Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2022

On étudie le système constitué par le crochet, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le crochet est soumis à :

• la tension du câble \vec{T}, verticale et dirigée vers le haut ;
• son poids propre \vec{P}_c = m_c\,\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;
• les forces de traction exercées par les deux élingues, notées \vec{T}_1 et \vec{T}_2, dirigées le long des élingues vers le bateau.

Les élingues étant de masses négligeables et symétriques, l'équilibre statique du bateau de masse m_b impose :

À l'équilibre du crochet, la somme vectorielle des forces extérieures est nulle :

Soit, en remplaçant la résultante de traction des élingues :

En projetant sur l'axe vertical ascendant Oz :

où m = m_b + m_c représente la masse totale de la charge suspendue.

Application numérique :

a) Le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré selon un axe vertical ascendant avec une vitesse initiale nulle :

b) Par intégration par rapport au temps, la position initiale étant prise comme origine (h(0) = 0) :

c) De l'expression précédente, on tire a\,t = \dfrac{2h(t)}{t}. En réinjectant dans l'expression de la vitesse instantanée :

d) À la fin de cette phase de levage, pour h = H = 10\text{ m} et t_1 = 1\text{ min} = 60\text{ s} :

e) On applique le théorème de l'énergie cinétique au système global {bateau + crochet} de masse m = 4,0\cdot 10^3\text{ kg} (d'après la question Q1) entre les instants t = 0 et t = t_1 dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

Le système partant du repos, \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0. Les forces appliquées sont constantes et verticales :

Il vient :

D'où l'expression de la tension T' :

f) L'écart entre la tension dynamique T' et la tension statique T = m\,g vaut :

Numériquement :

On en déduit :

L'accélération du levage (a = \frac{v_f^2}{2H} \approx 5,6\cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) étant totalement négligeable devant g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on a bien :

a) D'après la relation établie à la question Q2.e, la tension du câble lors d'un levage vertical avec une accélération ascendante a constante s'écrit :

Pour ne pas dépasser la tension maximale admissible T_{\text{max}}, l'accélération doit vérifier T' \le T_{\text{max}}, soit m(g + a_{\text{max}}) = T_{\text{max}}. On en déduit :

b) Application numérique :

c) Pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale (v_0 = 0), la relation indépendante du temps entre la vitesse et la distance parcourue s'écrit v^2 = 2 a H. La vitesse théorique maximale atteinte au bout d'une hauteur H vaut donc :

Application numérique avec H = 10\text{ m} :

Sachant que 8,9^2 = 79,21 et 9,0^2 = 81 :

d) À la question Q2.d, la vitesse atteinte était v_f \approx 0,33\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On constate que :

La vitesse théorique maximale permise par la résistance du câble est environ 27 fois plus grande que la vitesse v_f adoptée lors de la manœuvre de levage en une minute.

La puissance mécanique utile P_u développée par le treuil pour enrouler le câble sous une tension T à la vitesse v_{\text{max}} est donnée par :

Convertissons la vitesse d'enroulement maximale dans les unités du Système International :

D'après les caractéristiques de la grue données dans le texte, la tension maximale du câble vaut T = T_{\text{max}} = 56 \text{ kN} = 56 \cdot 10^3 \text{ N}. On en déduit :

soit, avec deux chiffres significatifs :

Remarque : Si l'on utilisait la tension à l'équilibre du voilier calculée à la question Q1 (T = 40 \text{ kN}), on obtiendrait P_u = 40 \cdot 10^3 \times 2,0 = 80 \text{ kW}. Cependant, la formulation « à partir des caractéristiques de la grue » pour la « tension maximale T » fait référence à la capacité maximale du treuil de la grue (T_{\text{max}} = 56 \text{ kN}).

La puissance mécanique utile transmise au tambour du treuil en rotation à la vitesse angulaire \Omega sous un couple C s'écrit :

Le câble s'enroulant sans glissement sur la périphérie du cylindre de diamètre D (donc de rayon R = \frac{D}{2}), la vitesse linéaire maximale d'enroulement v_{\max} est reliée à la vitesse angulaire par :

En injectant cette relation dans l'expression de la puissance utile, il vient :

On en déduit l'expression littérale du couple maximum développé par le treuil :

Application numérique : avec P_u = 112\text{ kW} = 1,12\cdot 10^5\text{ W}, v_{\max} = 2,0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et D = 500\text{ mm} = 0,50\text{ m} :

À l'équilibre, la charge totale de masse m = m_b + m_c est soumise à son poids et à la tension du câble. D'après la question Q1, la tension du câble soutenant la charge vaut :

La poulie en haut de flèche étant supposée parfaite et le câble inextensible, la tension T est uniforme le long du câble. Le câble s'enroule tangentiellement sur le tambour du treuil de rayon R = \frac{D}{2}.

Le moment de la force exercée par le câble par rapport à l'axe de rotation du treuil s'écrit donc en valeur absolue :

Pour maintenir la charge immobile à l'équilibre, le treuil doit fournir un couple de maintien C_m compensant exactement cette action mécanique :

Application numérique avec m = 4,0 \cdot 10^3\text{ kg}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et D = 0,50\text{ m} :

Pour que le treuil puisse procéder au levage de la charge constituée du voilier et du crochet :

• Condition sur le couple du treuil :
  D'après la question Q6, le couple nécessaire pour maintenir ou lever le bateau à vitesse constante est :

  C_m = 10\text{ kN}\cdot\text{m}

  Les caractéristiques de la grue indiquent un couple de sortie dynamique maximal de :

  C_{\text{dyn, max}} = 23\text{ kN}\cdot\text{m}

  On a donc :

  C_m < C_{\text{dyn, max}} \quad (10\text{ kN}\cdot\text{m} < 23\text{ kN}\cdot\text{m})

  Même en appliquant la tension maximale du câble T_{\max} = 56\text{ kN}, le couple développé ne dépasserait pas C = 14\text{ kN}\cdot\text{m} (calculé en Q5), valeur qui reste bien inférieure à 23\text{ kN}\cdot\text{m}.

