Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2020 (page 2/3 : Parties II et III)

L'action du champ électromagnétique (\vec{E}, \vec{B}) sur une particule ponctuelle de charge q, animée d'une vitesse \vec{v} dans le référentiel (\mathrm{R}), s'exerce par l'intermédiaire de la force de Lorentz :

Cette force se décompose en une composante électrique \vec{F}_e = q\vec{E}, indépendante de la vitesse de la particule, et une composante magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v} \wedge \vec{B}, orthogonale à la trajectoire de la particule et au champ magnétique.

Le référentiel (\mathrm{R}') étant en translation rectiligne et uniforme à la vitesse \vec{V}_e par rapport au référentiel (\mathrm{R}), la vitesse d'entraînement d'un point coïncidant lié à (\mathrm{R}') est constante et vaut \vec{v}_e = \vec{V}_e.

En cinématique classique galiléenne (temps absolu t' = t), la vitesse absolue \vec{v} de la particule dans (\mathrm{R}) est la somme de sa vitesse relative \vec{v}' dans (\mathrm{R}') et de la vitesse d'entraînement :

On en déduit l'expression de la vitesse relative \vec{v}' dans (\mathrm{R}') en fonction de \vec{v} et \vec{V}_e :

Dans le référentiel (\mathrm{R}'), la charge q est animée de la vitesse \vec{v}' et subit la force de Lorentz :

Dans le référentiel (\mathrm{R}), la force de Lorentz s'écrit d'après la question Q9 :

D'après la loi de composition galiléenne des vitesses (question Q10), on a :

En mécanique classique, la force agissant sur une particule est invariante par changement de référentiel galiléen (\vec{F} = \vec{F}'), et la charge électrique q est une grandeur invariante (q \neq 0). On en déduit :

Cette égalité devant être vérifiée quelle que soit la vitesse \vec{v}' de la particule test, il vient nécessairement :

puis :

La loi de composition galiléenne des vitesses est donc parfaitement compatible avec les transformations « classiques » :

Dans le référentiel (\mathrm{R}'), le fil chargé est immobile par définition de (\mathrm{R}') (référentiel propre du fil). Les charges étant stationnaires dans ce référentiel, la densité de courant électrique est identiquement nulle en tout point :

En l'absence de courants électriques et en régime stationnaire, la loi de Biot et Savart (ou les équations de Maxwell de la magnétostatique sans source de courant avec conditions aux limites nulles à l'infini) implique que le fil ne crée aucun champ magnétique dans (\mathrm{R}') :

D'après la loi de transformation classique du champ magnétique établie à la question Q11 :

On en déduit immédiatement :

Dans le référentiel (R'), le fil est immobile et porte une distribution de charge invariante par translation selon O'z' et par rotation autour de cet axe. Le champ électrostatique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

Tout plan contenant l'axe O'z' est un plan de symétrie de la distribution de charge, donc le champ \vec{E}'(M) appartient à chacun de ces plans. De plus, le plan orthogonal à O'z' passant par M est également un plan de symétrie, ce qui implique que la composante axiale est nulle. Le champ \vec{E}' est par conséquent purement radial :

Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé \mathcal{S} de rayon r > a, de hauteur h, d'axe O'z' :

• Le flux de \vec{E}' à travers les deux bases est nul car \vec{E}' \cdot \vec{e}_z = 0.

• Le flux à travers la surface latérale vaut :

  \Phi = E'(r) \times 2\pi r h.
• La charge intérieure au cylindre de Gauss est Q_{\text{int}} = \lambda_f h.

D'après le théorème de Gauss :

Le champ électrique dans (R') s'écrit donc :

D'après la loi de transformation « classique » des champs établie en Q11 :

Comme \vec{B}' = \vec{0} (question Q12), le terme d'entraînement magnétique est nul, et il vient directement :

1. Expression de l'intensité du courant dans (R)

Dans le référentiel (R), le fil chargé se déplace à la vitesse \vec{V}_e = V_e \vec{e}_z. La densité volumique de courant associée à ce mouvement d'ensemble des charges est :

L'intensité I traversant une section droite \mathcal{S} orientée selon \vec{e}_z s'obtient par intégration du flux de \vec{\jmath} :

2. Détermination de \vec{B} par le théorème d'Ampère

La distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe Oz et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

Tout plan contenant l'axe Oz est un plan de symétrie pour la distribution de courant \vec{\jmath}. En tout point M, le champ magnétique \vec{B}(M) est orthogonal à ce plan de symétrie, donc selon le vecteur orthoradial \vec{e}_\theta :

Choisissons comme contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle de rayon r > a, orthogonal à l'axe Oz, centré sur celui-ci et orienté selon \vec{e}_\theta.

