Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MPI 2024

On se place dans le référentiel d'étude lié à l'observateur (récepteur).

À l'instant d'émission t = 0, la source se trouve à la distance d de l'observateur. L'onde électromagnétique se propageant dans le vide en ligne droite vers l'observateur à la célérité c, la durée de propagation du premier pic est :

Le pic ayant été émis à l'instant initial t=0, l'observateur le reçoit à l'instant :

Le second pic est émis à l'instant t_{\text{ém}} = T_0.

L'émetteur s'éloignant en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v depuis sa position initiale située à la distance d, la distance séparant l'émetteur de l'observateur à l'instant t = T_0 vaut :

L'onde électromagnétique se propageant à la célérité c dans le vide vers l'observateur, la durée de parcours de ce second pic est :

L'instant de réception t_2 par l'observateur s'écrit donc :

En faisant apparaître t_1 = \frac{d}{c} établi à la question Q1, on peut également l'écrire sous la forme :

La période temporelle T_{\text{mes}} de l'onde mesurée par l'observateur correspond à la durée séparant la réception de deux pics successifs émis à un intervalle T_0 d'intervalle :

D'après les résultats des questions Q1 et Q2 :

Ainsi, la période apparente reçue s'écrit :

Les fréquences émise f_0 et mesurée f_{\text{mes}} étant les inverses des périodes correspondantes (f_0 = 1/T_0 et f_{\text{mes}} = 1/T_{\text{mes}}), on obtient directement :

ce qui conduit bien à :

L'onde électromagnétique se propageant dans le vide à la célérité c, les longueurs d'onde émise \lambda_0 et mesurée \lambda_{\text{mes}} sont reliées aux fréquences correspondantes par la relation générale de dispersion dans le vide :

D'après le résultat de la question Q3, la fréquence mesurée s'exprime sous la forme :

En substituant les fréquences par les longueurs d'onde associées, il vient :

On en déduit immédiatement la relation entre \lambda_{\text{mes}} et \lambda_0 :

Par définition, le décalage vers le rouge est donné par :

Les longueurs d'onde \lambda_{\text{mes}} et \lambda_0 ont la dimension d'une longueur :

Par conséquent :

1. Justification du terme « décalage vers le rouge »

Lorsque la source s'éloigne de l'observateur (v > 0), la relation établie à la question précédente conduit à :

La longueur d'onde reçue par l'observateur est donc supérieure à la longueur d'onde émise. Dans le spectre visible, les longueurs d'onde les plus grandes correspondent aux radiations rouges (\sim 700\text{ nm}), tandis que les plus courtes correspondent au violet (\sim 400\text{ nm}). L'augmentation de la longueur d'onde se traduit donc par un déplacement des raies spectrales vers la partie rouge du spectre, d'où l'expression « décalage vers le rouge » (redshift).

2. Intérêt d'une sensibilité dans l'infrarouge pour le JWST

En raison de l'expansion de l'Univers, les astres très éloignés s'éloignent de la Terre avec des vitesses de récession considérables, conduisant à des valeurs de décalage vers le rouge z importantes.

La longueur d'onde mesurée par un observateur terrestre vaut :

Pour des objets extrêmement distants (z \gtrsim 1), le rayonnement émis au voisinage du maximum d'émission dans le domaine visible (\lambda_0 \in [400\text{ nm}, 750\text{ nm}]) est décalé vers des longueurs d'onde nettement plus grandes :

Ces radiations parviennent donc sur les détecteurs du télescope dans le domaine de l'infrarouge. Pour observer ces galaxies primitives et collecter le maximum d'énergie lumineuse émise, il est par conséquent indispensable que le JWST dispose d'un maximum de sensibilité dans l'infrarouge.