• Condition sur la résistance du câble :
  D'après la question Q1, la tension du câble à l'équilibre vaut T = 40\text{ kN}, ce qui reste inférieur à la tension maximale admissible :

  T < T_{\max} = 56\text{ kN}
• Condition sur la capacité globale de levage :
  La masse totale de la charge est m = 4,0\cdot 10^3\text{ kg} = 4,0\text{ t}, très largement en deçà de la capacité maximale de levage retenue (70\text{ tonnes}).

On étudie le système constitué par le voilier (ou l'ensemble de la charge suspendue) de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

On repère l'altitude suivant un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, dont l'origine z = 0 est prise au niveau de la surface de l'eau. Le bas de la quille se trouve initialement sans vitesse à l'altitude z_i = H = 10\text{ m}.

Le treuil étant débrayé et les frottements négligés, le système est uniquement soumis à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z, qui dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

Le poids étant une force conservative et aucune autre force n'intervenant, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_{pp} se conserve au cours de la chute :

En développant avec v_i = 0 et v_f = v :

On en déduit l'expression littérale de la vitesse d'impact :

Application numérique :

Le système constitué par la charge totale (voilier et crochet de masse m = m_b + m_c = 4{,}0\cdot 10^3\text{ kg}) descend verticalement dans le référentiel terrestre supposé galiléen à une vitesse constante descendante :

L'accélération étant nulle, le principe fondamental de la dynamique appliqué à la charge se résume à l'équilibre des forces :

d'où une tension du câble dirigée vers le haut de norme :

Le câble se dévidant à la vitesse v, la puissance mécanique cédée par la charge au câble (puissance résistive reçue par la charge) vaut :

En l'absence de pertes au niveau de la poulie, la puissance de freinage \mathcal{P}_{\text{frein}} que doit développer le treuil pour dissiper ou récupérer cette puissance mécanique s'écrit :

Application numérique :

À l'état fondamental, les électrons occupent les orbitales atomiques par ordre d'énergie croissante selon la règle de Klechkowski (1\mathrm{s} < 2\mathrm{s} < 2\mathrm{p}), tout en respectant le principe d'exclusion de Pauli (au plus 2 électrons par orbitale) :

• Pour l'atome de carbone (Z = 6), le cortège électronique comporte 6 électrons :

  \boxed{\text{C } (Z = 6) : 1\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{p}^2}

• Pour l'atome d'oxygène (Z = 8), le cortège électronique comporte 8 électrons :

  \boxed{\text{O } (Z = 8) : 1\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{p}^4}

Pour déterminer la formule de Lewis de la molécule de dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 :

1. Dénombrement des électrons de valence : D'après les configurations électroniques établies à la question précédente :

   • Le carbone (Z=6, configuration 1\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{p}^2) apporte n_v(\mathrm{C}) = 4 électrons de valence ;
   • Chaque atome d'oxygène (Z=8, configuration 1\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{p}^4) apporte n_v(\mathrm{O}) = 6 électrons de valence.

   Le nombre total d'électrons de valence est donc :

   n_t = 4 + 2 \times 6 = 16\text{ électrons}

   ce qui correspond à n_d = \frac{16}{2} = 8 doublets électroniques à répartir.

2. Application de la règle de l'octet :

   • L'atome de carbone, le moins électronégatif, constitue l'atome central. Pour saturer sa couche externe à 8 électrons (octet), il doit former 4 liaisons covalentes.
   • Chaque atome d'oxygène doit également s'entourer de 8 électrons : il engage 2 doublets liants (liaison double avec le carbone) et conserve 2 doublets non liants.

3. Vérification des charges formelles :

   • Sur le carbone : q(\mathrm{C}) = 4 - 4\text{ (liaisons)} - 0\text{ (électrons non liants)} = 0 ;
   • Sur chaque oxygène : q(\mathrm{O}) = 6 - 2\text{ (liaisons)} - 4\text{ (électrons non liants)} = 0.

   Toutes les charges formelles sont nulles et chaque atome respecte la règle de l'octet.

La formule de Lewis de la molécule de \mathrm{CO}_2 est ainsi :

D'après le schéma de Lewis établi à la question Q11 :

• L'atome central de carbone est lié à deux atomes d'oxygène par des doubles liaisons (m = 2) ;
• L'atome de carbone ne porte aucun doublet non liant (n = 0).

La molécule de dioxyde de carbone est donc de type \text{AX}_2\text{E}_0 (ou \text{AX}_2) selon le modèle VSEPR.

