Feuille d'entraînement : Fonction d'onde et équation de Schrödinger

10 questions · filière MP · durée estimée environ 43 min

Énoncés

Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q16· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Montrer que les fonctions $ϕ$ et $ζ$ vérifient deux équations différentielles indépendantes. En déduire que $ψ$ peut finalement s'écrire sous la forme $ψ (z, t) = ϕ (z) e^{- i \frac{E}{ℏ} t}$ , et justifier que $E$ est une constante réelle.
Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q20· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Montrer que $s = s_{0} f (φ)$ , où $s_{0}$ est la valeur maximale du signal $s$ et $φ \mapsto f (φ)$ une fonction que l'on précisera.
Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q25· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Rappeler l'interprétation physique de la fonction d'onde $ψ (r)$ et en déduire que la valeur de la constante $A$ (à une phase près) vaut $A = \frac{3}{4 π r _{0}^{3}}$ .
Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 MP 2023, Q15· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Quelles sont l'interprétation physique et la dimension de la fonction d'onde $Ψ (r, t)$ ?
Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 MP 2023, Q16· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
On cherche des solutions de l'équation de Schrödinger de la forme $Ψ (r, t) = Φ (x, y, z) W (t)$ . Quelle est la forme de $W (t)$ ? Comment s'appelle ce type de solution ?
Exercice 6X-ENS Physique MP 2023, Q3· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Nous étudions d'abord le cas simple, à une dimension, de l'état stationnaire d'énergie $E$ d'une particule quantique de masse $m$ , qui rencontre une marche de potentiel. L'énergie potentielle vaut $0$ pour $x < 0$ et $V$ pour $x \geq 0$ , avec $V > E$ . On note $ψ (x)$ la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule dans son état stationnaire. Déterminer l'expression de $ψ (x) / ψ (0)$ pour $x > 0$ . On notera $t (x) = ψ (x) / ψ (0)$ .
Exercice 7X-ENS Physique-SI MP 2023, Q11· Application directe· Incontournable· ≈ 5 min
Qu'appelle-t-on état stationnaire d'un système isolé ?
Dans votre réponse à cette question, vous veillerez à aborder les points suivants : (i) Si l'atome est dans l'état stationnaire $φ_{a}$ , comment s'écrit sa fonction d'onde $ψ (x; t)$ ? Préciser la fonction caractérisant sa dépendance en $t$ . (ii) Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la fonction $φ_{a}$ ? (iii) De quelle(s) variable(s) dépend la fonction $φ_{a}$ ? Dépend-elle du temps ? Quelle relation de normalisation lui est-elle imposée ?
Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2021, Q45· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 8 min
a) Rappeler l'écriture de la fonction d'onde d'un état stationnaire d'énergie $E$ . On notera $φ (x)$ la partie spatiale de la fonction d'onde.
b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par $φ (x)$ .
c) Donner la forme générale de $φ (x)$ , puis montrer que l'énergie de l'électron est quantifiée.
Exercice 9CCINP Physique MP 2026, Q43· Application directe· ≈ 2 min
Définir un état stationnaire en physique quantique.
Exercice 10CCINP Physique MP 2026, Q44· Application directe· ≈ 2 min
Rappeler l'équation de Schrödinger dépendante du temps.

Corrigés

Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q16
Le problème étant unidimensionnel selon la verticale locale Oz, le laplacien se réduit à \Delta \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}. L'équation de Schrödinger s'écrit donc :
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}(z,t) + V(z)\psi(z,t) = i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(z,t)
En injectant la forme à variables séparées \psi(z,t) = \phi(z)\zeta(t), on obtient :
-\frac{\hbar^2}{2m} \phi''(z)\,\zeta(t) + V(z)\phi(z)\,\zeta(t) = i\hbar \phi(z)\,\zeta'(t)
Pour les points et instants où \psi(z,t) \neq 0, divisons les deux membres par \phi(z)\zeta(t) :
\frac{1}{\phi(z)}\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\phi''(z) + V(z)\phi(z)\right] = \frac{i\hbar}{\zeta(t)}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}t}(t)
Le membre de gauche est une fonction exclusive de la variable spatiale z, tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de la variable temporelle t. Ces deux variables étant indépendantes, cette égalité impose que chaque membre soit égal à une même constante, homogène à une énergie, que l'on note E.