D'après la définition du décalage vers le rouge rappelée dans l'énoncé :

En utilisant la relation obtenue à la question Q4, \lambda_{\text{mes}} = \lambda_0 \left(1 + \frac{v}{c}\right), il vient :

D'où l'expression recherchée :

L'expression relativiste du décalage vers le rouge est donnée par :

Dans la limite non relativiste où v \ll c, posons \beta = \dfrac{v}{c} \ll 1. Effectuons un développement limité à l'ordre 1 en \beta :

En effectuant le produit de ces deux développements :

On en déduit :

On retrouve bien l'expression z = \dfrac{v}{c} obtenue à la question Q7.

Puisque cette approximation repose sur v \ll c, et que dans ce régime z \approx \dfrac{v}{c}, l'expression simplifiée est valide pour :

D'après la table issue de la commande df.describe() pour la colonne H :

• le nombre de galaxies mesurées est N = 24 ;
• la moyenne empirique vaut \bar{H} = 812{,}04\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} ;
• l'écart-type expérimental de l'échantillon vaut s = 1988{,}81\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}.

L'incertitude-type associée à la valeur moyenne (évaluation de type A) s'écrit :

Numériquement :

En arrondissant l'incertitude-type à un ou deux chiffres significatifs, la valeur de H sous forme normalisée s'écrit :

D'après la loi de Hubble-Lemaître, la constante de Hubble vérifie :

Sa dimension est donc :

Par conséquent, la grandeur inverse \frac{1}{H} a la dimension d'un temps.

Considérons un modèle simple dans lequel l'Univers est issu d'un point initial unique il y a une durée t_{\text{univ}} (l'âge de l'Univers). Si l'on fait l'hypothèse que l'éloignement d'une galaxie s'est effectué à vitesse de récession v constante au cours du temps, la distance d parcourue depuis l'origine s'écrit :

En injectant la loi de Hubble v = H d, il vient :

On en déduit :

Ainsi, sous l'hypothèse d'une vitesse d'expansion constante depuis une origine ponctuelle, l'inverse de la constante de Hubble (appelé « temps de Hubble ») s'interprète directement comme l'âge de l'Univers.

D'après la question Q10, l'âge de l'Univers dans le modèle d'expansion linéaire s'écrit :

D'après la question Q9, la valeur moyenne issue des données de 1929 est H \approx 812\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}.

Convertissons cette valeur dans le Système international à l'aide des données de l'énoncé :

• 1\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• 1\text{ Mpc} = 10^6\text{ pc} = 10^6 \times 3,08 \times 10^{16}\text{ m} = 3,08 \times 10^{22}\text{ m}.

Ainsi :

On en déduit l'âge estimé de l'Univers en secondes :

En prenant une année julienne (1\text{ an} = 365,25 \times 86400\text{ s} \approx 3,156 \times 10^7\text{ s}, cohérente avec 1\text{ al} = c \times 1\text{ an} = 9,46 \times 10^{15}\text{ m}) :

Commentaire :
L'âge ainsi obtenu pour l'Univers (1,2\text{ Ga}) est nettement inférieur à l'âge du Système solaire (4,5\text{ Ga}).

Physiquement, cela constitue une contradiction majeure : le « contenant » (l'Univers) ne peut pas être plus jeune que les objets qu'il contient (la Terre et le Système solaire). Ce paradoxe historique s'explique par la surestimation considérable de la constante de Hubble en 1929 (H \approx 800\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} contre environ 67\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} aujourd'hui), due notamment à une sous-estimation systématique des distances extragalactiques à cette époque.

La régression linéaire de la vitesse v par la distance d est nettement plus pertinente que le calcul de la moyenne de H, pour plusieurs raisons majeures :

