Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2024

Le champ de pesanteur \vec{g}(M) en un point M est défini dans le référentiel lié à la surface de la planète (référentiel martien). Ce référentiel n'étant pas galiléen en raison de la rotation propre de Mars sur elle-même à la vitesse angulaire \omega, le poids d'un point matériel de masse m immobile dans ce référentiel s'écrit comme la somme de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la planète et de la force d'inertie d'entraînement (axifuge) :

où \vec{\mathcal{G}}(M) désigne le champ d'attraction gravitationnelle pur et H le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation martien.

Le champ de pesanteur s'exprime donc par :

Assimiler le champ de pesanteur \vec{g}(M) au champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}}(M) constitue ainsi une approximation consistant à :

1. Négliger le terme d'inertie d'entraînement axifuge devant le champ gravitationnel (\omega^2 R_m \ll \|\vec{\mathcal{G}}\|).
2. Négliger les forces de marée différentielles exercées par les autres corps célestes (le Soleil et les satellites Phobos et Deimos).

D'après la loi de Coulomb, la force d'interaction électrostatique exercée par la particule ponctuelle de charge q_1 située en M_1 sur la particule de charge q_2 située en M_2, séparées par une distance d = M_1 M_2, s'écrit :

où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide et \vec{u}_{1 \to 2} = \frac{\vec{M_1 M_2}}{d} est le vecteur unitaire orienté de M_1 vers M_2.

La force gravitationnelle exercée par une masse ponctuelle m_1 située en M_1 sur une masse ponctuelle m_2 située en M_2 s'écrit :

où \vec{u}_{1 \to 2} = \frac{\vec{M_1M_2}}{d}. Le champ de gravitation \vec{g} créé au point M_2 par la masse m_1 est défini par \vec{F}_{1 \to 2} = m_2\,\vec{g}(M_2), soit :

En comparant avec l'expression du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q_1 au point M_2 (d'après la question Q2) :

on dégage l'analogie formelle suivante :

En électrostatique, le théorème de Gauss s'énonce pour une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur :

Par substitution directe grâce au dictionnaire d'analogie, on obtient le théorème de Gauss gravitationnel :

Énoncé : Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{g} à travers toute surface fermée \Sigma est égal au produit de la constante -4\pi G par la masse totale M_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \Sigma.

La distribution de masse de la planète Mars présente une symétrie sphérique de centre O.

• Invariances : La répartition de masse est invariante par toute rotation autour de O, donc les composantes du champ ne dépendent ni de \theta ni de \varphi : \vec{g}(M) = \vec{g}(r).

• Symétries : Tout plan contenant le centre O et le point M est un plan de symétrie matérielle. Le champ \vec{g}(M) appartient nécessairement à l'intersection de tous ces plans de symétrie, c'est-à-dire à la droite (OM). Il est donc purement radial :

  \vec{g}(M) = g(r)\,\vec{u}_r

Choisissons comme surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r \geqslant R_m, orientée par sa normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r.

Le flux du champ gravitationnel à travers \Sigma s'écrit :

Dans l'espace extérieur à Mars (r \geqslant R_m), la surface de Gauss englobe la totalité de la masse de la planète, notée m_m :

D'après le théorème de Gauss gravitationnel établi à la question Q3 :

d'où :

On en déduit l'expression vectorielle de l'accélération de la pesanteur dans l'espace autour de Mars :

D'après le résultat de la question Q4, le champ de pesanteur martien pour un point M situé à la distance r \geqslant R_m du centre s'écrit :

Au niveau du sol martien, en r = R_m, l'accélération de la pesanteur vaut :

En effectuant le rapport membre à membre de ces deux expressions, on obtient :

L'intensité g_0 = \|\vec{g}_0\| de l'accélération de la pesanteur au sol s'exprime donc par :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• m_m = 6{,}42 \times 10^{23}\text{ kg}
• R_m = 3{,}39 \times 10^3\text{ km} = 3{,}39 \times 10^6\text{ m}

L'équivalent volumique des forces de pression s'exerçant en un point M au sein d'un fluide s'écrit :

Pour établir l'équation locale de la statique des fluides :

• Système : un élément mésoscopique de fluide de volume \mathrm{d}\tau centré en M, de masse \mathrm{d}m = \mu(M)\,\mathrm{d}\tau.
• Référentiel : le référentiel lié à la planète Mars, supposé galiléen.

• Bilan des forces appliquées à cet élément de volume :

  • résultante des forces de pression de contact : \mathrm{d}\vec{F}_p = \vec{f}_p\,\mathrm{d}\tau = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P\,\mathrm{d}\tau ;
  • force gravitationnelle (poids) : \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g}(M) = \mu(M)\,\vec{g}(M)\,\mathrm{d}\tau.