On en déduit deux équations différentielles indépendantes :
\begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}z^2} + V(z)\phi(z) &= E\,\phi(z) \quad \text{(équation de Schrödinger stationnaire)} \\ i\hbar\frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}t} &= E\,\zeta(t) \end{aligned}
L'équation différentielle du premier ordre portant sur \zeta(t) s'intègre immédiatement en :
\zeta(t) = C\,\exp\left(-i\frac{E}{\hbar}t\right) \quad \text{avec } C \in \mathbb{C}
En absorbant la constante multiplicative C dans la définition de \phi(z), la fonction d'onde s'écrit bien :
\boxed{\psi(z,t) = \phi(z)\exp\left(-i\frac{E}{\hbar}t\right)}
Justification de la réalité de E : Décomposons la constante E en parties réelle et imaginaire : E = E_r + i E_i avec (E_r, E_i) \in \mathbb{R}^2. La densité de probabilité de présence de la particule s'écrit alors :
|\psi(z,t)|^2 = |\phi(z)|^2 \left|\exp\left(-i\frac{E_r + i E_i}{\hbar}t\right)\right|^2 = |\phi(z)|^2 \exp\left(\frac{2E_i}{\hbar}t\right)
La probabilité totale de présence dans l'espace est conservée au cours du temps :
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(z,t)|^2\,\mathrm{d}z = 0 \implies \frac{2E_i}{\hbar}\exp\left(\frac{2E_i}{\hbar}t\right)\int_{-\infty}^{+\infty}|\phi(z)|^2\,\mathrm{d}z = 0
L'intégrale spatiale étant strictement positive, on a nécessairement E_i = 0, soit :
\boxed{E \in \mathbb{R}}
Résultat
$ψ (z, t) = ϕ (z) exp (- i \frac{E}{ℏ} t)$ $E \in R$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q20
À l'instant t = 2\tau, les centres des deux paquets d'ondes occupent la même position z = z_0 (question Q14). D'après le principe de superposition quantique, la fonction d'onde totale au point M_0 est la somme des fonctions d'onde associées à chacun des deux chemins :
\psi(M_0) = \psi_1(M_0) + \psi_2(M_0)
L'impulsion laser initiale à t = 0 sépare le paquet incident de manière équilibrée (séparatrice 50/50), et les deux bras sont symétriques quant aux interactions subies. Les deux fonctions d'onde ont donc la même amplitude au point M_0, notée \psi_a, et ne diffèrent que par leur phase spatiale \varphi_j(M_0) = \int_0^{z_0} k_j(u)\,\mathrm{d}u :
\psi_1(M_0) = \psi_a \, \mathrm{e}^{i\varphi_1(M_0)} \quad \text{et} \quad \psi_2(M_0) = \psi_a \, \mathrm{e}^{i\varphi_2(M_0)}
La fonction d'onde résultante s'écrit alors :
\begin{aligned} \psi(M_0) &= \psi_a\,\mathrm{e}^{i\varphi_1(M_0)}\left(1 + \mathrm{e}^{i[\varphi_2(M_0) - \varphi_1(M_0)]}\right) \\ &= \psi_a\,\mathrm{e}^{i\frac{\varphi_1(M_0)+\varphi_2(M_0)}{2}}\left(\mathrm{e}^{-i\frac{\varphi}{2}} + \mathrm{e}^{i\frac{\varphi}{2}}\right) \\ &= 2\psi_a\,\mathrm{e}^{i\frac{\varphi_1(M_0)+\varphi_2(M_0)}{2}}\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \end{aligned}
où \varphi = \varphi_2(M_0) - \varphi_1(M_0) est le déphasage défini par l'énoncé.
La densité de probabilité de présence au point M_0 vaut donc :
|\psi(M_0)|^2 = 4|\psi_a|^2 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)
Le signal de fluorescence s étant proportionnel à cette densité de probabilité, il est de la forme :
s = s_0 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{s_0}{2}(1 + \cos\varphi)
Comme la fonction \cos^2(\varphi/2) varie entre 0 et 1, la constante multiplicative s_0 représente bien la valeur maximale du signal.
