Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2022

D'après le tableau de données en fin d'énoncé, l'eau oxygénée \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} intervient dans deux couples d'oxydoréduction :

• dans le couple \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} / \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_{(\ell)}, le peroxyde d'hydrogène joue le rôle d'oxydant (le nombre d'oxydation de l'oxygène passe de -\mathrm{I} dans \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 à -\mathrm{II} dans \mathrm{H}_2\mathrm{O}) ;
• dans le couple \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} / \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})}, le peroxyde d'hydrogène joue le rôle de réducteur (le nombre d'oxydation de l'oxygène passe de -\mathrm{I} dans \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 à 0 dans \mathrm{O}_2).

En milieu aqueux acide, les demi-réactions électroniques associées, écrites dans le sens conventionnel \mathrm{Ox} + n\,\mathrm{e}^- = \mathrm{Red}, s'écrivent :

D'après les valeurs des potentiels standard données dans l'énoncé :

• E^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} / \mathrm{H}_2\mathrm{O}) = 1{,}77\text{ V} ;
• E^\circ(\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} / \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})}) = 0{,}68\text{ V}.

Une réaction d'oxydoréduction est thermodynamiquement favorisée dans le sens direct entre l'oxydant du couple au potentiel standard le plus élevé et le réducteur du couple au potentiel standard le moins élevé (règle du gamma).

Ici, \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} est à la fois l'oxydant du couple à 1{,}77\text{ V} et le réducteur du couple à 0{,}68\text{ V}. La transformation thermodynamiquement favorisée est donc la réaction de l'eau oxygénée sur elle-même.

En combinant les deux demi-réactions électroniques établies à la question Q1 :

On obtient l'équation bilan :

Cette réaction, au cours de laquelle une même espèce chimique joue à la fois le rôle d'oxydant et de réducteur, s'appelle une dismutation.

L'adverbe « alors » relie directement cette question à la dismutation mise en évidence à la question précédente (Q2). Deux lectures complémentaires sont à envisager :

1. Selon la logique du texte et l'enchaînement des questions : La réaction de dismutation thermodynamiquement favorisée libère du dioxygène gazeux :

   2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} \longrightarrow 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}

   Le dioxygène \mathrm{O}_{2} ainsi produit in situ (notamment sous forme d'oxygène naissant ou d'espèces réactives de l'oxygène) est l'agent oxydant attendu qui dégrade et décolore les pigments organiques (chromophores) responsables du jaunissement des dents.

2. D'un point de vue chimique rigoureux : L'eau oxygénée \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 est elle-même un puissant oxydant dans le couple \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O} (E^\circ = 1{,}77\text{ V}). Le peroxyde d'hydrogène \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 oxyde directement les molécules colorées des dents, provoquant leur coupure ou la perte de leurs liaisons conjuguées, ce qui conduit au blanchiment.

L'action de blanchiment est donc attribuée selon le barème soit au dioxygène \mathrm{O}_2 (produit par la dismutation), soit au peroxyde d'hydrogène \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 lui-même :

L'eau oxygénée \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} se comporte comme un acide de Brønsted vis-à-vis de l'eau, selon le couple acide-base \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} / \mathrm{HO}_{2(\mathrm{aq})}^-. La réaction modélisant son action sur le solvant eau s'écrit :

La constante d'équilibre associée à cette réaction correspond à la constante d'acidité K_a du couple :

D'après les données de l'énoncé, \mathrm{p}K_a = 11{,}6, d'où :

En ne prenant en compte que la réaction de dissociation acide de l'eau oxygénée sur l'eau :

avec une concentration initiale C = 1 \times 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} et en considérant une concentration initiale nulle en ions \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+, l'avancement volumique à l'équilibre vaut h = [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] = [\mathrm{HO}_2^-].

La constante d'acidité s'exprime par :

L'acide étant très faible (\mathrm{p}K_a = 11{,}6), la dissociation est très peu avancée, d'où l'approximation h \ll C, soit C - h \approx C. On obtient :

Le pH de la solution s'en déduit :

Commentaire du résultat : On trouve un \mathrm{pH} > 7, ce qui correspondrait à un milieu basique à 298\text{ K}. Or, l'ajout d'un acide (même très faible) dans l'eau pure ne peut en aucun cas rendre la solution basique. Ce résultat est donc physiquement aberrant : il provient du fait d'avoir négligé l'autoprotolyse de l'eau, dont l'apport en ions \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+ (de l'ordre de 10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) est ici supérieur à celui de l'acide (h = 10^{-7{,}3} \approx 5 \times 10^{-8}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}).

Pour rendre compte d'un \mathrm{pH} inférieur à 7, il est nécessaire de prendre en compte deux réactions :

1. La réaction acide-base de l'eau oxygénée sur l'eau :

   \mathrm{H_2O_{2\,(aq)}} + \mathrm{H_2O_{(\ell)}} \rightleftharpoons \mathrm{HO_{2\,(aq)}^-} + \mathrm{H_3O^+_{(aq)}}, \quad K_a = 10^{-11{,}6}

2. L'autoprotolyse de l'eau, indispensable lorsque la concentration en ions oxonium apportée par l'acide est du même ordre de grandeur que celle issue de l'eau :

   2\,\mathrm{H_2O_{(\ell)}} \rightleftharpoons \mathrm{H_3O^+_{(aq)}} + \mathrm{HO^-_{(aq)}}, \quad K_e = 10^{-14}

Vérifions quantitativement ce résultat par la condition d'électroneutralité de la solution :

L'eau oxygénée étant très faiblement dissociée, [\mathrm{H_2O_2}] \approx C, d'où :

En injectant ces expressions dans la relation d'électroneutralité, on obtient :

soit :

Application numérique avec K_a\,C = 10^{-11{,}6} \times 10^{-3} = 10^{-14{,}6} \approx 2{,}51 \times 10^{-15}\text{ mol}^2\cdot\text{L}^{-2} et K_e = 10^{-14}\text{ mol}^2\cdot\text{L}^{-2} :

On retrouve précisément la valeur mesurée.

