manques de rigueur, l’idée qu’une simple analyse dimensionnelle suffit à justifier une relation physique.
« Une analyse dimensionnelle justifie une relation physique. »
Ce qui a été bien réussi
Les trois premières questions de la partie I.1 ont été globalement bien traitées, avec une bonne analyse du champ électrique à énergie finie.
Les questions 8 et 9, dont l’une de cours, n’ont pas posé de problème particulier aux candidats appliquant un minimum de rigueur.
Les questions 18 à 22, portant sur le modèle cinématique inverse du simulateur, ont conduit à l’équation attendue lorsqu’elles étaient traitées rigoureusement.
Conseils du jury
Soigner la qualité de la rédaction : précision, concision et propreté sont valorisées davantage que la seule énonciation du résultat.
Toujours accompagner une valeur numérique de son unité.
Faire des schémas avant de se lancer dans les calculs, en particulier pour les questions de cinématique.
Vérifier que la réponse donnée correspond bien à l’intitulé exact de la question posée.
Ne pas confondre unités et dimensions des grandeurs physiques.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR - (X)
(Durée : 4 heures)
Les calculatrices ne sont pas autorisées pour cette épreuve.
Les deux parties de l'épreuve sont indépendantes et elles-même composées de parties largement indépendantes; on les traitera dans l'ordre de son choix. Il n'est pas demandé de démontrer les relations données dans l'énoncé.
1 Partie I : Propagation dans les milieux non homogènes
Préambule Cette partie concerne la propagation d'ondes électromagnétiques lumineuses dans des milieux non chargés d'indice n = n(x, y, z) non uniforme spatialement. On admettra dans ce cas la relation div(n^2 E⃗) = 0 = n^2 divE⃗ + E⃗ ⋅ grad ^(→−)(n^2); cette relation montre que, en raison du terme dit de dispersion spatiale (en bleu) div E⃗ n'est pas, en général, nul. En régime harmonique de pulsation ω, la dépendance temporelle du champ électrique E⃗ est en exp(− iωt). L'équation de propagation du champ E⃗ d'une onde électromagnétique monochromatique prend alors l'une ou l'autre des formes équivalentes (les termes de dispersion spatiale sont sur l'accolade, en bleu)
Une pratique courante est cependant de poser que l'équation de propagation de E⃗ se déduit en force brute de l'équation de propagation dans un milieu homogène - équation de Helmholtz -, en y remplaçant l'indice constant par l'indice variable n(x, y, z) et en ignorant les termes de dispersion spatiale. On établit alors l'équation de propagation, définissant k_0 = ω/c = (2π)/λ,
△E⃗ + n^2(ω^2)/(c^2)E⃗ = △E⃗ + n^2 k_0^2 E⃗ = 0→
où c est la célérité de l'onde. On peut se demander si cette manière de faire est légitime. Tel n'est pas toujours le cas. Les deux cas traités ci-après sont cependant des exemples de réponse positive à cette question.
1.1 Fibre optique à profil parabolique d'indice et oscillateur quantique
Une onde électromagnétique monochromatique se propage dans une fibre optique modélisée par un cylindre de rayon R, illimité dans la direction z et à l'intérieur duquel le profil radial d'indice est
n^2(r) = n_0^2(1 − (x^2 + y^2)/(a^2)), avec a≫R R≳λ et λ≪2πn_0 a.
Ci-dessus, a est une longueur qui définit la largeur du profil d'indice selon une section droite du cylindre; cet indice varie donc peu sur une distance de l'ordre quelques longueurs d'onde : l'inégalité de la relation (4) signifie en effet Rayon du cylindre ≈ λ≪ (un nombre de l'ordre de 10-20) × échelle de variation spatiale de l'indice. Dans la suite, on ne se préoccupera pas de conditions aux limites et l'on se restreindra à la forme suivante du champ E⃗, où la constante de propagation κ est réelle et strictement positive et y^ est le vecteur unitaire selon la direction y du repère de référence :
E⃗ = E(x, y)y^e xp[j(κz − ωt)]
On néglige provisoirement le terme de dispersion spatiale et l'on accepte l'équation de propagation
Établir l'équation (scalaire) de propagation de E(x, y); posant q_0 = n_0 k_0 puis μ = (q_0^2 − κ^2)/(q_0)a, exprimer cette équation en termes des variables réduites (ξ, η) = ((q_0)/a)^(1/2)(x, y).