• Instabilité numérique et biais liés aux faibles distances :
  Dans le premier traitement, on calcule H_i = v_i / d_i. Pour les galaxies très proches (d faible, par exemple d \approx 0{,}03\text{ Mpc} pour les Nuages de Magellan), une faible distance au dénominateur amplifie de façon disproportionnée les incertitudes de mesure et les vitesses propres des galaxies (mouvements gravitationnels locaux indépendants de l'expansion cosmique). Cela conduit à des valeurs extrêmes et aberrantes de H (jusqu'à plus de 8\,500\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}), ce qui tire artificiellement la moyenne vers le haut et donne un écart-type gigantesque (\sigma \approx 1\,989\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} > \text{moyenne}).
• Adéquation avec le modèle physique :
  La loi de Hubble-Lemaître prédit une relation linéaire v = H d. La régression linéaire (méthode des moindres carrés) recherche la droite minimisant la somme des résidus au carré sur la vitesse \sum (v_i - (H d_i + v_0))^2. Chaque mesure de vitesse intervient avec un poids équitable, sans amplification artificielle aux petites distances.
• Validation globale du modèle :
  La régression linéaire fournit une pente de 454\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} et une ordonnée à l'origine faible (-40{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}), cohérente avec une droite passant au voisinage de l'origine (les écarts à zéro s'expliquant par les vitesses propres locales).

D'après l'équation (I.1), la loi de Hubble-Lemaître s'écrit :

Par ailleurs, dans le domaine des vitesses non relativistes (v \ll c), le décalage vers le rouge s'exprime selon le résultat de la question Q7 sous la forme :

En substituant cette expression de la vitesse de récession v dans la relation de Hubble, on obtient :

Cette relation permet de déduire directement la distance d d'un astre à partir de la mesure spectroscopique de son décalage vers le rouge z via d = \frac{c z}{H}.

À partir du tableau associé au spectre de la figure 5, calculons le décalage vers le rouge pour la raie la plus intense, la raie d'émission \mathrm{H}_\alpha :

Un calcul similaire sur l'ensemble des raies du tableau conduit à des valeurs très resserrées, dont la moyenne vaut :

Puisque z \approx 0{,}06 \ll 1, le régime non relativiste est pleinement vérifié.

D'après la loi de Hubble établie à la question Q13 :

Calculons d'abord la distance en mégaparsecs avec H = 67\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} et c \approx 3{,}00 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} :

D'après les données de l'énoncé, 1\text{ pc} = 3{,}26\text{ al}, soit 1\text{ Mpc} = 3{,}26 \times 10^6\text{ al} :

En tenant compte des deux chiffres significatifs sur la constante de Hubble (67\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}) :

L'approximation de Gauss (ou approximation des rayons paraxiaux) repose sur la sélection de rayons lumineux qui vérifient deux conditions géométriques conjointes :

1. Rayons peu inclinés sur l'axe optique : l'angle d'inclinaison \theta de chaque rayon lumineux par rapport à l'axe optique du système reste très petit devant 1\text{ rad} (\theta \ll 1\text{ rad}), ce qui autorise les approximations au premier ordre \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta.
2. Rayons proches de l'axe optique : les rayons interceptent les surfaces optiques (dioptres, miroirs) à une distance de l'axe optique très faible devant les rayons de courbure des surfaces et les dimensions caractéristiques du système (faible ouverture).

Dans ces conditions, les aberrations géométriques d'ouverture et d'inclinaison deviennent négligeables, ce qui assure un stigmatisme approché et un aplanétisme approché.

Le système optique du télescope spatial James Webb adopte une configuration réflectrice à deux miroirs (type Cassegrain) :

• le miroir primaire (M_1), concave (ou composé de facettes inclinées), collecte la lumière venant de l'infini et la converge vers le miroir secondaire ;
• le miroir secondaire (M_2), placé sur l'axe optique en avant du miroir primaire, renvoie le faisceau convergent vers le centre du miroir primaire ;
• le capteur (détecteur) est situé au centre du miroir primaire pour enregistrer le signal focalisé.

Le schéma optique de principe est représenté ci-dessous :

D'après la figure 7, la longueur totale du bouclier thermique est de 22\text{ m}. La flèche du mât supportant le miroir secondaire en avant du miroir primaire peut être estimée à :

Dans le modèle simplifié imposé par l'énoncé, tous les miroirs sont modélisés par des miroirs plans. Le miroir secondaire M_2 possède un diamètre D_2 = 74\text{ cm} (soit un rayon R_2 = D_2/2 = 37\text{ cm} = 0{,}37\text{ m}) et le capteur circulaire placé au centre de M_1 a un rayon R_3 = 3\text{ cm} = 0{,}03\text{ m}.