• La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} vaut :

  \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} B_\theta(r) \, r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi r B_\theta(r)
• Le courant total enlacé par le contour \mathcal{C} est l'intensité totale du fil : I_{\text{enl}} = I = \lambda_f V_e.

D'après le théorème d'Ampère, 2\pi r B_\theta(r) = \mu_0 I_{\text{enl}} = \mu_0 \lambda_f V_e, d'où :

3. Commentaire par rapport à Q12

La loi de transformation classique (galiléenne) des champs utilisée à la question Q12 prévoyait \vec{B} = \vec{B}' = \vec{0}, car le fil est purement électrostatique dans son référentiel propre (R').

Or, l'application directe des lois fondamentales de l'électromagnétisme (théorème d'Ampère, issu de l'équation de Maxwell-Ampère en régime stationnaire) montre que le déplacement du fil dans (R) crée un courant réel I = \lambda_f V_e et induit donc un champ magnétique non nul.

La transformation galiléenne des champs est donc incompatible avec les équations de Maxwell : l'électromagnétisme classique n'est pas invariant par transformation de Galilée, ce qui impose d'abandonner celle-ci au profit des transformations de Lorentz et de la relativité restreinte.

Dans le référentiel (R'), d'après les questions Q12 et Q13 :

La vitesse de translation étant portée par l'axe Oz, \vec{V}_e = V_e \vec{e}_z, et le vecteur unitaire \vec{e}_r étant orthogonal à \vec{e}_z, on décompose les champs en composantes parallèle (//) et perpendiculaire (\perp) à \vec{V}_e :

D'après les lois de transformation relativistes :

• Pour le champ électrique :

  \begin{aligned} \vec{E}_{//} &= \vec{E}'_{//} = \vec{0} \\ \vec{E}_\perp &= \gamma\left(\vec{E}'_\perp - \vec{V}_e \wedge \vec{B}'_\perp\right) = \gamma \vec{E}'_\perp = \gamma \frac{\lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r \end{aligned}

  D'où le champ électrique dans le référentiel (R) :

  \boxed{\vec{E} = \frac{\gamma \lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r}

• Pour le champ magnétique :

  \begin{aligned} \vec{B}_{//} &= \vec{B}'_{//} = \vec{0} \\ \vec{B}_\perp &= \gamma\left(\vec{B}'_\perp + \frac{\vec{V}_e}{c^2} \wedge \vec{E}'_\perp\right) = \frac{\gamma}{c^2} \vec{V}_e \wedge \vec{E}' \end{aligned}

  Or \vec{e}_z \wedge \vec{e}_r = \vec{e}_\theta dans la base cylindro-polaire directe (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z), et la vitesse de la lumière vérifie c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}, soit \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} = \mu_0. On en déduit :

  \vec{B}_\perp = \frac{\gamma}{c^2} \left(V_e \vec{e}_z\right) \wedge \left(\frac{\lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r\right) = \frac{\gamma V_e \lambda_f}{2\pi \varepsilon_0 c^2 r}\,\vec{e}_\theta = \frac{\mu_0 \gamma \lambda_f V_e}{2\pi r}\,\vec{e}_\theta

  D'où le champ magnétique dans le référentiel (R) :

  \boxed{\vec{B} = \frac{\mu_0 \gamma \lambda_f V_e}{2\pi r}\,\vec{e}_\theta}

Dans le référentiel (R), le fil rectiligne infini présente une symétrie cylindrique. Par application du théorème de Gauss à un cylindre de rayon r > a et de hauteur h coaxial au fil portant une densité linéique \lambda, le champ électrique s'écrit :

Par identification avec l'expression relativiste obtenue à la question Q15, \vec{E} = \dfrac{\gamma \lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r, on en déduit immédiatement :

Considérons un tronçon de fil portant une charge élémentaire \mathrm{d}q. L'invariance relativiste de la charge électrique impose que cette charge ait la même valeur dans les deux référentiels :

où \mathrm{d}\ell' est la longueur propre du tronçon (mesurée dans le référentiel propre (R')) et \mathrm{d}\ell sa longueur mesurée dans le référentiel du laboratoire (R).

