Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2021

a) Les conditions d'approximation de Gauss consistent à utiliser le système optique avec des rayons lumineux dits paraxiaux, c'est-à-dire :

• proches de l'axe optique (faible distance par rapport à l'axe) ;
• peu inclinés par rapport à l'axe optique (les angles d'incidence et d'émergence formés avec l'axe optique ou la normale aux dioptres restent petits devant 1 radian : \theta \ll 1\text{ rad}).

Dans ces conditions, on peut linéariser les lois de Snell-Descartes (\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta), ce qui confère au système optique un stigmatisme et un aplanétisme approchés.

b) La partie de l'appareil qui permet d'assurer que ces conditions sont remplies est le diaphragme (noté (D)). En limitant le diamètre utile du faisceau qui traverse l'objectif, il bloque les rayons marginaux (trop éloignés de l'axe) ainsi que les rayons fortement inclinés.

a) Schéma optique et construction géométrique

L'arbre constitue un objet réel AB avec A sur l'axe optique et \overline{AB} = h > 0. L'objectif est modélisé par une lentille mince convergente de centre O et de distance focale f' = \overline{OF'} = -\overline{OF} > 0.

Pour construire l'image B' du point B, on trace :

• le rayon issu de B parallèle à l'axe optique, qui émerge en passant par le foyer principal image F' ;
• le rayon issu de B passant par le centre optique O, qui traverse la lentille sans être dévié.

L'intersection de ces deux rayons définit l'image réelle B'. Le point A' est le projeté orthogonal de B' sur l'axe optique, et le capteur (C) est positionné dans le plan focal image conjugué de l'objet, en A'.

b) Expression et calcul de la taille de l'image

L'arbre se trouve à une distance L devant l'objectif, donc en mesure algébrique :

D'après la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

Le grandissement transversal est donné par :

La taille de l'image (hauteur absolue) est donc :

Comme L \gg f' (20\text{ m} \gg 0{,}05\text{ m}), on a l'excellente approximation :

Application numérique :

Soit :

a) D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

Lorsque l'objet est situé à l'infini (L \to +\infty), le terme \frac{1}{L} tend vers 0. On en déduit :

L'image nette se forme dans le plan focal image de l'objectif.

b) Exprimons la distance lentille-capteur d en fonction de L :

La dérivée de cette fonction par rapport à L (pour L > f') s'écrit :

La distance d est une fonction strictement décroissante de la distance objet L : plus l'objet se rapproche de l'objectif, plus l'image s'en éloigne et plus il faut augmenter le tirage d.

Or, le mécanisme d'avancement de l'objectif est limité à une valeur maximale d_{\text{max}}. Il existe donc une distance minimale L_{\text{min}} telle que d(L_{\text{min}}) = d_{\text{max}}.

• Pour L < L_{\text{min}}, la distance nécessaire pour former une image nette vérifierait d > d_{\text{max}}, ce qui est mécaniquement impossible : la mise au point ne peut pas se faire.
• Pour L \geqslant L_{\text{min}}, la distance requise vérifie f' < d \leqslant d_{\text{max}} (avec d_{\text{min}} \leqslant f' pour permettre la mise au point à l'infini), la mise au point sur le capteur est donc toujours réalisable.

c) En écrivant la relation de conjugaison à la distance limite :

D'où l'expression de la distance minimale de mise au point :

d) Application numérique avec f' = 50\text{ mm} et d_{\text{max}} = 55\text{ mm} :

a) D'après la relation établie à la question Q2.b, la taille de l'image sur le capteur s'exprime par :

Puisque la distance de l'arbre reste inchangée (L = 20\text{ m}) et que L \gg f'_1, la taille de l'image est proportionnelle à la distance focale de l'objectif. La focale étant doublée (f'_1 = 2f'), la taille de l'image est également doublée :

La valeur exacte sans approximation donne :

b) Le capteur a pour dimensions 24\text{ mm} \times 36\text{ mm}.

• En orientation paysage (horizontale), la hauteur disponible sur le capteur est de 24\text{ mm}. Comme A'B'_1 \approx 25\text{ mm} > 24\text{ mm}, l'arbre ne rentre pas dans le cadre et ne peut être vu en entier.
• En orientation portrait (verticale), la hauteur disponible sur le capteur est de 36\text{ mm}. Comme A'B'_1 \approx 25\text{ mm} < 36\text{ mm}, l'image de l'arbre tient entièrement sur le capteur.

Il est donc possible de voir l'arbre en entier sur la photo, à condition d'orienter le boîtier en mode portrait (vertical).

Puisque la distance de prise de vue est très grande devant les distances focales mises en jeu (L = 20\text{ m} \gg f'), la taille de l'image sur le capteur est donnée au premier ordre par :

1. Part de vérité (calcul numérique) : Avec le téléobjectif de focale f'_1 = 100\text{ mm}, la taille obtenue à la distance L = 20\text{ m} est :

Pour obtenir cette même taille d'image avec l'objectif initial de focale f' = 50\text{ mm}, le photographe aurait dû se placer à une distance L' telle que :

L'image obtenue avec le téléobjectif à 20\text{ m} présente donc le même grandissement que si l'on s'était approché physiquement à 10\text{ m} avec l'objectif standard : en termes de taille perçue et d'angle de champ, tout se passe comme si l'objet était deux fois plus proche.

2. Part d'inexactitude :

• L'objet ne se déplace évidemment pas dans l'espace ;
• La perspective (rapport de proportions entre le premier plan et l'arrière-plan, lignes de fuite) ne dépend que de la position de prise de vue. Se rapprocher physiquement à 10\text{ m} modifierait la perspective, alors qu'utiliser un téléobjectif depuis 20\text{ m} conserve la perspective de la prise de vue initiale tout en effectuant un recadrage (écrasement des plans).

a) Expression de la distance \overline{O_2A_1} :

La relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique pour la lentille convergente (L_1) s'écrit :

L'arbre étant situé à une distance L = 20\text{ m} devant l'objectif, on a \overline{O_1A} = -L. Comme L \gg f'_1 (20\text{ m} \gg 0{,}10\text{ m}), le terme \frac{1}{\overline{O_1A}} = -\frac{1}{L} est tout à fait négligeable devant \frac{1}{f'_1}, ce qui donne :

L'image intermédiaire A_1 se forme donc dans le plan focal image de (L_1) (A_1 \approx F'_1). En introduisant le centre O_2 par la relation de Chasles :

D'où l'expression approchée :

b) Condition sur la distance e pour une image finale A'B' réelle :

L'image intermédiaire A_1B_1 joue le rôle d'objet pour la lentille divergente (L_2). La relation de conjugaison de Descartes appliquée à (L_2) s'écrit :

Pour que l'image finale A'B' puisse être recueillie sur le capteur situé après la lentille (L_2), elle doit être réelle, ce qui impose :

La lentille (L_2) étant divergente, sa distance focale image est strictement négative (f'_2 < 0), si bien que le membre de droite est strictement positif : -\frac{1}{f'_2} = \frac{1}{|f'_2|} > 0.