L'équation de propagation du champ ressemble à l'équation de Schrödinger stationnaire d'un oscillateur harmonique 2D, de masse m et d'énergie propre E_N
On admet que E_N = (N + 1)ℏω, où N ∈ ℕ. L'énergie de l'état de plus basse énergie est ainsi E_0 = ℏω; il lui correspond la fonction d'onde normalisée ψ_0 = ((mω)/(πℏ))^(1/2)exp[ − (mω)/(2ℏ)(x^2 + y^2)].
2. Vérifier la dimension de √((mω)/ℏ) puis exprimer l'équation (7) en termes des variables réduites (u, v) = √((mω)/ℏ)(x, y).
3. On impose à la solution de l'équation (6) la condition ∬_(ℝ^2)‖E⃗‖^2 dx dy = V^2, où V est un réel positif, dont on donnera l'unité. Quel est le sens physique de cette normalisation?
4. Quelles sont les valeurs possibles de μ = (q_0^2 − κ^2)/(q_0)a, introduit à la question 1 ? Montrer que le mode fondamental de propagation est gaussien, avec μ = μ_(min) = 2.
5. Montrer que, pour une valeur donnée de μ, seuls les modes de pulsation supérieure à une certaine pulsation critique ω_c pourront se propager. Quelle valeur de μ peut-on choisir pour la longueur d'onde λ_c = 0, 6 × 10^(− 6) m, lorsque n_0 = 3 et a = 5 × 10^(− 6) m(c = 3 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)) ?
6. On considère les modes d'ordre peu élevé ( μ de l'ordre de quelques unités) et une longueur d'onde de l'ordre de 0, 6 × 10^(− 6) m. Par définitions, la vitesse de phase de l'onde est v_φ = ω/κ et la vitesse de groupe v_g = (dω)/(dκ). Montrer que v_φ > c/(n_0) et que v_g ne dépend pas de μ.
7. A-t-il été-il légitime de négliger dans l'équation de propagation le terme de dispersion spatiale grad ^(→−)[E⃗ ⋅ grad ^(→−)ln(n^2)] devant le terme de dispersion temporelle n^2(ω^2)/(c^2)E⃗ ? On pourra utiliser les coordonnées cylindriques et la relation grad^(→−)f = (∂f)/(∂r)r^ + 1/r(∂f)/(∂θ)θ^ + (∂f)/(∂z)z^, (y^ = r^s inθ + θ^c osθ).
1.2 Mode TE dans un milieu stratifié
Dans un milieu stratifié l'indice optique n varie selon une direction notée z, portant le vecteur unitaire z^. On note ( xz ) le plan de propagation (voir Figure 1) et l'on convient que les diverses
Figure 1 - Propagation dans un milieu stratifié, où l'indice varie selon la direction z.
grandeurs associées à l'onde, représentées de manière complexe, ne dépendent pas de y; par suite de l'homogénéité de l'espace selon x, elles varient comme exp(iκx), où κ est la constante de propagation, réelle et strictement positive. Pour le reste, nous reprenons les considérations et les notations du préambule.
Dans le mode Transverse Électrique (TE) E⃗ est dirigé selon y; ses composantes sont notées
E_x = E_z = 0, E_y = E(z)exp[i(κx − ωt)]
de sorte que l'équation de propagation (3) se ramène à l'équation scalaire, définissant k_z
On introduit alors, formellement, d'une part le vecteur d'onde local, k⃗(z) = [κ, 0, k_z(z)], avec k^2(z) = n^2(ω^2)/(c^2) = κ^2 + k_z^2(z), d'autre part la longueur d'onde locale, λ(z) = (2π)/(k_z(z)).
8. Montrer que, dans un mode TE, B⃗ est entièrement contenu dans le plan de propagation ( xz ).
9. La relation E(z) = A(z)exp[ik_0 S(z)] exprime l'inconnue E en termes du couple, non unique, des fonctions réelles A et S. Que devient l'équation (9), en termes du couple ( A, S ) ? On ordonnera le résultat selon les puissances décroissantes de k_0. Ce sera l'équation [B].
10. Estimer la valeur de k_0 dans le domaine optique. Dans quel sens peut-on dire que « k_0 est grand » ? Une manière approchée de résoudre [B] est de supposer que aucun des coefficients de k_0 n'est exceptionnellement grand et d'en annuler séparément chaque terme, à commencer par le terme de plus haut degré en k_0. Quelle équation obtient-on? Donner alors la relation entre n(z) et (dS)/(dz), ce dernier étant choisi positif.
11. Comment se simplifient les résultats ci-dessus lorsque n est constant? Vérifier que l'on retrouve les résultats habituels.