Un rayon réfléchi par le bord supérieur de M_2 (ordonnée +R_2) et atteignant le bord opposé du capteur (ordonnée -R_3) présente avec l'axe optique un angle d'inclinaison maximal \alpha délimitant le champ total :

Remarque : pour le champ de pleine lumière (l'ensemble du capteur est éclairé par M_2), on aurait de même \alpha_{\text{pl}} = \frac{R_2 - R_3}{L}.

Application numérique :

Sachant que 1\text{ rad} = \frac{180 \times 60}{\pi} \approx 3\,438', le demi-angle vaut \alpha \approx 180' (et \alpha_{\text{pl}} \approx 154').

Le champ de vision angulaire total du télescope 2\alpha estimé par ce modèle vaut donc :

Comparaison avec la valeur de l'énoncé : L'énoncé indique un champ de vision de 2{,}2'. L'estimation obtenue ici est environ 150 fois plus grande.

L'équation (II.1) relie l'énergie électromagnétique élémentaire \mathrm{d}\mathcal{E} contenue dans le volume V pour la tranche de fréquence [\nu, \nu + \mathrm{d}\nu] :

En analysant la dimension de chaque terme intervenant dans cette relation :

• \mathrm{d}\mathcal{E} est une énergie, son unité SI est le joule (\mathrm{J}) ;
• V est un volume, son unité SI est le mètre cube (\mathrm{m}^3) ;
• \mathrm{d}\nu est un intervalle de fréquence, son unité SI est le hertz (\mathrm{Hz}), équivalent à \mathrm{s}^{-1}.

On en déduit la dimension et l'unité de la densité spectrale volumique d'énergie u(\nu) :

Dans le Système international, l'unité de u(\nu) s'exprime donc en :

En explicitant le joule à partir des unités de base du SI (\mathrm{J} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}), cette unité s'écrit également :

D'après l'hypothèse des quanta de Planck reprise et généralisée par Einstein, l'énergie d'un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence \nu est quantifiée et s'écrit :

où h désigne la constante de Planck.

Dans le vide, la fréquence \nu d'une onde électromagnétique est reliée à sa longueur d'onde \lambda par :

D'après l'énoncé (section II.B), le domaine de sensibilité spectrale des instruments du télescope s'étend de \lambda_{\min} = 0{,}6\ \mu\text{m} à \lambda_{\max} = 28\ \mu\text{m}.

Comme la fonction \lambda \mapsto \frac{c}{\lambda} est strictement décroissante et que l'on impose \nu_2 \geqslant \nu_1, les fréquences extrêmes s'écrivent :

Avec c = 299\,792\,458\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \lambda_{\max} = 28 \times 10^{-6}\text{ m} et \lambda_{\min} = 0{,}6 \times 10^{-6}\text{ m}, on obtient numériquement :

L'énergie électromagnétique \mathcal{E}_{12} contenue dans la cavité pour les fréquences comprises entre \nu_1 et \nu_2 s'obtient en sommant les contributions élémentaires \mathrm{d}\mathcal{E} fournies par l'équation (II.1) :

Effectuons le changement de variable :

Les bornes d'intégration deviennent :

Le produit \nu^3\,\mathrm{d}\nu s'écrit alors :

En reportant cette expression dans l'intégrale, on obtient :

On retrouve bien l'expression demandée :

D'après la relation de Planck-Einstein (question Q19), chaque photon associé à la fréquence \nu transporte une énergie \epsilon = h\nu. Le nombre de photons \mathrm{d}N présents dans la cavité de volume V dont la fréquence est comprise dans l'intervalle [\nu, \nu + \mathrm{d}\nu] s'écrit donc :

En injectant l'expression de la densité spectrale d'énergie u(\nu) donnée par l'équation (II.1) :