Le diagramme d'état (P, T) d'un corps pur présente les domaines de stabilité thermodynamique de chaque phase ainsi que les courbes de coexistence entre deux phases. Pour l'eau, il présente une spécificité remarquable : la courbe d'équilibre solide-liquide possède une pente négative (\mathrm{d}P/\mathrm{d}T < 0), traduisant le fait que la masse volumique de la glace est inférieure à celle de l'eau liquide (\Delta_{\text{fus}} v < 0).

Les trois domaines de phase sont ainsi répartis :

• Solide à basse température et haute pression ;
• Liquide à température intermédiaire et haute pression ;
• Gaz (ou vapeur) à haute température et basse pression.

Ces domaines sont séparés par trois courbes de coexistence se rejoignant au point triple \mathrm{T} (T_t \approx 0{,}01\text{ }^\circ\mathrm{C}, P_t \approx 6{,}11\text{ mbar}), la courbe de vaporisation s'interrompant au point critique \mathrm{C} (T_c \approx 374\text{ }^\circ\mathrm{C}, P_c \approx 221\text{ bar}).

Une vapeur saturante est la phase vapeur d'un corps pur en équilibre thermodynamique avec sa phase condensée (liquide ou solide) à une température fixée T.

La pression exercée par cette vapeur à l'équilibre est appelée pression de vapeur saturante, notée P_{\text{sat}}(T) ; elle ne dépend que de la température T pour un corps pur donné.

Avant l'ouverture de la soupape, la quantité de matière d'air n_{\text{air}} enfermée dans le volume gazeux V reste constante. En assimilant l'air à un gaz parfait isochore :

Initialement, la température vaut T_0 = 293\text{ K} et la pression de vapeur d'eau est négligeable, de sorte que la pression partielle de l'air est égale à la pression initiale P_0 = 1{,}00\text{ bar}. À la température T_1 = 85\text{ }^\circ\text{C} = 85 + 273 = 358\text{ K}, la pression partielle de l'air s'écrit :

Application numérique :

La soupape commence à se soulever lorsque la pression intérieure P_{\text{tot}} dépasse la pression extérieure P_0 de \Delta P = 0{,}69\text{ bar} :

D'après la loi de Dalton pour le mélange gazeux (air et vapeur d'eau) :

Application numérique :

Lorsque tout l'air a été évacué, la phase gazeuse au-dessus de l'eau liquide est constituée exclusivement de vapeur d'eau. La vapeur étant en équilibre avec l'eau liquide, la pression à l'intérieur de la cocotte est la pression de vapeur saturante :

La soupape régule la pression interne en laissant échapper la vapeur dès que la surpression atteint \Delta P = 0{,}69\text{ bar}, ce qui fixe la pression interne à :

D'après la loi de Duperray :

En prenant la racine quatrième (remarquons que \sqrt{1{,}69} = 1{,}30) :

On en déduit la température :

Soit, en kelvins, avec T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273 :

Une différence de pression de consigne plus élevée n'est pas retenue pour un autocuiseur à usage domestique pour deux raisons principales :

1. La sécurité mécanique : Une pression intérieure accrue soumettrait la cuve, le couvercle et les joints à des contraintes mécaniques considérablement plus fortes. Le risque de fuite brutale de vapeur d'eau sous pression, de déformation, voire de rupture catastrophique (explosion) de l'enceinte serait alors nettement plus élevé dans un contexte d'utilisation grand public.
2. La préservation des aliments : D'après la courbe d'équilibre liquide-vapeur (ou la loi de Duperray), une pression plus forte imposerait une température d'ébullition plus importante. Or, à des températures trop élevées (au-delà de 120\text{ }^\circ\mathrm{C} environ), les qualités gustatives et la texture des aliments sont altérées, et de nombreux nutriments thermolabiles (comme les vitamines) sont dégradés.

Lors de l'injection de vapeur d'eau dans l'autoclave, il faut veiller tout particulièrement à :

• Évacuer préalablement la totalité de l'air résiduel de l'enceinte (par des cycles de vide ou de purge). La présence de poches d'air froid résiduel agirait comme un isolant thermique et empêcherait la vapeur d'entrer en contact direct avec toutes les surfaces des instruments, tout en abaissant la pression partielle de vapeur d'eau et donc la température de saturation.
• Assurer la présence exclusive d'une vapeur d'eau saturée homogène, afin de maximiser le transfert thermique par condensation de l'eau sur les instruments (libération de l'enthalpie de vaporisation) et d'atteindre uniformément la température de consigne (134\,^\circ\text{C}) au cœur de la charge.

La température de stérilisation de l'autoclave est de t = 134\text{ }^\circ\text{C}, valeur comprise dans le domaine de validité [100\text{ }^\circ\text{C} \,;\, 200\text{ }^\circ\text{C}] de la formule empirique de Duperray fournie dans l'énoncé :

avec P_0 = 1\text{ bar} et t exprimée en ^\circ\text{C}.