On a donc :

Comme V_e > 0, le facteur de Lorentz vérifie \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - V_e^2/c^2}} > 1, d'où :

La longueur d'un élément de fil mesurée dans le référentiel où il est en mouvement est plus courte que sa longueur propre : ce résultat correspond bien au phénomène de contraction des longueurs (contraction de Lorentz).

• Définition du référentiel géocentrique (\mathrm{R}_g) : Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de masse (centre d'inertie) de la Terre, et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est en translation par rapport au référentiel de Copernic (ou héliocentrique).
• Mouvement de la Terre dans (\mathrm{R}_g) : Dans (\mathrm{R}_g), le centre de la Terre est fixe : la Terre est donc animée d'un mouvement de rotation propre uniforme autour de l'axe Sud-Nord reliant ses pôles géographiques, orienté d'Ouest en Est, à la vitesse angulaire \vec{\Omega}_T = \Omega_T \vec{e}_z.

• Lien entre \Omega_T et la durée T_j du jour terrestre : La Terre effectuant un tour complet (2\pi\text{ rad}) sur elle-même dans (\mathrm{R}_g) en une durée T_j (jour sidéral), la vitesse angulaire de rotation s'écrit :

  \boxed{\Omega_T = \frac{2\pi}{T_j}}

L'éther étant supposé immobile dans le référentiel géocentrique (R_g), sa vitesse dans ce référentiel est nulle :

Un observateur terrestre situé à la latitude \varphi se trouve à une distance d(\varphi) = R_T \cos\varphi de l'axe de rotation de la Terre (axe des pôles). La Terre tournant d'Ouest en Est à la vitesse angulaire \vec{\Omega}_T, la vitesse de l'observateur dans (R_g) est :

où \vec{u}_{\text{Est}} est le vecteur unitaire tangent au parallèle local, orienté vers l'Est.

D'après la loi classique d'addition des vitesses (transformation galiléenne) :

Le vent d'éther souffle donc selon la direction Est-Ouest (tangente au parallèle local), dans le sens d'Est en Ouest.

En choisissant pour \vec{e} le vecteur unitaire orienté vers l'Ouest (\vec{e} = -\vec{u}_{\text{Est}}), on obtient \vec{w}(\varphi) = w(\varphi)\vec{e} avec :

a) D'après la question Q18, le vent d'éther souffle d'Est en Ouest à la vitesse w(\varphi) à la latitude \varphi et w(\varphi + \Delta\varphi) à la latitude \varphi + \Delta\varphi. Décomposons le trajet \mathrm{ABCDA} :

• Sur le tronçon \mathrm{AB} (latitude \varphi), la lumière se propage d'Ouest en Est, c'est-à-dire en sens opposé au vent d'éther. Par composition galiléenne des vitesses, sa vitesse dans (\mathrm{R}_{\mathrm{obs}}) est v_{\mathrm{AB}} = c - w(\varphi), d'où une durée t_{\mathrm{AB}} = \frac{X}{c - w(\varphi)}.
• Sur les côtés \mathrm{BC} et \mathrm{DA}, la lumière se déplace dans la direction Sud-Nord ; la durée cumulée est notée \tau_0.
• Sur le tronçon \mathrm{CD} (latitude \varphi + \Delta\varphi), la lumière se propage d'Est en Ouest, dans le même sens que le vent d'éther. Sa vitesse dans (\mathrm{R}_{\mathrm{obs}}) est donc v_{\mathrm{CD}} = c + w(\varphi + \Delta\varphi), d'où une durée t_{\mathrm{CD}} = \frac{X}{c + w(\varphi + \Delta\varphi)}.