Le nombre total de photons N_{12} de fréquences comprises entre \nu_1 et \nu_2 s'obtient par intégration :

On effectue le changement de variable sans dimension introduit à la question Q21 :

Les bornes d'intégration deviennent \xi_1 = \frac{h\nu_1}{k_{\mathrm{B}}T} et \xi_2 = \frac{h\nu_2}{k_{\mathrm{B}}T}, et le produit \nu^2 \mathrm{d}\nu s'écrit :

En reportant dans l'intégrale :

On en déduit l'expression demandée :

avec

L'énergie moyenne individuelle d'un photon contenu dans la cavité, notée \langle \epsilon \rangle, s'obtient en divisant l'énergie totale du rayonnement dans la bande [\nu_1, \nu_2] par le nombre de photons correspondants :

En injectant les équations (II.2) et (II.3) :

on simplifie le préfacteur géométrique et fondamental :

Dépendance vis-à-vis de la température :

• L'énergie moyenne comporte un facteur explicite k_{\mathrm{B}} T, directement proportionnel à la température absolue T.
• En toute rigueur, une dépendance additionnelle existe via les bornes adimensionnées \xi_1 = \dfrac{h\nu_1}{k_{\mathrm{B}}T} et \xi_2 = \dfrac{h\nu_2}{k_{\mathrm{B}}T}.
• Toutefois, si la bande spectrale couvre l'essentiel du spectre d'émission (ou si l'on intègre sur tout le spectre de 0 à +\infty), le rapport des intégrales \dfrac{I_{[\xi_1, \xi_2]}}{J_{[\xi_1, \xi_2]}} est une constante sans dimension : l'énergie moyenne individuelle d'un photon est alors proportionnelle à la température T (\langle \epsilon \rangle \propto T). C'est cette dépendance linéaire qui est retenue pour la suite de l'étude (questions Q24 et Q26).

Les photons s'échappent de la cavité à travers une petite ouverture de surface S à la célérité c. Le débit de photons émis \dot{N}_{12} est proportionnel à la densité volumique de photons n_{12} = \frac{N_{12}}{V} et à la vitesse c :

D'après la question Q22, en supposant que l'intégrale sans dimension J_{[\xi_1, \xi_2]} varie peu avec la température dans le domaine considéré, la densité volumique de photons varie comme :

D'après la question Q23, chaque photon transporte en moyenne une énergie individuelle proportionnelle à la température :

La puissance électromagnétique émise P_{12} correspond au flux total d'énergie, c'est-à-dire au produit du débit de photons par leur énergie moyenne :

On en déduit que la puissance émise est proportionnelle à la température à la puissance 4 :

Ce résultat est également cohérent avec l'énergie totale calculée à la question Q21 : la puissance rayonnée est proportionnelle à la densité volumique d'énergie \frac{\mathcal{E}_{12}}{V} \propto T^4.

D'après la question Q24, la puissance rayonnée dans le domaine infrarouge est modélisée par une loi proportionnelle à T^4 :

Le facteur de réduction F de la puissance thermique émise lorsque la température passe de la valeur initiale T_1 = 333\text{ K} à la température finale de fonctionnement T_2 = 39\text{ K} s'écrit :

En effectuant l'application numérique :

La puissance rayonnée par les éléments du télescope est donc atténuée d'un facteur supérieur à 5\,000 (elle est divisée par environ 5{,}3 \times 10^3, ce qui correspond à une émission résiduelle d'environ 1{,}9 \times 10^{-4} de sa valeur à température ambiante).

D'après les résultats des questions Q22 et Q23, la puissance émise s'exprime comme le produit du débit de photons émis (directement relié au nombre de photons N_{12}) par leur énergie moyenne individuelle \langle \epsilon \rangle :

Sous l'approximation où les intégrales adimensionnées dépendent peu de la température (ou sur l'ensemble du spectre thermique) :

• le nombre de photons émis varie comme T^3 ;
• l'énergie moyenne par photon varie comme T.

