Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2024 (page 3/3 : Partie B (questions 35 à 52))

D'après la question Q28, l'incompressibilité du fluide (2) impose l'équation de Laplace pour le potentiel des vitesses :

L'écoulement étant invariant par translation selon la direction Oy, le laplacien s'écrit :

En introduisant la forme complexe de l'énoncé \underline{\varphi_2}(x, z, t) = \underline{\phi_2}(z) \exp(j(\underline{\omega}t - kx)), on calcule les dérivées partielles spatiales :

En simplifiant par le terme exponentiel non nul, on obtient l'équation différentielle satisfaite par \underline{\phi_2}(z) :

Puisque k est une constante réelle positive (k > 0), la solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants s'écrit sous la forme :

où A et B sont deux constantes complexes d'intégration.

D'après la condition aux limites établie à la question Q32, la perturbation de l'air s'atténue loin de la surface, ce qui implique :

Comme k > 0, la fonction \operatorname{e}^{kz} diverge quand z \to +\infty. Pour que la condition limite soit vérifiée, il est indispensable d'avoir :

En évaluant en z = 0, on identifie :

On en déduit l'expression de \underline{\phi_2}(z) :

D'après la question Q28, le potentiel des vitesses dans l'eau vérifie l'équation de Laplace \Delta \varphi_1 = 0. Compte tenu de l'invariance selon l'axe Oy, cette équation se réduit à :

En introduisant la forme complexe proposée \underline{\varphi_1}(x, z, t) = \underline{\phi_1}(z) \exp\left(j(\underline{\omega} t - kx)\right), les dérivées spatiales s'écrivent :

En simplifiant par le terme exponentiel non nul, on obtient l'équation différentielle satisfaite par \underline{\phi_1}(z) :

L'équation caractéristique associée étant r^2 - k^2 = 0, la solution générale peut s'écrire sous forme hyperbolique centrée en z = -h :

où A et B sont deux constantes complexes d'intégration.

La condition limite au fond solide établie à la question Q31 traduit l'imperméabilité de la paroi en z = -h :

Or, en dérivant \underline{\phi_1}(z) :

En z = -h, le terme en \sinh(0) = 0 s'annule, ce qui impose :

La fonction s'écrit donc \underline{\phi_1}(z) = A \cosh\left(k(z + h)\right).

En évaluant en surface (z = 0), on a :

On en déduit l'expression demandée :

D'après la question Q33, les conditions cinématiques linéarisées à la surface libre s'écrivent :

1. Équation relative au fluide (2) (air) :

En représentation complexe, le déplacement vertical s'écrit \underline{\eta}(x, t) = \eta_m \exp(j(\underline{\omega}t - kx)). Ses dérivées partielles valent :

Le membre de droite s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q35, le profil vertical du potentiel des vitesses dans l'air est :

La dérivée normale du potentiel en z = 0 vaut ainsi :

En identifiant les deux membres et en simplifiant par \exp(j(\underline{\omega}t - kx)) \neq 0, on obtient :

2. Équation relative au fluide (1) (eau) :

D'après le résultat de la question Q36, le profil vertical du potentiel des vitesses dans l'eau est :

Le membre de gauche de la condition cinématique vaut ainsi :

Le membre de droite s'écrit simplement :

En égalant les deux expressions et en simplifiant par \exp(j(\underline{\omega}t - kx)) \neq 0, il vient :

D'après la question Q36, le profil vertical de potentiel dans l'eau s'écrit :

La seconde relation cinématique obtenue à la question Q37 donne :

Par suite, la valeur du potentiel en z=0 vaut :

Le premier membre de l'équation de la question Q34 s'exprime alors en fonction de \underline{\eta}(x,t) = \eta_m\exp(j(\underline{\omega}t - kx)) :

Pour l'air (fluide 2), à la surface z=0, on a \underline{\phi_2}(0) = \underline{\phi_2^0}. D'après la première relation de la question Q37 :