Pour t = 134\text{ }^\circ\text{C} :

Commentaire :

• Dans l'autocuiseur, la pression totale de fonctionnement était limitée par la soupape à P_{\text{tot}} = P_0 + \Delta P = 1{,}69\text{ bar}, ce qui correspondait à une température de vapeur d'eau d'environ 114\text{ }^\circ\text{C} (question Q10).
• Dans l'autoclave, la pression atteinte (3{,}2\text{ bar}) est près de deux fois supérieure à celle de l'autocuiseur.
• Cette surpression importante permet d'atteindre une température de vapeur saturante nettement plus élevée (134\text{ }^\circ\text{C}), garantissant une destruction rapide et efficace des germes pathogènes et des spores bactériennes en seulement trois minutes, mais impose une enceinte métallique particulièrement robuste et étanche sans soupape de décharge à basse pression.

• Identification des tests réussi et échoué :

  • Le test de Bowie-Dick évalue la capacité de l'autoclave à évacuer la totalité de l'air pour permettre une pénétration complète, homogène et rapide de la vapeur d'eau saturée jusqu'au cœur de la charge poreuse.
  • Sur l'image b, le virage de couleur (du gris au noir) est homogène et complet sur l'ensemble de la feuille, y compris au centre : la vapeur d'eau saturée a pénétré partout au cœur du paquet. L'image b correspond donc à un test réussi.
  • Sur l'image c, seule la périphérie a viré au noir tandis que le centre est resté gris : une poche d'air résiduel au centre a empêché la vapeur saturante d'atteindre le cœur du pack (l'air n'ayant pas été convenablement évacué). L'image c correspond donc à un test ayant échoué.

• Intérêt de l'image a :

  • L'image a représente la feuille thermosensible avant le cycle de stérilisation (état initial).
  • Elle sert de témoin de référence, permettant de vérifier que l'indicateur chimique n'a pas été prématurément dégradé (chaleur ou humidité lors du stockage) et de comparer visuellement le contraste avant/après traitement.

La célérité de l'onde dans l'air étant assimilée à la célérité de la lumière dans le vide c, la longueur d'onde \lambda est reliée à la fréquence f par la relation :

Application numérique avec c = 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 2{,}45\text{ GHz} = 2{,}45 \times 10^9\text{ Hz} :

Une onde dont la fréquence est comprise entre 300\text{ MHz} et 300\text{ GHz} (longueur d'onde comprise entre 1\text{ mm} et 1\text{ m}) appartient au domaine des micro-ondes (ou ondes centimétriques, au sein du domaine général des ondes radio/hertziennes).

Dans le vide de matière, la densité volumique de charge et la densité volumique de courant sont nulles : \rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}. Les équations de Maxwell s'écrivent :

où c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

Les opérateurs spatiaux et temporels commutant pour des champs réguliers, on obtient en utilisant l'équation de Maxwell-Ampère :

D'après l'identité vectorielle fournie :

Comme \operatorname{div}\vec{E} = 0 d'après l'équation de Maxwell-Gauss, il vient :

Le champ électrique vérifie donc l'équation de d'Alembert :

Traduisions successivement les caractéristiques imposées par l'énoncé :

• Polarisation rectiligne suivant (Ox) : le champ électrique est dirigé selon l'axe (Ox), soit :

  \vec{E}(z,t) = E(z,t)\,\vec{u}_x
• Onde plane : le champ ne dépend dans l'espace que de la coordonnée de direction de propagation z. Les plans d'onde sont les plans z = \text{cte}, perpendiculaires à la direction de propagation.
• Onde progressive se propageant selon l'axe des z > 0 : la dépendance spatio-temporelle s'écrit sous la forme d'une fonction de la variable (t - z/c) ou (kz - \omega t).
• Monochromatique : la dépendance temporelle est sinusoïdale de pulsation \omega = 2\pi f.

Le champ électrique réel solution de l'équation de d'Alembert s'écrit donc :

ou, en notation complexe :

avec les notations suivantes :

• E_0 : amplitude (réelle positive) du champ électrique (en \mathrm{V\cdot m^{-1}}) ;
• \omega = 2\pi f : pulsation de l'onde (en \mathrm{rad\cdot s^{-1}}) ;
• k = \dfrac{\omega}{c} = \dfrac{2\pi}{\lambda} : norme du vecteur d'onde ou nombre d'onde (en \mathrm{rad\cdot m^{-1}}) ;
• \varphi_0 : phase à l'origine (en \mathrm{rad}) ;
• \vec{u}_x : vecteur unitaire de l'axe (Ox).

D'après l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide :

Le champ électrique s'écrit (résultat de la question Q17) \vec{E}(z,t) = E_x(z,t)\,\vec{u}_x avec E_x(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz + \varphi_0). Calculons son rotationnel en coordonnées cartésiennes :

La dérivée spatiale de E_x par rapport à z vaut :

Par identification avec -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}, la seule composante non nulle (à composante constante près, que l'on prend nulle) est portée par \vec{u}_y :

En intégrant par rapport au temps t et sachant que k = \dfrac{\omega}{c} :

On en déduit l'expression du champ magnétique associé :

Par définition, dans le vide, le vecteur de Poynting s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q17 et Q18 :

Le produit vectoriel des vecteurs unitaires vaut \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z. On en déduit :

Sachant que \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, soit \dfrac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c, le vecteur de Poynting peut également s'exprimer directement à l'aide des constantes données par l'énoncé :

D'après le résultat de la question Q19, le vecteur de Poynting instantané s'écrit :

La valeur moyenne temporelle d'une grandeur g(t) sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} est définie par :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos^2(X) = \frac{1 + \cos(2X)}{2}, la moyenne de la fonction cosinus sur un nombre entier de périodes étant nulle, on a :

On en déduit immédiatement la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting :

L'antenne émet de façon isotrope une onde électromagnétique dans tout l'espace. En intégrant le flux du vecteur de Poynting temporellement moyenné à travers une sphère \mathcal{S} de rayon d centrée sur l'antenne, la puissance moyenne rayonnée s'écrit :

Par isotropie et propagation radiale centrifuge, \langle \vec{\Pi} \rangle = \langle \Pi \rangle \, \vec{u}_r est uniforme sur la sphère de surface 4\pi d^2, d'où :

En assimilant localement l'onde à l'OPPM étudiée aux questions précédentes, la valeur moyenne du vecteur de Poynting établie à la question Q20 s'écrit :

En égalant ces deux expressions, on obtient :

L'amplitude du champ électrique à la distance d vaut ainsi :

Application numérique :

• P = 100\text{ mW} = 0{,}100\text{ W} ;
• d = 5\text{ m} ;
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• c = 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

La fréquence du signal wifi est f = 2{,}45\text{ GHz}, ce qui appartient bien à la plage de fréquences considérée par l'INERIS ([2\text{ GHz} ; 300\text{ GHz}]).