Le fluide étant à l'équilibre statique dans ce référentiel, la condition d'équilibre mécanique s'écrit :

Cette relation étant vraie pour tout volume élémentaire \mathrm{d}\tau, on en déduit l'équation locale de la statique des fluides :

D'après l'énoncé, le champ de pesanteur est radial et d'intensité uniforme :

En coordonnées sphériques, la pression ne dépend que de la variable radiale r, d'où :

L'équation locale de la statique des fluides établie à la question Q6 s'écrit alors en projection sur \vec{u}_r :

L'atmosphère étant assimilée à un gaz parfait de masse molaire M_a à température uniforme T_0, la loi des gaz parfaits donne :

On en déduit l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant la pression :

En posant la hauteur d'échelle H définie par :

l'équation devient \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} + \dfrac{P}{H} = 0, dont la solution générale est :

La constante d'intégration C_0 est déterminée par la condition limite au niveau du sol martien, soit en r = R_m :

On en déduit l'expression du préfacteur C_0 :

ce qui conduit à la loi barométrique sous forme usuelle : P(r) = P_0 \exp\left(-\dfrac{r - R_m}{H}\right).

Les masses molaires des différents constituants sont obtenues à partir des données de l'énoncé :

L'énoncé précise que la composition est donnée en fractions massiques w_i. Pour une masse totale m_{\text{tot}} de gaz, la quantité de matière totale s'écrit :

La masse molaire moyenne M_a = \frac{m_{\text{tot}}}{n_{\text{tot}}} est donc la moyenne harmonique pondérée par les fractions massiques :

Application numérique :

D'après la question Q7, la hauteur d'échelle s'exprime selon :

Avec R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 210\text{ K}, g_0 \approx 3{,}73\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (déterminé en Q5) et M_a = 43{,}4 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

L'atmosphère martienne est modélisée par un gaz parfait de masse molaire M_a à température uniforme T_0. Pour un volume V de gaz contenant une masse m (soit une quantité de matière n = \frac{m}{M_a}), l'équation d'état s'écrit :

En introduisant la masse volumique \mu = \frac{m}{V}, il vient :

Au niveau du sol martien, pour r = R_m, la pression vaut P(R_m) = P_0. La masse volumique au sol \mu_0 = \mu(R_m) s'exprime donc par :

D'après la question Q7, la pression décroît exponentiellement avec la coordonnée radiale selon :

La température T_0 étant uniforme dans toute l'atmosphère, la masse volumique est directement proportionnelle à la pression, d'où :

La distribution de masse volumique \mu(r) étant à symétrie sphérique, la masse contenue dans une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r s'écrit :

La masse totale de l'atmosphère, supposée d'extension infinie, est donc :

Posons le changement de variable u = \frac{r - R_m}{H}, soit r = R_m + H u et \mathrm{d}r = H\,\mathrm{d}u. Les bornes deviennent u = 0 en r = R_m et u \to +\infty lorsque r \to +\infty. Il vient :

L'intégrale se développe alors sous la forme :

D'après les intégrales données en fin d'énoncé :

On en déduit :

Or, d'après les questions Q7 et Q9 :

On retrouve ainsi l'expression demandée :

Expression approchée et application numérique :

D'après la question Q8, la hauteur d'échelle vaut H \approx 10{,}8\text{ km}, tandis que le rayon de Mars vaut R_m = 3{,}39 \times 10^3\text{ km}. On a donc le rapport :

Par conséquent, 2H^2 \ll 2HR_m \ll R_m^2, si bien que 2H^2 + 2HR_m + R_m^2 \approx R_m^2. L'expression approchée de la masse totale de l'atmosphère est donc :

Avec P_0 = 600\text{ Pa}, R_m = 3{,}39 \times 10^6\text{ m} et g_0 \approx 3{,}73\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

1. Interprétation physique
Le libre parcours moyen \ell représente la distance moyenne parcourue par une particule (atome ou molécule) d'un fluide entre deux collisions successives avec d'autres particules du milieu.

2. Estimation au niveau du sol martien
D'après l'expression fournie par l'énoncé, le libre parcours moyen au sol martien (r = R_m) s'écrit :

En utilisant la relation établie à la question Q9, \mu_0 = \frac{P_0 M_a}{R T_0}, cette expression se simplifie en :

La taille caractéristique d'une petite molécule (principalement \mathrm{CO}_2 ici) est de l'ordre de quelques dixièmes de nanomètre, soit classiquement :

Avec R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 210\text{ K}, \mathcal{N}_a = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} et P_0 = 600\text{ Pa} :

Selon la valeur retenue pour a (entre 0{,}1\text{ nm} et 0{,}3\text{ nm}), on obtient :

3. Commentaire

• Comparaison avec la Terre : dans l'atmosphère terrestre au niveau du sol (P \approx 10^5\text{ Pa}, T \approx 290\text{ K}), le libre parcours moyen est d'environ 70\text{ nm}. La pression au sol sur Mars étant environ 170 fois plus faible, le libre parcours moyen y est environ deux ordres de grandeur plus grand.
• Hypothèse des milieux continus : bien que grand devant les échelles microscopiques, \ell_0 demeure microscopique devant toute échelle caractéristique macroscopique L de l'écoulement ou la hauteur d'échelle H \approx 11\text{ km} (Kn = \ell_0/H \sim 10^{-8} \ll 1), ce qui justifie pleinement l'approche continue de la mécanique des fluides au niveau du sol martien.