• Cela impose tout d'abord que le membre de gauche soit strictement positif, soit f'_1 - e > 0, c'est-à-dire :

  e < f'_1

  L'objet intermédiaire A_1 doit donc impérativement être virtuel pour (L_2) (situé après O_2), car une lentille divergente ne peut donner d'image réelle d'un objet réel.

• Les deux membres étant strictement positifs, le passage aux inverses inverse le sens de l'inégalité :

  f'_1 - e < -f'_2 \iff e > f'_1 + f'_2

On en déduit la double inégalité encadrant la distance e :

c) Vérification numérique :

Avec les valeurs numériques proposées :

• f'_1 + f'_2 = 10\text{ cm} + (-5\text{ cm}) = 5\text{ cm}
• f'_1 = 10\text{ cm}
• e = 8\text{ cm}

On a bien :

La condition est donc parfaitement vérifiée : le système fournira une image réelle pouvant être enregistrée par le capteur.

a) Calcul de la distance d

L'arbre étant situé à une grande distance (L = 20\text{ m} \gg f'_1 = 10\text{ cm}), l'image intermédiaire A_1 se forme dans le plan focal image de (L_1) :

La position de cette image par rapport au centre optique O_2 de (L_2) est, d'après la relation de Chasles :

En appliquant la relation de conjugaison de Descartes à la lentille (L_2) de distance focale f'_2 = -5\text{ cm} :

On en déduit la position de l'image finale sur le capteur par rapport à (L_2) :

Si la distance d désigne le tirage mécanique arrière (distance entre la dernière lentille (L_2) et le capteur) :

Si l'on considère la distance totale entre la face avant de l'objectif (L_1) et le capteur (encombrement total) :

b) Taille de l'image A'B' de l'arbre sur le capteur

Le grandissement transversal global du doublet est donné par le produit des grandissements :

Pour la première lentille, avec l'approximation de l'objet éloigné (L \gg f'_1) :

Pour la seconde lentille :

Le grandissement global vaut donc :

La taille algébrique de l'image sur le capteur est :

En valeur absolue :

c) Équivalence avec l'objectif de Q4

Dans la question Q4, l'objectif de focale f'_1 = 100\text{ mm} donnait une image de taille A'B'_1 = 25\text{ mm}. Ici, l'image mesure A'B' \approx 41{,}7\text{ mm}, ce qui est strictement supérieur.

La distance focale équivalente de ce téléobjectif est :

1. Hypothèses de modélisation

• L'objectif de l'appareil est modélisé par une lentille mince convergente (L) de centre optique O et de distance focale f' = 18\text{ mm} (d'après le document 2).
• La distance de prise de vue est D = BC = 1{,}46\text{ km} = 1\,460\text{ m} (d'après le document 3). Comme D \gg f', l'objet est considéré à l'infini et l'image nette se forme dans le plan focal image : la distance lentille-capteur est d \approx f'.
• Le Mont Saint-Michel est assimilé à un objet vertical AB perpendiculaire à l'axe optique (visée horizontale), de hauteur H = AB.
• La photo est au format paysage et n'a pas été recadrée : la hauteur totale de l'image imprimée correspond à la petite dimension du capteur du Canon G10, soit h_{\text{capteur}} = 5{,}7\text{ mm} (d'après le document 1, dimensions 5{,}7\text{ mm} \times 7{,}6\text{ mm}).

2. Relation entre l'objet et l'image

Le grandissement transversal en valeur absolue s'écrit :

3. Mesures sur le cliché et calcul de h'

À la règle sur la photo du sujet (page 4), on mesure :

• la hauteur totale du cadre de la photo : H_{\text{photo}} \approx 5{,}7\text{ cm} ;
• la hauteur du Mont Saint-Michel, de la grève au sommet de la flèche : h_{\text{photo}} \approx 1{,}9\text{ cm}.

Le rapport des dimensions étant conservé par le grandissement optique, la hauteur de l'image sur le capteur vaut :

4. Application numérique

Compte tenu de l'incertitude de lecture sur l'image (environ \pm 0{,}1\text{ cm} sur h_{\text{photo}}), on obtient :

a) Loi de la réfraction en B

Au point B, la lumière passe du verre d'indice n à l'air d'indice n_{\text{air}} = 1. L'angle d'incidence par rapport à la normale (CB) est i et l'angle de réfraction est r.

La loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit :

b) Expression de la distance OF'

D'après la figure 2, les points O, K et F' sont alignés sur l'axe optique orienté de gauche à droite. On peut donc décomposer la distance OF' :

• Détermination de OK :

  Le rayon incident (AB) étant parallèle à l'axe optique, la normale (CB) coupe l'axe optique en C en formant l'angle \widehat{BCK} = i (angles alternes-internes).

  Dans le triangle CKB rectangle en K, avec CB = R :

  \begin{aligned} CK &= R \cos(i) \\ BK &= R \sin(i) \end{aligned}

  Le sommet S du dioptre sphérique est à la distance CS = R du centre de courbure C. On en déduit :

  KS = CS - CK = R - R \cos(i) = R[1 - \cos(i)]

  L'épaisseur au centre étant OS = e, on obtient :

  OK = OS - KS = e - R[1 - \cos(i)]

• Détermination de KF' :

  Par rapport à la direction incidente horizontale, la normale (CB) fait un angle i, et le rayon émergent fait un angle r avec cette normale. L'angle de déviation du rayon émergent par rapport à la direction horizontale de l'axe optique est donc :

  \alpha = r - i

  Dans le triangle BKF' rectangle en K, l'angle en F' vaut \widehat{BF'K} = \alpha = r - i. On a donc :

  \tan(r - i) = \frac{BK}{KF'} \implies KF' = \frac{BK}{\tan(r - i)} = \frac{R \sin(i)}{\tan(r - i)}

En sommant les deux contributions, on retrouve bien :

a) Stigmatisme rigoureux

Pour un faisceau incident parallèle à l'axe optique (objet ponctuel à l'infini sur l'axe), le système serait rigoureusement stigmatique si tous les rayons émergents convergeaient en un unique point F'.

