Feuille d'entraînement : Signaux et propagation

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q47

   Le champ électrique de l'onde incidente émise par le flotteur s'écrit en tout point x et à tout instant t :

   \vec{E}_i(x, t) = E_0 \cos\left( \omega_c \left( t - \frac{x}{c} \right) + \varphi \right) \vec{u}.

   L'antenne du satellite récepteur se déplace selon la loi horaire x(t) = d_0 + v_k t. Le champ électrique capté par le récepteur au cours du temps s'obtient en évaluant l'onde incidente en sa position instantanée :

   \vec{E}_r(t) = \vec{E}_i(x(t), t) = E_0 \cos\left( \omega_c \left( t - \frac{d_0 + v_k t}{c} \right) + \varphi \right) \vec{u}.

   En regroupant les termes dépendant du temps dans l'argument du cosinus, on a :

   \begin{aligned} \vec{E}_r(t) &= E_0 \cos\left( \omega_c \left( 1 - \frac{v_k}{c} \right) t - \frac{\omega_c d_0}{c} + \varphi \right) \vec{u} \\ &= E_0 \cos\left( \omega'_c t + \varphi' \right) \vec{u}, \end{aligned}

   où la phase à l'origine vaut \varphi' = \varphi - \dfrac{\omega_c d_0}{c}.

   La pulsation de l'onde reçue par le satellite est la dérivée temporelle de la phase instantanée :

   \boxed{\omega'_c = \omega_c \left( 1 - \frac{v_k}{c} \right)}

   Puisque le satellite s'éloigne du flotteur (v_k > 0), on a \omega'_c \neq \omega_c (en l'occurrence \omega'_c < \omega_c).

   Cette modification de la fréquence (ou de la pulsation) d'une onde perçue par un observateur en mouvement relatif par rapport à la source est appelée l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes électromagnétiques).

   Résultat

   $${\omega }_c^{\prime }={\omega }_c\left(1-\frac{v_k}{c}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q13

   La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 d'une onde électromagnétique est reliée à sa fréquence f et à la célérité de la lumière dans le vide c par la relation :

   \lambda_0 = \frac{c}{f}

   Avec c = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 30\text{ GHz} = 3,0 \cdot 10^{10}\text{ Hz}, on obtient :

   \begin{aligned} \lambda_0 &= \frac{3,00 \cdot 10^8}{3,0 \cdot 10^{10}} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} = 1,0\text{ cm} \end{aligned}

   \boxed{\lambda_0 = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} = 1,0\text{ cm}}

   Résultat

   $${\lambda }_0=1,0\cdot 10^{-2}\text{ m}=1,0\text{ cm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q14

   L'onde électromagnétique émise par le radar se propage à la célérité c de la lumière (l'atmosphère martienne, très ténue, est assimilée au vide du point de vue de la propagation).

   Pour effectuer l'aller-retour entre la sonde située à l'altitude H et le sol martien, l'onde parcourt une distance totale :

   d = 2H

   En notant \Delta t la durée nécessaire à cet aller-retour, la distance parcourue s'écrit également :

   d = c\,\Delta t

   On en déduit l'expression de l'altitude H :

   \boxed{H = \frac{c\,\Delta t}{2}}

   Résultat

   $$H=\frac{c\Delta t}{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q15

   D'après l'infographie du document 1, au moment de la « séparation du bouclier thermique », l'altitude de la sonde est indiquée dans la fourchette :

   H \in [7\text{ km} \,,\, 11\text{ km}]

   (le texte introductif de la partie I.1 précise une valeur de H \approx 7{,}5\text{ km}).

   D'après la relation établie à la question Q14 :

   \Delta t = \frac{2H}{c}

   Application numérique :

   • Pour la valeur H = 7{,}5\text{ km} = 7{,}5 \cdot 10^3\text{ m} :

     \Delta t = \frac{2 \times 7{,}5 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} = 5{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ s} = 50\text{ }\mu\text{s}

   • Pour l'intervalle de l'infographie [7\text{ km} \,,\, 11\text{ km}] :

     \begin{aligned} \Delta t_{\min} &= \frac{2 \times 7 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} \approx 4{,}7 \cdot 10^{-5}\text{ s} \approx 47\text{ }\mu\text{s} \\ \Delta t_{\max} &= \frac{2 \times 11 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} \approx 7{,}3 \cdot 10^{-5}\text{ s} \approx 73\text{ }\mu\text{s} \end{aligned}

   Ainsi, le temps écoulé est de l'ordre de grandeur d'une cinquantaine de microsecondes :

   \boxed{\Delta t \approx 50\text{ }\mu\text{s}}

   Résultat

   $$\Delta t\approx 50\mu \text{s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q25

   Dans l'expression du déplacement du tronçon numéro n,

   x_n(t) = X_0 \cos(\omega t - k n a),

   la position d'équilibre du tronçon est z_n = n a. Cette onde se propage le long de la chaîne dans le sens des z croissants. Les trois constantes positives représentent :

   • X_0 est l'amplitude de l'onde (ou déplacement maximal d'un tronçon par rapport à sa position d'équilibre), exprimée en mètres (\text{m}).