D'après la question Q9, la masse volumique de l'atmosphère isotherme varie selon :

Le libre parcours moyen étant inversement proportionnel à \mu(r), il s'écrit en tout point à la distance r du centre :

L'exobase, située à l'altitude r - R_m = e, est définie comme la frontière à partir de laquelle le libre parcours moyen devient supérieur ou égal à la longueur caractéristique de décroissance de l'atmosphère, soit la hauteur d'échelle H :

On en déduit l'expression de l'épaisseur e de l'atmosphère :

Application numérique : Avec H \approx 1{,}08 \times 10^4\text{ m} (question Q8) et l'estimation obtenue pour a \approx 0{,}3\text{ nm} à la question Q11 :

le rapport vaut :

On obtient :

Confrontation aux données : La table des caractéristiques fournit e = 2{,}20 \times 10^2\text{ km}. L'accord est remarquable (écart relatif inférieur à 5\,\%) au vu de la simplicité du modèle isotherme et de l'incertitude sur le diamètre effectif des molécules de gaz.

1. Calcul de la vitesse de libération

Une particule de masse m située à l'altitude de l'exobase (r = R_m + e) peut s'échapper de l'attraction martienne si son énergie mécanique dans le référentiel martien est positive ou nulle :

La vitesse de libération minimale à l'exobase est donc :

Avec les données de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• m_m = 6{,}42 \times 10^{23}\text{ kg}
• R_m + e = 3{,}39 \times 10^6 + 2{,}20 \times 10^5 = 3{,}61 \times 10^6\text{ m}

(Au niveau du sol, on trouve v_{\text{lib},0} = \sqrt{\frac{2 G m_m}{R_m}} \approx 5{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}).

2. Identification du principal élément subissant l'échappement de Jeans

L'échappement de Jeans intervient lorsque les particules possèdent une vitesse thermique v > v_{\text{lib}} \approx 4{,}9\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après le graphe de droite de la figure 2, à v \approx 4{,}9\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} :

• Pour l'atome d'hydrogène \mathrm{H} (M = 1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), la proportion d'atomes ayant une vitesse supérieure à v_{\text{lib}} est d'environ 10^{-3} à 10^{-4}.
• Pour le dihydrogène \mathrm{H}_2 (M = 2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), cette fraction est encore d'environ 10^{-8}.
• Dès M \geqslant 4\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} (hélium \mathrm{He}), cette proportion chute en dessous de 10^{-18}, devenant extrêmement faible.

Le principal élément chimique subissant l'échappement de Jeans est donc l'hydrogène \mathrm{H} (sous forme atomique \mathrm{H} ou moléculaire \mathrm{H}_2).

Conclusion : En raison d'un renouvellement permanent de la queue de distribution maxwellienne par collisions à l'exobase, une proportion de 10^{-3} suffit pour vidanger quasi totalement un réservoir de gaz sur des échelles de temps géologiques (milliards d'années). L'hydrogène s'est ainsi échappé massivement dans l'espace interplanétaire. Comme cet hydrogène provenait en grande partie de la photodissociation de la vapeur d'eau (\mathrm{H}_2\mathrm{O}) en haute atmosphère, cela explique également l'assèchement progressif de Mars.

3. Justification de la composition actuelle de l'atmosphère martienne

Pour les espèces chimiques plus lourdes constituant l'atmosphère :

• Le diazote \mathrm{N}_2 (M = 28\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}),
• L'argon \mathrm{Ar} (M = 40\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}),
• Le dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 (M = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}),

la proportion de molécules ayant une vitesse supérieure à v_{\text{lib}} \approx 4{,}9\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} est strictement infinitésimale (bien inférieure à 10^{-75} sur le graphe de droite).

Ces gaz lourds ne peuvent donc pas s'échapper de manière significative par échappement thermique de Jeans et restent piégés par le champ de pesanteur martien. Cela justifie parfaitement la composition actuelle de l'atmosphère martienne, dominée très largement par le dioxyde de carbone (96\,\%), complété par l'argon (2\,\%) et le diazote (2\,\%).

Dans un modèle où les particules sont réparties de manière quasi-uniforme à l'échelle locale, chaque particule occupe en moyenne un volume de l'ordre de d(r)^3. La densité particulaire (nombre de particules par unité de volume) s'écrit donc en ordre de grandeur :

La masse d'une particule de masse molaire M_a est donnée par :

La masse volumique \mu(r) du gaz correspond au produit de la densité particulaire par la masse individuelle d'une particule :

En y injectant l'ordre de grandeur de n^*(r), on en déduit la relation :

L'approximation du milieu continu est valide lorsque la distance moyenne interparticulaire d(r) est négligeable devant l'échelle spatiale macroscopique caractéristique du système, ici l'épaisseur de l'atmosphère e = 220\text{ km} = 2{,}2 \times 10^5\text{ m} :

D'après le résultat de la question Q14 et le modèle de l'atmosphère isotherme à l'équilibre établi en Q9 (\mu(r) = \mu_0 \exp\left(-\frac{r-R_m}{H}\right)), la distance moyenne s'écrit en fonction de l'altitude z = r - R_m :

où d_0 = d(R_m) \sim \left(\frac{M_a}{\mathcal{N}_a\,\mu_0}\right)^{1/3}.

