Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2020 (page 2/3 : Partie II (questions 21 à 39))

Le cylindre possède une symétrie de révolution autour de son axe principal (GZ) : toute rotation d'angle quelconque autour de cet axe laisse la géométrie du cylindre invariante.

Le fluide étant isotrope, le comportement hydrodynamique est rigoureusement identique pour un déplacement dans n'importe quelle direction du plan (GXY) orthogonal à l'axe de révolution. Par conséquent, les axes (GX) et (GY) jouent des rôles parfaitement équivalents, ce qui impose :

En revanche, la direction longitudinale (GZ) est géométriquement et physiquement distincte des directions transverses, si bien que le coefficient de traînée selon cet axe, noté \lambda_Z = \lambda_\parallel, est a priori différent de \lambda_\perp.

La matrice [\lambda] dans la base (\vec{e}_X, \vec{e}_Y, \vec{e}_Z) se réduit donc à deux coefficients indépendants :

D'après l'équation (5), la force visqueuse est reliée à la vitesse par :

Les dimensions d'une force et d'une vitesse sont respectivement :

On en déduit la dimension des coefficients de la matrice [\lambda] :

L'unité SI correspondante est le \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1} (ou \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{-1} ou \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}).

Recherchons maintenant la dépendance des coefficients de [\lambda] en fonction de la viscosité \eta et de la longueur \ell du cylindre. D'après la loi de Stokes (\vec{F}_{\mathrm{S}} = -6\pi\eta r_0\vec{V}), la viscosité dynamique \eta a pour dimension :

La longueur \ell du cylindre a pour dimension [\ell] = \mathrm{L}.

En admettant que dans la limite d'un cylindre fin (R_0 \ll \ell), le frottement ne dépend pas de R_0, on cherche une relation sous la forme :

où C est une constante sans dimension. L'égalité dimensionnelle s'écrit :

Par identification des exposants :

Les coefficients de [\lambda] sont donc proportionnels au produit \eta \ell :

où C est un préfacteur sans dimension (dépendant de l'orientation considérée).

On étudie le cylindre, assimilé à un solide de masse M, dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R} supposé galiléen.

Le cylindre est soumis à deux forces :

• la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}}, contenue par choix dans le plan (GXZ) et faisant un angle \psi avec l'axe (GZ) orienté par \vec{u} = \vec{e}_Z :

  \vec{F}_{\text{ext}} = F_{\text{ext}}\sin\psi\,\vec{e}_X + F_{\text{ext}}\cos\psi\,\vec{e}_Z

• la force de frottement visqueux \vec{F}_{\mathrm{v}} = -[\lambda]\vec{V}, dont les composantes s'écrivent d'après le résultat de la question 21 :

  \vec{F}_{\mathrm{v}} = -\lambda_\perp V_X\,\vec{e}_X - \lambda_\perp V_Y\,\vec{e}_Y - \lambda_\parallel V_Z\,\vec{e}_Z

L'angle \psi restant constant au cours du temps, l'orientation de la base (\vec{e}_X, \vec{e}_Y, \vec{e}_Z) est invariante par rapport à \mathcal{R}, de sorte que :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au centre d'inertie G :

La projection sur les trois axes du repère (GXYZ) donne le système d'équations différentielles :

En régime stationnaire, les dérivées temporelles sont nulles (\frac{\mathrm{d}\vec{V}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}). Les composantes de la vitesse s'en déduisent immédiatement :

D'après la figure 3(b), la vitesse \vec{V} se trouve dans le plan (GXZ), de composantes V_X et V_Z. L'angle \alpha que forme \vec{V} avec l'axe (GZ) orienté par le vecteur unitaire \vec{u} vérifie donc :

En utilisant les expressions obtenues à la question Q23 :

on obtient directement :

soit, pour \psi \in [0, \pi/2[ :

Le cylindre chute dans la direction de la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}} si et seulement si les vecteurs \vec{V} et \vec{F}_{\text{ext}} sont colinéaires, c'est-à-dire si leur produit vectoriel est nul :

Comme par hypothèse \lambda_\perp \neq \lambda_\parallel et F_{\text{ext}} \neq 0, cette condition équivaut à :

Pour \psi \in [0, \pi], cela correspond à deux cas particuliers :

• Cylindre vertical (\psi = 0 ou \psi = \pi) : l'axe du cylindre est aligné avec la force extérieure (\vec{u} \parallel \vec{F}_{\text{ext}}). On a alors V_X = 0, et la vitesse est purement longitudinale selon (GZ) (\alpha = 0 ou \pi).
• Cylindre horizontal (\psi = \frac{\pi}{2}) : l'axe du cylindre est perpendiculaire à la force extérieure (\vec{u} \perp \vec{F}_{\text{ext}}). On a alors V_Z = 0, et la vitesse est purement transverse selon (GX) (\alpha = \frac{\pi}{2}).