Pour minimiser la répulsion électrostatique entre les deux domaines électroniques liants, ceux-ci se placent à 180^\circ l'un de l'autre. La molécule adopte ainsi une géométrie :

La masse molaire moléculaire du dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} s'exprime à partir des masses molaires atomiques fournies :

Soit numériquement :

D'après le texte introductif, la cartouche préconisée contient une masse de dioxyde de carbone :

La quantité de matière n de \mathrm{CO_2} présente dans la cartouche est alors :

D'après l'allure du diagramme de phase (P, \theta) d'un corps pur et les caractéristiques de la courbe d'équilibre liquide-vapeur (saturante) :

• (1) Domaine liquide (ou état liquide) : situé aux pressions supérieures à la pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(T) (à gauche et au-dessus de la courbe d'équilibre).
• (2) Domaine vapeur (ou gaz / état gazeux) : situé aux pressions inférieures à P_{\text{sat}}(T) (à droite et en dessous de la courbe d'équilibre).
• (3) Vaporisation : transformation isotherme au cours de laquelle la pression diminue, faisant passer le corps pur de l'état liquide à l'état vapeur en traversant la courbe d'équilibre.
• (4) Liquéfaction (ou condensation liquide) : transformation isotherme au cours de laquelle la pression augmente, faisant passer le corps pur de l'état vapeur à l'état liquide en traversant la courbe d'équilibre.
• (5) Point critique : extrémité supérieure de la courbe d'équilibre liquide-vapeur (T_c \approx 31{,}1\text{ }^\circ\text{C}, P_c \approx 73{,}8\text{ bar} d'après le tableau 1), où les volumes massiques du liquide saturant et de la vapeur saturante deviennent égaux (v' = v'').

D'après le modèle du gaz parfait, la pression régnant dans la cartouche de volume V contenant la quantité de matière n de \text{CO}_2 à la température T s'écrit :

D'après la question Q13, n = 0{,}75\text{ mol}.
Données numériques :

• R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T = 300\text{ K} ;
• V = 15\text{ mL} = 15\cdot 10^{-6}\text{ m}^3 = 1{,}5\cdot 10^{-5}\text{ m}^3.

On effectue l'application numérique :

Comme 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa}, on obtient :

Conclusion quant à l'état physique : À la température T = 300\text{ K} (\theta = 27\text{ }^\circ\text{C}), la pression de vapeur saturante lue dans le tableau 1 est de l'ordre de P_{\text{sat}} \approx 67\text{ bar} (comprise entre 64{,}32\text{ bar} à 25\text{ }^\circ\text{C} et 71{,}92\text{ bar} à 30\text{ }^\circ\text{C}).

La pression calculée (P \approx 1\,245\text{ bar}) est immensément supérieure à la pression de saturation P_{\text{sat}} :

• L'hypothèse selon laquelle le fluide serait entièrement gazeux est donc impossible ;
• Dans le diagramme (P, T) de la figure 3, ce point se situerait largement dans le domaine liquide (1) ;
• Une partie au moins du dioxyde de carbone est donc nécessairement condensée sous forme liquide dans la cartouche.

Le volume massique v d'un fluide homogène de masse m occupant un volume V est défini par :

Avec les données de l'énoncé :

• V = 15\text{ mL} = 15 \cdot 10^{-6}\text{ m}^3 ;
• m = 33\text{ g} = 33 \cdot 10^{-3}\text{ kg}.

On effectue le calcul numérique sans calculatrice :

D'après le tableau 1, pour des températures usuelles entre 10\text{ }^\circ\text{C} et 30\text{ }^\circ\text{C}, le volume massique du liquide saturant vérifie :

Pour toute température du domaine sous-critique considéré, on constate que :

Le volume massique étant inférieur à celui du liquide saturant à la même température, le système se situe dans le domaine (1) du diagramme (P, T) : le dioxyde de carbone se trouve ainsi à l'état liquide (liquide comprimé sous haute pression).

Lors de la percussion de la cartouche, la chute de pression provoque la transition de phase du dioxyde de carbone de l'état liquide vers l'état gazeux : c'est le phénomène de vaporisation.

La vaporisation est une transformation endothermique (\Delta_{\text{vap}}h > 0), qui nécessite un apport d'énergie pour rompre les interactions intermoléculaires du liquide. Comme cette détente est très rapide, les échanges de chaleur avec l'air ambiant n'ont pas le temps de compenser cet apport (détente quasi-adiabatique). L'énergie requise est donc prélevée directement sur l'énergie interne du dioxyde de carbone et sur celle de la cartouche métallique, ce qui entraîne un refroidissement important de l'ensemble.

La grandeur thermodynamique décrivant ce phénomène est l'enthalpie massique de vaporisation (ou chaleur latente massique de vaporisation), notée \Delta_{\text{vap}} h ou \ell_{\text{vap}}, définie par :

où h'' et h' sont respectivement les enthalpies massiques de la vapeur saturante et du liquide saturant.

À la température \theta = 25\text{ }^\circ\text{C}, le tableau 1 fournit :

• h' = 78{,}7\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h'' = 198{,}2\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

Soit :

Tout corps partiellement ou totalement immergé dans un fluide au repos subit de la part de celui-ci une résultante des forces de pression, appelée poussée d'Archimède, opposée au poids du fluide déplacé :

où :

• \vec{F}_A est le vecteur poussée d'Archimède (exprimé en newtons, \mathrm{N}) ;
• \rho est la masse volumique du fluide dans lequel le corps est immergé (exprimée en \mathrm{kg\cdot m^{-3}}) ;
• V_{\mathrm{im}} est le volume de la partie immergée du solide, équivalent au volume de fluide déplacé (exprimé en \mathrm{m^3}) ;
• \vec{g} est le vecteur champ de pesanteur local (exprimé en \mathrm{m\cdot s^{-2}} ou \mathrm{N\cdot kg^{-1}}).

En introduisant un axe vertical (Oz) orienté vers le haut de vecteur unitaire \vec{u}_z, de sorte que \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, la force s'écrit également :

D'après le préambule de la sous-partie II.1, la flottabilité F_a est la norme de la poussée d'Archimède exercée sur le gilet lorsqu'il est entièrement immergé dans l'eau douce de masse volumique \rho :

où V désigne le volume du gilet gonflé.

On en déduit l'expression littérale du volume nécessaire :

Application numérique avec F_a = 150\text{ N}, \rho = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Comme 1\text{ m}^3 = 10^3\text{ L}, on obtient bien :

Le dioxyde de carbone gazeux est assimilé à un gaz parfait occupant l'intégralité du volume intérieur du gilet V = 15\text{ L} = 15 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3 à la température T = 300\text{ K}.