Or, d'après l'expression établie à la question Q9.b :

la distance OF' dépend explicitement de l'angle d'incidence i (et donc de la hauteur h = R\sin(i) du rayon incident). Des rayons incidents à différentes distances de l'axe ne coupent pas l'axe optique au même point (aberration de sphéricité).

La lentille ne constitue donc pas un système rigoureusement stigmatique.

b) Stigmatisme approché

Considérons les deux approximations demandées :

• Rayons paraxiaux : les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à celui-ci, ce qui implique i \ll 1 et r \ll 1. Aux petits angles :

  \begin{aligned} \sin(i) &\approx i \\ \cos(i) &\approx 1 \\ \sin(r) &\approx r \implies r \approx n\,i \quad \text{(d'après Snell-Descartes)} \\ \tan(r - i) &\approx r - i \approx (n - 1)\,i \end{aligned}
• Lentille mince : l'épaisseur e est négligeable devant le rayon de courbure R (e \ll R).

Dans ce cadre, le terme e - R[1 - \cos(i)] \approx e est négligeable devant \frac{R}{n-1}, et le quotient s'écrit :

Cette position limite est indépendante de l'angle d'incidence i (et donc de la hauteur h) : tous les rayons émergents convergent, au premier ordre, vers un même point image F'.

Le système est donc approximativement stigmatique dans les conditions de Gauss.

c) Expression approchée de OF'

En sommant les contributions approchées :

a) Expression du chemin optique (OSF')

Le rayon qui coïncide avec l'axe optique traverse la lentille en incidence normale ; il n'est donc pas dévié. Le trajet s'effectue dans le verre d'indice n sur le segment [OS] de longueur e, puis dans l'air d'indice n_{\text{air}} = 1 sur le segment [SF']. Par définition du chemin optique :

La distance SF' s'exprime en fonction de la distance OF' et de l'épaisseur e :

D'où :

D'après la question Q10.c, dans les conditions de Gauss pour une lentille mince, la distance focale image vaut :

En identifiant la variable r mentionnée dans l'énoncé au rayon de courbure R de la face sphérique (coquille de casse r \equiv R), il vient :

Remarque : si l'énoncé entend par r la distance algébrique ou géométrique SF' (ou OF'), l'expression exacte s'écrit directement :

b) Relation entre (ABF') et (OSF')

Le faisceau incident est constitué de rayons parallèles à l'axe optique, ce qui correspond à une onde plane dont les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à l'axe optique. La face d'entrée de la lentille étant plane et orthogonale à l'axe, le plan (yOz) passant par O et A constitue lui-même une surface d'onde incidente.

D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde sont les surfaces orthogonales aux rayons lumineux. Dans les conditions de Gauss, la lentille réalise un stigmatisme approché entre le point objet à l'infini sur l'axe et le foyer image F' (la surface d'onde émergente convergeant vers F' est une sphère centrée sur F'). Par conséquent, le chemin optique séparant une surface d'onde incidente du point image de convergence F' est indépendant du rayon lumineux suivi.

Puisque A et O appartiennent à la même surface d'onde incidente et que les deux rayons convergent en F', on a l'égalité :

1. D'après le document 4, chaque cran d'ouverture vers la droite divise la surface d'ouverture par 2. Inversement, passer de f/8 à f/4 correspond à un décalage de deux crans vers la gauche (de f/8 à f/5{,}8 puis à f/4) : la surface offerte au passage de la lumière est donc multipliée par :

   2 \times 2 = 4

   Le flux lumineux incident sur le capteur étant quadruplé et la sensibilité restant constante (\text{ISO} = 100), il faut réduire la durée d'exposition par un facteur 4 pour conserver la même exposition (la même énergie lumineuse reçue par le capteur, ce que traduit la conservation de la surface du triangle du document 5).

   La vitesse d'obturation initiale étant t_1 = 1/250\text{ s}, le photographe doit choisir :

   t_2 = \frac{t_1}{4} = \frac{1}{4 \times 250\text{ s}} = \frac{1}{1000}\text{ s}
   \boxed{\text{Vitesse d'obturation : } 1/1000\text{ s}}

2. Le document 4 indique qu'« une plus faible ouverture permet d'obtenir une plus grande profondeur de champ ».

   En passant de f/8 à f/4, l'ouverture du diaphragme est plus grande :

   \boxed{\text{Ce réglage va diminuer la profondeur de champ.}}

3. La durée d'exposition est quatre fois plus courte (1/1000\text{ s} contre 1/250\text{ s}). Le mouvement de la personne pendant l'ouverture de l'obturateur est donc nettement plus faible :

   \boxed{\text{Non, le risque d'obtenir une image floue est plus faible.}}

D'après la relation d'Einstein-Planck, l'énergie E d'un photon associé à une onde électromagnétique monochromatique de fréquence \nu est donnée par :

où :

• E est l'énergie du photon, exprimée en joules (\mathrm{J}) dans le Système International (ou couramment en électron-volts, \mathrm{eV}) ;
• h est la constante de Planck, dont la dimension est celle d'une action, exprimée en joules-secondes (\mathrm{J\cdot s}) ou en \mathrm{m^2\cdot kg\cdot s^{-1}} (h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) ;
• \nu est la fréquence temporelle de l'onde, exprimée en hertz (\mathrm{Hz}) ou en \mathrm{s^{-1}} ;
• c est la célérité de la lumière dans le vide, exprimée en mètres par seconde (\mathrm{m\cdot s^{-1}}) ;
• \lambda = \frac{c}{\nu} est la longueur d'onde dans le vide, exprimée en mètres (\mathrm{m}).

L'obturateur reste ouvert pendant la durée :

Le diaphragme circulaire de diamètre D = 5\text{ mm} = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} présente une surface d'ouverture :

Sous un éclairement solaire moyen noté \mathcal{E}_{\text{sol}} = 700\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, l'énergie électromagnétique totale pénétrant dans l'appareil durant l'ouverture est :

D'après la question Q13, chaque photon transporte une énergie :

Le nombre N de photons captés s'écrit donc :

Application numérique avec les données :

• \mathcal{E}_{\text{sol}} = 700\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}
• D = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} d'où S = \frac{\pi \times (5{,}0\cdot 10^{-3})^2}{4} \approx 1{,}96\cdot 10^{-5}\text{ m}^2
• \Delta t = \frac{1}{500}\text{ s} = 2{,}0\cdot 10^{-3}\text{ s}
• \mathcal{E}_{\text{rec}} = 700 \times 1{,}96\cdot 10^{-5} \times 2{,}0\cdot 10^{-3} \approx 2{,}75\cdot 10^{-5}\text{ J}
• E_{\text{ph}} = 6{,}63\cdot 10^{-34} \times 5{,}0\cdot 10^{14} \approx 3{,}32\cdot 10^{-19}\text{ J}

On obtient :

Le phénomène par lequel l'absorption d'un photon lumineux permet d'extraire un électron d'un métal est l'effet photoélectrique (plus précisément l'effet photoélectrique externe).