D'après la question 23, les composantes de la vitesse du cylindre dans son repère propre (GXYZ) en régime stationnaire s'écrivent :

Examinons les deux configurations géométriques limites :

• Cylindre vertical : l'axe \vec{u} du cylindre est colinéaire à la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}}, ce qui correspond à \psi = 0. La vitesse de sédimentation est purement longitudinale (selon (GZ)) et sa norme vaut :

  V_\parallel = |V_Z(\psi = 0)| = \frac{F_{\text{ext}}}{\lambda_\parallel}.

• Cylindre horizontal : l'axe \vec{u} est orthogonal à la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}}, ce qui correspond à \psi = \pi/2. La vitesse de sédimentation est purement transverse (selon (GX)) et sa norme vaut :

  V_\perp = |V_X(\psi = \pi/2)| = \frac{F_{\text{ext}}}{\lambda_\perp}.

La relation expérimentale V_\parallel = 2 V_\perp s'écrit alors :

On en déduit immédiatement la relation liant les deux coefficients de traînée visqueuse :

D'après la question Q21, la matrice de frottement visqueux s'écrit dans la base propre (\vec{e}_X, \vec{e}_Y, \vec{e}_Z) :

De plus, d'après la question Q25, on a la relation entre coefficients :

L'expression matricielle (5) de la force visqueuse \vec{F}_{\text{v}} donne alors :

L'axe du cylindre étant orienté par le vecteur unitaire \vec{u} = \vec{e}_Z, la composante de la vitesse parallèle à l'axe s'écrit sous forme de projection orthogonale :

La composante de la vitesse perpendiculaire à l'axe s'obtient par soustraction :

En réinjectant ces expressions dans l'écriture de \vec{F}_{\text{v}}, il vient :

On retrouve bien la relation demandée :

Interprétation graphique des termes :

• (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u} = \vec{V}_\parallel représente la projection orthogonale du vecteur vitesse \vec{V} sur l'axe du cylindre dirigé par \vec{u}.

• Le terme entre crochets peut se réécrire comme :

  2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u} = \vec{V} + \left[\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right] = \vec{V} + \vec{V}_\perp = 2\vec{V}_\perp + \vec{V}_\parallel.

  Il correspond graphiquement à la somme du vecteur vitesse \vec{V} et de sa composante transverse \vec{V}_\perp, ou de manière équivalente, à la somme vectorielle de la composante longitudinale \vec{V}_\parallel et du double de la composante transverse 2\vec{V}_\perp.

Le vecteur force visqueuse \vec{F}_{\text{v}} est colinéaire et opposé à ce vecteur rouge, amplifié par le coefficient \lambda_\parallel.

D'après l'équation (7), la position d'un point \mathrm{M} du flagelle par rapport à l'extrémité libre \mathrm{F} est donnée en coordonnées cylindriques par :

La cote du point \mathrm{M} le long de l'axe (\mathrm{F}z) est donc :

• À l'extrémité libre \mathrm{F}, l'hélice débute en z = 0, ce qui correspond à la borne inférieure :

  \theta_{\min} = 0

• Au point d'attache sur la membrane de la bactérie, la projection de l'hélice sur l'axe (\mathrm{F}z) correspond à la longueur projetée totale \ell_{\mathrm{f}}, soit z = \ell_{\mathrm{f}}. La borne supérieure \theta_{\max} vérifie donc :

  \ell_{\mathrm{f}} = h\,\theta_{\max} \iff \theta_{\max} = \frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h} = \frac{2\pi \ell_{\mathrm{f}}}{\Lambda}

L'angle \theta varie donc dans le domaine :

En notant N = \frac{\ell_{\mathrm{f}}}{\Lambda} le nombre (entier) de spires du flagelle, la borne supérieure s'écrit également \theta_{\max} = 2\pi N.