• Au niveau du sol (z = 0) : avec \mu_0 \approx 0{,}015\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},

  d_0 \sim \left(\frac{43{,}4 \times 10^{-3}}{6{,}02 \times 10^{23} \times 0{,}015}\right)^{1/3} \approx 1{,}7 \times 10^{-8}\text{ m} = 17\text{ nm} \ll e

• À l'altitude de l'exobase (z = e = 220\text{ km}, avec H \approx 10{,}8\text{ km}, soit \frac{e}{3H} \approx \frac{220}{3 \times 10{,}8} \approx 6{,}8) :

  d(R_m + e) \sim 1{,}7 \times 10^{-8} \times \mathrm{e}^{6{,}8} \approx 1{,}5 \times 10^{-5}\text{ m} \approx 15\,\mu\text{m}

Bien que la condition géométrique d(r) \ll e soit formellement satisfaite sur toute l'épaisseur z \in [0, e], la validité dynamique du modèle continu (Navier-Stokes) exige l'existence d'un équilibre thermodynamique local assuré par de fréquentes collisions entre particules (\ell(r) \ll H \sim e).

Or, par définition même de l'exosphère (rappelée en sous-partie I.B.3), les collisions deviennent négligeables à partir de l'exobase (z \ge e), où le libre parcours moyen dépasse l'échelle de hauteur (\ell \ge H) et où le régime devient balistique ou moléculaire libre.

L'équation de Navier-Stokes fournie dans le texte s'écrit :

D'après les hypothèses du sujet :

• le fluide est en écoulement parfait, de sorte que les effets visqueux sont négligés : \eta = 0 ;
• l'écoulement est stationnaire : \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0} ;

• la pression ne dépend que de r, d'où :

  \overrightarrow{\operatorname{grad}} P = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} \vec{u}_r

• le champ des vitesses est purement radial : \vec{v}(M) = v(r) \vec{u}_r. En utilisant l'identité différentielle fournie dans les données du formulaire, le terme de transport convectif s'écrit :

  (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{v} = \left[v(r) \vec{u}_r \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}\right] \left(v(r) \vec{u}_r\right) = v(r) \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \vec{u}_r

En projetant l'équation sur le vecteur unitaire radial \vec{u}_r, on obtient :

Soit, sous forme ordonnée :

L'atmosphère martienne est modélisée par un gaz parfait de masse molaire M_a, dont la température T_0 est supposée uniforme. L'équation d'état s'écrit localement :

La température T_0 et la masse molaire M_a étant indépendantes de r, la dérivation par rapport à r conduit à :

D'après la question Q16, l'équation régissant l'écoulement s'écrit :

En y substituant l'expression du gradient de pression, on obtient :

En divisant cette équation par \mu(r) \neq 0, on obtient la relation équivalente :

L'écoulement étant stationnaire, l'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

Le champ de vitesse étant purement radial, \vec{v}(M) = v(r)\,\vec{u}_r, le vecteur densité de courant de masse vaut :

En utilisant l'opérateur divergence en coordonnées sphériques fourni dans les données du sujet :

Pour tout r \geqslant R_m > 0, cela implique directement :

On en déduit que :

Remarque (approche intégrale équivalente) : le débit massique traversant la sphère géométrique \Sigma_r de rayon r centrée en O s'écrit :

En régime stationnaire sans puits ni source de matière, le débit massique est conservatif (D_m = \text{cte}), ce qui confirme le résultat.

D'après la question Q18, le produit \mu(r) v(r) r^2 est une constante le long de l'écoulement :

En dérivant par rapport à r, on obtient la relation différentielle :

Rappelons l'équation différentielle établie à la question Q17 :

En y substituant l'expression de \frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}r}, il vient :

En posant c^2 = \frac{R T_0}{M_a}, l'égalité s'écrit :

En factorisant par c^2 dans les deux membres, on a :

En divisant chaque membre par c^2, on retrouve bien la forme demandée :

avec :

1. Analyse dimensionnelle de c

D'après l'équation d'état des gaz parfaits sous forme locale, P = \frac{\mu R T_0}{M_a}, soit :

Or, une pression s'exprime en \text{N}\cdot\text{m}^{-2} = \text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}, donc [P] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}, et la masse volumique a pour dimension [\mu] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3}. On en déduit :

La grandeur c est bien homogène à une vitesse (il s'agit de la vitesse du son isotherme), ce qui rend le rapport sans dimension \frac{v^2}{c^2} dans l'équation (I.1) tout à fait cohérent.

2. Analyse dimensionnelle de r^*

La loi de gravitation de Newton donne [G] = \frac{\mathrm{F}\cdot\mathrm{L}^2}{\mathrm{M}^2} = \mathrm{M}^{-1}\cdot\mathrm{L}^3\cdot\mathrm{T}^{-2}. L'expression de r^* s'écrit :

On a donc pour sa dimension :

La grandeur r^* est donc bien homogène à une longueur, ce qui assure la cohérence du membre de droite de l'équation (I.1) où les deux termes \frac{1}{r} et \frac{r^*}{r^2} sont tous deux homogènes à \mathrm{L}^{-1}.