L'équation d'état des gaz parfaits donne :

D'après la question Q13, la quantité de matière contenue dans la cartouche est n = 0{,}75\text{ mol}. Avec R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, l'application numérique donne :

La pression à l'intérieur du gilet est strictement supérieure à la pression atmosphérique extérieure (P_{\mathrm{int}} > P_{\mathrm{atm}}), ce qui crée une surpression relative d'environ 0{,}25\text{ bar}. Le gilet est donc parfaitement tendu et le gonflage est correct.

Pour un gaz parfait :

• La détente isotherme réversible à température ambiante T_0 vérifie p V = n R T_0 = \text{cste}, soit une pente :

  \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T} = -\frac{p}{V}

• La détente adiabatique (1) vérifie la loi de Laplace p V^\gamma = \text{cste} (avec \gamma > 1), soit une pente :

  \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{S} = -\gamma\,\frac{p}{V} < \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T} < 0

Lors d'une détente (V_f > V_i), la courbe adiabatique est donc plus pentue que l'isotherme et passe en dessous de celle-ci. En fin de détente adiabatique, le gaz atteint le volume V_f à un état intermédiaire noté A(V_f, P_1) avec P_1 < P_f et une température T_1 < T_0 (refroidissement par détente adiabatique).

La transformation (2) est un échauffement isochore au contact du milieu extérieur à la température T_0 : le volume reste fixé à V_f, la température remonte de T_1 à T_0 et la pression augmente verticalement de P_1 à P_f.

D'après la loi fondamentale de la statique des fluides appliquée dans l'eau douce incompressible au repos, la pression extérieure exercée à une profondeur h sous la surface libre s'écrit :

L'intérieur de la vessie étant initialement à la pression atmosphérique (P_{\text{int}} = P_{\text{atm}}), la surpression s'exerçant de l'extérieur vers l'intérieur sur la membrane s'exprime par :

Application numérique avec h = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}, \rho = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

1. Élément constitutif additionnel et rôle de la bobine : La lampe contient un aimant permanent mobile (barreau aimanté coulissant le long du corps de la lampe). On trouve également un pont de diodes (redresseur) pour convertir le courant alternatif induit en courant continu afin de charger le condensateur.

   Lorsque l'utilisateur secoue la lampe, le mouvement de va-et-vient de l'aimant à travers la bobine engendre une variation temporelle du champ magnétique, et donc du flux magnétique à travers la bobine. La bobine est le siège d'un courant induit qui convertit l'énergie mécanique fournie par l'utilisateur en énergie électrique.

2. Principe physique : La recharge repose sur le phénomène d'induction électromagnétique (induction de Neumann, le circuit étant fixe et le champ magnétique variable dans le temps au niveau de la bobine).

3. Loi s'y rapportant : Ce phénomène est régi par la loi de Faraday, qui relie la force électromotrice induite e(t) à la variation temporelle du flux magnétique \Phi(t) à travers les spires de la bobine :

   \boxed{e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi(t)}{\mathrm{d}t}}

   Le signe négatif traduit la loi de Lenz, selon laquelle les effets du courant induit s'opposent à la cause qui lui donne naissance (ici, le mouvement de l'aimant).

Secouer vigoureusement la lampe permet d'augmenter la vitesse relative v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} du déplacement de l'aimant par rapport à la bobine, ainsi que la fréquence des va-et-vient.

Or, la variation temporelle du flux magnétique s'exprime par :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite a pour amplitude :

Une agitation plus vigoureuse présente ainsi deux avantages :

1. Franchissement du seuil des diodes : la tension induite e(t) atteint une valeur crête plus élevée, ce qui permet de dépasser la tension de seuil du pont redresseur ainsi que la tension déjà présente aux bornes du condensateur, rendant la charge possible.
2. Puissance et rapidité de charge : la puissance électrique instantanée générée (proportionnelle à e^2) augmente considérablement, ce qui permet de transférer l'énergie mécanique sous forme d'énergie électrique et de recharger le condensateur en un temps plus court.

Lorsque l'interrupteur \mathrm{K} est fermé (t \geqslant 0) :

• Pour le condensateur de capacité C, la flèche de tension u_c(t) est orientée vers le haut et le courant i(t) sort par l'armature supérieure (à potentiel supérieur). Le condensateur est donc orienté en convention générateur :

  i(t) = -C \frac{\mathrm{d}u_c(t)}{\mathrm{d}t}

• Pour le résistor de résistance R, orienté en convention récepteur (courant orienté vers le bas, tension u_R vers le haut) :

  u_R(t) = R \, i(t)

D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du résistor est égale à la tension aux bornes du condensateur :

En remplaçant l'expression de i(t), on obtient :

En posant \tau = R\,C, l'équation différentielle s'écrit sous forme canonique :

D'après la question Q25, l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) pour t \ge 0 s'écrit :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre, dont la forme générale de la solution est :

où A est une constante d'intégration réelle.

Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur (l'énergie électrostatique \mathcal{E}_e = \frac{1}{2} C u_c^2 ne pouvant subir de discontinuité) :

À t = 0, la solution générale donne :

On en déduit l'expression littérale de la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge :

D'après l'énoncé, la décharge quasi-complète s'effectue sur une durée :

On en déduit l'expression littérale de la résistance R :

Avec une durée \Delta t = 20\text{ min} = 20 \times 60\text{ s} = 1200\text{ s} et une capacité C = 10\text{ F} :

Pour un condensateur plan constitué de deux armatures planes parallèles séparées d'une distance e par un milieu de permittivité diélectrique \varepsilon, la capacité s'exprime par la relation :

où :

• S désigne la surface utile en regard des armatures ;
• e représente l'épaisseur du diélectrique (distance entre les deux armatures).