Application numérique : Avec \ell_{\mathrm{f}} = 10\;\mu\mathrm{m} et h = 0{,}1\;\mu\mathrm{m}, on obtient :

Lorsqu'un pas de vis parfait tourne sans glissement dans un milieu immobile, chaque révolution complète correspond à une variation angulaire \Delta \theta = 2\pi effectuée pendant une période T = \frac{2\pi}{\Omega}. Durant cet intervalle de temps, l'hélice avance le long de son axe d'une distance égale à son pas \Lambda = 2\pi h.

La vitesse de translation maximale de la bactérie selon l'axe du flagelle est donc :

Effectuons l'application numérique avec les données du sujet (h = 0{,}1\,\mu\mathrm{m} = 10^{-7}\text{ m} et \Omega = 7{,}0 \times 10^2\text{ rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}) :

D'après la définition du nombre de Reynolds établie à la question 12 :

En choisissant comme dimension caractéristique la taille du corps de la bactérie \tilde{L} \sim R = 1\,\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m} (ou celle du flagelle \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\mathrm{m}), avec \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} et \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\mathrm{s} :

Même en prenant la plus grande dimension \tilde{L} = \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\mathrm{m}, on obtient \mathrm{Re} \simeq 7 \times 10^{-4} \ll 1.

Le nombre de Reynolds est bien très faible devant 1, ce qui confirme que la nage s'effectue strictement dans le régime d'écoulement de Stokes.

D'après l'équation (7), le point courant M(\theta) de l'hélice est repéré par :

Le rayon de l'hélice a et le pas réduit h sont constants. En dérivant par rapport à \theta, et en utilisant la relation (1) rappelée dans le formulaire, \frac{\mathrm{d}\vec{e}_\rho}{\mathrm{d}\theta} = \vec{e}_\theta, on obtient :

Les vecteurs \vec{e}_\theta et \vec{e}_z formant deux vecteurs d'une base orthonormée, la norme de ce vecteur dérivé vaut :

Le vecteur unitaire \vec{u}(\theta) tangent à l'hélice et orienté dans le sens des \theta croissants s'obtient par normalisation :

soit finalement :

D'après l'énoncé de la sous-partie II.A.c, pour un cylindre de longueur \mathrm{d}\ell, le coefficient de frottement longitudinal s'écrit :

Chaque élément d'hélice étant animé d'une vitesse de rotation pure \vec{V}_\perp = a\Omega\vec{e}_\theta, et le vecteur unitaire tangent étant \vec{u} = \frac{a\vec{e}_\theta + h\vec{e}_z}{\sqrt{a^2+h^2}} (question Q29), nous calculons la projection :

Il vient alors :

D'après la relation (6) appliquée au tronçon élémentaire, la force visqueuse infinitésimale s'exerçant sur ce dernier est :

soit :

Pour obtenir la force totale exercée par le fluide sur l'ensemble de l'hélice, on intègre cette force élémentaire sur la plage de variation de \theta allant de 0 à \theta_{\max} = \ell_{\mathrm{f}}/h = 2\pi N (avec N \in \mathbb{N}^*, d'après la question Q27) :

Puisque le vecteur de la base cylindrique s'exprime dans la base cartésienne fixe par \vec{e}_\theta(\theta) = -\sin\theta\vec{e}_x + \cos\theta\vec{e}_y, son intégrale sur un nombre entier de périodes s'annule :

Seule subsiste la composante axiale selon \vec{e}_z, indépendante de \theta :

Le facteur h se simplifie, ce qui conduit bien à la forme annoncée :

On identifie donc le préfacteur numérique :

Considérons le tronçon d'hélice élémentaire délimité par \theta et \theta + \mathrm{d}\theta, de longueur \mathrm{d}\ell = \sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta. D'après les résultats des questions 22 et 26, le coefficient de frottement visqueux longitudinal associé à cet élément vaut :

Le flagelle étant animé d'une vitesse de translation uniforme \vec{V}_\parallel = V\vec{e}_z, la force visqueuse élémentaire s'écrit selon l'équation (6) :

À l'aide de l'expression du vecteur tangent unitaire \vec{u}(\theta) = \frac{a\vec{e}_\theta + h\vec{e}_z}{\sqrt{a^2+h^2}} (question 29), formons le produit scalaire :

Le terme entre crochets devient ainsi :

La force élémentaire exercée sur le tronçon s'écrit donc :

Intégrons cette expression sur l'ensemble de l'hélice, pour \theta variant de 0 à \theta_{\max} = \ell_{\text{f}}/h = 2\pi N avec N \in \mathbb{N}^* (nombre entier de tours, d'après Q27) :