3. Applications numériques

Avec les données de l'énoncé :

• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}
• T_0 = 210\text{ K}
• M_a \approx 43{,}4\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 4{,}34 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} (d'après la question Q8)
• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• m_m = 6{,}42 \times 10^{23}\text{ kg}

On calcule successivement :

L'équation différentielle (I.1) vérifiée par la vitesse radiale v(r) s'écrit :

En évaluant cette relation en r = r^*, le membre de droite s'annule :

D'après l'énoncé, on se restreint aux solutions pour lesquelles \left.\frac{1}{v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right|_{r = r^*} \neq 0. Par conséquent, c'est le second facteur qui doit s'annuler :

Le modèle stipulant un écoulement vers l'extérieur avec v(r) > 0, on en déduit :

Numériquement, d'après le résultat de la question Q20 :

D'après la question Q18, le produit \mu(r) v(r) r^2 est constant au cours de l'écoulement. Le débit massique à travers une sphère de rayon r s'écrit donc :

Pour évaluer ce débit à l'altitude z_1 = 150\text{ km}, soit au rayon r_1 = R_m + z_1, il est nécessaire de connaître la vitesse v(r_1). Intégrons l'équation différentielle (I.1) à variables séparables :

En intégrant entre le point critique (r^*, v(r^*) = c) établi en Q21 et un point (r, v(r)) :

Ce qui conduit à la relation implicite :

À l'altitude de la mesure, le rayon vaut :

Sachant que r^* \approx 5{,}3 \times 10^8\text{ m} (Q20), on a :

Le terme -\frac{2r^*}{r_1} \approx -300 domine très largement le membre de droite. L'écoulement étant très subsonique près de la planète (v \ll c), le terme v^2/(2c^2) est négligeable devant \ln(v/c), d'où :

On en déduit la contribution hydrodynamique au débit massique d'échappement :

À titre de comparaison, le débit mesuré par la sonde MAVEN (D_{m,\text{MAVEN}} \approx 100\text{ g}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}10\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}) correspondrait à une vitesse d'écoulement :

Bien que très faible, cette vitesse reste incommensurablement plus grande que celle prédite par le modèle hydrodynamique.

Conclusion : La contribution hydrodynamique à l'échappement atmosphérique actuel de Mars est strictement négligeable (D_{m,\text{hydro}} \approx 0). Le modèle hydrodynamique (vent planétaire de type Parker) ne permet donc absolument pas d'expliquer les pertes mesurées par MAVEN. La perte atmosphérique observée aujourd'hui provient d'autres processus non hydrodynamiques :

• l'échappement thermique de Jeans pour les atomes légers (notamment l'hydrogène) ;
• l'arrachement direct par le vent solaire (dépouillement atmosphérique), rendu possible par l'absence de champ magnétique protecteur intrinsèque autour de Mars ;
• l'échappement photochimique et la pulvérisation cathodique (sputtering).

L'échappement hydrodynamique n'a pu jouer un rôle significatif qu'aux tout premiers âges du Système solaire, lorsque l'atmosphère primitive était beaucoup plus chaude, riche en gaz légers (\mathrm{H_2}) et soumise à un rayonnement solaire extrême réduisant fortement la distance critique r^*.

Le Soleil est assimilé à une sphère de rayon moyen R_s, émettant comme un corps noir à la température de surface uniforme T_s.

D'après la loi de Stefan-Boltzmann rappelée dans l'énoncé, la puissance surfacique émise par la surface solaire vaut :

La surface totale émettrice étant celle de la sphère solaire, soit S_s = 4\pi R_s^2, la puissance totale émise par le Soleil s'écrit :

On obtient ainsi :

Le Soleil rayonne uniformément dans toutes les directions de l'espace. En l'absence d'absorption dans le milieu interplanétaire, la puissance totale \mathcal{P}_{s,\mathrm{e}} émise par le Soleil traverse intégralement la sphère fictive de rayon r_m centrée sur le Soleil, dont la surface vaut 4\pi r_m^2.

La puissance surfacique incidente du rayonnement solaire au niveau de l'orbite de Mars s'exprime donc par :

En utilisant l'expression de \mathcal{P}_{s,\mathrm{e}} = 4\pi R_s^2 \sigma T_s^4 établie à la question Q23, on obtient :

Application numérique :

Le flux de rayonnement solaire arrivant au niveau de Mars étant parallèle, la planète intercepte ce rayonnement sur sa section droite apparente, c'est-à-dire un disque d'aire :

La puissance totale du rayonnement solaire incident sur Mars s'écrit donc, à l'aide de la puissance surfacique incidente p_{m,\mathrm{i}} établie à la question Q24 :

D'après l'énoncé, une fraction \alpha de ce rayonnement incident est réfléchie vers l'espace (\mathcal{P}_{m,\mathrm{r}} = \alpha \mathcal{P}_{m,\mathrm{i}}). La puissance restante est absorbée par la planète :

En remplaçant \mathcal{P}_{m,\mathrm{i}} puis p_{m,\mathrm{i}} = \frac{\mathcal{P}_{s,\mathrm{e}}}{4\pi r_m^2}, on obtient :