Lors du passage de la température T_1 = 333\text{ K} à T_2 = 39\text{ K}, le rapport des températures vaut :

Les facteurs de réduction respectifs sont donc :

• pour le nombre de photons : \left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^3 \approx 8{,}5^3 \approx 6{,}2 \times 10^2 ;
• pour l'énergie moyenne : \dfrac{T_1}{T_2} \approx 8{,}5.

La puissance en T^3 l'emportant nettement sur la dépendance linéaire en T, c'est la diminution du nombre de photons émis qui a l'influence prépondérante sur la réduction de la puissance rayonnée.

Le référentiel \mathcal{R}_h, dont l'origine est le centre de masse du Soleil S et dont les axes pointent vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes, est usuellement appelé le référentiel héliocentrique (ou référentiel de Copernic).

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout point matériel isolé ou pseudo-isolé (c'est-à-dire soumis à des forces dont la somme vectorielle est nulle) y est soit au repos, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme :

D'après le préambule, le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h est considéré comme galiléen. Or, tout référentiel galiléen doit être animé d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen.

Le référentiel \mathcal{R} est en rotation uniforme autour de l'axe (Sz) par rapport à \mathcal{R}_h, avec un vecteur rotation non nul \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z.

On étudie le télescope JWST, assimilé à un point matériel de masse m immobile en L_2, dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}.

Le télescope est soumis à :

• la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil :

  \vec{F}_S = -\frac{\mathcal{G} M_S m}{SL_2^2}\,\vec{e}_x = -\frac{\mathcal{G} M_S m}{(d_{TS} + r_{L_2})^2}\,\vec{e}_x

• la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

  \vec{F}_T = -\frac{\mathcal{G} M_T m}{TL_2^2}\,\vec{e}_x = -\frac{\mathcal{G} M_T m}{r_{L_2}^2}\,\vec{e}_x

• la force d'inertie de Coriolis, nulle car le télescope est immobile dans \mathcal{R} (\vec{v}_r = \vec{0}) :

  \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_r = \vec{0}

• la force d'inertie d'entraînement centrifuge (le repère étant en rotation uniforme autour de l'axe (Sz) passant par l'origine fixe S) :

  \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{SL_2}) = m \omega^2 (d_{TS} + r_{L_2})\,\vec{e}_x

La condition d'immobilité du télescope en L_2 dans le référentiel \mathcal{R} se traduit par le principe fondamental de la statique (ou principe fondamental de la dynamique avec \vec{a}_r = \vec{0}) :

En explicitant chaque terme, la relation vectorielle s'écrit :

L'algorithme brentq repose sur une méthode de dichotomie combinée à des interpolations (méthode de Brent) pour la recherche de racine d'une fonction continue. Il requiert impérativement une condition de changement de signe aux bornes de l'intervalle de recherche :

Pour déterminer un tel couple (R_{\min}, R_{\max}), la procédure préalable recommandée est la suivante :

1. Ciblage de la zone d'exploration par des considérations physiques : le point L_2 est situé au-delà de l'orbite terrestre (R > 0) mais reste sous l'influence gravitationnelle directe de la Terre, ce qui implique une distance bien plus petite que la distance Soleil-Terre (R \ll 1). Un intervalle d'exploration large tel que R \in [0{,}001 \,;\, 0{,}1] est tout à fait adapté.

2. Tracé graphique ou balayage numérique :

   • Approche graphique : tracer la courbe R \mapsto F(R, \alpha) sur cet intervalle et observer l'intersection avec l'axe des abscisses.
   • Approche par échantillonnage (tabulation) : évaluer la fonction F(R, \alpha) sur une grille de valeurs de R régulièrement espacées dans cette plage (par exemple avec un pas \Delta R = 10^{-3}) et détecter deux points consécutifs où F change de signe.
3. Sélection des bornes : retenir les deux valeurs encadrant le zéro détecté pour définir [R_{\min}, R_{\max}], en s'assurant qu'aucune divergence de F n'apparaît dans l'intervalle (éviter notamment R = 0).