D'après la question Q21, l'amplitude du champ électrique à la distance d = 5\text{ m} vaut :

Cette valeur est très nettement inférieure au seuil maximal réglementaire fixé par l'INERIS (E_{\max} = 61\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}) :

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe (Oz), la puissance \mathcal{P}(\Gamma_1) développée par le couple de frottements de moment \Gamma_1 = -\alpha\omega est donnée par le produit du moment et de la vitesse angulaire de rotation :

soit :

Les forces de frottements sont toujours résistantes et dissipent l'énergie mécanique sous forme thermique. D'après le deuxième principe de la thermodynamique, la puissance de ces forces doit être négative ou nulle quel que soit l'état de mouvement, c'est-à-dire :

Puisque le terme \omega^2 est strictement positif dès lors que le cylindre est en rotation (\omega \neq 0), cette condition impose :

On applique le théorème du moment cinétique au cylindre en rotation autour de l'axe fixe (Oz), orienté par \vec{u}_z, dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

En remplaçant le couple de frottement fluide par son expression \Gamma_1 = -\alpha \omega, on obtient :

Soit, sous forme canonique :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant.

• La solution de l'équation homogène associée s'écrit :

  \omega_{\mathrm{h}}(t) = A\,\mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{J}t} \quad \text{avec } A \in \mathbb{R}

• Une solution particulière constante \omega_{\mathrm{p}} vérifie \frac{\alpha}{J}\omega_{\mathrm{p}} = \frac{\Gamma_0}{J}, soit :

  \omega_{\mathrm{p}} = \frac{\Gamma_0}{\alpha}

La solution générale est la somme de la solution particulière et de la solution homogène :

Le cylindre étant initialement au repos, la condition initiale impose \omega(0) = 0 :

On en déduit l'expression temporelle de la vitesse angulaire de rotation :

La vitesse angulaire limite \omega_l correspond au régime permanent atteint lorsque le temps écoulé est grand devant le temps caractéristique \tau = \frac{J}{\alpha}, c'est-à-dire quand l'accélération angulaire s'annule (\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = 0).

À partir de l'équation différentielle établie à la question Q24 :

en régime permanent, la somme des couples selon (Oz) s'annule :

On retrouve immédiatement cette valeur en prenant la limite de l'expression temporelle obtenue à la question Q24 pour t \to +\infty :

D'où l'expression de la vitesse angulaire limite :

Le cylindre est en rotation autour de l'axe fixe (Oz) dans un référentiel galiléen. Le théorème du moment cinétique appliqué au cylindre et projeté sur l'axe (Oz) s'écrit :

En remplaçant \Gamma(t) et \Gamma_1(t) par leurs expressions :

On introduit la variable d'écart relatif \varepsilon(t) définie par \omega(t) = \omega_l(1 + \varepsilon(t)), ce qui donne en dérivant par rapport au temps :

L'équation du mouvement devient alors :

D'après la question Q25, la vitesse angulaire limite vérifie \Gamma_0 = \alpha\omega_l. Les termes constants se compensent donc exactement :

Il reste :

En divisant les deux membres par J\omega_l, et en remarquant que \dfrac{\Gamma_0}{\omega_l} = \alpha, on obtient directement :

L'équation différentielle vérifiée par \varepsilon(t) s'écrit, d'après la question Q26 :

La solution générale est de la forme \varepsilon(t) = \varepsilon_h(t) + \varepsilon_p(t) :

• La solution de l'équation différentielle homogène associée est :

  \varepsilon_h(t) = K\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{J}{\alpha}

  Comme \alpha > 0 et J > 0, le temps caractéristique \tau est strictement positif. Au bout d'un temps suffisant (t \gg \tau), le terme transitoire tend vers zéro : \lim_{t\to +\infty} \varepsilon_h(t) = 0.

• L'équation étant linéaire à coefficients constants et l'excitation purement sinusoïdale de pulsation \Omega, le régime permanent établi \varepsilon(t) \approx \varepsilon_p(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation \Omega.

On cherche la solution sous la forme \varepsilon(t) = a \cos(\Omega t - \phi). En notation complexe, on lui associe le signal :

L'équation différentielle projetée en notation complexe s'écrit :

Soit, en simplifiant par \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega t} :

L'amplitude a = |\underline{a}| s'obtient en prenant le module :

Le déphasage \phi = -\arg(\underline{a}) s'obtient à partir de l'argument de \underline{a} :

Puisque \alpha > 0 et J\Omega > 0, on en déduit immédiatement :

1. Rôle du volant d'inertie

D'après le résultat de la question Q27, l'amplitude des oscillations relatives de la vitesse angulaire est :

Un volant d'inertie, constitué d'un anneau de masse importante M et de grand rayon R, possède un moment d'inertie J \approx M R^2 très élevé. En augmentant J :

• le dénominateur augmente fortement et l'amplitude a tend vers zéro (a \approx \dfrac{\alpha\gamma}{J\Omega} \ll 1) ;
• sur le plan énergétique, le volant accumule une grande quantité d'énergie cinétique E_c = \frac{1}{2}J\omega^2, ce qui lui confère une forte inertie : les fluctuations de couple moteur ou résistant n'induisent alors que d'infimes variations relatives de vitesse angulaire \Delta\omega/\omega.