En fonction des caractéristiques du Soleil obtenues à la question Q23, cette expression s'écrit également :

La surface de la planète Mars est assimilée à une sphère de rayon R_m, soit d'aire totale :

En modélisant la surface martienne comme un corps noir à la température uniforme T_m, la puissance surfacique émise en tout point de sa surface est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann :

Mars émettant un rayonnement thermique vers l'espace sur l'intégralité de sa surface, la puissance totale émise par la planète s'écrit :

soit finalement :

Considérons la planète Mars comme un système fermé. En régime stationnaire (état d'équilibre thermique), l'énergie interne U de la planète est constante au cours du temps :

En l'absence d'atmosphère et de source d'énergie interne significative, les seuls échanges énergétiques avec l'extérieur sont d'origine radiative : Mars absorbe la puissance solaire \mathcal{P}_{m,\mathrm{a}} et rayonne vers l'espace la puissance \mathcal{P}_{m,\mathrm{e}}. Le bilan thermique s'écrit donc :

En utilisant les résultats des questions Q25 et Q26 :

L'égalité des deux puissances conduit à :

En simplifiant par 4\pi R_m^2 \sigma, on obtient :

D'où l'expression de la température d'équilibre T_m :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• T_s = 5778\text{ K},
• \alpha = 0{,}25 \implies 1 - \alpha = 0{,}75,
• R_s = 6{,}96 \times 10^5\text{ km} = 6{,}96 \times 10^8\text{ m},
• r_m = 2{,}28 \times 10^8\text{ km} = 2{,}28 \times 10^{11}\text{ m},
• \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4} et p_{m,\mathrm{i}} \approx 589\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} (Q24).

Commentaires :

• La température d'équilibre calculée sans atmosphère (T_m \approx 210\text{ K}) est identique à la température moyenne actuelle mesurée à la surface de Mars indiquée dans l'énoncé (T_0 = 210\text{ K}). Cela s'explique par la très faible densité de l'atmosphère martienne actuelle (P_0 = 600\text{ Pa}), qui ne génère qu'un effet de serre quasi nul (contrairement à la Terre où l'effet de serre augmente la température moyenne de 33\text{ K}, de 255\text{ K} à 288\text{ K}).
• Cette température est largement inférieure au point de fusion de la glace (273\text{ K}), confirmant que l'eau ne peut subsister sous forme liquide à la surface de Mars dans les conditions actuelles.

D'après la loi du déplacement de Wien, la longueur d'onde pour laquelle la luminance spectrale d'un corps noir à la température T est maximale s'exprime par :

• Rayonnement émis par le Soleil : Avec la température de surface du Soleil T_s = 5778\text{ K} :

  \lambda_{\max, s} = \frac{2,90 \times 10^{-3}}{5778} \approx 5,02 \times 10^{-7}\text{ m} = 502\text{ nm}

  Cette longueur d'onde se situe dans la plage spectrale comprise entre 400\text{ nm} et 750\text{ nm} : le rayonnement solaire est centré dans le domaine du visible.

• Rayonnement émis par le sol martien : Avec la température d'équilibre du sol martien T_m \approx 210\text{ K} (ou à des températures de l'ordre de 200\text{ K} à 300\text{ K}) :

  \lambda_{\max, m} = \frac{2,90 \times 10^{-3}}{210} \approx 1,38 \times 10^{-5}\text{ m} = 13,8\ \mu\text{m}

  Cette longueur d'onde est nettement supérieure à 0,8\ \mu\text{m} : le rayonnement émis par le sol martien se situe dans le domaine de l'infrarouge (infrarouge thermique).

Les puissances surfaciques considérées sont moyennées sur l'ensemble de la sphère martienne de surface 4\pi R_m^2, de sorte que la puissance surfacique solaire moyenne incidente est :

• Rayonnement solaire (domaine visible) : L'atmosphère y étant totalement transparente, le flux incident p_{s,\mathrm{i}} traverse l'atmosphère sans atténuation. À la surface du sol :

  • une fraction \alpha est réfléchie : p_{m,\mathrm{r}} = \alpha\, p_{s,\mathrm{i}} (et traverse l'atmosphère vers l'espace) ;
  • la fraction restante est absorbée par le sol : p_{m,\mathrm{a},s} = (1 - \alpha)\, p_{s,\mathrm{i}}.

• Rayonnement émis par le sol (domaine infrarouge) : Le sol, modélisé par un corps noir à la température d'équilibre T'_m, émet vers le haut une puissance surfacique :

  p_{m,\mathrm{e}} = \sigma {T'_m}^4

  L'atmosphère absorbe une fraction \varepsilon de ce flux : p_{a,\mathrm{a}} = \varepsilon\, p_{m,\mathrm{e}} = \varepsilon \sigma {T'_m}^4, tandis que la fraction (1 - \varepsilon)\, p_{m,\mathrm{e}} est transmise vers l'espace.