On en déduit :
\boxed{s = s_0\,f(\varphi) \quad \text{avec} \quad f(\varphi) = \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{1+\cos\varphi}{2}}
Résultat
$s = s_{0} f (φ) avec f (φ) = cos^{2} (\frac{φ}{2}) = \frac{1 + cos φ}{2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q25
D'après l'interprétation probabiliste de Born, la quantité |\psi(\vec{r})|^2 représente la densité volumique de probabilité de présence de l'électron : la probabilité \mathrm{d}P de trouver l'électron dans un volume infinitésimal \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}^3\vec{r} centré en \vec{r} s'écrit
\mathrm{d}P = |\psi(\vec{r})|^2 \, \mathrm{d}\tau.
L'électron étant nécessairement présent dans l'espace, la probabilité totale vaut 1, ce qui impose la condition de normalisation :
\iiint_{\text{tout l'espace}} |\psi(\vec{r})|^2 \, \mathrm{d}\tau = 1.
La fonction d'onde s'annulant pour r > r_0 et étant constante égale à A pour r < r_0, l'intégration se restreint à la sphère de rayon r_0 :
\begin{aligned} \iiint_{r < r_0} |A|^2 \, \mathrm{d}\tau &= |A|^2 \times \left( \frac{4}{3} \pi r_0^3 \right) = 1. \end{aligned}
On en déduit :
|A|^2 = \frac{3}{4\pi r_0^3}.
En choisissant la phase globale de la fonction d'onde nulle de sorte que A soit réel positif, on obtient bien :
\boxed{A = \sqrt{\frac{3}{4\pi r_0^3}}.}
Résultat
$A = \frac{3}{4 π r _{0}^{3}} .$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 MP 2023, Q15
D'après l'interprétation probabiliste de Max Born, la fonction d'onde \Psi(\vec{r}, t) n'est pas directement une grandeur physique mesurable, mais son module au carré représente la densité volumique de probabilité de présence de la particule au point \vec{r} à l'instant t :
\mathrm{d}P(\vec{r}, t) = |\Psi(\vec{r}, t)|^2 \, \mathrm{d}^3\vec{r}
représente la probabilité de trouver la particule dans le volume élémentaire \mathrm{d}^3\vec{r} = \mathrm{d}\tau autour de la position \vec{r} à l'instant t.
Si la particule est confinée dans l'espace, la probabilité totale de la trouver vaut 1, ce qui impose la condition de normalisation :
\iiint_{\text{espace}} |\Psi(\vec{r}, t)|^2 \, \mathrm{d}^3\vec{r} = 1
Une probabilité étant sans dimension ([\mathrm{d}P] = 1) et le volume élémentaire ayant pour dimension [\mathrm{d}^3\vec{r}] = \mathrm{L}^3, la densité volumique de probabilité vérifie :
\left[ |\Psi|^2 \right] = \mathrm{L}^{-3}
On en déduit la dimension de la fonction d'onde en trois dimensions :
\boxed{[\Psi] = \mathrm{L}^{-3/2}}
Dans le Système international, \Psi s'exprime en \mathrm{m}^{-3/2}.
Résultat
$[Ψ] = L^{- 3/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 MP 2023, Q16
Le potentiel U(\vec{r}) étant indépendant du temps, injectons la forme factorisée \Psi(\vec{r}, t) = \Phi(\vec{r}) W(t) dans l'équation de Schrödinger (2) :
-\frac{\hbar^2}{2m} W(t) \Delta \Phi(\vec{r}) + U(\vec{r}) \Phi(\vec{r}) W(t) = \mathrm{j}\hbar \Phi(\vec{r}) \frac{\mathrm{d}W(t)}{\mathrm{d}t}
En divisant chaque membre par \Phi(\vec{r}) W(t) en tout point où la fonction d'onde ne s'annule pas, on obtient :
\frac{1}{\Phi(\vec{r})} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Phi(\vec{r}) + U(\vec{r}) \Phi(\vec{r}) \right] = \frac{\mathrm{j}\hbar}{W(t)} \frac{\mathrm{d}W(t)}{\mathrm{d}t}
Le membre de gauche ne dépend que des coordonnées d'espace \vec{r}, tandis que le membre de droite ne dépend que du temps t. Par conséquent, ces deux membres sont égaux à une même constante indépendante de \vec{r} et de t, homogène à une énergie, que l'on note \mathcal{E} :
\mathrm{j}\hbar \frac{\mathrm{d}W(t)}{\mathrm{d}t} = \mathcal{E} W(t) \iff \frac{\mathrm{d}W(t)}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{j}\mathcal{E}}{\hbar} W(t)
En intégrant cette équation différentielle linéaire du premier ordre (en absorbant une constante multiplicative arbitraire dans la fonction spatiale \Phi), on obtient :
\boxed{W(t) = \exp\left( -\mathrm{j} \frac{\mathcal{E}}{\hbar} t \right)}
Cette solution particulière obtenue par séparation des variables correspond à un état stationnaire (ou mode propre d'énergie \mathcal{E}).
