Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2022

1. Nombres d'oxydation de l'élément chrome

En prenant \text{n.o.}(\mathrm{O}) = -\mathrm{II} et \text{n.o.}(\mathrm{H}) = +\mathrm{I} :

• Dans \mathrm{Cr_{(s)}} (corps pur simple) :

  \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) = 0

• Dans \mathrm{Cr^{2+}} :

  \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) = +\mathrm{II}

• Dans \mathrm{Cr^{3+}} :

  \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) = +\mathrm{III}

• Dans \mathrm{Cr(OH)_{3(s)}} : \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) + 3\times(-\mathrm{II}) + 3\times(+\mathrm{I}) = 0 \implies

  \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) = +\mathrm{III}

• Dans \mathrm{CrO_4^{2-}} : \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) + 4\times(-\mathrm{II}) = -2 \implies

  \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) = +\mathrm{VI}

• Dans \mathrm{Cr_2O_7^{2-}} : 2\times\text{n.o.}(\mathrm{Cr}) + 7\times(-\mathrm{II}) = -2 \implies 2\times\text{n.o.}(\mathrm{Cr}) = +12 \implies

  \text{n.o.}(\mathrm{Cr}) = +\mathrm{VI}

2. Couple acido-basique \mathrm{Cr_2O_7^{2-}}/\mathrm{CrO_4^{2-}}

Les deux espèces sont au même nombre d'oxydation (+\mathrm{VI}) et sont reliées par un échange d'ions \mathrm{H^+} sans transfert d'électrons :

3. Attribution des domaines du diagramme E\text{--}\mathrm{pH}

• Classement vertical (selon E) : le potentiel redox d'un couple croît globalement avec le degré d'oxydation. Les espèces se répartissent de bas en haut selon leur degré d'oxydation :

  0 < +\mathrm{II} < +\mathrm{III} < +\mathrm{VI}

• Classement horizontal (selon le \mathrm{pH}) : à degré d'oxydation identique, la forme acide prédomine à gauche (faible \mathrm{pH}) et la forme basique (ou précipitée) à droite (fort \mathrm{pH}) :

  • Au degré +\mathrm{VI} : \mathrm{Cr_2O_7^{2-}} (acide) pour \mathrm{pH} < 6{,}7 et \mathrm{CrO_4^{2-}} (base) pour \mathrm{pH} > 6{,}7.
  • Au degré +\mathrm{III} : l'ion libre \mathrm{Cr^{3+}} pour \mathrm{pH} < 4{,}2 et le précipité \mathrm{Cr(OH)_{3(s)}} pour \mathrm{pH} > 4{,}2.
  • Au degré +\mathrm{II} : l'ion \mathrm{Cr^{2+}} en milieu acide.
  • Au degré 0 : le métal \mathrm{Cr_{(s)}} tout en bas du diagramme.

La frontière verticale séparant le domaine de prédominance de l'ion \mathrm{Cr^{3+}} du domaine d'existence de l'hydroxyde de chrome(III) \mathrm{Cr(OH)_{3(s)}} correspond au début de précipitation de cet hydroxyde. Par lecture graphique sur la figure 1 :

(une lecture entre 4{,}2 et 4{,}3 est tout à fait acceptable).

À la frontière de précipitation, la première trace de solide apparaît à l'équilibre chimique :

La constante d'équilibre associée est le produit de solubilité :

Sur cette frontière, la concentration en ions chrome(III) dissous est égale à la concentration de tracé, soit [\mathrm{Cr^{3+}}] = C_0 = 10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

En introduisant le produit ionique de l'eau K_e = 10^{-14} à 298\text{ K} :

D'où l'expression de K_s :

Soit, en échelle logarithmique :

Ce qui conduit à :

La réaction considérée s'écrit :

La constante d'équilibre thermodynamique associée est :

avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}. En prenant le cologarithme, on obtient :

Sur la frontière séparant les deux espèces solubles, la conservation de l'élément chrome impose une égale répartition :

La concentration totale en élément chrome dissous étant c_{\text{tot}} = 10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, on a :

soit à la frontière :

Le rapport des concentrations vaut donc :

D'après la figure 1, la frontière verticale séparant \mathrm{Cr_2O_7^{2-}} et \mathrm{CrO_4^{2-}} est située à :

On en déduit :

Les demi-équations d'oxydoréduction s'écrivent :

En multipliant la seconde équation par 3 et en sommant pour consommer une mole d'ions bichromate et éliminer les 6 électrons :

Après simplification des molécules d'eau et des protons :

À l'équilibre chimique à T = 298\text{ K}, l'égalité des potentiels d'oxydoréduction conduit à :

avec n = 6 électrons échangés et E^\circ_1 - E^\circ_2 = 1{,}33 - 0{,}17 = 1{,}16\text{ V}. En utilisant la valeur usuelle \frac{RT\ln 10}{F} \approx 0{,}06\text{ V} (adaptée à une épreuve sans calculatrice) :

(ou \log K_2 \approx 118 si l'on prend 0{,}059\text{ V}).