L'approximation de l'optique géométrique, étudiée ici, pose que le couple ( A, S ) effectif est celui où les variations de A sont petites à l'échelle de λ_0 = (2π)/(k_0) et négligeables devant celles de S.
12. Montrer alors que, dans un voisinage de quelques λ_0 autour d'un point P ( x_p, z_p ) où l'indice est n(x_p, z_p) = n_p, c'est-à-dire pour x = x_p + χ et z = z_p + ξ avec ξ de l'ordre de λ_0, l'onde est localement plane et progressive : toute composante X d'un vecteur du champ s'exprime sous la forme X(x, z, t) ≃ X_0(x_p, z_p)exp[i(k_0 n_p ξ + κχ − ωt)].
13. Préciser le lien entre les vecteurs E⃗, B⃗ et K⃗ de composantes [κ, 0, k_0 n_p].
1.3 L'approximation semi classique en mécanique quantique; une analogie
Les fonctions d'onde ψ des états stationnaires d'une particule de masse m et d'énergie E dans le «potentiel» unidimensionnel U(x) sont solutions de l'équation de Schrödinger
− (ℏ^2)/(2m)(d^2 ψ)/(dx^2) + U(x)ψ(x) = Eψ(x)
Dans les régions dites quasi classiques, U(x) ≤ E; l'impulsion classique de la particule étant p^2(x) = 2m[E − U(x)], on définit, par analogie avec la relation de de Broglie, la longueur d'onde locale par λ(x) = h/(p(x)) = (2π)/(k(x)) (ℏ = h/(2π)) et l'équation (10) se réécrit
(d^2 ψ)/(dx^2) + k^2(x)ψ(x) = 0.
L'optique géométrique se déduit de l'optique ondulatoire en considérant la limite λ → 0; de la même manière, le régime quantique semi-classique est la solution limite de (10) lorsque, par la pensée, on considère la limite ℏ → 0. On pose alors ψ(x) = exp[i/ℏ(σ_0(x) + ℏ/iσ_1(x))], où σ_0 et σ_1 ∈ ℝ.
14. L'approximation d'ordre zéro consiste à ne garder que σ_0 dans l'expression de ψ; déterminer la solution de l'équation (10) à l'ordre 0 . Vérifier que, si p est constant ( p = p_0 > 0 ), alors ψ(x) ∝ exp(± 2iπ(p_0 x)/h) (on ne se préoccupera pas de normalisation).
15. Établir que, C_+et C_−étant des constantes complexes dont on ne se préoccupera pas, la solution d'ordre 1 est
Il ressort de (12) que |ψ(x)|^2 ∝ 1/(|p(x)|). Ce résultat est-il cohérent avec ce que, intuitivement, l'on peut dire de l'occupation de l'espace par l'oscillateur harmonique classique 1D?
2 Partie II : Simulateur de conduite de véhicule à deux roues
Introduction aux simulateurs de conduite Les simulateurs de conduite à base mobile pour véhicules à deux roues fournissent des indices de mouvement en cohérence avec les mouvements réels du véhicule. Ils sont souvent constitués d'un bâti fixe et d'une partie mobile comprenant le châssis de la moto et des chaînes cinématiques mues par des actionneurs. Leur but est de restituer les mouvements transitoires, d'incliner la plateforme pour les mouvements lents et, lorsque la vitesse du véhicule virtuel est constante, de retourner à une position calibrée, dite position neutre. Les limitations de ces dispositifs sont partiellement compensées au moyen d'algorithmes qui réalisent des compromis entre fidélité de restitution du mouvement et limites physiques de la plateforme. La plateforme à structure parallèle étudiée ici est représentée dans les Figures 2, 3 et 4^1.
Figure 2 - Moto et plate forme. La rotation d'angle ψ autour de Z, dite de lacet, détermine la trajectoire; la rotation d'angle φ autour de X, dite de roulis, définit l'inclinaison de la caisse lors d'un virage; la rotation d'angle θ autour de Y(θ_(max) ≈ 10^∘) décrit le tangage, rencontré notamment dans les phases d'accélération et de freinage. Le triplet ( φ, θ, ψ ) est un exemple d'angles d'Euler.
Figure 3 - Arrière de la plate forme : pour avoir une hauteur réglable, le châssis de la moto est lié à la glissière via une barre métallique rigide et une liaison rotule fixée à cette dernière. La translation de la glissière crée le mouvement de lacet et reproduit l'effet d'un dérapage de la roue arrière.