Par définition de la variable adimensionnée R introduite dans l'énoncé :

La distance séparant la Terre du point de Lagrange L_2 est donc :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• R = 0{,}009 ;
• d_{TS} = 1{,}50 \times 10^8\text{ km} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m}.

On obtient :

La loi fondamentale de la physique mise en jeu est le principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton), appliqué au télescope JWST assimilé à un point matériel de masse m dans le référentiel d'étude \mathcal{R}.

L'énoncé de cette loi dans le référentiel \mathcal{R} s'écrit :

Les précautions indispensables à prendre lors de son écriture sont les suivantes :

1. Caractère non galiléen du référentiel d'étude : Le référentiel \mathcal{R} étant en rotation à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_h, il convient d'ajouter au bilan des forces réelles (attractions gravitationnelles du Soleil et de la Terre) les deux forces d'inertie :

   • la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{\text{ie}} = -m\,\vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \overrightarrow{SM}) = m\,\omega^2 (x\,\vec{e}_x + y\,\vec{e}_y) ;
   • la force d'inertie de Coriolis : \vec{F}_{\text{ic}} = -2m\,\vec{\omega} \wedge \vec{v}(M/\mathcal{R}).

2. Dérivation dans le référentiel relatif : La vitesse \vec{v}(M/\mathcal{R}) et l'accélération \vec{a}(M/\mathcal{R}) doivent être obtenues en dérivant les coordonnées du vecteur position \overrightarrow{SM} par rapport au temps dans la base liée à \mathcal{R} :

   \vec{a}(M/\mathcal{R}) = \ddot{\varepsilon}_x(t)\,\vec{e}_x + \ddot{\varepsilon}_y(t)\,\vec{e}_y + \ddot{\varepsilon}_z(t)\,\vec{e}_z
3. Linéarisation au voisinage de la position d'équilibre : Pour aboutir au système différentiel linéaire proposé, il est nécessaire d'effectuer un développement limité au premier ordre des forces gravitationnelles en fonction des petits déplacements \varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z (puisque |\varepsilon| \ll r_{L_2}), et d'utiliser la relation d'équilibre vérifiée en L_2 établie à la question Q29.

Le vecteur position du télescope au voisinage de L_2 est donné par :

La base (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) étant fixe dans le référentiel \mathcal{R}, le vecteur vitesse de M par rapport à \mathcal{R} s'écrit :

Le référentiel \mathcal{R} est en rotation uniforme autour de l'axe (Sz) à la vitesse angulaire \omega par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_h, d'où :

La force d'inertie de Coriolis exercée sur le télescope de masse m est donnée par :

Soit, en divisant par la masse m :

En projetant la relation fondamentale de la dynamique écrite dans \mathcal{R} (m\vec{a}(M/\mathcal{R}) = \sum \vec{F}_{\text{ext}} + \vec{F}_{\text{ie}} + \vec{F}_{\text{ic}}), les contributions de la force de Coriolis à l'accélération relative \ddot{\varepsilon}_x(t) et \ddot{\varepsilon}_y(t) sont :

On retrouve bien identiquement les termes figurant dans les deux premières équations du système différentiel (III.2).

D'après le système différentiel (III.2), la coordonnée \varepsilon_z(t) vérifie l'équation :

On constate immédiatement deux propriétés fondamentales :

• L'équation selon (Sz) est découplée des variables \varepsilon_x(t) et \varepsilon_y(t) (aucune interférence de la force de Coriolis ni du gradient de potentiel lié au plan orbital).

• Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique linéaire non amorti de pulsation propre \Omega_z = 2\omega > 0. Sa solution s'écrit sous la forme :

  \varepsilon_z(t) = C_1 \cos(2\omega t) + C_2 \sin(2\omega t)

  où C_1 et C_2 sont des constantes réelles fixées par les conditions initiales.

La trajectoire selon l'axe (Sz) est donc purement oscillatoire et bornée pour toute perturbation initiale : l'équilibre est inconditionnellement stable selon la direction perpendiculaire au plan orbital.