D'où la valeur de la constante d'équilibre :

Conclusion : La constante d'équilibre est extrêmement grande (K_2 \gg 10^4), la réaction est donc quantitative (quasi-totale). L'utilisation d'ions hydrogénosulfite en milieu acide permet d'éliminer très efficacement le chrome(VI) toxique en le réduisant en chrome(III).

La réaction considérée met en jeu deux couples redox :

• le couple de l'oxydant : \mathrm{ClO}^-/\mathrm{Cl}^-, dont la demi-équation électronique s'écrit en milieu basique :

  \mathrm{ClO}^- + \mathrm{H}_2\mathrm{O} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{Cl}^- + 2\,\mathrm{OH}^-

• le couple du réducteur : \mathrm{CNO}^-/\mathrm{CN}^-, de demi-équation électronique :

  \mathrm{CNO}^- + 2\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{CN}^- + \mathrm{H}_2\mathrm{O} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{CNO}^- + \mathrm{H}_2\mathrm{O} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{CN}^- + 2\,\mathrm{OH}^-

D'après la figure 2 (diagramme E\text{--}\mathrm{pH} du chlore), en milieu fortement basique (\mathrm{pH} \ge 12), la frontière de prédominance entre \mathrm{ClO}^- et \mathrm{Cl}^- se situe à un potentiel élevé :

Pour le couple \mathrm{CNO}^-/\mathrm{CN}^-, le potentiel standard vaut E^\circ(\mathrm{CNO}^-/\mathrm{CN}^-) = -0{,}13\text{ V}. À \mathrm{pH} = 12, le potentiel d'équilibre s'écrit (avec la formule de Nernst) :

L'écart entre les potentiels d'oxydoréduction des deux couples est donc particulièrement important :

Les domaines de prédominance de l'oxydant le plus fort (\mathrm{ClO}^-) et du réducteur le plus fort (\mathrm{CN}^-) sont largement disjoints :

L'eau de Javel est un mélange équimolaire d'ions chlorure \mathrm{Cl^-} (\text{n.o.} = -\mathrm{I}) et d'ions hypochlorite \mathrm{ClO^-} (\text{n.o.} = +\mathrm{I}).

Lors d'une acidification poussée, les ions \mathrm{ClO^-} (ou leur forme acide conjuguée \mathrm{HClO}) et les ions \mathrm{Cl^-} réagissent selon une réaction de médiamutation (ou comproportionation) pour former du dichlore \mathrm{Cl_2} (\text{n.o.} = 0), dont le domaine de prédominance apparaît à bas \mathrm{pH} sur le diagramme E\text{-}\mathrm{pH} :

En combinant ces deux demi-équations et en simplifiant par 2, on obtient l'équation bilan :

Remarque : En milieu acide où \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_a(\mathrm{HClO}/\mathrm{ClO^-}) = 7{,}5, l'acide hypochloreux est prédominant et l'équation s'écrit de manière équivalente :

Danger : Il est formellement déconseillé d'acidifier l'eau de Javel (par exemple en la mélangeant avec un détartrant ménager acide) car cette réaction provoque un dégagement immédiat de dichlore \mathrm{Cl_{2(g)}}, un gaz lourd, suffocant et extrêmement toxique, voire mortel par inhalation (œdème pulmonaire aigu).

Le dispositif expérimental complet est représenté ci-dessous :

Ce montage sépare distinctement :

• le circuit de puissance (\mathrm{C.E.} - \mathrm{E.T.}), parcouru par le courant I généré par e et mesuré par le milliampèremètre \mathrm{mA} ;
• le circuit de mesure potentiométrique relié au millivoltmètre \mathrm{mV}, placé entre l'électrode de référence \mathrm{E.r\acute{e}f.} et l'électrode de travail \mathrm{E.T.}, mesurant la tension U = V(\mathrm{E.T.}) - V(\mathrm{E.r\acute{e}f.}).

Le millivoltmètre est branché entre l'électrode de travail (E.T.) et l'électrode de référence (E.réf.) afin de mesurer la différence de potentiel E = V(\text{E.T.}) - V(\text{E.réf.}).

Pour que le potentiel de l'électrode de référence reste parfaitement défini et constant au cours de la manipulation, cette dernière ne doit être traversée par aucun courant notable.

Il est donc impératif de choisir un millivoltmètre présentant une impédance d'entrée très élevée (idéalement infinie, en pratique de l'ordre du gigaohm ou du téraohm, Z_e \gg 10^9\ \Omega).

Cette condition garantit :

• l'absence de polarisation de l'électrode de référence (courant la traversant strictement négligeable) ;
• l'absence de chute ohmique parasite dans le circuit de mesure de tension (pas de perturbation par effet de charge).

Le couple d'oxydoréduction considéré est \mathrm{Au(CN)_2^-} / \mathrm{Au_{(s)}}.