Pour obtenir une capacité C la plus grande possible dans le cadre de ce modèle, il faut donc agir sur les paramètres géométriques de la manière suivante :

La résistance R_{\text{s}} modélise la résistance interne série du super-condensateur (liée à la résistance des électrodes, des connexions et de l'électrolyte).

Lors des phases de stockage (charge) et de restitution d'énergie (décharge) :

• le courant i(t) qui entre ou sort du super-condensateur traverse R_{\text{s}}, ce qui engendre des pertes d'énergie par effet Joule de puissance :

  \mathcal{P}_{\text{J}} = R_{\text{s}} \, i^2

  Ces pertes réduisent le rendement énergétique de l'opération ;

• la tension disponible aux bornes du super-condensateur subit une chute ohmique R_{\text{s}} \, i, ce qui limite la tension délivrée à l'utilisation ainsi que la puissance crête disponible.

Pour minimiser les pertes par effet Joule et maximiser le rendement ainsi que la puissance disponible, il faut donc :

La résistance R_{\mathrm{f}}, branchée en parallèle avec la capacité C, modélise la résistance de fuite à travers l'isolant (diélectrique) du super-condensateur.

En l'absence de circuit extérieur (phase de stockage), le condensateur se décharge spontanément à travers cette résistance R_{\mathrm{f}} avec une constante de temps d'auto-décharge :

De plus, en phase de restitution d'énergie, un courant traverse la branche de fuite et dissipe inutilement de l'énergie par effet Joule.

Pour que l'énergie reste emmagasinée le plus longtemps possible (plusieurs semaines d'après le document) et pour limiter au maximum l'auto-décharge ainsi que les pertes internes :

D'après la figure 5, pour une tension supérieure à la tension de seuil, la caractéristique i = f(u_d) de la diode électroluminescente est modélisable par une portion de droite affine :

1. Détermination de la tension de seuil U_{\text{seuil}} :

L'intersection de la droite avec l'axe des abscisses (i = 0) donne directement la tension de seuil :

2. Détermination de la résistance dynamique r_d :

La pente de cette droite est l'inverse de la résistance dynamique :

En relevant deux points de la droite sur la figure 5 :

• Point 1 : u_{d,1} = 2{,}3\text{ V} pour i_1 = 0\text{ mA} = 0\text{ A} ;
• Point 2 : u_{d,2} = 2{,}7\text{ V} pour i_2 = 200\text{ mA} = 0{,}20\text{ A} (on peut également vérifier que pour u_d = 2{,}5\text{ V}, i = 100\text{ mA}).

Il vient :

3. Modèle électrique équivalent :

Lorsque la DEL est passante (u_d \ge U_{\text{seuil}}), elle est équivalente à l'association en série :

• d'une force contre-électromotrice (f.c.é.m.) idéale de valeur U_{\text{seuil}} = 2{,}3\text{ V} ;
• d'une résistance dynamique r_d = 2{,}0\ \Omega.

Lorsque la DEL est passante (u_d \ge U_{\text{seuil}}), elle est modélisée par l'association en série d'une résistance dynamique r_d et d'une force contre-électromotrice U_{\text{seuil}}.

Le schéma équivalent du circuit de décharge est le suivant :

D'après le schéma, la DEL est en convention récepteur, parcourue de l'anode vers la cathode par le courant i(t). La tension à ses bornes s'écrit :

Puisque le condensateur et la DEL sont branchés en parallèle, on a l'égalité des tensions :

Le condensateur se déchargeant en fournissant le courant i(t) (convention générateur pour la capacité), la relation courant-tension aux bornes de C est :

En injectant l'expression de i(t) dans l'égalité précédente, il vient :

Soit, en réarrangeant les termes :

En posant la constante de temps \tau' = r_d C, on divise l'ensemble par \tau', ce qui donne bien :

avec pour expression de \tau' :

Numériquement, avec r_d = 2{,}0\ \Omega (déterminé en Q31) et C = 10\text{ F} :

L'équation différentielle établie à la question Q32 est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant :

La forme générale de la solution s'écrit comme la somme de la solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière :

• la solution de l'équation homogène est : u_{c,h}(t) = A \, \mathrm{e}^{-t/\tau'}, où A est une constante d'intégration ;
• une solution particulière constante évidente est : u_{c,p}(t) = U_{\text{seuil}}.

La tension s'écrit donc sous la forme :

Par continuité de la tension aux bornes du condensateur à t = 0 :

On en déduit l'expression temporelle de u_c(t) :

Avec les valeurs numériques U_0 = 3{,}3\text{ V}, U_{\text{seuil}} = 2{,}3\text{ V} et \tau' = 20\text{ s} :

Cette solution est valable tant que la diode reste passante, c'est-à-dire pour tout t \ge 0 puisque u_c(t) > U_{\text{seuil}} pour tout t \ge 0.

D'après la question Q33, l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur est régie par :

avec U_0 = 3{,}3\text{ V}, U_{\text{seuil}} = 2{,}3\text{ V} et \tau' = 20\text{ s}.

Les éléments caractéristiques de la courbe sont :

• Valeur à l'origine : à t = 0, u_c(0) = U_0 = 3{,}3\text{ V}.