Une glissière de type chariot mobile est fixée à l'arrière, sur la structure verticale du bâti (Figure 3).
La Fig. 4 montre comment on impose un déplacement symétrique des deux pivots mobiles liant les deux vérins au bâti (points B_1 et B_2 de la Fig. 5). Les notations étant celles de la Fig. 5, les
Figure 4 - À gauche : vérins de tangage et de roulis. À droite: fixation et liaisons.
Figure 5 - Description cinématique. Les points P_1, P_2 et P_3 sont respectivement les points d'attaches supérieurs des deux vérins avant et de la glissière arrière (non représentée dans la Figure) avec la plateforme. Les points B_1, B_2 et B_3 sont les points d'attaches correspondants avec le bâti.
distances O_m P_1 = O_m P_2 = ℓ sont constantes, alors que B_1 O = B_2 O = d(t), où d(t), représenté à gauche dans la Fig. 5, est variable; par exemple, le cartouche en haut à droite de cette figure montre que, pour un roulis pur d'angle φ, d = ℓcosφ. Le déplacement des points B permet de conserver approximativement le parallélisme des deux vérins. Les angle φ et θ sont indépendants; par contraste, l'angle de lacet ψ génère un tangage et un roulis résiduels, car la plateforme ne possède pas d'axe de rotation propre autour d'un axe porté par k⃗. Pour des raisons de coût, les déplacements longitudinal et latéral sont ignorés, seule la grandeur articulaire verticale h_3(t) est variable.
Définitions et modèle Outre les mouvements de translation selon trois axes orthogonaux, le véhicule est soumis aux trois rotations décrites Figure 2. Un espace articulaire est un espace qui
a pour référence le repère lié à chaque articulation motorisée. Les coordonnées associées sont les coordonnées articulaires. L'espace opérationnel a pour référence le repère lié à l'organe terminal de la plateforme. Nous nous intéresserons successivement aux
modèle géométrique, reliant les coordonnées articulaires et opérationnelles,
modèle cinématique, reliant les vitesses articulaires et opérationnelles
et à une esquisse de description de la commande de la plate forme.
La géométrie inverse définit les coordonnées articulaires des différents actionneurs en fonction des coordonnées et de l'orientation de la plateforme. On introduit pour ce but un repère R(O, ı⃗, ȷ⃗, k⃗) lié au bâti et un repère mobile R_m(O_m, ı⃗_m, ȷ⃗_m, k⃗_m) lié à la moto de la manière suivante (Figure 6) :
La rotation de lacet (ψ) autour de k⃗ donne le repère R_1(O, ı_1→, ȷ_1→, k_1^(→−)), avec k_1^(→−) = k⃗.
La rotation de tangage ( θ ) autour de ȷ⃗_1 donne le repère R_2(O, ı⃗_2, ȷ⃗_2, k⃗_2), avec ȷ⃗_2 = ȷ⃗_1.
La rotation de roulis ( φ ) autour de ı_2→ donne le repère R_m(Om, ı⃗_m, ȷ⃗_m, k⃗_m), avec ı⃗_m = ı⃗_2.
Figure 6 - Repères pour lacet, tangage et roulis. Les axes de rotation sont représentés en rouge. Les rotations font passer des «vecteurs noirs» aux «vecteurs bleus».
Dans le repère mobile R_m, les coordonnées des divers points P sont définies par
La matrice de rotation définissant l'orientation du repère mobile R_m par rapport au repère fixe R est notée R˜ = (r~_(ij)). L'axe de roulis est dans le plan de symétrie vertical de la moto et le déplacement de O_m selon l'axe ȷ⃗ est nul ( y_m = 0 ). La partie supérieure mobile du simulateur est repérée dans R par les coordonnées cartésiennes (x_m, y_m, z_m) de O_m dans R et les angles d'Euler ( φ, θ, ψ ).
Dans toute la suite, le triplet des composantes du vecteur X⃗ dans le repère R_α sera noté (X⃗)_(R_α); ainsi, la relation intrinsèque OP_3^(→−) = OO_m^(→−) + O_m P_3^(→−) entraîne-t-elle la relation algébrique entre les coordonnées cartésiennes de l'origine O_m et les angles d'orientation de la plate forme mobile (dans ce cas particulier, y_m = 0 ) :
soit(− L; ρ_3; h) = (x_m; y_m; z_m) + R~(− ℓ_3; 0; − h_3), de sorte que {x_m, = − L + r_(11)ℓ_3 + r_(13)h_3; ρ_3, = − r_(21)ℓ_3 − r_(23)h_3; z_m, = h + r_(31)ℓ_3 + r_(33)h_3
Les variables articulaires x_m, y_m, z_m et ρ_3 ainsi déterminées, reste à trouver les variables articulaires des deux vérins avant, notées respectivement ρ_1 et ρ_2, qui définissent la longueur de chaque vérin en fonction de l'orientation de la partie supérieure mobile : ρ_i^2 = B_i P_i^(→−) ⋅ B_i P_i^(→−).