Les fonctions d'essai recherchées s'écrivent sous la forme :

En dérivant par rapport au temps, on obtient :

D'après le système différentiel (III.2), les deux premières équations s'écrivent :

En substituant les expressions complexes dans ces deux équations :

Puisque \mathrm{e}^{pt} \neq 0 pour tout t \in \mathbb{R}, on obtient le système linéaire vérifié par les amplitudes (\underline{A}_x, \underline{A}_y) :

Ce système s'écrit de manière équivalente sous forme matricielle :

D'après la question Q35, les amplitudes complexes vérifient le système linéaire homogène :

Pour admettre des solutions non nulles, le déterminant de ce système doit être nul :

Il s'agit d'une équation du second degré en X = p^2 :

Le discriminant réduit vaut :

Les deux racines pour X = p^2 sont donc :

On en déduit les quatre valeurs acceptables de p :

Numériquement, avec \sqrt{1+2\sqrt{7}} \approx 2{,}51 et \sqrt{2\sqrt{7}-1} \approx 2{,}07, ces valeurs valent environ p \approx \pm 2{,}51\,\omega et p \approx \pm 2{,}07\,\mathrm{i}\omega.

Conclusion quant à la stabilité : L'une des solutions est réelle et strictement positive (p_1 = +\omega\sqrt{1+2\sqrt{7}} > 0). Par conséquent, la solution générale contient un terme proportionnel à \mathrm{e}^{p_1 t} qui diverge exponentiellement au cours du temps lorsqu'un écart infinitésimal est introduit.

D'après la question Q36, la solution du système différentiel présente un mode divergent exponentiel associé à la racine réelle positive :

L'écart \varepsilon(t) par rapport à la position d'équilibre L_2 croît ainsi comme \mathrm{e}^{t/\tau}, où le temps caractéristique de divergence vaut :

Au bout d'une durée de l'ordre de \tau, la perturbation initiale est multipliée par un facteur \mathrm{e} \approx 2{,}7, ce qui remet rapidement en cause la condition de petitesse des déplacements (|\varepsilon| \ll r_{L_2}) et éloigne le télescope du point L_2. Il convient donc d'effectuer une manœuvre de repositionnement sur une durée de l'ordre de \tau.

Calculons la pulsation \omega à l'aide de l'expression fournie par l'énoncé :

On remarque que cette valeur correspond bien à la pulsation orbitale de la Terre autour du Soleil (\omega = 2\pi/T_{\text{orb}} avec T_{\text{orb}} = 1\text{ an} \approx 3{,}16 \times 10^7\text{ s}).

Le temps caractéristique s'évalue alors par :

En convertissant cette durée en jours (1\text{ jour} = 86\,400\text{ s}) :

Plusieurs arguments complémentaires justifient le choix du point de Lagrange L_2 pour le télescope JWST :

• Alignement géométrique et protection thermique (argument majeur) :
  Au point L_2, le Soleil, la Terre et la Lune se trouvent en permanence dans la même direction vue du télescope (vers l'intérieur de l'orbite terrestre). Un unique bouclier thermique déployable suffit donc à occulter simultanément ces trois sources majeures de rayonnement parasite. Cela permet un refroidissement radiatif passif efficace jusqu'à environ 39\text{ K}, condition indispensable pour observer dans l'infrarouge sans être ébloui par la propre émission thermique du télescope (étudiée en partie II.B).
• Stabilité de l'environnement thermique et absence d'éclipses :
  Contrairement à un télescope en orbite terrestre basse (comme Hubble), le JWST n'entre jamais dans le cône d'ombre de la Terre et n'est soumis à aucun cycle thermique d'alternance jour/nuit, ce qui garantit une stabilité thermique et mécanique optimale de ses miroirs et détecteurs.
• Visibilité continue de l'espace profond :
  En pointant en permanence à l'opposé du Soleil et de la Terre, le télescope bénéficie d'un champ d'observation de l'Univers profond sans obstruction périodique par la Terre.