Les dérivées temporelle et spatiale du potentiel \underline{\varphi_2} en z=0 font intervenir l'opérateur \frac{\partial}{\partial t} + U\frac{\partial}{\partial x}, ce qui donne :

Le second terme entre parenthèses de la question Q34 s'écrit donc :

En reportant ces deux résultats dans l'égalité de la question Q34 :

Puisque l'amplitude des oscillations \eta_m est non nulle, on simplifie par \underline{\eta}(x,t) et on multiplie chaque membre par le réel strictement positif k :

La déformation de la surface de séparation est donnée en notation complexe par :

En introduisant l'écriture de la pulsation complexe \underline{\omega} = \omega' + j\omega'' avec j^2 = -1, le terme temporel s'écrit :

D'où l'expression du champ réel \eta(x, t) = \mathrm{Re}(\underline{\eta}(x, t)) :

L'amplitude des oscillations varie dans le temps selon le facteur multiplicatif \mathrm{e}^{-\omega'' t} :

• si \omega'' > 0, l'amplitude décroît exponentiellement vers 0 (la perturbation s'amortit et l'état de repos est stable) ;
• si \omega'' = 0, l'amplitude reste constante (régime marginalement stable) ;
• si \omega'' < 0, l'amplitude croît exponentiellement au cours du temps, ce qui traduit une instabilité et permet le démarrage des oscillations à partir d'une perturbation infinitésimale de l'état de repos.

Par conséquent, la condition de démarrage des oscillations est :

Dans le cas d'une profondeur infinie (h \to +\infty), on a \lim_{kh \to +\infty} \tanh(kh) = 1. L'équation (V.1) établie à la question Q38 devient alors :

En utilisant j^2 = -1, cela s'écrit :

En développant le terme de droite :

On regroupe tous les termes pour former une équation polynomiale du second degré en \underline{\omega} :

Le discriminant réduit \Delta' de cette équation à coefficients réels vaut :

D'après la question Q39, le démarrage des oscillations correspond à l'existence d'une solution avec \omega'' < 0. Comme les coefficients de l'équation sont réels, des solutions complexes n'apparaissent que si le discriminant est strictement négatif (\Delta' < 0). Les racines sont alors complexes conjuguées :

L'une des deux racines admet une partie imaginaire négative \omega'' = -\frac{\sqrt{-\Delta'}}{\rho_1 + \rho_2} < 0, ce qui garantit l'amplification exponentielle de la perturbation. La condition de démarrage des oscillations s'écrit donc \Delta' < 0, soit :

Comme \rho_2 / \rho_1 \ll 1, on peut approximer \rho_1^2 - \rho_2^2 \approx \rho_1^2, ce qui donne :

On en déduit bien la condition recherchée :

D'après le résultat de la question Q40, le démarrage des oscillations s'observe dès que :

En reliant le vecteur d'onde k à la longueur d'onde spatiale \lambda par k = \frac{2\pi}{\lambda}, cette condition devient :

La longueur d'onde maximale observable excitée par le vent de vitesse U est donc :

Application numérique :

• U = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{100}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 27{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• \rho_1 = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• \rho_2 = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

Discussion quantitative de l'approximation de profondeur infinie :

L'approximation de profondeur infinie consiste à considérer \tanh(kh) \to 1. Pratiquement, dès que kh \gtrsim \pi (soit \tanh(\pi) \approx 0{,}996 \approx 1), l'erreur relative commise est inférieure à 1\,\%. Cette condition s'écrit :

Pour les ondes les plus longues pouvant être créées par ce vent, la condition s'écrit au plus sévère :

Or, en haute mer, les profondeurs typiques sont de l'ordre de plusieurs centaines à plusieurs milliers de mètres (par exemple h \sim 1\,000\text{ m} à La Réunion d'après la figure 1). Même au large immédiat des côtes, la profondeur dépasse très largement quelques mètres.