Dans le complexe dicarbo-cyanure d'or(I) \mathrm{Au(CN)_2^-}, l'or est au nombre d'oxydation +\mathrm{I} (le ligand cyanure portant une charge négative \mathrm{CN^-}). Dans l'or métallique \mathrm{Au_{(s)}}, son nombre d'oxydation est 0.

La réduction cathodique correspond à un gain d'électrons par le complexe. En assurant la conservation des éléments chimiques (notamment des ligands cyanure \mathrm{CN^-}) et de la charge électrique globale, on obtient la demi-équation électronique :

L'électrode de travail (E.T.) est le siège d'une réduction (fonctionnement cathodique) :

Des électrons sont consommés à l'interface électrode/solution ; ils sont acheminés vers l'électrode de travail depuis le circuit extérieur.

Le sens conventionnel du courant électrique étant opposé au sens de déplacement des électrons :

• Dans le circuit extérieur, le courant circule de l'électrode de travail (E.T.) vers la contre-électrode (C.E.) à travers le générateur ;
• Dans la solution électrolytique, le courant circule de la contre-électrode (qui joue le rôle d'anode) vers l'électrode de travail (qui joue le rôle de cathode).

Puisque la convention de l'énoncé compte le courant I positif de l'électrode de travail vers la solution, et que le courant réel circule de la solution vers l'électrode de travail, le courant est négatif :

1. Qualification cinétique du couple :

D'après les données, le potentiel standard du couple est E^\circ(\mathrm{Au(CN)_2^-/Au_{(s)}}) = -0{,}6\text{ V}. Sur la courbe intensité-potentiel (figure 3), on constate que le courant cathodique apparaît immédiatement dès que le potentiel E devient inférieur à -0{,}6\text{ V}, sans palier de courant nul ni surtension de seuil mesurable (\eta_c \approx 0).

2. Intérêt cinétique d'abaisser le potentiel de la cathode :

D'un point de vue cinétique, la vitesse de dépôt de l'or est directement proportionnelle à la densité de courant cathodique |J|. Lorsque l'on diminue le potentiel de la cathode en dessous de -0{,}6\text{ V}, la valeur absolue de la densité de courant |J| augmente significativement (elle passe par exemple de 0\text{ mA}\cdot\text{cm}^{-2} à -0{,}6\text{ V} à environ 6\text{ mA}\cdot\text{cm}^{-2} à -1{,}4\text{ V}).

3. Risques liés à un potentiel imposé trop faible :

Si le potentiel de la cathode devient trop réducteur :

• on risque de provoquer la réaction parasite de réduction de l'eau (le solvant) :

  2\,\mathrm{H_2O} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H_{2(g)}} + 2\,\mathrm{OH}^-
• cette compétition consomme une partie des électrons, ce qui fait chuter le rendement faradique du procédé de récupération de l'or ;
• le dégagement gazeux de dihydrogène \mathrm{H}_2 à la surface de l'électrode peut perturber l'adhérence et la régularité du dépôt métallique d'or (dépôt pulvérulent ou non adhérent), voire présenter un risque d'inflammabilité.

1. Détermination de la densité de courant J :

Sur la courbe intensité-potentiel de la figure 3, à l'abscisse E = -1{,}4\text{ V}, on lit sur l'axe des ordonnées :

En valeur absolue, la densité de courant vaut |J| = 6{,}0\text{ mA}\cdot\text{cm}^{-2}.

Effectuons la conversion dans le système international :

D'où :

2. Expression de la masse d'or solide m(\mathrm{Au_{(s)}}) récupérée :

D'après la question Q9, la demi-équation de réduction à la cathode met en jeu un seul électron par atome d'or formé (n_e = 1) :

Pendant la durée \Delta t, la charge totale (en valeur absolue) ayant traversé l'électrode de travail de surface S s'écrit :

Le rendement faradique étant de 100\,\%, toute cette charge sert à réduire les ions aurocyanure. La quantité d'électrons transférée est donc :

D'après la stœchiométrie de la réduction, la quantité de matière d'or déposée est égale à la quantité d'électrons :

On en déduit l'expression de la masse d'or solide récupérée :

Pour récupérer une masse d'or m(\mathrm{Au_{(s)}}) donnée avec un rendement faradique de 100\,\%, la quantité d'électricité à transférer Q est strictement fixée par la loi de Faraday :

L'énergie électrique consommée par la cellule d'électrolyse vaut :

où U = E_A - E_C + R_{\text{sol}}\,|I| représente la tension appliquée entre l'anode et la cathode (R_{\text{sol}} étant la résistance de l'électrolyte). Le coût énergétique est donc directement proportionnel à la tension de cuve U.

