Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2024 (page 2/3 : Partie A (questions 18 à 27) et partie B (questions 28 à 34))

L'eau chaude traverse l'évaporateur en régime stationnaire entre l'entrée (point 5, à la température T_5) et la sortie (point 6, à la température T_6). Ce système ouvert ne comporte aucune pièce mobile (\mathcal{P}_\mathrm{u} = 0), et les variations d'énergies cinétique et potentielle sont négligées.

D'après le premier principe industriel (établi en Q16), le bilan enthalpique pour l'écoulement d'eau chaude de débit massique \dot{m}_e s'écrit :

L'eau étant modélisée comme une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique massique c_e, sa variation d'enthalpie s'exprime directement selon :

On en déduit l'expression de la puissance thermique reçue par l'eau chaude :

L'évaporateur est un échangeur à double flux supposé adiabatique vis-à-vis de l'extérieur. En régime stationnaire, la somme des puissances thermiques reçues par les deux fluides traversant l'appareil est nulle :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q17 et Q18 :

On obtient :

Soit, en explicitant le débit massique \dot{m}_\mathrm{e} :

Application numérique :

• \mathcal{P}_{\mathrm{th},\mathrm{E}} = 4{,}9 \times 10^5\text{ W} (d'après Q17, avec h_2 - h_1 = 1\,225\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1})
• c_\mathrm{e} = 4{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
• T_5 - T_6 = 26 - 24{,}5 = 1{,}5\,^{\circ}\text{C} = 1{,}5\text{ K}

Avec deux chiffres significatifs :

Appliquons le premier principe industriel à l'ammoniac en écoulement stationnaire à travers la vanne WV2 entre l'état d'entrée 2 et l'état de sortie 2' :

• La vanne est un composant statique ne comportant aucune pièce mobile recevant ou fournissant du travail mécanique utile au fluide, d'où :

  \mathcal{P}_u = 0

• La traversée de la vanne est très rapide et la surface de contact avec le milieu extérieur est minime : les transferts thermiques sont tout à fait négligeables devant les flux convectifs d'enthalpie, soit une transformation adiabatique :

  \mathcal{P}_{\text{th}} = 0
• De plus, conformément aux hypothèses générales de l'énoncé, les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle sont négligées.

Le bilan d'énergie conduit donc immédiatement à :

Le débit massique \dot{m}_1 étant non nul, on en déduit :

La détente du fluide au travers de la vanne WV2 est donc bien isenthalpique (détente de Joule-Thomson).

Le fluide de travail traverse l'évaporateur et la vanne de détente avec le débit massique \dot{m}_1. Au niveau de la zone de mélange (désurchauffe) entre les points 2' et 3, une masse d'ammoniac liquide froid y est injectée avec un débit \dot{m}_2.

En régime permanent, la conservation du débit massique pour ce système ouvert à deux entrées et une sortie s'écrit :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé :

• \dot{m}_1 = 4{,}0 \times 10^{-1}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \dot{m}_2 = 5{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}050\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

On obtient :

Le condenseur est un échangeur de chaleur fixe, dépourvu de pièces mobiles, traversé par l'ammoniac entre les points 3 (entrée) et 4 (sortie). La puissance utile reçue par l'ammoniac y est donc nulle (\mathcal{P}_{\mathrm{u}} = 0).

D'après le premier principe industriel (question Q16), la puissance thermique reçue par l'ammoniac s'écrit de manière générale :

1. Cycle réel : Le débit massique traversant le condenseur est \dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2 = 0{,}45\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (établi à la question Q21). L'expression de la puissance thermique reçue est :

Avec h_4 \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} :

2. Cycle virtuel : Dans le cycle virtuel (figure 3(b)), il n'y a pas de boucle de dérivation : l'intégralité du fluide circule en boucle fermée avec le débit massique \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}. L'expression de la puissance thermique reçue est :

Application numérique :

3. Commentaire du signe : Les puissances \mathcal{P}_{\mathrm{C},\mathrm{R}} et \mathcal{P}_{\mathrm{C},\mathrm{V}} sont négatives. En convention récepteur pour l'ammoniac, cela traduit le fait que le fluide cède de la chaleur au milieu extérieur (l'eau de mer froide). Cela correspond bien au comportement attendu pour un fluide qui subit une condensation au contact de la source froide d'un moteur thermique.