Par conséquent, la condition h \gg \frac{\lambda_{\max}}{2} est remarquablement vérifiée en milieu marin pour le déclenchement de ces ondulations de surface : l'approximation de profondeur infinie est pleinement justifiée.

D'après la question Q38, la relation de dispersion s'écrit sous la forme (V.1) :

En l'absence de vent (U = 0) et pour une onde purement périodique sans amplification ni amortissement (\omega'' = 0, soit \underline{\omega} = \omega), on a (j\underline{\omega})^2 = -\omega^2. La relation devient :

En divisant par \rho_1, on obtient :

Comme la masse volumique de l'air est très inférieure à celle de l'eau (\rho_2/\rho_1 \approx 1{,}2 \times 10^{-3} \ll 1), on peut négliger le terme de droite devant les termes du membre de gauche, ce qui revient à négliger l'inertie et la pesanteur de l'air sur le mouvement de l'interface :

On en déduit immédiatement la relation de dispersion de la houle sans vent :

Dans l'approximation de l'eau profonde (kh \gg 1), on a :

La relation de dispersion établie à la question Q42, \omega^2 = gk \tanh(kh), se simplifie en :

Comme la pulsation \omega et le nombre d'onde k sont positifs pour une onde se propageant dans le sens des x croissants, on obtient :

La vitesse de phase de l'onde est définie par :

La vitesse de groupe est la dérivée de la pulsation par rapport au nombre d'onde :

La vitesse de phase dépend du nombre d'onde k (ou de manière équivalente, v_g \neq v_\varphi), par conséquent :

1. Caractère dispersif des deux évolutions :

Dans un milieu non dispersif, un paquet d'ondes se propage sans déformation à une vitesse unique : l'enveloppe conserve sa largeur et son amplitude maximale au cours du temps.

Sur les figures 5(a) et 5(b), on constate que :

• l'enveloppe du paquet d'ondes s'élargit progressivement au cours du temps (étalement spatial) ;
• l'amplitude maximale de l'oscillation diminue avec t_r.

Les différentes composantes spectrales constitutives du paquet se propagent donc à des vitesses différentes : les figures 5(a) et 5(b) correspondent toutes deux à un phénomène de propagation dispersif.

2. Identification du cas de la houle en eau profonde :

D'après le résultat de la question Q43, la vitesse de groupe de la houle en eau profonde s'écrit :

La vitesse de groupe est une fonction strictement décroissante du vecteur d'onde k, ou de façon équivalente une fonction strictement croissante de la longueur d'onde \lambda. L'énergie associée aux composantes de grande longueur d'onde (faible k) se propage donc plus rapidement que celle associée aux composantes de courte longueur d'onde (grand k).

Par conséquent, au cours de la propagation vers les x croissants, les composantes de grande longueur d'onde doivent se retrouver à l'avant du paquet (vers les grandes valeurs de x_r), tandis que les composantes de courte longueur d'onde restent à l'arrière :

• Sur la figure 5(a), on observe à l'avant du paquet (x_r élevé) des oscillations très resserrées (courtes longueurs d'onde, k grand) et à l'arrière des oscillations plus étalées : la vitesse de groupe croît avec k.
• Sur la figure 5(b), on observe à l'avant du paquet (x_r élevé) des oscillations très étalées (grandes longueurs d'onde, faible k) et à l'arrière des oscillations très resserrées (k grand) : la vitesse de groupe décroît avec k.

D'après la question Q42, la relation de dispersion de la houle sans vent s'écrit :

Au voisinage des rivages, dans l'approximation des eaux peu profondes (kh \ll 1), on a :

En ne conservant que le premier ordre, la relation de dispersion devient :

Comme \omega > 0 et k > 0, la pulsation s'écrit linéairement en fonction de k :

On en déduit l'expression de la vitesse de phase :

et celle de la vitesse de groupe :

soit :

D'après la question Q45, la relation de dispersion en eau peu profonde s'écrit :

Le milieu est rigoureusement non dispersif : toutes les composantes spectrales du paquet d'ondes se propagent à la même célérité. De plus, les effets dissipatifs étant négligés, la propagation s'effectue sans atténuation.

