Feuille d'entraînement : Cinétique chimique et mécanismes réactionnels

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q19

   L'évolution temporelle du nombre de noyaux par unité de volume N_i(t) est régie par l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants fournie par l'énoncé :

   \frac{\mathrm{d}N_i}{\mathrm{d}t} + \frac{\ln 2}{\tau_i} N_i(t) = 0

   Par séparation des variables et intégration entre l'instant initial t = 0 (où N_i(0) = N_{i0}) et un instant t quelconque :

   \begin{aligned} \int_{N_{i0}}^{N_i(t)} \frac{\mathrm{d}N_i}{N_i} &= -\frac{\ln 2}{\tau_i} \int_0^t \mathrm{d}t' \\ \ln\left(\frac{N_i(t)}{N_{i0}}\right) &= -\frac{\ln 2}{\tau_i}\, t \end{aligned}

   En prenant l'exponentielle, on obtient la loi de décroissance radioactive sous l'une ou l'autre des formes équivalentes :

   \boxed{N_i(t) = N_{i0} \exp\left(-\frac{\ln 2}{\tau_i} t\right) = N_{i0}\, 2^{-t/\tau_i}}

   Résultat

   $$N_i(t)=N_{i0}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right)=N_{i0}{2}^{-t/{\tau }_i}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q20

   Considérons une unité de volume de roche (de volume V = 1\text{ m}^3). Sa masse vaut m_{\text{roche}} = \mu \times 1\text{ m}^3 = \mu.

   La masse de l'isotope X_i présente à l'instant initial t=0 dans ce volume est :

   m_{i0} = x_i \, \mu

   La quantité de matière correspondante est n_{i0} = \frac{m_{i0}}{M_i} = \frac{x_i \mu}{M_i}, de sorte que le nombre de noyaux par unité de volume à l'origine des temps s'écrit :

   N_{i0} = n_{i0} N_A = \frac{\mu N_A x_i}{M_i}

   Chaque désintégration d'un noyau de l'isotope X_i libère une énergie thermique \varepsilon_i. Le taux de désintégration volumique (activité volumique) étant -\frac{\mathrm{d}N_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\ln 2}{\tau_i} N_i(t), la puissance volumique dégagée par cet isotope à la date t est :

   p_{v,i}(t) = \left(-\frac{\mathrm{d}N_i}{\mathrm{d}t}\right) \varepsilon_i = \frac{\ln 2}{\tau_i} \varepsilon_i N_i(t)

   En injectant l'expression de N_i(t) obtenue à la question Q19, on obtient :

   \boxed{p_{v,i}(t) = \frac{\ln 2}{\tau_i} \frac{\mu N_A x_i \varepsilon_i}{M_i} \exp\left(-\frac{\ln 2}{\tau_i} t\right)}

   Par indépendance des désintégrations des différents radio-isotopes, la puissance calorifique volumique totale p_v(t) générée dans le manteau est la somme des contributions des trois éléments :

   p_v(t) = \sum_{i=1}^{3} p_{v,i}(t)

   soit :

   \boxed{p_v(t) = \mu N_A \ln 2 \sum_{i=1}^{3} \frac{x_i \varepsilon_i}{M_i \tau_i} \exp\left(-\frac{\ln 2}{\tau_i} t\right)}

   Résultat

   $$p_{v,i}(t)=\frac{\ln 2}{{\tau }_i}\frac{\mu N_A{x}_i{\epsilon }_i}{M_i}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right)$$

   $$p_v(t)=\mu N_A\ln 2\sum _{i=1}^3\frac{x_i{\epsilon }_i}{M_i{\tau }_i}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q21

   a) Signification physique de pvi0 (ligne 10)

   D'après le résultat de la question Q20, la puissance volumique initiale libérée par le radio-isotope X_i s'écrit :

   p_{v,i}(0) = \frac{\ln 2}{\tau_i}\,\frac{\mu\,N_A\,x_i\,\varepsilon_i}{M_i}

   En identifiant les termes du script (0{,}69 \approx \ln 2, mu =\mu, Na =N_A, ci =x_i, epsi =\varepsilon_i, Mi =M_i, taui =\tau_i), pvi0 représente le vecteur (tableau à trois éléments) des puissances calorifiques volumiques initiales (à t = 0), exprimées en \text{W}\cdot\text{m}^{-3}, dégagées respectivement par chacun des trois isotopes radioactifs : ^{238}\text{U}, ^{232}\text{Th} et ^{40}\text{K}.

   b) Signification de la grandeur Dp (ligne 15)

   L'expression np.abs(pv(t) - pv(0)/2) calcule l'écart absolu |p_v(t) - p_v(0)/2| pour chacune des 100 valeurs de la grille temporelle discrète contenue dans le tableau t. La méthode .min() extrait la valeur minimale de ce tableau.