Deux situations qualitatives peuvent être envisagées :

• À durée de traitement \Delta t fixée (courant total |I| fixé) : Augmenter la surface S de l'électrode de travail conduit à diminuer la densité de courant |J| = \frac{|I|}{S}. D'après la courbe intensité-potentiel de la figure 3, une valeur plus faible de |J| permet d'opérer à un potentiel de cathode E_C moins négatif (surintensité/surtension cathodique |\eta_c| plus faible, potentiel plus proche de l'équilibre). La différence E_A - E_C diminue, ce qui abaisse la tension de cuve U : le coût énergétique diminue.
• À potentiel cathodique fixé (E_C = -1{,}4\text{ V}, soit |J| fixé comme en Q12) : Augmenter la surface S augmente le courant traversant la cellule (|I| = |J|\,S). L'or est récupéré plus rapidement (\Delta t diminue), mais l'augmentation du courant |I| accroît la chute ohmique R_{\text{sol}}\,|I| dans la solution ainsi que la surtension anodique. La tension totale de cuve U devient donc plus élevée : le coût énergétique par unité de masse récupérée augmente.

On étudie une particule polluante sphérique de rayon r, de volume V = \frac{4}{3}\pi r^3 et de masse m = \rho_0 V = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0, dans le référentiel lié au bassin supposé galiléen.

La particule est soumise à trois forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = \rho_0 V g\,\vec{e}_z ;
• la poussée d'Archimède exercée par l'eau polluée : \vec{\Pi} = -\rho_e V g\,\vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide (formule de Stokes) : \vec{F} = -6\pi\eta r\,\vec{v}.

D'après la deuxième loi de Newton :

En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{e}_z, avec \vec{v} = v(t)\,\vec{e}_z :

En divisant par m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0, l'équation différentielle s'écrit sous forme canonique :

où le temps caractéristique \tau_c d'établissement du régime permanent est défini par :

Soit :

La vitesse limite \vec{v}_l = v_l\vec{e}_z correspond au régime permanent (\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0) :

Puisque les particules sont plus denses que le fluide (\rho_0 > \rho_e), on a :

Le mouvement limite s'effectue donc dans le sens descendant (\vec{v}_l est orienté selon +\vec{e}_z), ce qui correspond bien à la décantation (sédimentation des particules au fond du bassin).

Le vecteur densité de courant de particules \vec{j} représente le nombre de particules qui traversent une surface unité par unité de temps orientée dans le sens de \vec{j}. Par conséquent, la dimension de sa norme est :

L'unité de \vec{j} dans le Système international est donc le \mathbf{m^{-2}\cdot s^{-1}} (ou nombre de particules par mètre carré et par seconde).

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, les particules animées de la vitesse d'ensemble \vec{v}_l traversant une surface orientée élémentaire \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_z sont contenues dans le cylindre de base \mathrm{d}S et de génératrice \vec{v}_l\,\mathrm{d}t, de volume \mathrm{d}\tau = \vec{v}_l \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,\mathrm{d}t. Le nombre élémentaire de particules traversant cette surface s'écrit :

Par définition du vecteur densité de courant de particules à travers la relation \mathrm{d}N = \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,\mathrm{d}t, on en déduit l'expression du vecteur densité de courant convectif :

1. Loi de Fick et unités

La première loi de Fick relie le vecteur densité de courant particulaire de diffusion \vec{j}_D au gradient de la densité particulaire n :

où :

• \vec{j}_D est le vecteur densité de flux de particules, exprimé en \mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
• D est le coefficient de diffusion (diffusivité) des particules dans le fluide, exprimé en \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
• n est la densité volumique de particules, exprimée en \mathrm{m}^{-3} ;
• \vec{\mathrm{grad}}\,n (ou \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}z}) représente la variation spatiale de la densité particulaire, en \mathrm{m}^{-4}.

2. Justification qualitative de la diffusion

Sous l'effet du poids apparent, les particules chutent vers le fond du bassin : elles ont donc tendance à s'accumuler aux fortes valeurs de la profondeur z. Il en résulte une inhomogénéité spatiale, avec une concentration plus forte au fond qu'en surface (\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}z} > 0).

L'agitation microscopique (mouvement brownien) induit alors un transport spontané de matière des zones les plus concentrées vers les zones les moins concentrées, tendant à homogénéiser le milieu : c'est le phénomène de diffusion.

3. Sens du courant de diffusion

Les particules diffusent des zones de haute concentration (le fond, z grand) vers les zones de basse concentration (la surface, z = 0).

Par conséquent, le courant de diffusion \vec{j}_D est dirigé vers le haut : il est ascendant (soit \vec{j}_D dirigé selon -\vec{e}_z, d'où j_D(z) < 0).

En régime permanent et en l'absence de circulation horizontale (\vec{u} = \vec{0}), la compensation des courants convectif et diffusif impose que la densité de flux totale de particules soit nulle à chaque profondeur z :

En utilisant les expressions établies aux questions Q15 et Q16 :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre dont la solution générale s'écrit :

où C est une constante d'intégration. En appliquant la condition à la cote d'entrée z = 0, n(0) = n_0, on obtient C = n_0. D'où l'expression de la densité de particules :

Comme v_l > 0 et D > 0, la fonction n(z) est une exponentielle strictement croissante de la profondeur z. Les particules s'accumulent au fond du bassin (z = d_b).

Considérons une colonne verticale de fluide de section horizontale S, s'étendant de la surface z = 0 au fond z = d_b.