Résultat
$W (t) = exp (- j \frac{E}{ℏ} t)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6X-ENS Physique MP 2023, Q3
Pour x > 0, l'équation de Schrödinger indépendante du temps régissant la partie spatiale \psi(x) de la particule d'énergie E s'écrit :
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}(x) + V \psi(x) = E \psi(x)
Comme V > E, on réécrit cette équation sous la forme :
\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}(x) - K^2 \psi(x) = 0 \quad \text{avec} \quad K = \frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} > 0
La solution générale est une combinaison linéaire d'exponentielles réelles :
\psi(x) = A\,\mathrm{e}^{-Kx} + B\,\mathrm{e}^{Kx}
La région x > 0 étant non bornée vers les x positifs, la fonction d'onde doit rester bornée lorsque x \to +\infty afin d'être physiquement admissible, ce qui impose B = 0.
Par continuité de \psi en x = 0, on a \psi(0) = A. Il vient ainsi :
\psi(x) = \psi(0)\,\mathrm{e}^{-Kx} \quad \text{pour } x > 0
On en déduit l'expression du rapport demandé :
\boxed{t(x) = \frac{\psi(x)}{\psi(0)} = \exp\left(-\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\,x\right)}
Résultat
$t (x) = \frac{ψ ( x )}{ψ ( 0 )} = exp (- \frac{2 m ( V - E )}{ℏ} x)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7X-ENS Physique-SI MP 2023, Q11
Un état stationnaire d'un système quantique isolé est un état propre de l'hamiltonien \hat{H}, associé à une énergie bien définie E_a. Pour un tel état, toutes les grandeurs physiques mesurables ainsi que la densité de probabilité de présence |\psi(x,t)|^2 sont indépendantes du temps.
(i) Forme de la fonction d'onde et dépendance temporelle
Pour un système isolé à une dimension dont le potentiel V(x) est indépendant du temps, la recherche de solutions par séparation des variables spatiales et temporelles conduit à l'expression :
\boxed{\psi(x,t) = \varphi_a(x) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{E_a}{\hbar}t}}
La dépendance temporelle est entièrement contenue dans le facteur de phase harmonique :
f(t) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_a t} \quad \text{avec} \quad \omega_a = \frac{E_a}{\hbar}
(ii) Équation différentielle vérifiée par \varphi_a
En injectant cette forme factorisée dans l'équation de Schrödinger dépendante du temps (3) :
\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\psi(x,t)
et en calculant la dérivée temporelle \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = E_a \psi(x,t), on peut simplifier de part et d'autre par le facteur \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{E_a}{\hbar}t}, ce qui donne l'équation de Schrödinger indépendante du temps :
\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\varphi_a}{\mathrm{d}x^2} + V(x)\varphi_a(x) = E_a \varphi_a(x)}
qui s'écrit également :
\frac{\mathrm{d}^2\varphi_a}{\mathrm{d}x^2} + \frac{2m}{\hbar^2}\big(E_a - V(x)\big)\varphi_a(x) = 0
(iii) Variables et condition de normalisation
- La fonction \varphi_a dépend uniquement de la variable spatiale x de l'électron actif ; elle est strictement indépendante du temps t.
- La probabilité totale de présence de l'électron sur tout l'espace étant égale à 1, la fonction d'onde doit être de carré sommable et normalisée à l'unité :
  \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2\,\mathrm{d}x = 1
  Comme |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{E_a}{\hbar}t}|^2 = 1, la condition de normalisation imposée à \varphi_a s'écrit :
  \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} |\varphi_a(x)|^2\,\mathrm{d}x = 1}
Résultat
$ψ (x, t) = φ_{a} (x) e^{- i \frac{E _{a}}{ℏ} t}$ $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} φ _{a}}{d x ^{2}} + V (x) φ_{a} (x) = E_{a} φ_{a} (x)$ $\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ φ_{a} (x) ∣^{2} d x = 1$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2021, Q45
a) Par définition, un état stationnaire d'énergie E possède une dépendance spatio-temporelle à variables séparées dont la phase temporelle évolue harmoniquement :
\boxed{\psi(x,t) = \varphi(x)\,\mathrm{e}^{-j\frac{E}{\hbar}t}}
où \varphi(x) est la fonction d'onde spatiale.