• Rayonnement émis par l'atmosphère (domaine infrarouge) : D'après la loi de Kirchhoff pour un corps gris d'absorptivité \varepsilon, l'émissivité vaut également \varepsilon. L'atmosphère à la température uniforme T_a émet isotropiquement vers le haut (vers l'espace) et vers le bas (vers le sol) une puissance surfacique :

  p_{a,\mathrm{e}}^{\uparrow} = p_{a,\mathrm{e}}^{\downarrow} = \varepsilon \sigma T_a^4

  Le sol martien absorbe totalement le flux dirigé vers le bas : p_{m,\mathrm{a},a} = \varepsilon \sigma T_a^4.

On synthétise l'ensemble de ces flux surfaciques sur le schéma ci-dessous :

L'atmosphère formant une couche de faible épaisseur (e \ll R_m), sa surface d'échange vers le haut (vers l'espace) et sa surface d'échange vers le bas (vers le sol) sont toutes deux assimilées à l'aire de la planète 4\pi R_m^2.

1. Bilan radiatif sur l'atmosphère À l'équilibre radiatif stationnaire, la puissance totale absorbée par l'atmosphère est égale à la puissance totale qu'elle émet :

L'atmosphère est transparente au rayonnement solaire (visible) et absorbe une fraction \varepsilon du rayonnement infrarouge émis par le sol :

Elle émet un rayonnement thermique infrarouge isotrope à la température T_a, avec un facteur d'émission égal à son facteur d'absorption \varepsilon, à la fois vers le haut (espace) et vers le bas (sol) :

L'égalité des puissances conduit à :

2. Bilan radiatif sur le sol martien Le sol martien absorbe la puissance solaire nette non réfléchie \mathcal{P}_{m,\mathrm{a}} ainsi que la totalité du rayonnement atmosphérique descendant :

avec, d'après les questions Q24 et Q25 :

À l'équilibre, cette puissance reçue est intégralement rayonnée par le sol :

L'égalité \mathcal{P}_{\mathrm{re\text{ç}ue, sol}} = \mathcal{P}_{\text{ém, sol}} s'écrit donc, en divisant par 4\pi R_m^2 :

3. Détermination de T'_m En injectant l'expression de \sigma T_a^4 issue du bilan sur l'atmosphère :

On en déduit l'expression de la température d'équilibre en présence d'atmosphère :

En rappelant l'expression de la température d'équilibre sans atmosphère obtenue à la question Q27 :

on obtient la relation remarquable :

soit :

D'après la question Q30, la température d'équilibre du sol martien en présence d'une atmosphère est reliée à la température sans atmosphère T_m par :

En élevant cette relation à la puissance 4, il vient :

On en déduit l'expression du coefficient d'absorption :

Application numérique : avec T'_m = 298\text{ K} et T_m = 210\text{ K} (donnée du sujet et question Q27) :

Commentaire :

• Par définition du bilan radiatif et du principe de conservation de l'énergie, un coefficient d'absorption est une grandeur physique bornée : \varepsilon \in [0, 1]. Une valeur \varepsilon > 1 est donc physiquement impossible.

• Dans le cadre de ce modèle d'atmosphère isotherme à une seule couche, la température maximale atteignable correspond à une absorption infrarouge totale (\varepsilon = 1), soit :

  T'_{m,\max} = 2^{1/4} T_m \approx 1{,}189 \times 210\text{ K} \approx 250\text{ K} \quad (-23^\circ\text{C})

  Cette température reste nettement inférieure à la température de confort visée de 298\text{ K} (25^\circ\text{C}).

• Pour terraformer Mars et atteindre une température moyenne de 298\text{ K}, un modèle à une seule couche d'atmosphère est insuffisant : il faudrait une atmosphère très dense présentant un gradient vertical de température (analogue à un modèle à couches multiples de fort effet de serre) ou coupler cet effet de serre à une diminution de l'albédo de surface \alpha.

D'après la question Q30, la température d'équilibre du sol s'écrit :

où p_{m,\mathrm{i}} = \frac{\mathcal{P}_{s,\mathrm{e}}}{4\pi r_m^2} \approx 589\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} est la puissance surfacique solaire reçue à l'orbite de Mars (question Q24).

Pour maximiser T'_m, il convient d'optimiser séparément les deux coefficients :

• Le facteur (1 - \alpha) est maximal lorsque l'albédo de Bond est minimal, c'est-à-dire \alpha = 0 (le sol martien se comporte comme un corps noir dans le domaine visible et absorbe la totalité du rayonnement solaire incident).
• Le terme \frac{1}{2 - \varepsilon} est maximal lorsque le coefficient d'absorption \varepsilon prend sa valeur maximale physiquement possible, soit \varepsilon = 1 (l'atmosphère se comporte comme un corps noir dans le domaine infrarouge et absorbe la totalité du rayonnement émis par le sol).

La température maximale théorique envisageable dans ce modèle à une seule couche s'exprime donc par :

où T_m \approx 210\text{ K} est la température d'équilibre sans atmosphère pour \alpha = 0{,}25 (question Q27).