Le physicien ayant proposé une interprétation théorique de cet effet en 1905, en introduisant l'hypothèse des quanta de lumière (photons) d'énergie E = h\nu, est Albert Einstein.

Pour qu'un photon incident soit absorbé et crée une paire électron-trou dans le silicium, son énergie E doit être supérieure ou égale à l'énergie minimale E_{\text{min}} = 1{,}12\text{ eV} :

Calculons la longueur d'onde seuil \lambda_{\text{seuil}} dans le vide :

Le spectre de la lumière visible s'étend d'environ \lambda_{\text{min}} \approx 400\text{ nm} (violet) à \lambda_{\text{max}} \approx 800\text{ nm} (rouge extrême).

Pour tout photon du domaine visible, on a :

ce qui correspond à une énergie :

D'après le document 7, la portée du flash (exprimée en mètres) est donnée par la relation :

Les données pour cette prise de vue sont :

• un nombre guide \text{NG} = 12 ;
• une sensibilité de 400\text{ ISO}, à laquelle correspond, d'après le tableau du document 7, un \text{facteur de sensibilité} = 2 ;
• une ouverture notée f/11, ce qui correspond à un nombre d'ouverture x = 11.

On en déduit l'expression numérique de la portée :

La proposition correcte est la proposition 2, et la proposition 1 est inexacte.

Réfutation de la proposition 1 Considérons la durée caractéristique de la prise de vue avec un flash. D'après le document 7, la durée de l'éclair d'un flash varie typiquement entre \Delta t_{\min} = 1/5\,000\text{ s} = 2\cdot 10^{-4}\text{ s} et \Delta t_{\max} = 1/880\text{ s} \approx 1{,}1\cdot 10^{-3}\text{ s} (les vitesses de synchronisation de l'obturateur étant quant à elles de l'ordre de 1/250\text{ s}).

Durant l'éclair le plus court (\Delta t = 2\cdot 10^{-4}\text{ s}), la distance parcourue par la lumière dans l'air à la célérité c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} vaut :

Même en tenant compte du trajet aller-retour (du flash vers l'objet, puis de l'objet vers l'objectif), un retard temporel ne deviendrait limitant qu'à une distance de :

Or, d'après le document 7 et le résultat de la question Q17, la portée réelle d'un flash intégré de reflex est de l'ordre de quelques mètres seulement (2 à 10\text{ m}). L'échelle de distance parcourue par la lumière (60\text{ km}) est quatre ordres de grandeur supérieure à la portée du flash. La vitesse de propagation de la lumière n'est donc en rien le facteur limitant.

Justification de la proposition 2 Le flash émet une puissance lumineuse dans un cône angulaire (angle solide \Omega). En vertu de la conservation de l'énergie, la puissance surfacique (l'éclairement) décroît selon une loi en carré inverse de la distance d au flash :

L'objet éclairé diffuse ensuite cette lumière, et la fraction recaptée par l'objectif diminue également. Dès lors que l'objet est situé trop loin, l'éclairement qu'il reçoit devient insuffisant pour que le capteur collecte le signal nécessaire à une exposition correcte : c'est cette décroissance géométrique du flux avec la distance qui limite la portée du flash.

L'énergie électrostatique \mathcal{E} emmagasinée dans un condensateur de capacité C sous une tension U_0 s'écrit :

On en déduit l'expression de la tension de charge :

Avec \mathcal{E} \approx 10\text{ J} et C = 200\ \mu\text{F} = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ F} :

Commentaires sur cette valeur :

• Cette tension est considérablement plus élevée que la force électromotrice de la pile d'alimentation (E = 9\text{ V}). Le flash doit donc impérativement intégrer un convertisseur continu-continu élévateur de tension (hacheur survolteur ou montage de type flyback) pour charger le condensateur à partir de la pile.
• Une tension de l'ordre de 300\text{ V} présente un danger d'électrisation voire d'électrocution pour l'utilisateur, ce qui impose une isolation électrique rigoureuse du boîtier.
• Cette tension élevée est requise pour atteindre la tension de claquage nécessaire à l'ionisation du xénon et autoriser une décharge ultra-rapide produisant un éclair très lumineux.

a) Schéma du circuit et équation différentielle

Pendant la décharge, le condensateur de capacité C est connecté en boucle fermée avec le tube à xénon, modélisé par un conducteur ohmique de résistance R.

En adoptant la convention générateur pour le condensateur et la convention récepteur pour le conducteur ohmique :

• L'intensité du courant délivré par le condensateur s'écrit :

  i(t) = -C\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}

• La loi d'Ohm aux bornes du tube donne :

  u_R(t) = R\,i(t) = -RC\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}

D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du condensateur est égale à celle aux bornes de la résistance (u(t) = u_R(t)), ce qui conduit directement à l'équation différentielle :

b) Puissance instantanée reçue par le tube

L'intégration de l'équation différentielle avec la condition initiale u(0) = U_0 donne :

La puissance instantanée p(t) reçue par le tube (en convention récepteur) est dissipée par effet Joule :

En injectant l'expression de u(t), on obtient :

c) Allure de la courbe p(t)

La puissance p(t) est maximale en t=0, où elle vaut P_0 = \frac{U_0^2}{R}, puis décroît exponentiellement vers 0 avec une constante de temps caractéristique \tau' = \frac{RC}{2}.

D'après la question Q20, la puissance instantanée reçue par le tube s'écrit :

L'énergie \mathcal{E}(\Delta t) reçue par le tube pendant la durée \Delta t de l'éclair vaut :

L'énergie totale initialement stockée dans le condensateur étant \mathcal{E}_{\text{tot}} = \frac{1}{2}\,C U_0^2, la fraction d'énergie reçue par le tube s'exprime par :

Calculons le rapport temporel adimensionné avec R = 1\,\Omega, C = 200\,\mu\text{F} = 2{,}0\cdot 10^{-4}\text{ F} et \Delta t = \frac{1}{200}\text{ s} = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ s} :

Le terme exponentiel vaut \exp(-50) \approx 2\cdot 10^{-22} \ll 1.