2. Inapplicabilité en cabinet dentaire

Un tel dispositif est totalement inadapté à un instrument dentaire pour plusieurs raisons :

• Encombrement et masse : la tête de l'instrument doit pénétrer dans la cavité buccale du patient ; elle requiert une taille millimétrique et une grande légèreté pour être maniable avec précision par le praticien.
• Effet gyroscopique : un moment d'inertie élevé associé à une rotation rapide créerait un couple gyroscopique important lors des changements d'orientation de l'outil, gênant considérablement la précision du geste du dentiste.
• Sécurité : un système possédant une grande inertie mettrait beaucoup de temps à s'arrêter (temps de décélération \tau = J/\alpha élevé), ce qui présenterait un danger majeur de blessure pour les tissus buccaux en cas d'urgence.

3. Autres solutions envisageables

Pour stabiliser la vitesse de rotation sans alourdir l'outil, on peut :

• utiliser une régulation active (ou asservissement électronique) du moteur ou une régulation du débit d'air comprimé, qui compense instantanément les variations de couple résistant ;
• travailler à très haute vitesse de rotation (comme avec une turbine à air comprimé à plus de 400\,000\text{ tr}\cdot\text{min}^{-1}) associée à un équilibrage dynamique minutieux du rotor.

La vitesse angulaire de rotation \omega est reliée à la fréquence de rotation N par :

Pour N = 400\,000\text{ tr}\cdot\text{min}^{-1} :

Une dent humaine ayant des dimensions de l'ordre du centimètre, la tête d'une fraise dentaire présente typiquement un diamètre de l'ordre de 1\text{ mm} à 2\text{ mm}, soit un rayon estimé à :

La vitesse linéaire v_l d'un point situé à la périphérie du cylindre de coupe s'écrit :

En prenant R \approx 1\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} :

(Pour R \approx 0{,}5\text{ mm}, on obtiendrait v_l \approx 21\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, soit dans tous les cas quelques dizaines de mètres par seconde.)

Commentaire :

• Cette vitesse linéaire est remarquablement élevée pour un objet millimétrique : elle est de l'ordre de 150\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} (vitesse autoroutière).
• Une vitesse aussi grande assure une coupe très nette et efficace des tissus durs (émail, dentine), réduisant la douleur et le temps d'intervention.
• En contrepartie, le frottement à une telle vitesse engendre un échauffement thermique considérable, susceptible d'endommager irréversiblement la pulpe dentaire en l'absence de refroidissement.

Lors de l'application de la fraise sur la dent, la force pressante exercée par le praticien engendre, par frottement de contact (lois de Coulomb) et travail de découpe de l'émail ou de la dentine, un couple résistant supplémentaire \Gamma_{\text{contact}} < 0.

Le théorème du moment cinétique appliqué au rotor en régime permanent de rotation autour de l'axe (Oz) s'écrit :

La nouvelle vitesse angulaire de régime permanent s'exprime ainsi :

Une turbine à air comprimé est un actionneur fournissant une vitesse de rotation à vide extrêmement élevée mais un couple moteur \Gamma_0 très faible. Dès lors, une force d'appui même modérée génère un couple résistant |\Gamma_{\text{contact}}| du même ordre de grandeur que \Gamma_0 (typiquement |\Gamma_{\text{contact}}| \approx \Gamma_0 / 2), ce qui provoque une chute importante de la vitesse angulaire (d'environ 50 %).

Ces deux dispositifs répondent à des contraintes cliniques et physiologiques précises :

1. La fibre optique (éclairage intégré) :

   • Pour le praticien : elle apporte un éclairage direct et sans ombre portée au plus près du champ opératoire, souvent sombre et exigu, améliorant grandement la visibilité et la précision du geste technique.
   • Pour le patient : elle garantit une intervention plus sûre, plus rapide et minimise le risque d'atteinte accidentelle des tissus sains environnants.

2. Les jets d'eau (spray air-eau) :

   • Refroidissement thermique (intérêt majeur pour le patient) : le frottement mécanique à très haute vitesse de rotation génère un échauffement considérable. Une élévation de température de quelques degrés seulement entraînerait une nécrose thermique irréversible de la pulpe dentaire (nerf) ainsi que de vives douleurs. L'eau pulvérisée évacue la chaleur par convection et vaporisation.
   • Évacuation des débris (intérêt pour le praticien et le patient) : le spray chasse en continu les débris d'émail et de dentine (boue dentinaire), ce qui dégage le champ de vision du dentiste et évite le colmatage de la fraise ainsi que l'inhalation de poussières minérales par le patient.

Soit une charge ponctuelle q > 0 située à l'origine O. En repérant le point M par le vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{OM} = r\,\vec{u}_r (avec r = \|\overrightarrow{OM}\| et \vec{u}_r le vecteur unitaire radial dirigé de O vers M), la loi de Coulomb donne l'expression du champ électrostatique créé dans le vide :

Le champ électrostatique dérive du potentiel scalaire selon la relation \vec{E} = -\vec{\mathrm{grad}}\,V. Par invariance sous toute rotation autour de O, le potentiel ne dépend que de la distance radiale r, de sorte que :

En intégrant par rapport à r :

Avec la condition d'un potentiel nul à l'infini (\lim_{r \to +\infty} V(r) = 0), la constante d'intégration est nulle, ce qui conduit à :

Définitions :

• Une ligne de champ est une courbe de l'espace en tout point de laquelle le vecteur champ électrostatique \vec{E} est tangent, orientée dans le même sens que \vec{E} (c'est-à-dire dans le sens des potentiels décroissants).