   Ainsi, Dp représente l'écart absolu minimal entre les valeurs discrétisées de la puissance volumique totale p_v(t) et la moitié de sa valeur initiale p_v(0)/2 sur l'intervalle d'échantillonnage.

   c) Signification de n (ligne 17)

   La méthode .index(Dp) renvoie la position de la valeur Dp dans la liste des écarts. La variable n est donc l'indice du point de la grille temporelle t pour lequel la puissance volumique calculée p_v(t) est la plus proche de la valeur cible p_v(0)/2.

   d) Signification de pv(0) et t0 (ligne 19) et amélioration de la précision

   • pv(0) représente la puissance calorifique volumique totale initiale (à t=0) dégagée par l'ensemble des trois radio-éléments.
   • t0 = \texttt{t[n]} représente la date (en milliards d'années) à laquelle cette puissance est réduite de moitié, c'est-à-dire une estimation numérique du temps de demi-décroissance globale t_{1/2} de la puissance radiogénique.

   Pour améliorer la précision sur t0, on peut :

   1. Augmenter le nombre de points de discrétisation temporelle dans le tableau t (par exemple en posant t = np.linspace(0, 10, 10000) au lieu de 100 points) ;
   2. Ou bien employer un algorithme de résolution numérique d'équation non linéaire (méthode de dichotomie ou fonction scipy.optimize.root_scalar / brentq) pour résoudre directement p_v(t) - \frac{p_v(0)}{2} = 0.

   e) Complétion du script Python après la ligne 19

   Pour afficher la courbe p_v(t) sans quadrillage :

   plt.figure()
   plt.plot(t, pv(t))
   plt.xlabel("Temps t (milliards d'annees)")
   plt.ylabel("Puissance volumique (W/m^3)")
   plt.title("Evolution de la puissance volumique radioactive")
   plt.show()

   f) Tracé et détermination graphique de t_{1/2}

   Sur la figure 6, la valeur initiale de la puissance volumique à t = 0 vaut :

   p_v(0) \approx 12{,}55\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}

   La puissance est réduite de moitié lorsque :

   p_v(t_{1/2}) = \frac{p_v(0)}{2} \approx 6{,}28\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}

   En repérant l'ordonnée 6{,}28\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3} (à mi-chemin entre 6{,}15 et 6{,}35\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}) et en effectuant la projection sur l'axe des abscisses, on lit :

   \boxed{t_{1/2} \approx 4{,}8\text{ milliards d'années}}

   (un intervalle de lecture compris entre 4{,}6 et 5{,}0\text{ milliards d'années} est acceptable compte tenu de l'épaisseur du tracé).

   Résultat

   $$t_{1/2}\approx 4,8\text{ milliards d’anneˊes}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q25

   Le découpage d'une durée \Delta t en N sous-intervalles conduit à un pas d'intégration temporel constant :

   p = \frac{\Delta t}{N}

   Ce découpage comporte N+1 points discrétisés t_i = i \times p pour i \in \{0, \dots, N\}, avec t_0 = 0 et t_N = \Delta t.

   Le code Python demandé peut s'écrire indifféremment à l'aide de la bibliothèque numpy (tableau de type np.ndarray) :

   p = Dt / N
   L_t = np.linspace(0, Dt, N + 1)

   ou sous forme d'une liste Python standard (de type list) par compréhension :

   p = Dt / N
   L_t = [i * p for i in range(N + 1)]

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q26

   L'équation différentielle modélisant l'évolution de la concentration C(t) au cours du temps s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}(t) = -\alpha \cdot C(t) - \beta \cdot C^2(t) + \gamma

   Dans le cadre de la méthode d'Euler explicite, la dérivée temporelle de la concentration à la date t_i est approchée par le taux d'accroissement vers l'avant sur le pas de temps p = t_{i+1} - t_i :

   \left.\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\right|_{t_i} \approx \frac{C(t_{i+1}) - C(t_i)}{t_{i+1} - t_i} = \frac{C_{i+1} - C_i}{p}

   En injectant cette approximation dans l'équation différentielle évaluée à la date t_i, on obtient :

   \frac{C_{i+1} - C_i}{p} = -\alpha \cdot C_i - \beta \cdot C_i^2 + \gamma

   d'où l'expression récurrente de C_{i+1} :

   \boxed{C_{i+1} = C_i + p \left(-\alpha \cdot C_i - \beta \cdot C_i^2 + \gamma\right)}

   Résultat

   $$C_{i+1}=C_i+p\left(-\alpha \cdot C_i-\beta \cdot C_i^2+\gamma \right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q27

   D'après la question Q26, la formule de récurrence s'écrit :

   C_{i+1} = C_i + p \left( -\alpha\,C_i - \beta\,C_i^2 + \gamma \right)

   On implémente cette récurrence pour construire la liste L_C correspondant aux dates de la liste L_t :

   L_C = [C0]
   for i in range(len(L_t) - 1):
       C_actuel = L_C[i]
       C_suivant = C_actuel + p * (-alpha * C_actuel - beta * C_actuel**2 + gamma)
       L_C.append(C_suivant)

   Indice, stratégie et pièges de cette question