Par conséquent, la fraction d'énergie reçue est :

On étudie la plaque de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe vertical (Ox) est orienté vers le bas selon le vecteur unitaire \vec{e}_x, et l'origine O coïncide avec le point d'attache supérieur du ressort, de sorte que la longueur du ressort s'identifie à la position x de la plaque : \ell = x.

À l'équilibre statique, la plaque est soumise à deux forces :

• son poids :

  \vec{P} = m \vec{g} = m g \vec{e}_x

• la force de rappel élastique exercée par le ressort :

  \vec{F}_{\text{él}} = - k (x_{\text{eq}} - \ell_0) \vec{e}_x

D'après la première loi de Newton (principe fondamental de la statique) :

En projetant sur l'axe vertical dirigé par \vec{e}_x, il vient :

On en déduit l'expression de la longueur du ressort à l'équilibre :

a) Le référentiel lié à la boîte subit une accélération \vec{a}(t) = a(t)\,\vec{e}_x par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen. L'accélération a(t) n'étant pas identiquement nulle lors des mouvements de l'appareil, le référentiel de la boîte n'est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen :

b) On étudie le mouvement de la plaque de masse m dans le référentiel \mathcal{R}_{\text{boîte}} lié à la boîte. Ce référentiel étant en translation par rapport au référentiel terrestre galiléen :

• le vecteur rotation instantané est nul : \vec{\Omega}(\mathcal{R}_{\text{boîte}}/\mathcal{R}_{\text{terre}}) = \vec{0}, de sorte que la force d'inertie de Coriolis est nulle : \vec{F}_{ic} = \vec{0} ;

• l'accélération d'entraînement d'un point fixe de la boîte s'écrit \vec{a}_e = \vec{a}(t) = a(t)\,\vec{e}_x, d'où la force d'inertie d'entraînement :

  \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{a}_e = -m\,a(t)\,\vec{e}_x.

Les forces appliquées à la plaque dans \mathcal{R}_{\text{boîte}} sont :

• le poids : \vec{P} = m\,g\,\vec{e}_x ;
• la force de rappel élastique du ressort : \vec{F}_{\text{él}} = -k\,(x(t) - \ell_0)\,\vec{e}_x ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -\alpha\,\vec{v} = -\alpha\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_x ;
• la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{ie} = -m\,a(t)\,\vec{e}_x.

La deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) appliquée à la masse m dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}_{\text{boîte}} s'écrit :

ce qui donne, en projection sur l'axe horizontal/vertical orienté par le vecteur unitaire \vec{e}_x :

D'après la question Q23b, la projection de la deuxième loi de Newton appliquée à la masse m dans le référentiel lié à la boîte s'écrit :

En regroupant tous les termes dépendant de l'inconnue x(t) et de ses dérivées dans le membre de gauche, on obtient :

En divisant cette relation par la masse m, il vient :

On identifie les paramètres canoniques de l'oscillateur harmonique amorti :

• la pulsation propre : \omega_0^2 = \dfrac{k}{m} \implies \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} ;
• le terme d'amortissement : \dfrac{\omega_0}{Q} = \dfrac{\alpha}{m} \implies Q = \dfrac{m\omega_0}{\alpha} = \dfrac{m}{\alpha}\sqrt{\dfrac{k}{m}} = \dfrac{1}{\alpha}\sqrt{k\,m}.

L'équation différentielle s'écrit donc bien sous la forme demandée :

où la fonction source f(t) vaut :

En utilisant l'expression de la position d'équilibre statique obtenue en Q22 (x_{\text{eq}} = \ell_0 + \dfrac{mg}{k}, soit \omega_0^2 x_{\text{eq}} = g + \dfrac{k}{m}\ell_0), on peut également mettre f(t) sous la forme compacte :

a) D'après l'énoncé, l'amplitude du déplacement est donnée par :

Dans le domaine des basses pulsations devant la pulsation propre, c'est-à-dire :

on a \omega^2 \ll \omega_0^2 et, sous réserve que Q ne soit pas excessivement faible, le terme d'amortissement vérifie également \frac{\omega_0\omega}{Q} \ll \omega_0^2. Le dénominateur se simplifie alors :

L'amplitude X_m devient indépendante de la fréquence :

De plus, l'équation différentielle en notation complexe s'écrit :

Pour \omega \ll \omega_0, le terme prépondérant dans la parenthèse est \omega_0^2, d'où :

La phase \phi est donc quasi-constante et égale à \pi dans ce domaine. Ainsi :

Le déplacement X(t) est donc proportionnel à l'accélération a(t) pour le domaine des basses fréquences \boxed{f \ll \frac{\omega_0}{2\pi}}.

b) Sachant que la pulsation propre de l'oscillateur est \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, soit \omega_0^2 = \frac{k}{m}, la relation précédente devient :

D'après le document 8, la distribution spectrale de l'amplitude du tremblement de la main s'étend de 0\text{ Hz} à environ 30\text{ Hz} :

• les mouvements volontaires et les réflexes mécaniques sont concentrés sous 5\text{ Hz} ;
• la résonance du poignet se situe vers 8 - 12\text{ Hz} ;
• la résonance des doigts s'étend jusqu'à environ 25 - 30\text{ Hz} ;
• au-delà de f_{\text{max}} \approx 30\text{ Hz}, l'amplitude spectrale est pratiquement nulle.

Calculons la fréquence propre f_0 du capteur pour \omega_0 = 5\cdot 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

Comparons la fréquence maximale du phénomène à mesurer à la fréquence propre du système :

De plus, avec un facteur de qualité Q = 5, le terme d'amortissement vaut au maximum :

Le système est donc très éloigné de sa zone de résonance.

a) Symétries, invariances, direction et sens du champ :

• Direction : Tout plan perpendiculaire au plan yOz passant par le point M(x,y,z) est un plan de symétrie de la distribution de charges. En particulier :

  • le plan passant par M et parallèle à xOy (z = z_M) est plan de symétrie ;
  • le plan passant par M et parallèle à xOz (y = y_M) est plan de symétrie.