Application numérique :

Conclusion : Même sous les hypothèses les plus favorables (\alpha = 0 et \varepsilon = 1), la température maximale d'équilibre reste inférieure à la température de fusion de l'eau (273\text{ K}) et bien en deçà des 298\text{ K} (25^\circ\text{C}) requis pour une habitabilité terrestre. Un modèle d'atmosphère isotherme à une seule couche est donc insuffisant pour réchauffer durablement Mars au-delà de 0^\circ\text{C}. Une terraformation efficace nécessiterait une atmosphère épaisse et multicouche (présentant un fort gradient vertical de température) ou l'apport de puissants gaz à effet de serre artificiels.

D'après la question Q10, la masse totale d'une atmosphère dans le cadre du modèle isotherme à l'équilibre s'écrit :

Puisque la hauteur d'échelle H \approx 10{,}8\text{ km} est très petite devant le rayon martien R_m \approx 3{,}39 \times 10^3\text{ km} (H/R_m \sim 3 \times 10^{-3} \ll 1), la masse totale est reliée à la pression au sol par l'expression approchée :

où P'_0 = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa}.

En appliquant numériquement avec R_m = 3{,}39 \times 10^6\text{ m} et g_0 = 3{,}73\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (déterminé en Q5) :

L'atmosphère visée est majoritairement constituée de dioxyde de carbone \mathrm{CO_2}. Une mole de \mathrm{CO_2} de masse molaire M_{\mathrm{CO_2}} = M_{\mathrm{C}} + 2M_{\mathrm{O}} = 12 + 2\times 16 = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} contient une mole d'atomes de carbone de masse molaire M_{\mathrm{C}} = 12\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

La fraction massique de carbone dans le dioxyde de carbone vaut donc :

Pour former une atmosphère de masse m'_{\mathrm{atm}}, la masse de carbone requise est :

Les astéroïdes renferment une fraction massique en carbone w_{\mathrm{C}} = 2\,\% = 0{,}02. Par ailleurs, l'eau (11\,\%) et les silicates (85\,\%) qu'ils contiennent fournissent une quantité d'oxygène largement excédentaire par rapport aux besoins stœchiométriques de la réaction de formation de \mathrm{CO_2}. Le carbone est donc l'élément limitant.

La masse d'astéroïdes m_{\mathrm{ast}} nécessaire pour apporter cette quantité de carbone s'écrit alors :

En utilisant la valeur m'_{\mathrm{atm}} \approx 3{,}86 \times 10^{18}\text{ kg} obtenue à la question Q33 :

Le transfert de Hohmann s'effectue entre deux orbites circulaires coplanaires centrées sur le Soleil S :

• l'orbite de la ceinture d'astéroïdes, circulaire de rayon r_{\text{ast}}, parcourue initialement par l'astéroïde ;
• l'orbite martienne, circulaire de rayon r_m < r_{\text{ast}} ;

• la trajectoire de transfert, qui est une demi-ellipse de foyer S, bitangente aux deux orbites circulaires :

  • à son aphélie A, située sur l'orbite de la ceinture d'astéroïdes : r_A = SA = r_{\text{ast}} ;
  • à son périhélie P, située sur l'orbite de Mars : r_P = SP = r_m.

L'astéroïde effectue le transfert depuis la ceinture vers l'orbite de Mars ; il parcourt donc la demi-ellipse dans le sens allant de A vers P.

Soit un point matériel M de masse m, en mouvement dans le référentiel héliocentrique \mathcal{R} supposé galiléen, soumis à une force centrale conservative de centre fixe S :

où \vec{r} = \overrightarrow{SM} = r\,\vec{u}_r.

1. Conservation du moment cinétique par rapport au centre de force S Le théorème du moment cinétique appliqué au point M en S dans le référentiel galiléen \mathcal{R} s'écrit :

Or la force étant centrale de centre S, elle est colinéaire à \overrightarrow{SM} :

On en déduit :

Cette invariance vectorielle implique que la trajectoire est plane (contenue dans le plan passant par S et orthogonal au vecteur constant \vec{L}_S) et entraîne la loi des aires (r^2 \dot{\theta} = C = \text{cte}).

2. Conservation de l'énergie mécanique Le théorème de l'énergie mécanique appliqué au point matériel M dans \mathcal{R} s'écrit :

où \mathcal{P}(\vec{F}_{\text{nc}}) est la puissance développée par d'éventuelles forces non conservatives. La force centrale est ici la seule force appliquée et elle est conservative, donc \mathcal{P}(\vec{F}_{\text{nc}}) = 0. Il vient ainsi :

On étudie l'astéroïde Patientia, assimilé à un point matériel M de masse m_p, en orbite circulaire de rayon r_{\text{ast}} autour du Soleil de masse m_s, dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen.

La seule force prise en compte est la force gravitationnelle attractive exercée par le Soleil :

Pour une orbite circulaire de rayon r_{\text{ast}}, le mouvement est uniforme à la vitesse tangentielle v_1. Le vecteur accélération est purement centripète :

La deuxième loi de Newton projetée sur le vecteur unitaire radial \vec{u}_r donne :

L'énergie cinétique de l'astéroïde sur cette orbite s'écrit donc :

Avec la convention usuelle d'une énergie potentielle nulle à l'infini (E_p(\infty) = 0), l'énergie potentielle gravitationnelle vaut :

L'énergie mécanique totale E_{m1} = E_{c1} + E_{p1} est donc :