L'eau froide traverse le condenseur en régime stationnaire, sans échange de travail utile (\mathcal{P}_\mathrm{u} = 0) et avec des variations d'énergies cinétique et potentielle négligeables. D'après le premier principe industriel (question Q16), la puissance thermique reçue par l'eau froide s'écrit :

L'eau étant assimilée à un liquide incompressible de capacité thermique massique c_\mathrm{e} constante :

On obtient ainsi :

Le condenseur étant adiabatique vis-à-vis du milieu extérieur, l'intégralité de la puissance thermique cédée par l'ammoniac au cours de son évolution réelle est absorbée par le circuit d'eau froide :

Application numérique :

On en déduit l'expression de la température de sortie T_8 :

En utilisant l'expression de \dot{m}_\mathrm{e} obtenue à la question Q19, on peut également écrire :

Application numérique :

Dans le cycle virtuel (figure 3(b)), le fluide de travail traverse la turbine entre l'état 2 (entrée) et l'état 3 (sortie) avec le débit massique \dot{m}_1.

La détente étant adiabatique (\mathcal{P}_{\mathrm{th}} = 0), le premier principe industriel s'écrit :

D'où l'expression littérale :

Avec les valeurs obtenues aux questions Q8 et Q11 :

• \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• h_2 \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On obtient numériquement :

Commentaire sur le signe : En convention récepteur, \mathcal{P}_{\mathrm{T},\mathrm{V}} < 0 signifie que le fluide cède de la puissance mécanique aux parties mobiles de la turbine. La turbine est motrice et fournit effectivement un travail utile à l'extérieur (puissance mécanique récupérable).

D'après le premier principe industriel (question Q16) appliqué à la pompe \mathrm{P}_1 en écoulement stationnaire et en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle :

La pompe étant adiabatique (\mathcal{P}_{\text{th}} = 0), la puissance utile reçue par l'ammoniac s'écrit :

1. Cycle virtuel :
Dans le cycle virtuel (figure 3(b)), le circuit est constitué d'une unique boucle parcourue par le débit massique D_{\mathrm{m}} = \dot{m}_1 :

Avec \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_4 \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (document réponse 5) :

2. Cycle réel :
Sur le schéma du cycle réel (figure 3(a)), la pompe \mathrm{P}_1 est placée directement à la sortie du condenseur (point 4), en amont de la dérivation vers le désurchauffeur. Elle véhicule donc le débit total issu du condenseur :

L'expression de la puissance utile s'écrit alors :

Numériquement :

Remarque : Si l'on considérait que le prélèvement du fluide de désurchauffe était effectué avant la pompe, celle-ci ne véhiculerait que \dot{m}_1, ce qui donnerait \mathcal{P}_{\mathrm{P}_1,\mathrm{R}} = \dot{m}_1(h_1 - h_4) = 4{,}0\text{ kW}.

Le cycle virtuel décrit un moteur thermique fermé. La puissance utile nette fournie à l'extérieur par le fluide de travail correspond à la somme des puissances échangées au niveau des deux organes mécaniques (la turbine qui produit du travail et la pompe qui en consomme) :

En convention récepteur, la puissance mécanique effectivement disponible (utile au sens moteur) est -\mathcal{P}_{\mathrm{u,net}}. La dépense énergétique correspond à la puissance thermique reçue par le fluide à l'évaporateur, \mathcal{P}_{\mathrm{th,E,V}}.

Le rendement \eta_\mathrm{V} du cycle virtuel s'écrit donc :

En remplaçant par les expressions en fonction des enthalpies massiques :

Avec les valeurs obtenues aux questions précédentes :

• \mathcal{P}_{\mathrm{T,V}} \approx -16\text{ kW} (d'après Q24) ;
• \mathcal{P}_{\mathrm{P_1,V}} \approx +4{,}0\text{ kW} (d'après Q25) ;
• \mathcal{P}_{\mathrm{th,E,V}} \approx 490\text{ kW} (d'après Q17).

On obtient :

Le rendement réel de conversion est nettement inférieur au rendement calculé en Q26 pour plusieurs raisons physiques :