La composante azimutale s'annule par périodicité spatiale. Il ne subsiste que la composante axiale portée par \vec{e}_z :

Comparons cette force de traînée du flagelle à la force de frottement de Stokes \vec{F}_{\text{S}} = -6\pi\eta R V \vec{e}_z subie par le corps sphérique de la bactérie se déplaçant à la même vitesse :

Avec les données numériques du préambule :

• R = 1\,\mu\text{m}, \ell_{\text{f}} = 10\,\mu\text{m} ;
• a = 0{,}2\,\mu\text{m}, h = 0{,}1\,\mu\text{m} ;
• 2a^2 + h^2 = 2(0{,}04) + 0{,}01 = 0{,}09\,\mu\text{m}^2 ;
• \sqrt{a^2+h^2} = \sqrt{0{,}05}\,\mu\text{m} \simeq 0{,}22\,\mu\text{m} ;
• \frac{2a^2+h^2}{h\sqrt{a^2+h^2}} = \frac{0{,}09}{0{,}1 \times \sqrt{0{,}05}} \simeq 4{,}0.

On obtient :

La force de traînée visqueuse s'exerçant sur le flagelle est environ 30 fois plus grande que la traînée de Stokes sur le corps sphérique : la dissipation et le frottement visqueux au cours de la translation sont donc largement dominés par le flagelle.

À bas nombre de Reynolds, en régime stationnaire, l'inertie de la bactérie est totalement négligeable. L'équilibre mécanique axial de la bactérie s'écrit (en négligeant la traînée de Stokes du corps devant celle du flagelle, comme justifié à la question 31) :

D'après les résultats des questions 30 et 31 :

En projetant sur l'axe \vec{e}_z, on obtient :

ce qui se simplifie immédiatement en :

On en déduit l'expression de la vitesse de propulsion stationnaire :

Application numérique : Avec les données fournies :

• a = 0{,}2\,\mu\text{m}, donc a^2 = 0{,}04\,\mu\text{m}^2 ;
• h = 0{,}1\,\mu\text{m}, donc h^2 = 0{,}01\,\mu\text{m}^2 et a^2 h = 0{,}004\,\mu\text{m}^3 ;
• 2a^2 + h^2 = 2 \times 0{,}04 + 0{,}01 = 0{,}09\,\mu\text{m}^2 ;
• \Omega = 7{,}0 \times 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

Il vient :

Avec un chiffre significatif :

Comparaison avec la question 28 : La vitesse maximale sans glissement obtenue à la question 28 était :

Le rapport des deux vitesses s'écrit :

La vitesse réelle de nage de la bactérie est strictement inférieure à la vitesse sans glissement (V \approx 0{,}4\,V_{\max}).

Dans le régime stationnaire de nage, le mouvement du flagelle résulte de la superposition de la rotation autour de l'axe (Fz) à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\vec{e}_z et de la translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z. La vitesse d'un élément d'hélice repéré par l'angle \theta s'écrit :

Le vecteur unitaire tangent à l'hélice est, d'après la question Q29 :

Le produit scalaire entre la vitesse et la tangente au flagelle vaut donc :

D'après l'équation (6), la force visqueuse élémentaire subie par le tronçon de longueur \mathrm{d}\ell = \sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, pour lequel \lambda_\parallel = 4\pi\eta\,\mathrm{d}\ell, est :

Le moment élémentaire de cette force par rapport à l'axe de rotation (Fz) est donné par l'équation (11) :

Puisque le flagelle comporte un nombre entier de spires N = \ell_{\mathrm{f}}/\Lambda (question Q27), l'intégration de la composante selon \vec{e}_\theta(\theta) sur l'intervalle \theta \in [0, 2\pi N] s'annule identiquement :

Le moment résultant est donc purement axial, dirigé selon \vec{e}_z :

Déterminons la composante orthoradiale \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} = \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}\cdot\vec{e}_\theta :

En injectant l'expression de la vitesse de propulsion stationnaire obtenue à la question Q32, V = \dfrac{a^2 h}{2a^2+h^2}\Omega :

Il vient ainsi pour le terme entre crochets :

Avec \lambda_\parallel = 4\pi\eta\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, la force orthoradiale élémentaire s'écrit :

En intégrant le moment élémentaire \mathrm{d}\Gamma_{\mathrm{v},z} = a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} sur l'intervalle \theta \in [0, \ell_{\mathrm{f}}/h] de longueur totale \ell_{\mathrm{f}}/h :

Le moment résultant des forces visqueuses par rapport à l'axe (Fz) est donc :