• Une surface équipotentielle est le lieu géométrique des points de l'espace ayant la même valeur du potentiel électrostatique :

  \{M \in \mathbb{R}^3 \mid V(M) = \text{cste}\}.

Cas de la charge ponctuelle q > 0 située en O :

• D'après la question Q32, le champ électrostatique s'écrit \vec{E}(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r. Puisque q > 0, le champ est radial et centrifuge :

  \boxed{\text{Les lignes de champ sont les demi-droites issues de } O \text{ et orientées vers l'infini.}}

• Le potentiel ne dépend que de la distance radiale : V(r) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}. L'équation V(r) = \text{cste} correspond donc à r = \text{cste} :

  \boxed{\text{Les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques centrées en } O.}

Représentation dans un plan passant par O :

Dans un plan passant par O, la trace des surfaces équipotentielles donne une famille de cercles concentriques centrés en O, et les lignes de champ forment des demi-droites radiales dirigées vers l'extérieur.

D'après le principe de superposition, le potentiel électrostatique V(O) et le champ électrostatique \vec{E}(O) en l'origine O sont les sommes des contributions créées respectivement par la charge q_A = -q située en A(-a, 0, 0) et par la charge q_B = +q située en B(a, 0, 0).

Les distances respectives au point O valent :

1. Potentiel électrostatique en O :

En prenant la référence usuelle d'un potentiel nul à l'infini (rappelée en question Q32), le potentiel créé en O s'écrit :

soit :

2. Champ électrostatique en O :

En utilisant l'expression du champ d'une charge ponctuelle établie en question Q32 :

Les deux contributions sont colinéaires et de même sens (orientées de la charge positive B vers la charge négative A, c'est-à-dire vers les x décroissants).

Le champ total en O vaut donc :

Le champ électrostatique dérive du potentiel scalaire selon :

D'après le formulaire, le gradient en coordonnées sphériques s'écrit :

Le potentiel dipolaire étant indépendant de l'angle azimutal \varphi, la composante E_\varphi est nulle, et les composantes radiale E_r et orthoradiale E_\theta s'écrivent :

Avec V(r,\theta) = \dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, calculons les dérivées partielles :

On en déduit immédiatement les composantes du champ électrostatique :

Dans le repère polaire associé au point M, l'axe (OM) est dirigé par le vecteur unitaire radial \vec{u}_r. Le vecteur champ électrostatique s'exprime sous la forme :

D'après la figure 4 de l'énoncé, l'angle \alpha que fait le vecteur \vec{E} avec la direction (OM) (soit avec \vec{u}_r) vérifie :

En utilisant les expressions de E_r et E_\theta établies à la question précédente Q35 :

La relation liant les angles \alpha et \theta est donc :

D'après les composantes établies à la question Q35 :

• Cas \theta = 0 (sur l'axe du dipôle, côté des x > 0) :

  Pour \theta = 0, \cos\theta = 1, \sin\theta = 0 et \vec{u}_r = \vec{u}_x. Le champ est purement radial :

  \boxed{\vec{E}(\theta=0) = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_r = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_x}

  Le champ électrostatique est colinéaire et de même sens que le moment dipolaire \vec{p}.

• Cas \theta = \pi/2 (dans le plan équatorial) :

  Pour \theta = \pi/2, \cos\theta = 0, \sin\theta = 1. D'après l'orientation de la base sphérique dans le demi-plan considéré, on a \vec{u}_r = \vec{u}_y et \vec{u}_\theta = -\vec{u}_x. Le champ est purement orthoradial :

  \boxed{\vec{E}\left(\theta=\frac{\pi}{2}\right) = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_\theta = -\frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_x}

  Le champ électrostatique est colinéaire à \vec{p} mais dirigé en sens opposé (antiparallèle).

On représente ci-dessous le vecteur champ électrique en ces deux positions (à une même distance r de l'origine O) :

D'après le texte, il y a trois électrodes exploratrices placées aux points R, L et F, de potentiels respectifs V_R, V_L et V_F, ainsi qu'une électrode de référence de potentiel V_W.

• Dérivations unipolaires : une dérivation unipolaire mesure la différence de potentiel entre une électrode exploratrice et l'électrode de référence. Ayant trois électrodes exploratrices (R, L, F), on peut en former exactement trois :

  \begin{aligned} U_R &= V_R - V_W, \\ U_L &= V_L - V_W, \\ U_F &= V_F - V_W. \end{aligned}
  \boxed{\text{Nombre de dérivations unipolaires} = 3}

• Dérivations bipolaires : une dérivation bipolaire mesure la différence de potentiel entre deux électrodes exploratrices distinctes. Le nombre de paires d'électrodes exploratrices que l'on peut constituer parmi les trois est donné par le coefficient binomial :

  \binom{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3

  Ces trois dérivations correspondent historiquement aux trois dérivations standard d'Einthoven :

  \begin{aligned} D_{\mathrm{I}} &= V_L - V_R, \\ D_{\mathrm{II}} &= V_F - V_R, \\ D_{\mathrm{III}} &= V_F - V_L. \end{aligned}
  \boxed{\text{Nombre de dérivations bipolaires} = 3}

L'association des dérivations unipolaires et bipolaires présente un double intérêt clinique et physique :

1. Multiplier les angles de vue dans le plan frontal : Chaque dérivation mesure la projection du vecteur moment dipolaire cardiaque \vec{p}(t) le long d'un axe privilégié.