Par conséquent, le paquet d'ondes se propage sans déformation :

• L'enveloppe ne subit aucun étalement temporel ni spatial : sa largeur reste strictement identique à celle observée à t_r = 0.
• L'amplitude maximale des oscillations est parfaitement conservée.
• La longueur d'onde de la porteuse reste uniforme et identique à celle du paquet initial (absence totale de dispersion spatiale des composantes haute et basse fréquences).
• L'enveloppe et les oscillations de phase avancent à la même vitesse (v_\varphi = v_g).

Le profil spatial à t_r = 300 est donc la réplique exacte par simple translation du profil donné à t_r = 0, centré en x_r = 150 et tracé autour de la ligne de base en pointillés correspondant au niveau t_r = 300 (ordonnée \eta = 3).

D'après la question Q45, la houle sans vent en régime d'eau peu profonde (kh \ll 1) possède une vitesse de phase indépendante de la pulsation \omega :

Pour la profondeur de référence h_0, la célérité vaut donc :

Le rapport des vitesses s'écrit alors :

On peut donc écrire la vitesse de phase sous la forme :

avec pour indice de réfraction :

La grandeur n(h) est bien sans dimension, et elle vaut l'unité pour h = h_0, en accord parfait avec l'énoncé.

D'après la question Q47, l'indice de réfraction associé à une profondeur locale h s'écrit :

Pour x \in \left[0 \,;\, \frac{h_0}{\beta}\right], la profondeur varie selon le profil linéaire :

En substituant cette expression dans la définition de l'indice, on obtient :

Considérons le milieu découpé en tranches élémentaires d'épaisseur \mathrm{d}x, invariantes selon Oy. Chaque interface entre deux tranches successives est un plan vertical parallèle à (Oy) de normale \vec{u}_x.

D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction de la houle énoncée par le texte :

Par continuité et récurrence de proche en proche à travers toutes les tranches, la quantité n(x)\sin(\theta(x)) est un invariant de la trajectoire :

En x = 0, l'onde incidente issue du domaine x \le 0 possède un angle d'incidence \theta_0 et se propage dans un milieu d'indice n_0 = n(h_0) = 1. L'invariant vaut donc :

D'où :

En utilisant l'expression de l'indice n(x) établie à la question Q48, n(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta \frac{x}{h_0}}}, on obtient bien pour tout x \in \left[0 ; \frac{h_0}{\beta}\right] :

Considérons un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\vec{u}_x + \mathrm{d}y\,\vec{u}_y le long de la trajectoire de l'onde (ligne de champ du vecteur d'onde \vec{k}).

D'après la figure 8, l'angle \theta(x) est l'angle que fait la tangente à la trajectoire avec l'axe (Ox) (qui est la normale aux lignes d'isoprofondeur x = \text{cte}). La pente locale de la trajectoire s'écrit donc :

Pour \theta(x) \in \left[0\,; \frac{\pi}{2}\right[, on a \cos(\theta(x)) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta(x))} > 0, d'où :

D'après la relation établie à la question Q49 :

En substituant cette expression, il vient :

et la relation différentielle vérifiée par y(x) s'écrit :

avec :

La trajectoire y(x) passant par le point M_0(0,0) s'obtient alors par simple quadrature :

1. Relation de récurrence

D'après la question Q50, la trajectoire vérifie l'équation différentielle :

En approchant la dérivée en x_n par un taux d'accroissement fini entre x_n et x_{n+1} = x_n + p selon la méthode d'Euler explicite, on écrit :

En notant y_n \approx y(x_n) et y_{n+1} \approx y(x_{n+1}), on obtient la relation de récurrence :

2. Complétion du programme Python (Document réponse 7)

Remarque sur la numérotation : Dans le document réponse 7 imprimé, les encarts à compléter correspondent à la ligne 12 (corps de la fonction f) et à la ligne 20 (calcul de y dans la boucle), désignées dans l'énoncé comme les lignes 13 et 22 en raison d'un léger décalage d'indexation.