• Pente de la tangente à l'origine :

  \left(\frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}\right)_{t=0} = -\frac{U_0 - U_{\text{seuil}}}{\tau'} = -\frac{1{,}0}{20} = -0{,}05\text{ V}\cdot\text{s}^{-1}

  La tangente à l'origine a pour équation y(t) = U_0 - \dfrac{U_0 - U_{\text{seuil}}}{\tau'} t. Elle coupe l'asymptote horizontale u_c = U_{\text{seuil}} à la date t = \tau' = 20\text{ s}.

• Asymptote horizontale : lorsque t \to +\infty, \mathrm{e}^{-t/\tau'} \to 0, d'où :

  \lim_{t \to +\infty} u_c(t) = U_{\text{seuil}} = 2{,}3\text{ V}

  La droite d'équation u_c = U_{\text{seuil}} est donc asymptote horizontale à la courbe au voisinage de +\infty.

D'après la loi d'Ohm généralisée appliquée à la DEL passante modélisée par l'association série d'une f.c.é.m. U_{\text{seuil}} et d'une résistance dynamique r_d (établie en Q31 et Q32) :

On en déduit l'expression du courant i(t) :

D'après le résultat de la question Q33, pour t \ge 0 :

avec \tau' = r_d C. Il vient donc immédiatement :

En posant le courant initial maximal I_0 = \frac{U_0 - U_{\text{seuil}}}{r_d} :

D'après la question précédente Q35, pour tout t \ge 0 :

Puisque u_c(t) \ge U_{\text{seuil}} pour tout t \ge 0, la diode reste passante et ce modèle s'applique sur l'ensemble de la décharge.

Les éléments caractéristiques du tracé sont :

• Valeur initiale : en t = 0^+, i(0^+) = I_0 = 500\text{ mA} ;
• Asymptote horizontale : \lim_{t \to +\infty} i(t) = 0, la courbe est asymptote à l'axe des abscisses ;
• Tangente à l'origine : la pente à l'origine vaut \left(\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right)_{t=0} = -\dfrac{I_0}{\tau'}. La tangente à l'origine a pour équation y(t) = I_0\left(1 - \dfrac{t}{\tau'}\right) et coupe l'asymptote i=0 en t = \tau' = 20\text{ s} ;

• Valeurs remarquables :

  \begin{aligned} i(\tau') &= I_0\,\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\,I_0 \approx 185\text{ mA} \\ i(3\tau') &\approx 0{,}05\,I_0 \approx 25\text{ mA} \\ i(5\tau') &\approx 0{,}007\,I_0 \approx 3{,}5\text{ mA} \approx 0 \end{aligned}

D'après le tableau 2, le courant direct maximal admissible par la DEL est :

Or, d'après le résultat de la question Q35, le courant traversant la DEL à la fermeture de l'interrupteur (t = 0^+) vaut :

Puisque i(0^+) = 500\text{ mA} > i_M = 250\text{ mA}, le courant initial dépasse la valeur limite autorisée par le constructeur : le fonctionnement sans dommage n'est pas garanti et la DEL risque d'être endommagée ou détruite par surintensité (échauffement par effet Joule).

Pour remédier à ce problème, il convient de placer une résistance de protection R_p (ou résistance de limitation de courant) en série avec la DEL.

Pour que le courant initial ne dépasse pas la valeur maximale admissible i_M, la résistance totale de la branche doit vérifier :

Application numérique :

Il faut donc insérer une résistance série d'au moins 2{,}0\ \Omega pour protéger la DEL.

D'après l'énoncé, la diode électroluminescente cesse d'émettre suffisamment de lumière dès que :

En l'absence de la résistance de protection proposée à la question précédente, la diode est directement reliée aux bornes du condensateur, soit u_d(t) = u_c(t).

En utilisant l'expression de la tension u_c(t) établie à la question Q33 :

L'instant t_{\text{écl}} marquant la fin de l'éclairage efficace vérifie :

Avec U_0 = 3{,}3\text{ V} et U_{\text{seuil}} = 2{,}3\text{ V}, on a U_0 - U_{\text{seuil}} = 1{,}0\text{ V}. L'égalité devient :

Sachant que \tau' = 20\text{ s} (établi à la question Q32) et que \ln(10) = 2{,}3 :

L'énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur de capacité C soumis à une tension u_c s'écrit :

À l'instant initial, le condensateur est chargé sous la tension U_0, son énergie initiale vaut :

Lorsque la DEL cesse d'émettre suffisamment de lumière, la tension aux bornes du condensateur atteint U_{\text{fin}} = U_{\text{seuil}} + 0{,}1\text{ V}. L'énergie restante dans le condensateur est alors :

Le pourcentage d'énergie restante par rapport à l'énergie initiale accumulée s'exprime ainsi :

Application numérique : Avec U_{\text{seuil}} = 2{,}3\text{ V} (d'après la question Q31), soit U_{\text{fin}} = 2{,}4\text{ V}, et U_0 = 3{,}3\text{ V} :

On retrouve bien la valeur d'environ 50\text{ \%} mentionnée par l'énoncé.

Le régulateur-élévateur de tension présente trois intérêts majeurs pour la lampe de secours :

• Exploitation quasi-totale de l'énergie stockée (gain d'autonomie) :
  En branchement direct, la DEL s'éteint dès que la tension descend sous U_{\text{fin}} \approx 2{,}4\text{ V}, laissant plus de 50\,\% de l'énergie emmagasinée inexploitée (question Q39). Le convertisseur accepte une tension d'entrée V_{\text{in}} descendant jusqu'à 0{,}5\text{ V} tout en maintenant la tension requise par la DEL en sortie. Le taux d'énergie résiduelle non utilisée chute alors à :

  \left(\frac{0{,}5}{3{,}3}\right)^2 \approx 2{,}3\,\%

  ce qui permet d'utiliser environ 98\,\% de l'énergie initiale et d'atteindre la durée d'éclairage de 20 minutes promise par le constructeur.