   • Les dérivations bipolaires mesurent la projection de \vec{p}(t) selon les côtés du triangle d'Einthoven (RL, RF et LF, orientés à 0^\circ, 60^\circ et 120^\circ).
   • Les dérivations unipolaires mesurent la projection selon les médianes reliant le centre électrique O aux sommets R, L et F (orientées vers -150^\circ, -30^\circ et 90^\circ).

   En combinant ces deux types de dérivations, on obtient ainsi six directions de projection réparties tous les 30^\circ dans le plan frontal (système hexaxial de Cabrera).

2. Caractériser précisément l'activité électrique cardiaque : Ce maillage directionnel permet de reconstruire en amplitude, direction et sens l'évolution temporelle du vecteur cardiaque \vec{p}(t) (axe électrique du cœur), et de localiser précisément d'éventuelles anomalies (ischémies, infarctus de myocarde, blocs de conduction ou hypertrophies) qui pourraient être invisibles ou atténuées sous une seule direction de projection.

D'après l'énoncé, le potentiel électrostatique créé à grande distance par un dipôle de moment dipolaire \vec{p} centré en O s'écrit sous forme intrinsèque (vectorielle) :

En appliquant cette expression aux trois points de mesure R, L et F, et en veillant à ne pas introduire de variables angulaires, on obtient directement :

D'après l'hypothèse 2, le dipôle cardiaque \vec{p} est centré au point fixe O, qui sert donc d'origine aux vecteurs positions \overrightarrow{OR}, \overrightarrow{OL} et \overrightarrow{OF}.

D'après l'hypothèse 3, ce point O coïncide avec le centre de gravité du triangle équilatéral RLF. Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité est également le centre du cercle circonscrit. Cela impose deux relations géométriques fondamentales :

1. L'égalité des distances du centre aux trois électrodes :

   \boxed{r_R = r_L = r_F = r}

2. La nullité de la somme vectorielle définissant le centre de gravité (isobarycentre des sommets R, L et F) :

   \boxed{\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OF} = \vec{0}}

D'après les questions Q40 et Q41, les distances sont égales (r_R = r_L = r_F = r) et le point O est le centre de gravité du triangle RLF (\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OF} = \vec{0}). La somme des potentiels aux trois sommets vaut donc :

On peut donc définir le potentiel de la borne centrale de Wilson V_W comme la moyenne arithmétique des potentiels des trois membres :

Ce potentiel constitue une référence nulle stable et indépendante de l'orientation du moment dipolaire cardiaque \vec{p} au cours du cycle.

Réalisation pratique : Pour obtenir ce potentiel en pratique, on relie les trois électrodes exploratrices R, L et F à un même nœud central par l'intermédiaire de trois résistances identiques de valeur R_0 (montage en étoile). En supposant le courant prélevé par l'étage d'amplification négligeable (haute impédance d'entrée), le théorème de Millman appliqué à ce nœud donne :

Le débit volumique cardiaque D_v représente le volume total de sang éjecté par le cœur par unité de temps. La fréquence cardiaque f correspondant au nombre de battements par cette même unité de temps, le volume d'éjection systolique V à chaque battement s'exprime par :

Application numérique : Avec les données exprimées dans la même unité de temps (la minute) :

• D_v = 5{,}4\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}
• f = 70\text{ min}^{-1}

Le cœur fonctionne comme une pompe foulante. Lors d'un cycle cardiaque complet (un battement) :

• Lors de la phase de remplissage (diastole), le volume de sang V entre dans le ventricule à la pression veineuse P_2 sous l'action du milieu amont, ce qui apporte au fluide le travail de pression :

  W_2 = P_2 \, V

• Lors de la phase d'éjection (systole), le ventricule refoule ce volume V dans l'aorte à la pression artérielle P_1, effectuant contre le milieu aval un travail résistant :

  W_1 = P_1 \, V

En négligeant la variation d'énergie cinétique du sang et la variation d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie du cœur, le premier principe appliqué au fluide transvasé (ou le calcul direct du travail mécanique net des forces de pression exercées par les parois musculaires du cœur sur le sang) donne :

En utilisant l'expression du volume d'éjection systolique obtenue à la question Q43, V = \dfrac{D_v}{f} :

Application numérique :

• P_1 - P_2 = 13\text{ kPa} - 2{,}6\text{ kPa} = 10{,}4\text{ kPa} = 10{,}4 \times 10^3\text{ Pa}
• V = \dfrac{5{,}4 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{min}^{-1}}{70\text{ min}^{-1}} \approx 7{,}71 \times 10^{-5}\text{ m}^3

Une journée correspond à une durée :

À la fréquence de f = 70\text{ battements}\cdot\text{min}^{-1}, le nombre total de battements en un jour est :

Le travail mécanique utile fourni au sang en une journée vaut donc (d'après la question Q44, W = (P_1 - P_2)\,V \approx 0{,}802\text{ J}) :

Remarque : on retrouve ce résultat directement par le volume total pompé en un jour : V_{\text{jour}} = D_v \times \Delta t_{\text{min}} = 5{,}4 \times 1\,440 \approx 7\,780\text{ L} = 7{,}78\text{ m}^3, d'où W_{\text{utile, jour}} = (P_1 - P_2)\,V_{\text{jour}} = 10{,}4 \times 10^3 \times 7{,}78 \approx 81\text{ kJ}.

Le rendement mécanique de la pompe cardiaque est défini par le rapport du travail mécanique transmis au fluide sur le travail total dépensé par le cœur :

On en déduit le travail total développé par le cœur au cours d'une journée :

Commentaires :

• Puissance développée : La puissance moyenne totale du cœur au repos est :

  \mathcal{P} = \frac{W_{\text{total, jour}}}{\Delta t} = \frac{1{,}35 \times 10^5}{86\,400} \approx 1{,}6\text{ W} \quad (\text{dont environ } 0{,}94\text{ W utiles au sang}).