Avant sédimentation, les particules sont réparties uniformément avec la densité volumique N_0. Le nombre de particules dans cette colonne est :

En régime permanent, compte tenu du profil de densité vertical n(z) = n_0 \exp\left(\frac{v_l}{D} z\right) obtenu à la question Q17, ce nombre s'exprime par :

Par conservation du nombre total de particules dans la colonne :

En simplifiant par S, on en déduit l'expression de n_0 :

• Temps caractéristique de sédimentation \tau_S :

  Les particules chutent verticalement à la vitesse limite uniforme v_l. Le temps mis pour parcourir la hauteur d_b du bassin de décantation est :

  \boxed{\tau_S = \frac{d_b}{v_l}}

  Homogénéité : [\tau_S] = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}} = \mathrm{s}.

• Temps caractéristique de diffusion \tau_D :

  D'après l'équation de la diffusion de Fick, la distance caractéristique explorée par diffusion pendant une durée t varie selon d_b \sim \sqrt{D\,t}. Le temps caractéristique nécessaire pour que la diffusion opère sur toute la hauteur d_b du bassin est donc :

  \boxed{\tau_D = \frac{d_b^2}{D}}

  Homogénéité : [\tau_D] = \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}} = \mathrm{s}.

D'après les résultats de la question Q19 :

En introduisant ce rapport dans l'expression de n_0 établie à la question Q18, on obtient :

Une clarification efficace de l'eau en surface (z = 0) correspond à une quasi-absence de particules polluantes au niveau supérieur du bassin, soit n_0 \ll N_0.

Posons x = \dfrac{\tau_D}{\tau_S}. La fonction f(x) = \dfrac{x}{\mathrm{e}^x - 1} vérifie :

• pour x \ll 1, f(x) \to 1, d'où n_0 \approx N_0 : la diffusion l'emporte et homogénéise la suspension, empêchant la séparation ;
• pour x \gg 1, f(x) \sim x \mathrm{e}^{-x} \ll 1, d'où n_0 \ll N_0 : la sédimentation prédomine très largement.

La décantation statique permet donc une clarification efficace de l'eau sous la condition :

L'eau s'écoulant horizontalement à la vitesse constante u le long de l'axe Ox, le temps mis par une particule pour parcourir la longueur L_b du bassin est le temps de traversée \tau_T, défini par :

D'après la question Q19, le temps maximal nécessaire à une particule introduite à la cote z = 0 pour atteindre le fond du bassin à la cote z = d_b avec la vitesse limite verticale v_l est le temps de sédimentation :

Pour que la clarification dynamique soit efficace, les particules les plus défavorisées (celles qui entrent à la surface z = 0) doivent avoir atteint le fond avant d'être entraînées jusqu'à la sortie en x = L_b. Il faut donc que le temps de sédimentation soit inférieur au temps de séjour de l'eau dans le bassin :

1. Puissance surfacique reçue (densité surfacique de puissance)

L'onde lumineuse est modélisée par une onde électromagnétique plane progressive harmonique se propageant dans l'air (assimilé au vide). Le champ électrique s'écrit \vec{E} = E_0 \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})\,\vec{u}_E et le champ magnétique associé vérifie \vec{B} = \frac{1}{c}\vec{u}_k \wedge \vec{E}, avec c \approx 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} la célérité de la lumière dans le vide.

Le vecteur de Poynting instantané est :

En moyenne temporelle, la puissance surfacique incidente maximale \mathcal{P}_S = \langle \|\vec{\Pi}\| \rangle vaut :

Avec \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} et c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

2. Puissance lumineuse maximale reçue par la centrale

La surface totale de captage est S = 20\text{ ha} = 20 \times 10^4\text{ m}^2 = 2{,}0 \times 10^5\text{ m}^2. La puissance lumineuse maximale interceptée est :

3. Énergie lumineuse reçue sur une année

Pendant la durée annuelle équivalente \Delta t = 1\,800\text{ h}, l'énergie lumineuse totale collectée est :

4. Énergie électrique annuelle produite

Les cellules photovoltaïques convertissent cette énergie lumineuse avec un rendement \eta = 0{,}20 :

5. Nombre de foyers alimentés

Un foyer moyen consomme W_{\text{élec}} = 5\,000\text{ kWh} par an. Le nombre de foyers N_f que la ferme peut satisfaire est :

En prenant \pi \approx 3{,}14 (ou l'approximation de tête \pi \approx 3 \implies N_f \approx 7\,200) :

Les phénomènes d'induction électromagnétique s'observent dans deux cadres fondamentaux (ainsi que dans leur superposition) :

1. L'induction de Neumann (ou induction statique) :

   • Le circuit ou matériau conducteur est fixe dans le référentiel d'étude, mais plongé dans un champ magnétique dépendant du temps \vec{B}(\vec{r}, t).

   • L'origine physique est le champ électrique induit créé selon l'équation de Maxwell-Faraday :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
   • Le champ électromoteur d'induction s'écrit \vec{E}_m = \vec{E}.