  Le champ électrostatique \vec{E}(M) appartient à l'intersection de ces deux plans de symétrie, donc il est porté par la droite normale au plan chargé :

  \vec{E}(M) = E_x(M)\,\vec{e}_x

• Invariances : La distribution de charges est infinie et uniforme : elle est invariante par translation selon l'axe Oy et selon l'axe Oz. Le champ ne dépend donc ni de y, ni de z, mais uniquement de la variable x :

  \vec{E}(M) = E_x(x)\,\vec{e}_x

• Sens et parité : Le plan yOz (x = 0) est un plan de symétrie pour la distribution de charges, donc :

  \vec{E}(-x) = \mathrm{sym}_{yOz}\big(\vec{E}(x)\big) \implies E_x(-x) = -E_x(x)

  La fonction E_x(x) est impaire. La densité de charge \sigma étant positive, le champ électrostatique fuit les charges positives (sens centrifuge par rapport au plan chargé) :

  • pour x > 0, \vec{E}(M) est dirigé vers les x > 0 (selon +\vec{e}_x) ;
  • pour x < 0, \vec{E}(M) est dirigé vers les x < 0 (selon -\vec{e}_x).

b) Application du théorème de Gauss :

Considérons une surface de Gauss fermée constituée d'un cylindre à base droite de section S_{\mathrm{c}}, d'axe orthogonal au plan chargé (colinéaire à \vec{e}_x), dont les bases planes sont situées en -x et +x (avec x > 0).

• Flux du champ à travers la surface latérale : le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{lat}} est orthogonal à \vec{e}_x, d'où :

  \Phi_{\mathrm{lat}} = \iint_{\mathcal{S}_{\mathrm{lat}}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{lat}} = 0

• Flux à travers les bases : les bases sont orthogonales à l'axe Ox, de normales sortantes respectives +\vec{e}_x (en +x) et -\vec{e}_x (en -x) :

  \Phi_{\mathrm{bases}} = \vec{E}(x)\cdot (\vec{e}_x\,S_{\mathrm{c}}) + \vec{E}(-x)\cdot (-\vec{e}_x\,S_{\mathrm{c}}) = E_x(x)\,S_{\mathrm{c}} - E_x(-x)\,S_{\mathrm{c}}

  Comme E_x(-x) = -E_x(x), on obtient :

  \Phi_{\mathrm{total}} = 2\,E_x(x)\,S_{\mathrm{c}}

• Charge intérieure : la portion du plan découpée par le cylindre porte la charge :

  Q_{\mathrm{int}} = \sigma S_{\mathrm{c}}

D'après le théorème de Gauss :

En utilisant la fonction signe \mathrm{sgn}(x) ou en distinguant les deux demi-espaces :

où \vec{e}_x est le vecteur unitaire orthogonal au plan chargé orienté vers les x croissants.

a) D'après le résultat de la question Q27, un plan infini portant une densité surfacique de charge uniforme crée en tout point n'appartenant pas au plan un champ électrostatique uniforme de chaque côté du plan, dirigé perpendiculairement à celui-ci :

Par application du principe de superposition, le champ total \vec{E} en tout point de l'espace est la somme des champs créés par le plan A (x_A = 0, \sigma_A = +\sigma) et par le plan B (x_B = e, \sigma_B = -\sigma) :

• Entre les plaques (0 < x < e) :

  \begin{aligned} \vec{E}_A &= +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{e}_x \\ \vec{E}_B &= -\frac{-\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{e}_x = +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{e}_x \end{aligned}

  D'où le champ total entre les armatures :

• À l'extérieur des plaques :

  • Pour x < 0 : \vec{E}_A = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{e}_x et \vec{E}_B = +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{e}_x, soit \vec{E} = \vec{0}.
  • Pour x > e : \vec{E}_A = +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{e}_x et \vec{E}_B = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{e}_x, soit \vec{E} = \vec{0}.

Le champ électrostatique est donc rigoureusement nul à l'extérieur des plaques : le champ créé par le condensateur plan idéal est entièrement confiné dans l'espace inter-armatures.

b) Le champ électrostatique dérive du potentiel scalaire selon la relation locale :

Entre les plaques (0 < x < e), le champ étant uniforme, on a :

Par intégration le long d'un segment reliant le plan A (x = 0) au plan B (x = e) :

On en déduit la différence de potentiel U_{AB} = V_A - V_B :

a) La capacité C d'un condensateur est le coefficient de proportionnalité positif reliant la charge Q portée par l'armature au potentiel le plus élevé à la différence de potentiel U entre cette armature et l'autre :

En négligeant les effets de bord (puisque la distance e est très faible devant les dimensions des plaques), la charge +Q est uniformément répartie sur la surface interne S de l'armature, ce qui donne une densité surfacique :

D'après la question Q28b, la différence de potentiel entre les deux plaques s'écrit :

On en déduit l'expression de la capacité C du condensateur plan :

b) Dans le Système International d'unités (SI), la capacité d'un condensateur s'exprime en farads (symbole \mathrm{F}), homogène à des coulombs par volt (1\text{ F} = 1\text{ C}\cdot\text{V}^{-1}).

À l'équilibre mécanique (x(t) = x_{\text{eq}}), la distance entre les deux armatures vaut e. Lors du mouvement, la position de l'armature mobile varie de X(t) = x(t) - x_{\text{eq}}.

Selon la position de l'armature fixe (placée au-dessus ou en dessous de l'armature mobile), la distance instantanée d(t) séparant les deux plaques s'écrit :

En choisissant, par convention, l'armature fixe située au-dessus de l'armature mobile (de sorte qu'un déplacement vers les x croissants augmente la distance), on a d(t) = e + X(t).

D'après le résultat de la question Q29, la capacité du condensateur plan à cet instant est donnée par :

La charge portée par l'armature positive étant Q, la tension U(t) entre les deux armatures s'écrit :

D'après la question Q25, dans le domaine des basses fréquences (\omega \ll \omega_0), le déplacement relatif de la plaque est directement proportionnel à l'accélération subie par le boîtier :

En injectant cette relation dans l'expression de U(t), on obtient :

où U_{\text{eq}} = \frac{Qe}{\varepsilon_0 S} représente la tension au repos.

La variation de tension \Delta U(t) = U(t) - U_{\text{eq}} est donc strictement proportionnelle à l'accélération a(t) :

La mesure électrique de la tension U (ou de ses fluctuations \Delta U) fournit ainsi une mesure directe et instantanée de l'accélération a(t) du boîtier.

a) Par définition, le moment dipolaire électrostatique \vec{p} associé au doublet de charges (la charge -q étant située en A et la charge +q en B) est donné par :

Sa norme vaut donc p = q\,d, où d = AB désigne la distance intercharges.