1. Expression de la puissance du moteur moléculaire

En régime stationnaire de nage libre, la force totale exercée par le fluide sur la bactérie est nulle, soit \vec{F}_{\mathrm{v}} = \vec{0}. La puissance mécanique \mathcal{P} que le moteur moléculaire doit fournir pour maintenir la rotation du flagelle à vitesse angulaire constante compense exactement la dissipation par frottement visqueux :

D'après la question 33, le moment des forces visqueuses par rapport à l'axe (\mathrm{F}z) s'écrit :

Avec \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{e}_z, on obtient :

2. Application numérique

Les données fournies dans le préambule sont :

• \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• \Omega = 7{,}0\times 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} ;
• a = 0{,}2\,\mu\text{m} = 2\times 10^{-7}\text{ m} ;
• h = 0{,}1\,\mu\text{m} = 10^{-7}\text{ m}.

Comme a = 2h, le facteur adimensionnel vaut :

Calculons la valeur de \mathcal{P} :

3. Puissance métabolique de la bactérie et commentaire

La bactérie est assimilée à une sphère de rayon R, de volume V_{\text{bac}} = \frac{4}{3}\pi R^3. Sa consommation de nutriments par unité de volume et de temps étant notée \mathcal{A}, la quantité de matière de glucose consommée par seconde est :

L'apport énergétique par mole de glucose absorbée étant \varepsilon, la puissance totale associée au métabolisme de la bactérie s'écrit :

Avec R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}, \mathcal{A} = 10\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}^{-1} et \varepsilon = 30\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = 3\times 10^4\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} :

En comparant ces deux puissances :

La puissance nécessaire pour faire tourner le flagelle et propulser la bactérie représente moins de 1\,\% de la puissance métabolique totale. La nage constitue donc un coût énergétique négligeable pour la cellule.

1. Invariance par rapport à \theta

Le système physique est constitué d'une sphère de rayon R en translation rectiligne uniforme à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z dans un fluide infini.

• La géométrie de la sphère est de révolution autour de l'axe (Oz) ;
• La direction du mouvement impose un axe privilégié le long de (Oz) ;
• Les conditions aux limites (adhérence sur la sphère et fluide au repos à l'infini dans le laboratoire) sont indépendantes de toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (Oz).

Le problème présente donc une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). Par conséquent, le champ de vitesses est invariant par rotation autour de cet axe, ce qui justifie que ses composantes ne dépendent pas de la variable angulaire \theta :

2. Condition aux limites en r = R

Dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} lié à la bactérie, la surface de la membrane est immobile. Pour un fluide visqueux, la condition aux limites à l'interface solide-fluide est la condition d'adhérence :

Évaluons les composantes du champ proposé pour r = R :

La composante selon \vec{e}_\theta étant identiquement nulle, on a bien :

La condition d'adhérence à la paroi est parfaitement vérifiée.

3. Condition aux limites pour r \to \infty

Dans le référentiel du laboratoire, le fluide est au repos à l'infini : \vec{v}_{\mathrm{lab}}(\vec{r}) \xrightarrow{r \to \infty} \vec{0}. Dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} en translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z par rapport au laboratoire, la loi de composition des vitesses impose :

D'après la définition des coordonnées sphériques données en préambule, le vecteur unitaire \vec{e}_z se décompose sur la base locale selon :

D'où l'expression attendue du champ uniforme à l'infini :

En prenant la limite r \to \infty dans l'expression (12) du sujet :

On obtient immédiatement :

La condition aux limites à l'infini est donc bien respectée.

Dans le référentiel de la bactérie \mathcal{R}_{\mathrm{b}}, le fluide s'écoule globalement dans la direction -\vec{e}_z, parallèlement à l'axe (Oz), avec la vitesse uniforme au loin :

L'écoulement présente les propriétés fondamentales suivantes :

• Invariance par rotation autour de l'axe (Oz) : le motif des lignes de courant est identique dans tout plan méridien contenant (Oz), par exemple le plan (xOz).
• Conditions aux limites à la paroi : sur la sphère de rayon R, la vitesse s'annule strictement (\vec{v}(R, \varphi) = \vec{0}) en vertu de la condition de non-glissement. La surface de la sphère constitue une surface de courant.
• Points d'arrêt : sur l'axe (Oz), pour \varphi = 0 (z = +R) et \varphi = \pi (z = -R), la vitesse est nulle. L'axe (Oz) (privé de l'intérieur de la sphère) forme une ligne de courant particulière, qui bute sur la sphère au point d'arrêt amont et en repart au point d'arrêt aval.
• Symétrie amont-aval : en régime de Stokes (\mathrm{Re} \ll 1), l'écoulement est gouverné par une équation linéaire réversible dans le temps. En effectuant la transformation z \to -z (c'est-à-dire \varphi \to \pi - \varphi), on a \cos(\pi-\varphi) = -\cos\varphi et \sin(\pi-\varphi) = \sin\varphi, ce qui assure une parfaite symétrie amont-aval des lignes de courant, sans décollement ni zone de recirculation (sillage turbulent absent).