• Irréversibilités internes des composants : la détente dans la turbine et la compression dans la pompe ont été modélisées comme isentropiques (réversibles). Dans une installation réelle, les frottements fluides et les dissipations visqueuses conduisent à des rendements isentropiques inférieurs à 1 (\eta_{\mathrm{is,T}} < 1 et \eta_{\mathrm{is,P}} < 1), ce qui diminue le travail recueilli à la turbine et accroît celui absorbé par la pompe.
• Consommation des auxiliaires (pompage de l'eau de mer) : l'installation nécessite de déplacer d'énormes débits d'eau de mer (\dot{m}_{\mathrm{e}} \approx 82\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} à l'échelle du seul prototype) et d'extraire l'eau froide à près de 1\,000\text{ m} de profondeur (pertes de charge le long de conduites de plusieurs kilomètres). La puissance électrique nécessaire au fonctionnement des pompes de circulation d'eau réduit considérablement la puissance nette disponible.
• Rendements électromécaniques : la conversion du travail mécanique de la turbine en électricité (alternateur) ainsi que l'entraînement de la pompe par un moteur électrique entraînent des pertes mécaniques (frottements) et électriques (effet Joule, pertes fer), avec des rendements globaux \eta_{\mathrm{m\acute{e}ca}} < 1 et \eta_{\mathrm{\acute{e}lec}} < 1.
• Pertes de charge et transferts parasites : les écoulements dans les échangeurs et canalisations ont été supposés isobares et les tuyauteries parfaitement calorifugées. Les pertes de charge hydrauliques réelles (\Delta P \neq 0) et les fuites thermiques vers l'ambiant diminuent également l'efficacité globale du système.

L'équation locale de conservation de la masse pour un écoulement s'écrit :

Les fluides étant homogènes et incompressibles, leurs masses volumiques respectives \rho_1 et \rho_2 sont uniformes et constantes, ce qui conduit à la condition d'incompressibilité :

Pour le fluide (1) (eau) : Le champ de vitesse dérive du potentiel \varphi_1 selon \vec{v}_1 = \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_1). D'après le formulaire :

La condition d'incompressibilité impose immédiatement :

Pour le fluide (2) (air) : Le champ des vitesses s'écrit \vec{V}_2 = \vec{\mathrm{grad}}(Ux + \varphi_2) = U\vec{u}_x + \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_2). En prenant la divergence :

La vitesse du vent non perturbé U étant constante et uniforme, \dfrac{\partial U}{\partial x} = 0, d'où :

On obtient ainsi :

Les potentiels des vitesses vérifient donc tous deux l'équation de Laplace (écoulements à potentiel laplacien).

L'accélération particulaire s'écrit :

D'après l'énoncé, les composantes de \vec{v}_1 et leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre. Le terme convectif (\vec{v}_1 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 est donc du second ordre et est négligé dans le cadre de l'approximation linéaire :

Le fluide étant irrotationnel, \vec{v}_1 = \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_1). En permutant les dérivées spatiale et temporelle, il vient :

Par ailleurs, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z = -\vec{\mathrm{grad}}(gz), et la masse volumique \rho_1 est constante (fluide homogène et incompressible). L'équation d'Euler projetée au premier ordre devient :

En divisant par \rho_1 et en regroupant l'ensemble sous l'opérateur gradient :

L'annulation du gradient spatial implique que la quantité entre parenthèses est uniforme dans l'espace à chaque instant, ne dépendant ainsi que du temps t :

où C_1(t) est une fonction du temps.

Le fluide (2) étant supposé parfait et homogène de masse volumique \rho_2, son écoulement est régi par l'équation d'Euler :

avec \vec{g} = -\vec{\mathrm{grad}}(gz). L'accélération particulaire s'exprime par :

L'écoulement étant irrotationnel (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{V}_2 = \vec{0}), l'identité vectorielle du formulaire donne :

Le champ des vitesses s'écrit \vec{V}_2 = U\vec{u}_x + \vec{v}_2, où U est une vitesse uniforme et constante, et \vec{v}_2 = \vec{\mathrm{grad}}\,\varphi_2 est une perturbation du premier ordre. On en déduit :

Le terme U^2/2 étant spatialement uniforme, son gradient est nul. Au premier ordre en perturbation, le terme convectif devient donc :

L'équation d'Euler s'écrit alors, en divisant par \rho_2 :

soit :

Par intégration spatiale, la quantité entre parenthèses ne dépend que du temps, ce qui conduit à l'égalité recherchée :

où C_2(t) est une fonction du temps.