Puisque la charge électrique s'exprime en coulombs (\text{C}) et la distance en mètres (\text{m}), l'unité du moment dipolaire dans le Système International est le coulomb-mètre, noté \text{C}\cdot\text{m}.

b) À l'échelle microscopique, les charges partielles sont de l'ordre de grandeur de la charge élémentaire e \sim 10^{-19}\text{ C} (ou d'une fraction de celle-ci) et les distances interatomiques caractéristiques d'une liaison chimique sont de l'ordre de l'angström, soit d \sim 1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m}.

Le moment dipolaire microscopique typique est donc de l'ordre de grandeur de :

Trois échelles de longueur pertinentes interviennent dans l'étude du rayonnement dipolaire :

• d (ou d_{\text{max}}) : la dimension spatiale de la source (taille du dipôle) ;
• \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} = cT : la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique émis (avec T la période temporelle) ;
• r = OM : la distance du point d'observation M au centre du dipôle.

1. Hypothèse non relativiste et approximation dipolaire :

• Hypothèse non relativiste : la charge mobile a une vitesse de l'ordre de v \sim \omega d. L'hypothèse non relativiste impose v \ll c, soit \omega d \ll c, ce qui s'écrit :

  d \ll \frac{c}{\omega} \sim \lambda

• Approximation dipolaire (retards internes négligés) : le temps de transit de l'information électromagnétique au sein de la source, \tau_{\text{source}} \sim \frac{d}{c}, doit être négligeable devant le temps caractéristique d'évolution de la source, à savoir la période T = \frac{2\pi}{\omega}. Cela conduit également à :

  \frac{d}{c} \ll T \iff \boxed{d \ll \lambda}

2. Zone de rayonnement (ou zone d'onde) : Dans cette zone, la distance d'observation r est très grande devant la longueur d'onde émise :

À cette distance, les effets de propagation l'emportent sur les effets quasi-statiques : le terme en 1/r dans les champs devient dominant par rapport aux termes d'induction et quasi-statiques en 1/r^2 et 1/r^3. L'onde présente localement une structure d'onde plane progressive.

3. Approximation de source quasi-ponctuelle : Pour observer le rayonnement d'ensemble de la source et négliger les effets de géométrie locale, la distance d'observation doit être grande devant la taille de la source :

Cette condition est automatiquement assurée dès lors que les deux précédentes sont remplies.

En résumé, ces approximations se traduisent par la hiérarchie d'échelles de longueur :

a) Le flux d'énergie électromagnétique est décrit par le vecteur de Poynting instantané :

Dans la base sphérique orthonormée directe (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), on a \vec{e}_\theta \times \vec{e}_\varphi = \vec{e}_r. En injectant les expressions des champs données par l'énoncé :

La puissance surfacique moyenne rayonnée à travers une sphère de rayon r centrée sur le dipôle correspond au flux moyen du vecteur de Poynting à travers la surface élémentaire orientée selon \vec{e}_r, soit :

La moyenne temporelle sur une période du carré d'une fonction cosinus vaut \langle \cos^2(\omega t - kr) \rangle = \frac{1}{2}. On obtient ainsi :

Cette expression est bien de la forme :

b) Par identification immédiate, la constante K s'écrit :

D'après la question Q33, la puissance surfacique moyenne rayonnée à une distance r du dipôle s'exprime par :

• Un rayonnement est dit isotrope si la puissance rayonnée est indépendante de la direction d'observation, c'est-à-dire si elle ne dépend d'aucune variable angulaire. Ici, P dépend explicitement de l'angle polaire \theta. Par conséquent, le rayonnement n'est pas isotrope.
• La fonction \theta \mapsto \sin^2(\theta) est maximale pour \sin(\theta) = 1, soit pour \theta = \frac{\pi}{2}\ [\pi].

Cette condition correspond aux points du plan perpendiculaire à l'axe d'oscillation du dipôle passant par l'origine. Le rayonnement est donc maximal dans le plan équatorial, à savoir le plan (xOy) :

a) Expression de la puissance moyenne totale rayonnée

La puissance moyenne totale rayonnée P_{\text{totale}} à travers une sphère \Sigma(O,r) de rayon r centrée à l'origine s'obtient en intégrant la puissance surfacique moyenne P définie à la question Q33 sur la surface de cette sphère, l'élément de surface orienté vers l'extérieur étant \mathrm{d}\vec{S} = r^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{e}_r :

En utilisant le résultat mathématique fourni en fin d'énoncé, \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^3(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}, il vient :

D'après la question Q33, K = \dfrac{\mu_0 p_0^2}{32\pi^2 c}. En injectant cette expression, on obtient la formule de Larmor pour un dipôle oscillant :

b) Signification physique de l'indépendance vis-à-vis de r

L'indépendance de P_{\text{totale}} par rapport au rayon r de la sphère d'intégration traduit la conservation de l'énergie :

• L'onde électromagnétique se propage dans un milieu (ici le vide ou l'air) non absorbant et linéaire, sans pertes par effet Joule ni sources de rayonnement en dehors de l'origine.
• En moyenne temporelle en régime sinusoïdal permanent, le théorème de Poynting sous forme locale s'écrit \mathrm{div}\langle\vec{\Pi}\rangle = 0 pour tout r > 0. D'après le théorème de Green-Ostrogradski, le flux moyen du vecteur de Poynting à travers toute surface fermée englobant le dipôle est donc strictement conservé : toute l'énergie émise par le dipôle se propage vers l'infini sans atténuation globale.

• Longueur d'onde de la lumière visible :
  Le domaine du spectre visible s'étend typiquement de \lambda \approx 400\text{ nm} (violet) à \lambda \approx 800\text{ nm} (rouge), soit une longueur d'onde moyenne de l'ordre de :

  \lambda \sim 500\text{ nm} = 5\cdot 10^{-7}\text{ m}.

• Taille des molécules diffusantes :
  L'atmosphère est principalement constituée de molécules diatomiques de diazote \mathrm{N}_2 et de dioxygène \mathrm{O}_2. La taille caractéristique de ces molécules (diamètre moléculaire ou longueur de liaison) est de l'ordre de quelques dixièmes de nanomètre (ou quelques angströms) :

  a \sim 0{,}2 \text{ à } 0{,}3\text{ nm} \sim 10^{-10}\text{ m}.