2. L'induction de Lorentz (ou induction de mouvement) :

   • Le conducteur est en mouvement (à une vitesse \vec{v}) dans un champ magnétique \vec{B}(\vec{r}) stationnaire (indépendant du temps dans le référentiel d'étude).

   • L'origine physique est la composante magnétique de la force de Lorentz agissant sur les porteurs de charge mobiles du conducteur :

     \vec{f}_{\mathrm{mag}} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B}
   • Le champ électromoteur d'induction s'écrit \vec{E}_m = \vec{v} \wedge \vec{B}.

3. Le cas général (ou mixte) :

   • Un conducteur en mouvement se déplace dans un champ magnétique lui-même variable dans le temps ; les deux effets (Neumann et Lorentz) coexistent alors. C'est précisément la situation rencontrée ici, où la particule de vitesse \vec{V}(t) traverse une onde de champ magnétique \vec{B}(x,t) = B_0 \cos(\omega t - kx)\,\vec{e}_z.

D'après la loi d'Ohm locale, la densité de courant dans la particule conductrice s'écrit :

Les dimensions de la particule étant très petites devant la longueur d'onde spatiale 1/k, le champ magnétique \vec{B}(x,t) = B_0 \cos(\omega t - kx)\,\vec{e}_z et le vecteur densité volumique de courant \vec{j} peuvent être considérés comme uniformes sur tout le volume \tau de la particule.

La force de Laplace instantanée exercée sur l'ensemble de la particule s'obtient par intégration de la densité volumique de force :

En calculant le produit vectoriel, avec \vec{e}_y \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_x :

On en déduit l'expression de la force de Laplace instantanée :

Dans le cas où \frac{\omega}{k} \gg V(t), le terme V(t) devient négligeable devant la vitesse de phase \frac{\omega}{k}, d'où la forme simplifiée :

La condition \omega \gg \frac{V_0}{a} impose que le temps de séjour de la particule dans la zone aimantée (\Delta t \sim a/V_0) est très grand devant la période d'oscillation temporelle T = \frac{2\pi}{\omega}. La moyenne temporelle de \cos^2(\omega t - kx) sur plusieurs périodes est égale à \frac{1}{2} :

La force de Laplace moyenne sur le temps s'exerçant sur la particule vaut donc :

Dans le référentiel lié au convoyeur (galiléen), la particule de déchet se déplace horizontalement le long de l'axe (Ox) sur une distance a.

Le poids et la réaction normale du tapis étant verticaux, ils ne travaillent pas au cours de ce déplacement horizontal. En assimilant à chaque instant la force de Laplace à sa valeur moyenne obtenue à la question précédente :

le travail développé par cette force lors de la traversée de la zone de longueur a s'écrit :

D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation d'énergie cinétique d'une particule est égale au travail des forces appliquées :

1. Vitesse de sortie V_3 des particules de type 3 :
Pour les déchets inertes (plastiques, cartons, céramiques), la conductivité électrique est nulle (\gamma = 0). La force de Laplace est donc nulle :

On en déduit que ces particules conservent la vitesse du tapis :

2. Vitesse de sortie V_1 des particules de type 1 :
Pour les métaux conducteurs non magnétiques, \gamma > 0. En notant m la masse de la particule (ou \rho = m/\tau sa masse volumique) :

Il vient ainsi :

À la sortie de la zone sous champ magnétique, les particules quittent le tapis avec une vitesse purement horizontale :

• les particules inertes (type 3) n'ont pas été accélérées : V_3 = V_0 ;
• les particules conductrices (type 1) ont subi la force de Laplace motrice orientée vers l'avant, de sorte que V_1 > V_0.

Une fois détachées du tapis roulant, les particules effectuent un mouvement de chute libre dans le champ de pesanteur (les frottements de l'air étant négligeables sur cette faible distance). Pour une hauteur de chute donnée h, la durée de chute \Delta t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} est identique pour toutes les particules, mais la distance horizontale franchie (la portée) vaut :

Puisque V_1 > V_3, la portée horizontale des particules de type 1 est strictement supérieure à celle des particules de type 3 :

Positionnement des bacs : Il convient de disposer deux bacs contigus en aval du tapis, séparés par un déflecteur :

• le bac pour le type 3 (déchets inertes) est placé au plus près de l'extrémité du convoyeur, directement sous le rotor ;
• le bac pour le type 1 (métaux non ferreux) est placé plus en avant (vers la droite), afin de recevoir les particules éjectées plus loin.

D'après le préambule de la partie IV, les particules de type 2 (fer, nickel) acquièrent sous l'action du champ un moment dipolaire magnétique induit : elles sont donc soumises à une force magnétique attractive dirigée vers les zones de champ magnétique le plus intense, c'est-à-dire vers le rotor aimanté situé à l'intérieur du tambour.