On représente ci-dessous l'allure des lignes de courant dans le plan (xOz) :

Pendant un intervalle de temps infinitésimal \mathrm{d}t, les particules de fluide situées au voisinage d'un point \vec{r} se déplacent du vecteur déplacement élémentaire :

Les particules de fluide qui traversent l'élément de surface orienté \mathrm{d}\vec{S}(\vec{r}) entre les instants t et t + \mathrm{d}t sont celles qui se trouvaient initialement à l'intérieur d'un cylindre élémentaire de base \mathrm{d}\vec{S} et de génératrice \vec{v}(\vec{r}, t)\,\mathrm{d}t.

Le volume de ce cylindre est donné par le produit scalaire :

La quantité élémentaire de soluté (nutriments) présente dans ce volume, où la concentration molaire locale vaut c(\vec{r}, t), s'écrit donc :

Le flux molaire convectif élémentaire traversant cette surface est défini par :

Or, par définition du vecteur densité volumique de courant de matière \vec{\jmath}_{\mathrm{conv}}, ce flux s'écrit pour toute surface \mathrm{d}\vec{S} sous la forme :

Par identification, on en déduit l'expression de la densité de courant liée à la convection :

Sur l'échelle caractéristique spatiale R, les temps typiques associés aux deux modes de transport s'écrivent :

• pour le transport diffusif régi par le coefficient de diffusion D, la relation d'adimensionnement de l'équation de la diffusion donne :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{R^2}{D}

• pour le transport convectif (ou advectif) à la vitesse d'écoulement typique V, le temps nécessaire pour couvrir la distance R est :

  \tau_{\text{conv}} \sim \frac{R}{V}

Par définition, le nombre de Péclet quantifie l'importance relative de la diffusion par rapport à la convection à travers le rapport de ces temps caractéristiques :

d'où :

Évaluons à présent les ordres de grandeur respectifs des densités de courant molaire :

• le courant de convection s'écrit \vec{\jmath}_{\text{conv}} = c\,\vec{v} (d'après la question 37), d'où un ordre de grandeur :

  j_{\text{conv}} \sim c\,V

• le courant de diffusion suit la première loi de Fick \vec{\jmath}_{\text{diff}} = -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,c (d'après la question 1). La concentration variant significativement à l'échelle du rayon R de la sphère, l'opérateur gradient s'estime par \|\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,c\| \sim c/R, ce qui conduit à :

  j_{\text{diff}} \sim \frac{D\,c}{R}

Le rapport entre les deux densités de courant est alors :

Le nombre de Péclet mesure donc également le rapport d'intensité entre le transport par convection et le transport par diffusion moléculaire.

D'après la question 38, le nombre de Péclet associé au déplacement de la bactérie s'écrit :

Avec la vitesse stationnaire calculée à la question 32, V \simeq 3\times 10^{-5}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, le rayon R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m} et le coefficient de diffusion du glucose dans l'eau D = 10^{-5}\text{ cm}^2\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-9}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

En reportant cette valeur \mathrm{Pe} \simeq 3\times 10^{-2} sur la figure 6, on constate que le point de fonctionnement se situe tout en bas de la courbe, au voisinage de l'ordonnée minimale représentée :

La variation relative du flux de nutriments collectés est donc :

Conclusion quant à l'utilité de la nage : L'augmentation du flux de collecte par advection directe au voisinage immédiat du corps bactérien est totalement négligeable (gain d'au plus 1\,\% par rapport à une bactérie immobile). La nage n'a donc pas pour fonction d'accroître le taux d'absorption locale par effet d'écoulement convectif. En revanche, elle permet à la bactérie de changer d'environnement et d'explorer l'espace afin d'atteindre des zones macroscopiquement plus concentrées en nutriments, grâce au mécanisme de chimiotaxie étudié dans la partie III.