• Stabilité du flux lumineux :
  Au lieu d'une luminosité qui décroît exponentiellement dès l'allumage, le régulateur fournit une tension de sortie constante V_{\text{out}}, garantissant un courant et donc une intensité d'éclairage stables tout au long de l'utilisation.
• Protection de la DEL :
  Grâce à sa régulation descendante lorsque la tension d'entrée est supérieure à la sortie (V_{\text{in}} > V_{\text{out}}), le dispositif évite le pic de surintensité initiale (I_0 = 500\text{ mA} > i_M, mis en évidence en Q37) lors de la fermeture du circuit à pleine charge (U_0 = 3{,}3\text{ V}).

D'après le tableau 3, les dimensions utiles du panneau photovoltaïque sont :

• une longueur L = 1\,000\text{ mm} = 1{,}00\text{ m} ;
• une largeur l = 500\text{ mm} = 0{,}500\text{ m}.

La surface de captation du panneau est donc :

D'après la figure 6, la puissance surfacique reçue du Soleil pour un ensoleillement moyen vaut \mathcal{P}_{\text{surf}} = 500\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}.

La puissance totale reçue par le panneau solaire s'exprime ainsi :

Application numérique :

Le rendement \eta de conversion photovoltaïque est défini comme le rapport entre la puissance électrique délivrée P_{\text{élec}} et la puissance radiative reçue P_{\text{reçue}} par le panneau :

Le rendement étant supposé indépendant du flux solaire incident, la puissance électrique fournie par le panneau s'exprime par :

D'après le tableau 3, le rendement vaut \eta = 20\,\% = 0{,}20, et d'après la question Q41, la puissance reçue en ensoleillement moyen est P_{\text{reçue}} = 250\text{ W}.

On en déduit :

D'après le tableau 4, les trois appareils qui consomment le plus de courant sont :

• l'eau sous pression : I_1 = 8\text{ A} (P_1 = 96\text{ W}) ;
• la VHF en émission : I_2 = 4\text{ A} (P_2 = 48\text{ W}) ;
• l'ordinateur / télévision : I_3 = 4\text{ A} (P_3 = 48\text{ W}).

Pour que ces trois appareils fonctionnent simultanément sous une tension nominale de U = 12\text{ V}, l'intensité totale requise est :

ce qui correspond à une puissance totale à fournir de :

Nombre de panneaux nécessaires :

• Dans le cas de l'ensoleillement moyen (500\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, étudié en Q42), chaque panneau délivre une puissance électrique P_{\text{élec}} = 50\text{ W} ramenée sous 12\text{ V}, soit un courant par panneau :

  I_{\text{panneau}} = \frac{P_{\text{élec}}}{U} = \frac{50}{12} \approx 4{,}17\text{ A}.

  Le nombre minimal de panneaux N doit vérifier N \, P_{\text{élec}} \ge P_{\text{tot}}, soit :

  N = \left\lceil \frac{P_{\text{tot}}}{P_{\text{élec}}} \right\rceil = \left\lceil \frac{192}{50} \right\rceil = \lceil 3{,}84 \rceil = 4\text{ panneaux}.

• À l'ensoleillement nominal maximal (1\,000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}), chaque panneau fournit P_{\text{max}} = 100\text{ W}, soit :

  N = \left\lceil \frac{192}{100} \right\rceil = 2\text{ panneaux}.

Pour garantir le fonctionnement sous ensoleillement moyen, il faut donc 4 panneaux.

Branchement des panneaux :

• Chaque panneau (associé à son convertisseur abaisseur ramenant la tension sous 12\text{ V}) fournit une tension de 12\text{ V}.
• Pour conserver cette tension de fonctionnement de 12\text{ V} sur le bus d'alimentation commun et pour que les courants débités s'additionnent (I_{\text{tot}} = \sum I_{\text{panneau}}), les panneaux doivent être branchés en parallèle (en dérivation).
• De même, les trois récepteurs sont branchés en parallèle sur ce bus 12\text{ V}.

L'équation de la réaction (1) s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de réaction \Delta_{\mathrm{r}} H^\circ_1 s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation des réactifs et des produits selon :

D'après les données fournies à T = 298\text{ K} :

• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ\left(\mathrm{CH}_3\mathrm{OH}_{(\mathrm{g})}\right) = -201\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ\left(\mathrm{CO}_{(\mathrm{g})}\right) = -110\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ\left(\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}\right) = 0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} (corps pur simple dans son état de référence).

L'application numérique donne :

D'après la question précédente, l'enthalpie standard de la réaction (1) vaut :

L'enthalpie standard de réaction étant strictement négative, la synthèse du méthanol gazeux à partir du monoxyde de carbone et du dihydrogène est une réaction exothermique dans le sens direct : elle libère de l'énergie thermique (chaleur) vers le milieu extérieur lorsqu'elle se déroule à température et pression constantes.

Un catalyseur est une espèce chimique qui accélère une transformation thermodynamiquement possible sans être consommée dans le bilan global. Son intérêt dans la synthèse industrielle du méthanol est multiple :

• Aspect cinétique : il abaisse l'énergie d'activation en proposant un mécanisme réactionnel alternatif, ce qui augmente considérablement la vitesse des réactions directe et inverse et permet d'atteindre l'état d'équilibre beaucoup plus rapidement.
• Compromis cinétique/thermodynamique : la réaction étant exothermique (\Delta_{\mathrm{r}}H_1^\circ < 0), l'équilibre est thermodynamiquement favorisé à basse température. Or, à basse température, les réactions chimiques sont lentes : le catalyseur permet de travailler à température modérée tout en maintenant une vitesse de production acceptable.
• Sélectivité : le catalyseur sélectionne le chemin réactionnel menant au méthanol tout en limitant les réactions parasites concurrentes (méthanation produisant \mathrm{CH}_4, dépôts de carbone).