La durée totale de parcours \tau_1 s'écrit donc :

b) Effectuons le développement limité à l'ordre 1 au voisinage de zéro :

En sommant ces deux contributions :

Au premier ordre en \Delta\varphi, w(\varphi + \Delta\varphi) \approx w(\varphi) + w'(\varphi)\Delta\varphi, ce qui donne :

D'après la question Q18, w(\varphi) = R_T \Omega_T \cos\varphi, donc :

La distance séparant les deux parallèles le long d'un méridien terrestre est un arc de cercle de rayon R_T, soit Y = R_T \Delta\varphi. On en déduit :

En injectant ce résultat dans l'expression de \tau_1 :

On identifie ainsi par comparaison avec la formule fournie :

c) Pour le trajet inverse \mathrm{ADCBA} :

• La durée cumulée le long des méridiens \mathrm{AD} et \mathrm{CB} reste égale à \tau_0.
• Sur le tronçon \mathrm{DC} (latitude \varphi + \Delta\varphi), la lumière se propage d'Ouest en Est (à contre-courant du vent d'éther) : v_{\mathrm{DC}} = c - w(\varphi + \Delta\varphi).
• Sur le tronçon \mathrm{BA} (latitude \varphi), la lumière se propage d'Est en Ouest (dans le sens du vent d'éther) : v_{\mathrm{BA}} = c + w(\varphi).

La durée totale de parcours \tau_2 s'exprime donc par :

D'après les résultats de la question Q19, avec f(Y,\varphi) = Y\sin\varphi, les durées de parcours des deux ondes contra-propagatives s'écrivent :

Le retard temporel accumulé entre le rayon 1 (trajet horaire \mathrm{ABCDA}) et le rayon 2 (trajet anti-horaire \mathrm{ADCBA}) vaut ainsi :

En introduisant l'aire du rectangle S = XY et la composante normale de la vitesse de rotation \Omega_n = \Omega_T \sin\varphi, on obtient :

Pour une onde monochromatique de longueur d'onde dans le vide \lambda_0, la pulsation est donnée par \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi c}{\lambda_0}. Le déphasage correspondant entre les deux ondes à leur recombinaison en A est donc :

On en déduit l'expression demandée :

Par définition, l'ordre d'interférence p associé à un déphasage \Delta\Phi entre deux ondes cohérentes interférant en un point est donné par :

En utilisant l'expression du déphasage \Delta\Phi établie à la question précédente Q20, il vient :

soit :

1. Difficulté de la mesure dans le cas de la Terre

Dans l'expérience initiale de Sagnac (1913), le plateau tournant peut être arrêté (\Omega = 0) ou mis en rotation dans l'autre sens (-\Omega), ce qui permet de comparer la position des franges en rotation à une référence connue.

Dans le cas de la Terre :

• la rotation terrestre ne peut évidemment pas être arrêtée (\Omega_T = 0 est inaccessible) ;
• au vu des dimensions gigantesques de l'installation (612\text{ m} \times 339\text{ m} de tubes en fonte sous vide), il est impossible d'inverser l'orientation du circuit pour changer le signe de \Omega_n.

On ne dispose donc pas directement d'une référence expérimentale de franges sans rotation.

2. Rôle du rectangle secondaire AEFD

D'après le résultat de la question Q21, l'ordre d'interférence dû à l'effet Sagnac est proportionnel à l'aire de la boucle optique :

Le rectangle secondaire AEFD présente une aire S_{\mathrm{AEFD}} = \mathrm{AE} \times Y très petite devant celle du grand rectangle S = \mathrm{AB} \times Y (S_{\mathrm{AEFD}} \ll S).

Par conséquent, l'effet Sagnac dans la petite boucle est négligeable (p_{\mathrm{AEFD}} \approx 0) : elle fournit un système de franges de référence (quasiment équivalent à un dispositif immobile). La mesure du décalage relatif entre les franges issues de la grande boucle et celles issues de la petite boucle donne accès à \Delta p.

D'après la question Q22, la variation de l'ordre d'interférence \Delta p mesurée par rapport à la boucle de référence de surface négligeable correspond à l'ordre d'interférence p de la grande boucle ABCD établi à la question Q21 :

Convertissons la latitude en degrés décimaux :

d'où \sin\varphi = \sin(41,8^\circ) \approx 0,6665.

L'aire de la boucle vaut :

Avec les données numériques :

• \Omega_T = 7,29\cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
• \lambda_0 = 0,500\ \mu\text{m} = 5,00\cdot 10^{-7}\text{ m}
• c = 3,0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

On obtient :