Cette attraction magnétique plaque fermement les particules de type 2 contre la bande transporteuse, surpassant la force de Laplace, leur inertie et leur poids au moment de quitter la partie horizontale :

• Au lieu d'être éjectées vers l'avant (comme les déchets de type 1) ou de suivre une trajectoire de chute libre dès la fin du plan horizontal (comme les déchets de type 3), les particules de type 2 restent solidaires du tapis roulant et épousent la courbure du tambour d'extrémité.
• Elles sont ainsi entraînées vers la face inférieure du convoyeur.
• Dès que le tapis s'éloigne de la zone d'influence du rotor aimanté, le champ magnétique s'effondre ; la force d'attraction ne compense plus la gravité, et les particules se décrochent du tapis.

Les équations des réactions de combustion complète s'écrivent :

• Pour le méthane :

  \mathrm{CH_4(g)} + 2\,\mathrm{O_2(g)} \longrightarrow \mathrm{CO_2(g)} + 2\,\mathrm{H_2O(l)}

  La combustion d'une mole de \mathrm{CH_4} dégage une énergie Q_{\mathrm{CH_4}} = 803\text{ kJ} et produit 1\text{ mol} de \mathrm{CO_2}.

• Pour le fuel :

  \mathrm{C_{16}H_{34}(l)} + \frac{49}{2}\,\mathrm{O_2(g)} \longrightarrow 16\,\mathrm{CO_2(g)} + 17\,\mathrm{H_2O(l)}

  La combustion d'une mole de fuel dégage une énergie Q_{\mathrm{fuel}} = 7\,600\text{ kJ} et produit 16\text{ mol} de \mathrm{CO_2}.

Calculons l'énergie libérée par mole de \mathrm{CO_2} rejetée dans l'atmosphère, notée q_{\mathrm{CO_2}} :

Pour une même production d'énergie thermique E, la quantité de matière de \mathrm{CO_2} rejetée est :

Comme q_{\mathrm{CO_2}}(\text{méthane}) > q_{\mathrm{CO_2}}(\text{fuel}), on a :

Le fuel produit environ \frac{803}{475} \approx 1{,}7 fois plus de \mathrm{CO_2} que le méthane pour une même quantité d'énergie libérée. La combustion du méthane est donc plus avantageuse en termes d'émissions de gaz à effet de serre.

1. Allure du diagramme et tracé du cycle

2. Lecture graphique et remplissage du tableau 1

• Point 4 (liquide saturé à P_4 = 1\text{ bar}, x_v = 0) : Le point se trouve sur la courbe d'ébullition à P = 1\text{ bar}. On y lit la température d'ébullition standard T_4 = 100^\circ\text{C} et l'enthalpie massique :

  h_4 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Point 1 (liquide haute pression, P_1 = 10\text{ bar}) : L'évolution dans la pompe étant isenthalpique, on a h_1 = h_4 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_1 \approx 100^\circ\text{C} (le liquide est quasi incompressible).

• Point 3 (vapeur saturante à P_3 = 1\text{ bar}, x_v = 1) : Le point se situe sur la courbe de rosée à P = 1\text{ bar}. La température de changement d'état sous 1 bar est T_3 = 100^\circ\text{C}. On lit l'enthalpie massique de la vapeur saturante :

  h_3 \approx 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

  L'entropie massique correspondante est s_3 \approx 7{,}36\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

• Point 2 (vapeur surchauffée, P_2 = 10\text{ bar}) : La détente dans la turbine étant adiabatique et réversible, elle est isentropique : s_2 = s_3 \approx 7{,}36\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}. En suivant l'isentrope passant par le point 3 jusqu'à l'isobare P = 10\text{ bar}, on lit :

  h_2 \approx 3\,100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad T_2 \approx 320^\circ\text{C}

Le tableau complété est le suivant :

Pour un système ouvert traversé par un fluide en régime stationnaire, en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques, le premier principe s'écrit entre l'entrée e et la sortie s d'un organe :

où w_u est le travail utile massique et q le transfert thermique massique reçus par le fluide (convention récepteur).

1. Expressions en fonction des enthalpies massiques

• Turbine (évolution 2 \to 3) : l'évolution est adiabatique (q = 0), d'où :

  \boxed{w_{iT} = h_3 - h_2}

  En convention récepteur, w_{iT} < 0. Le travail massique récupéré par l'extérieur est |w_{iT}| = h_2 - h_3 > 0.

• Générateur de vapeur (évolution 1 \to 2) : il n'y a pas de parties mobiles (w_u = 0), la chaleur fournie par le générateur au fluide vaut :

  \boxed{q_{GV} = h_2 - h_1}

• Condenseur (évolution 3 \to 4) : sans transfert de travail utile (w_u = 0), le transfert thermique reçu par le fluide est q = h_4 - h_3 < 0. Le transfert thermique massique récupéré par le circuit secondaire est donc :

  \boxed{q_{\text{Cond}} = h_3 - h_4}

2. Applications numériques D'après les valeurs obtenues à la question précédente :

• h_1 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_2 \approx 3\,100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_3 \approx 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_4 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On en déduit :

Remarque : La pompe étant isenthalpique (h_1 = h_4), on vérifie le bilan sur le cycle : |w_{iT}| + q_{\text{Cond}} = 420 + 2\,260 = 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} = q_{GV}.