L'équation de la synthèse industrielle du méthanol est :

1. Influence de la température T :

• D'après la question Q44, l'enthalpie standard de réaction est négative (\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ_1 = -91\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0) : la réaction est exothermique dans le sens direct.

• D'après la relation de van 't Hoff :

  \frac{\mathrm{d}\ln K^\circ}{\mathrm{d}T} = \frac{\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ}{R T^2} < 0

  la constante d'équilibre K^\circ(T) est une fonction strictement décroissante de la température.

• D'après le principe de Le Chatelier, une élévation de température à pression constante déplace l'équilibre dans le sens endothermique (le sens indirect).
• À l'inverse, une diminution de la température déplace l'équilibre dans le sens direct, favorisant ainsi la formation de méthanol gazeux.

2. Influence de la pression totale P :

• Calculons la variation de la quantité de constituants gazeux au cours de la réaction :

  \Delta \nu_g = \sum_{\text{produits gaz}} \nu_i - \sum_{\text{réactifs gaz}} \nu_i = 1 - (1 + 2) = -2 < 0

  Le sens direct s'accompagne d'une diminution du nombre de moles de gaz (de 3\text{ mol} à 1\text{ mol}).

• D'après le principe de modération de Le Chatelier, une augmentation de la pression totale à température constante déplace l'équilibre dans le sens qui tend à modérer cette augmentation, c'est-à-dire dans le sens d'une diminution de la quantité de matière de gaz.
• Par conséquent, une augmentation de la pression totale P favorise la formation de méthanol (sens direct).

La combustion complète d'un composé organique constitué de carbone, d'hydrogène et d'oxygène dans l'air consomme le dioxygène \mathrm{O_{2(g)}} (le diazote de l'air étant chimiquement inerte et spectateur dans ces conditions) et conduit à la formation exclusive de dioxyde de carbone \mathrm{CO_{2(g)}} et d'eau \mathrm{H_2O}.

À la température standard de référence (298\text{ K}), l'état standard de référence de l'eau est l'état liquide \mathrm{H_2O_{(l)}}, en accord avec les questions suivantes (Q49 et Q50).

En ajustant les éléments chimiques (C, H, O) :

• Carbone : 1 atome de C dans \mathrm{CH_3OH} \implies 1 molécule de \mathrm{CO_2} ;
• Hydrogène : 4 atomes de H dans \mathrm{CH_3OH} \implies 2 molécules de \mathrm{H_2O} ;
• Oxygène : 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4 atomes d'oxygène dans les produits, dont 1 apporté par le méthanol, soit 3 atomes (soit \frac{3}{2}\ \mathrm{O_2}) à apporter par le comburant.

L'équation de combustion complète du méthanol liquide s'écrit donc, par mole de méthanol :

ou, sous forme à coefficients stœchiométriques entiers :

La masse de méthanol liquide mise en jeu s'exprime à l'aide de sa densité d et de la masse volumique de l'eau \rho_{\text{eau}} :

La quantité de matière de méthanol correspondante est donc :

D'après l'équation (2) de combustion complète établie en Q48 :

la combustion d'une mole de méthanol engendre deux moles d'eau liquide :

La masse d'eau liquide formée vaut ainsi :

avec M_{\mathrm{H_2O}} = 2 \times M_{\mathrm{H}} + M_{\mathrm{O}} = 2 \times 1 + 16 = 18\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

Le volume d'eau liquide obtenu est donné par V_{\mathrm{H_2O}} = \frac{m_{\mathrm{H_2O}}}{\rho_{\text{eau}}} :

Application numérique :

Comme \rho_{\text{eau}} = 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1}, on en déduit directement le volume :

D'après la question Q48, l'équation de combustion complète du méthanol liquide avec formation d'eau liquide s'écrit :

En appliquant la loi de Hess à 298\text{ K}, l'enthalpie standard de cette réaction s'exprime par :

Le dioxygène étant un corps pur simple dans son état standard de référence, \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{O_{2(g)}}) = 0.

Application numérique :

À pression constante, la chaleur échangée lors de la réaction s'identifie à la variation d'enthalpie :

La quantité d'énergie que l'on peut obtenir (énergie thermique libérée par le système) est donc :

Avec n = 125\text{ mol} pour un volume V_{\text{m}} = 5{,}0\text{ L} de méthanol (calculé en Q49) :

En utilisant l'équivalence 1\text{ kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\text{ J} fournie par l'énoncé :

D'après le schéma de principe de la pile (figure 7) :

• À l'anode, le méthanol \mathrm{CH_3OH} injecté est transformé en dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} avec libération d'électrons et d'ions \mathrm{H}^+. Le nombre d'oxydation du carbone passe de -\mathrm{II} dans \mathrm{CH_3OH} à +\mathrm{IV} dans \mathrm{CO_2} : le dioxyde de carbone est donc l'oxydant et le méthanol le réducteur. Le couple redox mis en jeu est :

  \mathrm{CO_{2(g)} / CH_3OH_{(l)}}

• À la cathode, le dioxygène \mathrm{O_2} apporté par l'air est réduit en eau \mathrm{H_2O} en captant les électrons et les protons \mathrm{H}^+. Le nombre d'oxydation de l'oxygène passe de 0 dans \mathrm{O_2} à -\mathrm{II} dans \mathrm{H_2O} : le dioxygène est l'oxydant et l'eau le réducteur. Le couple redox mis en jeu est :

  \mathrm{O_{2(g)} / H_2O_{(l)}}