• Comparaison :
  Le rapport entre la dimension moléculaire et la longueur d'onde vaut :

  \frac{a}{\lambda} \sim \frac{10^{-10}\text{ m}}{5\cdot 10^{-7}\text{ m}} \sim 2\cdot 10^{-4} \ll 1.

La taille des molécules étant environ trois à quatre ordres de grandeur plus petite que la longueur d'onde de l'onde incidente :

La condition de diffusion de Rayleigh est donc parfaitement vérifiée.

L'énoncé fait référence à la question Q34, mais c'est l'expression de la puissance rayonnée issue de Q33 (ou la puissance totale de Q35) qui contient la dépendance spectrale responsable de la couleur du ciel.

D'après la question Q33, la puissance surfacique moyenne diffusée par un dipôle oscillant s'écrit :

Comme la pulsation \omega est reliée à la longueur d'onde dans le vide \lambda par \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, la puissance diffusée varie en loi de Rayleigh en l'inverse de la puissance quatrième de la longueur d'onde :

La lumière blanche émise par le Soleil est polychromatique et couvre l'ensemble du spectre visible, du bleu/violet (\lambda_{\text{b}} \approx 400\text{--}450\text{ nm}) au rouge (\lambda_{\text{r}} \approx 700\text{--}800\text{ nm}).

Le rapport des puissances diffusées entre l'extrémité bleue et l'extrémité rouge du spectre visible vaut :

Les courtes longueurs d'onde (bleu et violet) sont donc diffusées par les molécules de l'atmosphère avec une efficacité nettement supérieure à celle des grandes longueurs d'onde (rouge et orange).

Bien que le violet soit encore plus diffusé que le bleu, le spectre solaire d'émission décroît vers le violet et la sensibilité de l'œil humain est maximale dans le vert et faible dans le violet ; la combinaison de ces facteurs explique que le photographe perçoit le ciel diffusant de couleur bleue.

1. Polarisation rectiligne de la lumière diffusée :

   • Les rayons du soleil se propagent selon l'axe (Ox) : le vecteur d'onde incident est colinéaire à \vec{e}_x.

   • La lumière étant une onde électromagnétique transverse, le champ électrique incident \vec{E}_{\text{inc}} est situé dans le plan orthogonal à la direction de propagation, c'est-à-dire le plan (yOz) :

     \vec{E}_{\text{inc}}(t) = E_y(t)\,\vec{e}_y + E_z(t)\,\vec{e}_z
   • Chaque molécule d'air située sur la ligne de visée (le long de l'axe Oy, en arrière-plan du point A) acquiert un moment dipolaire induit \vec{p}_i = \alpha \vec{E}_{\text{inc}} = p_y \vec{e}_y + p_z \vec{e}_z.
   • Le photographe, situé en O, observe ces molécules selon l'axe Oy. Or, d'après les résultats de la question Q34, un dipôle oscillant ne rayonne aucune puissance le long de son propre axe d'oscillation (\theta = 0, d'où \sin\theta = 0). Par conséquent, la composante dipolaire p_y \vec{e}_y n'émet aucun champ électrique vers O.
   • En revanche, la composante p_z \vec{e}_z, oscillant le long de la verticale (Oz), rayonne dans son plan équatorial (\theta = \pi/2) avec une intensité maximale, et le champ électrique émergent en O est colinéaire à -\vec{e}_\theta = \vec{e}_z.

   Le champ électrique parvenant au photographe est donc purement dirigé selon la verticale \vec{e}_z :

   \boxed{\text{La lumière diffusée par le ciel vers le photographe est polarisée rectilignement selon }\vec{e}_z.}

2. Augmentation de la saturation du bleu du ciel :

   • La couleur bleue provient de la diffusion Rayleigh par les molécules de l'air, qui est fortement polarisée selon \vec{e}_z.
   • L'atmosphère contient également des particules plus grosses (aérosols, poussières, microgouttelettes d'eau) responsables d'une diffusion de Mie non polarisée qui diffuse une lumière blanche. Ce voile atmosphérique blanc se superpose au bleu et le déssature (bleu délavé).
   • En plaçant devant l'objectif un filtre polarisant dont la direction de transmission est alignée avec \vec{e}_z, la lumière bleue polarisée est transmise intégralement (hors pertes d'absorption), tandis que la lumière blanche non polarisée du voile atmosphérique est atténuée d'au moins 50\,\%.

   • Le rapport d'intensité entre le bleu et le blanc augmente, ce qui renforce la pureté chromatique :

     \boxed{\text{Le filtre polarisant accroît la saturation du bleu en filtrant la lumière blanche parasite du voile atmosphérique.}}

3. Condition d'angle à 90^\circ :

   • Le taux de polarisation rectiligne de la lumière diffusée est maximal lorsque l'observation s'effectue strictement à 90^\circ de la direction des rayons incidents solaires (\vec{u}_{\text{obs}} \perp \vec{u}_{\text{inc}}), car l'une des deux composantes dipolaires induites est alors exactement alignée avec la ligne de visée et ne contribue pas au rayonnement.
   • Pour toute autre direction de visée, les deux composantes du dipôle rayonnent vers l'observateur et la lumière n'est que partiellement polarisée (et totalement dépolarisée vers l'avant ou vers l'arrière).
   \boxed{\text{À } 90^\circ \text{ des rayons solaires, la polarisation du ciel est totale, ce qui maximise l'effet du filtre.}}

4. Perte de lumière occasionnée par le filtre :

   • D'après la loi de Malus, lorsqu'une lumière naturelle (non polarisée) traverse un polariseur linéaire parfait, la puissance transmise est divisée par deux :

     \langle I_{\text{transmise}} \rangle = \frac{1}{2} I_{\text{incidente}}

     ce qui correspond à une perte d'au moins un diaphragme (une valeur d'exposition).

   • De plus, le filtre absorbe et réfléchit partiellement la lumière par réflexion vitreuse.
   \boxed{\text{Le filtre polarisant réduit d'au moins } 50\,\% \text{ le flux lumineux des parties non polarisées de la scène.}}

D'après le préambule de la partie VII, l'image est codée en niveaux de gris et la valeur de chaque pixel est un entier compris entre 0 et 255, soit une valeur codée sur un seul octet (8\text{ bits}).

Le nombre total de pixels constituant l'image est donné par le produit de la largeur par la hauteur :

Effectuons l'estimation numérique :

(Le calcul exact donne N = 5\,018\,112\text{ pixels}.)

Chaque pixel occupant 1\text{ octet} en mémoire non compressée, la taille mémoire brute T de cette image est :