2.1 Modèle géométrique et cinématique inverses de la plateforme du simulateur
On se propose de déterminer la course de chacun des trois vérins, permettant de respecter les caractéristiques géométriques de chaque degré de liberté, telles que données dans le tableau ci-après (le débattement est le double de la valeur maximale).
Degré de liberté
Lacet ψ
Tangage θ
Roulis φ
Valeur maximale (degrés)
10
10
72
Vitesse angulaire maximale ( degrés ⋅ s^(− 1))
90
30
360
Pour ce but, on adopte les valeurs numériques L = l_m = 1, 2 m, l = d = 0, 2 m, l_3 = 1, 1 m, h = 0, 5 m et h_3 = 0, 4 m. En s'appuyant sur des schémas et en utilisant la courbe de la Fig. 7, déterminer la course de chacun des trois vérins, d'abord dans le cas du roulis, ensuite dans le cas du lacet. Vérifier enfin que les valeurs trouvées sont compatibles avec la valeur maximale de l'angle de tangage.
Figure 7 - Sinusoïde.
Exprimer (B_i P_i^(→−))_R(i = 1, 2) en fonction de (B_i O^(→−))_R, (OO_m^(→−))_R, (O_m P_i^(→−))_(R_m) et R~. Considérant que la composante sur y des (B_i P_i^(→−))_R est nulle, montrer que d = r_(22)ℓ. Introduisant les vecteurs unitaires u_i→ = (B_i P_i^(→−))/(ρ_i), montrer que la vitesse articulaire des vérins avant est
ρ˙_i = B_i P_i^(→−) ⋅ u_i→.
La cinématique inverse, qui consiste à déterminer les positions et rotations d'articulations permettant d'atteindre un objectif donné, se fait à partir des paramètres des articulations. Conformément à la Figure 6, on note, respectivement, Ω⃗ = ψ˙k⃗ + θ˙ȷ⃗_1 + φ˙ı⃗_2 le vecteur rotation de la plateforme (aussi nommé vecteur de la vitesse angulaire), q˙→ = (ψ˙, θ˙, φ˙) et l'on admet que, dans R(O, ı⃗, ȷ⃗, k⃗) lié au bâti,
Le torseur cinématique de la plateforme par rapport au bâti, exprimé en O_m est W = ((Ω⃗)/(OO_m^(→−))).
19. Indiquer soigneusement, mais sans effectuer les calculs, la méthode conduisant à la relation 15 ; on précisera, notamment, le paramétrage des angles.
20. En considérant un résultat obtenu à la question 18, exprimer B_i P_i^(→−)˙(i = 1, 2) dans R en fonction de B_i O^(→−), OO_m^(→−) dans R et de Ω⃗ ∧ R˜(O_m P_i^(→−))_(R_m).
21. Établir la relation
Les accélérations du véhicule ne pouvant être reproduites à l'identique, une commande est nécessaire, transformant la trajectoire du véhicule simulé en un mouvement réalisable par la plateforme, tout en prenant en compte les caractéristiques de la perception.
2.2.1 Modélisation des capteurs; algorithme du pire cas
Le principe de la cinématique inverse est représenté dans la Figure 8.
Comme le montre la Figure 9, page 10, les grandeurs de référence sont d'abord calibrées, ce qui permet de réduire d'autant les déplacements du simulateur. La composante transitoire de l'accélération est détectée derrière le filtre passe-haut FPH1. La composante basse fréquence de l'accélération ne pouvant être restituée par un déplacement de la plateforme, la technique dite de tilt (inclinaison de la plate forme) est utilisée pour récupérer une composante de la gravité qui sera perçue comme étant une accélération linéaire par le système de capteurs d'accélérations, situé dans l'oreille interne; en effet, ce système, incapable dans ces conditions de distinguer une rotation d'une translation, est leurré. La sortie du filtre passe-bas FPB contribue ainsi à définir l'angle d'inclinaison de la plateforme par rapport à la verticale.