Le champ des vitesses dans l'eau s'écrit \vec{v}_1 = u_1(x,z,t)\,\vec{u}_x + w_1(x,z,t)\,\vec{u}_z (l'écoulement étant invariant par translation selon Oy). Par définition du potentiel des vitesses, \vec{v}_1 = \vec{\operatorname{grad}}\,\varphi_1, ce qui donne pour les composantes :

En z = -h, le fond océanique est modélisé par une paroi solide, plane, horizontale et fixe. L'eau étant considérée comme un fluide parfait, la condition aux limites est la condition d'imperméabilité (ou de non-pénétration) : la composante normale de la vitesse du fluide doit être égale à celle de la paroi, soit nulle ici :

En introduisant le potentiel des vitesses, on en déduit la condition limite portant sur \varphi_1 :

Le champ des vitesses dans l'air s'écrit sous la forme :

Par ailleurs, l'écoulement étant irrotationnel, le champ \vec{V}_2 dérive du potentiel des vitesses U x + \varphi_2 :

Par identification, on en déduit l'expression du champ de perturbation \vec{v}_2 = \vec{\operatorname{grad}}\varphi_2, soit pour ses composantes scalaires :

Loin de la surface libre (z \to +\infty), l'écoulement d'air n'est pas perturbé et retrouve la vitesse uniforme du vent \vec{V}_2 \to U\,\vec{u}_x. La vitesse de perturbation s'annule donc à l'infini :

En projetant sur les axes, on obtient les conditions sur les dérivées spatiales de \varphi_2 :

À une constante additive près (que l'on fixe usuellement à zéro sans modifier le champ de vitesse), le potentiel de perturbation s'annule à l'infini :

La coordonnée verticale de la surface libre est donnée par z_s(x, t) = \eta(x, t). La dérivée particulaire de cette grandeur scalaire s'écrit, compte tenu de l'invariance selon l'axe Oy :

où v_x désigne la composante horizontale de la vitesse de la particule fluide située à la surface.

1. Pour l'eau (milieu 1) :

• La vitesse horizontale est v_{x,1} = u_1(x, z, t) = \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x}, qui est un infiniment petit du premier ordre.
• Le terme convectif u_1 \dfrac{\partial \eta}{\partial x} est un produit de deux infiniment petits du premier ordre, donc un terme d'ordre 2 négligeable.
• La composante verticale de la vitesse s'exprime d'après la question Q31 par w_1(x, 0, t) = \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial z}(x, 0, t).

L'égalité w_1(x, 0, t) = \dfrac{\mathrm{D}\eta}{\mathrm{D}t} conduit donc, au premier ordre, à :

2. Pour l'air (milieu 2) :

• La vitesse horizontale est V_{x,2} = U + u_2(x, z, t) = U + \dfrac{\partial \varphi_2}{\partial x}.

• Le vent moyen de vitesse U est d'ordre 0, tandis que u_2 et \eta sont d'ordre 1. Au premier ordre, le terme convectif se réduit donc à :

  V_{x,2} \frac{\partial \eta}{\partial x} = (U + u_2)\frac{\partial \eta}{\partial x} \approx U \frac{\partial \eta}{\partial x}
• La composante verticale de la perturbation de vitesse s'exprime d'après la question Q32 par w_2(x, 0, t) = \dfrac{\partial \varphi_2}{\partial z}(x, 0, t).

L'égalité w_2(x, 0, t) = \dfrac{\mathrm{D}\eta}{\mathrm{D}t} conduit ainsi, au premier ordre, à :

L'équation s'obtient à partir de la condition aux limites dynamique à la surface de séparation entre l'eau et l'air (z = \eta(x, t)) :

1. Origine physique : En l'absence d'effets de tension superficielle (courbure négligée à cette échelle), il y a continuité de la pression à travers l'interface libre :

   p_1(x, \eta(x, t), t) = p_2(x, \eta(x, t), t)
2. Obtention : On utilise les expressions des champs de pression obtenues par intégration des équations d'Euler linéarisées (relations de Bernoulli instationnaires établies aux questions Q29 et Q30) dans chaque fluide, évaluées au niveau de la surface déformée z = \eta(x, t). En égalant p_1 et p_2, la pression de référence p_{\text{réf}} s'élimine de part et d'autre.

3. Approximations effectuées :

   • Tension superficielle négligée : le saut de pression de Laplace est supposé nul à l'interface eau-air.
   • Linéarisation des termes instationnaires et convectifs : comme \eta(x, t) ainsi que les potentiels \varphi_1 et \varphi_2 et leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre, un développement de Taylor de ces dérivées autour de z = 0 montre que l'écart entre leur valeur en z = \eta et en z = 0 fait intervenir un produit de termes d'ordre 1, c'est-à-dire un terme du second ordre négligé. Les dérivées des potentiels sont donc directement évaluées en z = 0.
   • Linéarisation préalable d'Euler : les termes quadratiques d'inertie convective (\vec{v}_1 \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}_1 et (\vec{v}_2 \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}_2 ont été négligés dans l'équation de Bernoulli.