  Cette puissance est remarquablement faible au regard de la tâche accomplie.

• Volume pompé : Le cœur brasse quotidiennement près de 7{,}8\text{ m}^3 de sang (soit environ 8\text{ tonnes} de fluide) avec une dépense énergétique quotidienne de l'ordre de 140\text{ kJ}.
• Part métabolique : Rapportée aux dépenses énergétiques journalières d'un être humain au repos (environ 2\,000\text{ kcal} \approx 8\,400\text{ kJ}), cette énergie ne représente qu'environ 1{,}6\text{ }\% du métabolisme de base, illustrant l'efficacité remarquable du muscle cardiaque.

L'énoncé indique que la viscosité dynamique \eta s'exprime en \mathrm{Pa\cdot s}.

Une pression correspond à une force par unité de surface :

D'après la deuxième loi de Newton, une force est le produit d'une masse par une accélération :

Une surface ayant pour dimension [S] = \mathrm{L^2}, la dimension d'une pression est :

La dimension de la viscosité dynamique \eta est donc :

La figure 7 représente l'évolution de la viscosité dynamique \eta du sang en fonction du taux de cisaillement \frac{\Delta v}{\Delta x} en coordonnées logarithmiques :

• Aux faibles taux de cisaillement (\frac{\Delta v}{\Delta x} < 10^1\,\text{s}^{-1}), zone repérée « Capillaires », la viscosité diminue fortement lorsque le taux de cisaillement augmente (passant de l'ordre de 1\,\text{Pa}\cdot\text{s} à 10^{-2}\,\text{Pa}\cdot\text{s}). Le sang présente donc un comportement non newtonien, plus précisément un caractère rhéofluidifiant (ou pseudo-plastique), lié à la désagrégation et à la déformation des hématies sous l'effet de l'écoulement.
• Aux forts taux de cisaillement (\frac{\Delta v}{\Delta x} \gtrsim 10^2\,\text{s}^{-1}), zone repérée « Aorte », la courbe présente un palier horizontal : la viscosité tend vers une valeur limite constante, \eta \approx 4 \times 10^{-3}\,\text{Pa}\cdot\text{s}.

Par définition, un fluide est qualifié de newtonien lorsque sa viscosité est une constante intrinsèque indépendante des contraintes de cisaillement appliquées.

On repère le point M dans le fluide par ses coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe (Oz) :

• Invariance temporelle : le système est en régime stationnaire, ce qui implique que le champ des vitesses ne dépend pas du temps :

  \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0}

• Invariance par translation axiale : les cylindres sont suffisamment longs selon l'axe (Oz) pour négliger les effets de bord. Le système physique est invariant par toute translation de vecteur h\,\vec{u}_z le long de l'axe (Oz), d'où :

  \frac{\partial \vec{v}}{\partial z} = \vec{0}

• Invariance par rotation : la géométrie du dispositif présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), et les conditions aux limites imposées par la mise en rotation des cylindres à vitesses angulaires constantes \omega_1 et \omega_2 sont indépendantes de l'angle \theta. Le système est donc invariant par toute rotation d'angle \theta quelconque autour de (Oz) :

  \frac{\partial \vec{v}}{\partial \theta} = \vec{0}

Par conséquent, la vitesse \vec{v} du fluide en un point M ne dépend que de la coordonnée radiale r :

D'après les invariances établies à la question Q48, la vitesse ne dépend que de la variable radiale r. De plus, l'énoncé précise que les effets de bord sont négligés le long de (Oz), ce qui impose v_z = 0. Le champ des vitesses s'écrit donc :

D'après le formulaire, la divergence en coordonnées cylindriques s'exprime par :

Comme v_\theta est indépendant de \theta et que v_z = 0, les deux derniers termes sont nuls. L'incompressibilité du fluide (\operatorname{div}\vec{v} = 0) conduit alors à :

En intégrant par rapport à r, il vient :

Les parois cylindriques en r = R_1 et r = R_2 étant solides et imperméables, le fluide ne peut pas les traverser. La composante normale de la vitesse s'annule donc au contact de la paroi :

On en déduit immédiatement que K = 0, ce qui assure :

La composante radiale de la vitesse est donc identiquement nulle :

L'écoulement est par conséquent purement orthoradial : \vec{v}(r) = v_\theta(r)\,\vec{u}_\theta.

Pour un fluide visqueux (réel), les interactions microscopiques attractives entre les molécules de fluide et la paroi solide imposent une condition d'adhérence (ou de non-glissement) aux interfaces : la vitesse du fluide au contact d'une paroi solide est égale à la vitesse de cette paroi.

• Au niveau du cylindre intérieur de rayon R_1, entraîné à la vitesse angulaire \omega_1 autour de l'axe (Oz), la vitesse de la paroi solide s'écrit :

  \vec{v}_{\text{paroi}}(R_1) = R_1\,\omega_1\,\vec{u}_\theta.

  La vitesse du fluide vérifie donc :

  v(R_1) = R_1\,\omega_1.

• Au niveau du cylindre extérieur de rayon R_2, entraîné à la vitesse angulaire \omega_2 autour de l'axe (Oz), la vitesse de la paroi solide s'écrit :

  \vec{v}_{\text{paroi}}(R_2) = R_2\,\omega_2\,\vec{u}_\theta.

  La vitesse du fluide vérifie donc :

  v(R_2) = R_2\,\omega_2.

Les conditions aux limites pour la vitesse orthoradiale v(r) s'écrivent ainsi :