Ci-après on notera X~(p) la transformée de Laplace de la grandeur x(t).
Figure 8 - Correspondance entre le mouvement d'un véhicule réel et le mouvement du simulateur. MCA signifie Motion Cueing Algorithm - Algorithme de Restitution du Mouvement.
Figure 9 - Élément de l'algorithme de restitution du mouvement. Tilt = inclinaison. Noter la contribution du canal BF d'accélération à la position angulaire du simulateur.
Expliquer comment l'on peut, à partir de données d'accélération et de vitesse angulaire, accéder algorithmiquement à la position désirée du simulateur.
Les différents filtres passe haut utilisés pour déterminer la position de la plateforme à partir de la partie transitoire de l'accélération sont d'une importance décisive pour la qualité du simulateur. En particulier, il est nécessaire que le simulateur soit ramené en position neutre lorsque le signal d'entrée est un créneau de vitesse. On note a_v l'accélération longitudinale du véhicule réel, a_s l'accélération à produire sur le simulateur et l'on considère que a_v est l'échelon d'amplitude A_(vm).
24. Avec un filtre passe-haut du deuxième ordre, la position P~(p) de la plateforme est liée à l'accélération du véhicule par une relation du type
(P~(p))/(A~_v(p)) = K/(p^2 + 2ζω_n p + ω_n^2) (ζ > 1, K > 0).
En déduire que l'effet de ce filtre est de déplacer la plateforme vers la position P_∞, dont on
donnera l'expression en fonction de K, A_m et ω_n. Conclure en expliquant pourquoi des filtres du premier ou du deuxième ordre sont inadaptés.
25. Soit P_m le déplacement linéaire maximal disponible sur le simulateur ; comment choisir ω_n ?
26. Un filtre du troisième ordre assure le retour en position neutre. On identifie, dans sa fonction de transfert (21), la partie Filtrage de la relation (20) et la partie Retour à la position neutre.
Comment choisir ω_f de manière à avoir un retour rapide en position neutre? On pourra s'appuyer sur une analyse de la Figure 10. Les données de déplacement dans cette Figure sont-elles en accord qualitatif avec vos réponses sur la course des vérins (question 17) ?
Figure 10 - Position de la plateforme (en m) en fonction du temps (en s), lorsque l'entrée est un échelon d'accélération, pour K = 1, ζ = 2 et ω_n = 1rad ⋅ s^(− 1). La courbe en pointillés correspond à ω_f = 0; pour une meilleure lisibilité, son amplitude a été divisée par 2. Par amplitude maximale décroissante, les courbes correspondent respectivement à ω_f = 1, ω_f = 2 et ω_f = 4.
2.2.2 Vers un réglage pratique des paramètres, dans le pire des cas
Dans des conditions modérées de conduite, un filtre du deuxième ordre suffit (c'est la situation dite du pire cas). La réponse impulsionnelle du filtre intervenant dans la relation (20) est considérée représenter la position de la plate forme et c'est
h(t) = K/(p_1 − p_2)[exp(p_1 t) − exp(p_2 t)],
où p_1 et p_2 sont les zéros du polynôme p^2 + 2ζω_n p + ω_n^2, avec p_2 < p_1 < 0. On posera ζ = cosha.
27. Quelle est, dans l'équation (22), la dimension de K ? Déterminer l'expression de l'instant T où h atteint sa valeur maximale, H. Admettant la relation H = K/(ω_n)exp(− a/(tanha)), donner et commenter l'allure graphique de h(t) et celle de T(a).
28. Le canal tilt de la Figure 9 est-il utile pour ce simulateur?
La plupart des figures de cette partie est reproduite ou adaptée du mémoire doctoral de M. Lamri Nehaoua, avec son aimable autorisation.
Questions fréquentes
4 questions
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Sur quels chapitres porte le sujet Physique et Sciences de l’Ingénieur X MP 2016 ?
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Quelle était la moyenne à l’épreuve de Physique et Sciences de l’Ingénieur X MP 2016 ?
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La moyenne s’est établie à 9,33/20 avec un écart-type de 3,87, sur 784 copies, pour une répartition des notes proche d’une loi gaussienne.
Le sujet Physique SI X MP 2016 est-il davantage analytique ou calculatoire ?
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Le rapport indique que les questions calculatoires ont été mieux abordées que celles demandant un esprit d’analyse, ces dernières étant aussi moins bien traitées lorsqu’elles étaient abordées.
Pas de description pour le moment
Commentaires• X ENS Physique SI MP 2016
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