b) L'équation de Schrödinger spatiale unidimensionnelle donnée dans le texte s'écrit :
j\hbar\,\frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}(x,t) + V(x)\,\psi(x,t)
En injectant l'expression de l'état stationnaire :
\begin{aligned} j\hbar\,\frac{\partial \psi}{\partial t} &= j\hbar\left(-j\frac{E}{\hbar}\right)\varphi(x)\,\mathrm{e}^{-j\frac{E}{\hbar}t} = E\,\varphi(x)\,\mathrm{e}^{-j\frac{E}{\hbar}t} \\ -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi &= \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}(x) + V(x)\,\varphi(x)\right)\mathrm{e}^{-j\frac{E}{\hbar}t} \end{aligned}
En simplifiant par le facteur non nul \mathrm{e}^{-j\frac{E}{\hbar}t} et en se plaçant au fond du puits où V(x) = 0 pour x \in [0\,;\,a], on obtient :
\boxed{\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{2mE}{\hbar^2}\,\varphi(x) = 0}
c) Pour un état lié dans ce puits, l'énergie est strictement positive (E > 0). En posant k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} > 0, l'équation devient \varphi''(x) + k^2\varphi(x) = 0. La forme générale de la solution sur [0\,;\,a] est :
\varphi(x) = A\cos(kx) + B\sin(kx) \quad \text{avec } (A,B) \in \mathbb{C}^2
Le potentiel étant infini hors de l'intervalle [0\,;\,a], la particule ne peut s'y trouver, d'où \psi(x,t) = 0 pour x < 0 et x > a. La continuité de la fonction d'onde aux frontières impose :
\begin{aligned} \varphi(0) = 0 &\implies A = 0 \\ \varphi(a) = 0 &\implies B\sin(ka) = 0 \end{aligned}
Une solution physiquement acceptable doit être non identiquement nulle, ce qui requiert B \neq 0, soit :
\sin(ka) = 0 \iff ka = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^*)
L'expression de k donne alors les niveaux d'énergie discrets :
\frac{2mE_n}{\hbar^2} = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 \implies \boxed{E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} \quad (n \in \mathbb{N}^*)}
L'énergie de l'électron ne pouvant prendre que ces valeurs discrètes indexées par le nombre quantique entier n \ge 1, elle est quantifiée.
Résultat
$ψ (x, t) = φ (x) e^{- j \frac{E}{ℏ} t}$ $\frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} (x) + \frac{2 m E}{ℏ ^{2}} φ (x) = 0$ $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m a ^{2}} (n \in N^{*})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9CCINP Physique MP 2026, Q43
En physique quantique, un état stationnaire est un état dont toutes les grandeurs mesurables sont invariantes au cours du temps. En particulier, la densité de probabilité de présence est indépendante du temps :
\rho(\vec{r},t) = |\Psi(\vec{r},t)|^2 = \rho(\vec{r})
De manière équivalente :
- C'est un état d'énergie parfaitement déterminée E, c'est-à-dire un état propre du hamiltonien \hat{H} associé à la valeur propre E :
  \hat{H} \varphi(\vec{r}) = E \varphi(\vec{r})
- La fonction d'onde spatio-temporelle se factorise sous la forme :
  \boxed{\Psi(\vec{r}, t) = \varphi(\vec{r}) \, \mathrm{e}^{-\iota \frac{E t}{\hbar}}}
  où le terme temporel n'est qu'un facteur de phase sans influence sur les densités de probabilité ni sur les valeurs moyennes d'observables indépendantes du temps.
Résultat
$Ψ (r, t) = φ (r) e^{- ι \frac{E t}{ℏ}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10CCINP Physique MP 2026, Q44
Pour une particule quantique non relativiste de masse m évoluant à une dimension le long de l'axe (Ox) sous l'action d'une énergie potentielle V(x,t), l'équation de Schrödinger dépendante du temps s'écrit :
\boxed{\iota \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}(x,t) + V(x,t) \Psi(x,t)}
Elle peut également s'écrire sous forme opérationnelle :
\iota \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi
où \hat{H} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t) est l'opérateur hamiltonien du système.
Résultat
$ι ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} Ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) + V (x, t) Ψ (x, t)$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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