• Ligne 12 (ou 13) : la fonction f(x) s'exprime (d'après Q50) par :

  f(x) = \frac{\sin\theta_0 \sqrt{1 - \beta\,\dfrac{x}{h_0}}}{\sqrt{1 - \sin^2\theta_0 \left(1 - \beta\,\dfrac{x}{h_0}\right)}}

  ce qui se traduit en Python par :

  return mt.sin(theta0) * mt.sqrt(1 - beta * x / h0) / mt.sqrt(1 - (mt.sin(theta0))**2 * (1 - beta * x / h0))

  Autre formulation équivalente :

  return mt.tan(mt.asin(mt.sin(theta0) * mt.sqrt(1 - beta * x / h0)))

• Ligne 20 (ou 22) : dans la boucle for n in range(N):, les listes contiennent les valeurs calculées jusqu'à l'indice n, soit x_n = \texttt{X[n]} et y_n = \texttt{Y[n]}. L'ordonnée au pas suivant est donc :

  y = Y[n] + p * f(X[n])

1. Tracé sur le document réponse 8

• Orthogonalité : les rayons de houle (dont la trajectoire y(x) tracée est une ligne de champ de \vec{k}) sont partout orthogonaux aux surfaces d'onde (courbes équiphases ou crêtes de vagues). En tout point (x, y(x)) de la trajectoire, la tangente à la crête est perpendiculaire à la tangente à la trajectoire.

• Orientation : la pente de la trajectoire est \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \tan \theta(x). La pente de la crête vaut donc -\dfrac{1}{\tan \theta(x)} = -\operatorname{cotan}\theta(x).

  • En x = 0, \theta_0 = 72^\circ, la crête est inclinée d'un angle de 18^\circ par rapport à la verticale (pente modérée négative \approx -0{,}32).
  • Lorsque x \to \dfrac{h_0}{\beta} = 200\text{ m}, \theta(x) \to 0 : la trajectoire devient horizontale (\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \to 0) et la crête devient verticale (\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \to -\infty).
• Espacement des crêtes : la période temporelle T étant conservée en régime stationnaire, la longueur d'onde locale s'écrit \lambda(x) = c(x)\, T = \sqrt{gh(x)}\, T. La profondeur h(x) diminuant à l'approche de la côte, la célérité c(x) diminue, ce qui entraîne un resserrement progressif des crêtes successives (\lambda diminue).

2. Commentaires physiques

• Relation avec les isobathes : La profondeur h(x) = h_0 - \beta x ne dépend que de x. Les courbes d'iso-profondeur (isobathes), ainsi que le rivage situé en x = h_0/\beta = 200\text{ m}, sont donc des droites parallèles à l'axe (Oy). À l'approche du rivage, la diminution de profondeur entraîne un ralentissement de l'onde (c = \sqrt{gh} diminue). D'après la loi de Snell-Descartes bathymétrique, les rayons se courbent vers la normale aux isobathes (\theta(x) \to 0). Par orthogonalité, les crêtes de vagues tournent et tendent à devenir parallèles aux isobathes et à la ligne de côte.
• Lien avec la figure 6 (Bahía San Juanico) : Sur la photographie, on observe exactement ce phénomène spectaculaire : bien que la houle du large arrive avec une incidence fortement oblique, la réfraction par les hauts-fonds fait pivoter les crêtes successives jusqu'à ce qu'elles viennent épouser la forme de la baie et déferler parallèlement au rivage.