3. Rendement de l'installation Le travail net utile fourni à l'extérieur par cycle provient uniquement de la turbine car l'évolution dans la pompe est supposée isenthalpique (w_{\text{pompe}} \approx 0). Le rendement thermique de l'installation est donc :

Numériquement :

D'après les hypothèses de l'énoncé, les pertes mécaniques de la turbine sont négligées et le rendement de l'alternateur est de 100\,\%. La puissance électrique produite \mathcal{P}_{\text{élec}} est donc égale à la puissance mécanique fournie par le fluide à la turbine :

On en déduit l'expression du débit massique d'eau dans le circuit primaire :

Application numérique : Avec \mathcal{P}_{\text{élec}} \approx 250\text{ kW} = 250\times 10^3\text{ W} et |w_{i\text{T}}| \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} = 420\times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après la question Q30) :

Soit, en unité horaire :

La norme du champ magnétique \vec{B} en un point est proportionnelle à la densité locale des lignes de champ.

Sur la figure 7, les lignes de champ ne sont manifestement pas parallèles et équidistantes :

En observant la géométrie du spectre magnétique :

• Zone de champ le plus intense : les lignes de champ sont les plus denses (les plus resserrées) au niveau de la région centrale du rotor, le long de l'axe de symétrie défini par \vec{n}_1, ainsi que dans l'entrefer à la traversée selon cet axe horizontal (\theta = 0 et \theta = \pi).
• Zone de champ le moins intense : les lignes de champ sont les plus espacées à la périphérie extérieure de la culasse du stator ainsi qu'au voisinage du plan contenant les conducteurs aller-retour (\theta \approx \pm \pi/2), où les lignes de champ se séparent et contournent les encoches.

Le théorème d'Ampère pour le champ d'excitation magnétique \vec{H} le long d'un contour fermé \Gamma s'écrit :

où I_{\text{enlacé}} est le courant total traversant une surface s'appuyant sur \Gamma.

On choisit pour contour \Gamma la ligne de champ moyenne représentée sur la figure 7 :

• Ce contour enlace un seul des deux conducteurs de la spire (par exemple le conducteur supérieur ou inférieur), de sorte que le courant libre enlacé est :

  I_{\text{enlacé}} = i_1(t)
• Le contour est une ligne de champ, donc en tout point, le vecteur \vec{H} est colinéaire et de même sens que le vecteur déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell}, d'où \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = H\,\mathrm{d}\ell.

• La ligne se referme en traversant :

  • le fer (rotor et stator) sur une longueur totale L_{\text{fer}}, avec une norme uniforme H_{\text{fer}} ;
  • l'entrefer à deux reprises (une fois pour aller du rotor vers le stator, une fois pour revenir du stator vers le rotor), sur une épaisseur e à chaque passage, avec une norme uniforme H_{\text{air}}.

La circulation de \vec{H} le long de cette ligne de champ moyenne vaut donc :

On en déduit la relation demandée :

Les relations constitutives dans l'air (assimilé au vide) et dans le fer (milieu magnétique linéaire homogène et isotrope de perméabilité relative \mu_r) s'écrivent :

En reportant ces relations dans le théorème d'Ampère obtenu à la question Q33 (2e H_{\text{air}} + L_{\text{fer}} H_{\text{fer}} = i_1(t)), on obtient :

D'après l'énoncé, la machine vérifie \mu_r e \gg L_{\text{fer}}, c'est-à-dire :

Le terme d'excitation dans le fer est donc négligeable devant celui dans l'entrefer :

On en déduit l'expression de la norme B :

D'après la figure 7 de l'énoncé et la règle du tire-bouchon de Maxwell :

• Pour i_1(t) > 0, le courant sort du plan au conducteur supérieur (\theta = +\frac{\pi}{2}) et entre dans le plan au conducteur inférieur (\theta = -\frac{\pi}{2}).
• Les lignes de champ traversent donc le rotor de la gauche vers la droite le long de l'axe défini par \vec{n}_1.

• Dans l'entrefer, pour \theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[, le champ magnétique est dirigé du rotor vers le stator, c'est-à-dire dans le sens de \vec{e}_r :

  \vec{B}_{\text{spire}}(\theta, t) = +B \, \vec{e}_r \implies B_{\text{spire}}(\theta, t) = +B = +\frac{\mu_0 \, i_1(t)}{2e}

• Pour les angles extérieurs, soit \theta \in \left[-\pi, -\frac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right], les lignes de champ se referment en entrant du stator vers le rotor, soit en sens opposé à \vec{e}_r :

  \vec{B}_{\text{spire}}(\theta, t) = -B \, \vec{e}_r \implies B_{\text{spire}}(\theta, t) = -B = -\frac{\mu_0 \, i_1(t)}{2e}

Le champ magnétique radial B_{\text{spire}}(\theta, t) présente donc une allure en créneau alternatif, symétrique, représentée ci-dessous.