   • \omega est la pulsation temporelle (ou pulsation angulaire de l'onde), exprimée en \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}. Elle caractérise la périodicité temporelle du mouvement et est reliée à la période temporelle T et à la fréquence f par :

     T = \frac{2\pi}{\omega} \quad \text{et} \quad f = \frac{\omega}{2\pi}.

   • k est le nombre d'onde (ou pulsation spatiale), exprimé en \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}. Il caractérise la périodicité spatiale de l'onde continue sous-jacente et est relié à la longueur d'onde \lambda par :

     \lambda = \frac{2\pi}{k}.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q30

   1. Détermination de la célérité c de l'onde

   Sur la figure 8, on peut repérer l'avancée du front d'onde (tronçon le plus avancé commençant à bouger) aux trois dates données :

   • à t_1 = 40\text{ ms}, le front atteint le tronçon n_1 \approx 17 ;
   • à t_2 = 80\text{ ms}, le front atteint le tronçon n_2 \approx 34 ;
   • à t_3 = 120\text{ ms}, le front atteint le tronçon n_3 \approx 51.

   En un intervalle \Delta t = 40\text{ ms}, le front progresse de \Delta n \approx 17 tronçons, soit une distance parcourue :

   \Delta x = \Delta n \cdot a \approx 17 \times 12\text{ m} = 204\text{ m}

   On en déduit la vitesse de propagation de l'onde :

   c = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{204}{40 \times 10^{-3}} \approx 5{,}1 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   On vérifie sur la figure 9 que le tronçon n°20 (situé à x = 20 a = 240\text{ m}) commence à bouger à t \approx 48\text{ ms}, ce qui conduit à c \approx \frac{240}{48 \times 10^{-3}} = 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   \boxed{c \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 5{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

   2. Détermination de la longueur d'onde \lambda

   Sur le profil spatial à t = 120\text{ ms} (figure 8), les oscillations en arrière du front d'onde présentent des crêtes bien définies. En repérant les pics :

   • le premier pic est situé à n \approx 47 ;
   • le cinquième pic est situé à n \approx 23.

   Sur 4 pseudo-périodes spatiales, l'écart est de \Delta n_{\text{tot}} \approx 47 - 23 = 24 tronçons, soit en moyenne \Delta n \approx 6 tronçons par période spatiale. Avec a = 12\text{ m} :

   \lambda = \Delta n \cdot a \approx 6 \times 12\text{ m} \approx 72\text{ m}

   \boxed{\lambda \approx 72\text{ m} \quad (\text{soit entre } 60\text{ m et } 80\text{ m})}

   3. Détermination de la période T

   Sur la figure 9 représentant le déplacement du tronçon n°20 en fonction du temps, on observe des oscillations dont les crêtes successives sont situées à :

   t \approx 56\text{ ms}, \quad 70\text{ ms}, \quad 84\text{ ms}, \quad 98\text{ ms}, \quad 112\text{ ms}

   Sur 4 périodes complètes, la durée écoulée est \Delta t = 112 - 56 = 56\text{ ms}, d'où :

   T = \frac{56\text{ ms}}{4} \approx 14\text{ ms}

   \boxed{T \approx 14\text{ ms}}

   Résultat

   $$c\approx 5,0\times 10^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}=5,0\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   $$\lambda \approx 72\text{ m}(\text{soit entre }60\text{ m et }80\text{ m})$$

   $$T\approx 14\text{ ms}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q31

   L'analyse des résultats obtenus à la question précédente appelle trois commentaires principaux :

   1. Accord entre théorie et simulation sur la célérité : La célérité déduite du déplacement du front de l'onde (c \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) est en parfait accord avec la valeur théorique calculée à la question Q29 (c = \sqrt{\Gamma}a \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). On retrouve par ailleurs la vitesse de propagation des ondes acoustiques longitudinales dans une barre d'acier :

      c_{\text{acier}} = \sqrt{\frac{E}{\rho_a}} = \sqrt{\frac{200 \times 10^9}{8000}} = 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   2. Cohérence de la relation fondamentale de propagation : Le rapport de la longueur d'onde mesurée sur la période mesurée donne :

      \frac{\lambda}{T} \approx \frac{72}{14 \times 10^{-3}} \approx 5{,}1 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx c.

      Les mesures spatiales et temporelles effectuées sur les graphiques sont donc mutuellement très cohérentes.

   3. Manifestation de la dispersion du réseau : La longueur d'onde mesurée vaut \lambda \approx 6\,a, ce qui conduit à :

      ka = \frac{2\pi a}{\lambda} \approx \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05.

      L'approximation des grandes longueurs d'onde (ka \ll 1) n'est donc pas vérifiée pour ces composantes oscillatoires. La chaîne discrète est alors dispersive : la vitesse de groupe s'écrit

      v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \sqrt{\Gamma}a\cos\left(\frac{ka}{2}\right) = c\cos\left(\frac{ka}{2}\right) < c.

      Les composantes spectrales de plus haute fréquence se propagent ainsi plus lentement que le front raide (qui avance à la célérité maximale c), ce qui explique l'apparition et l'étalement du train d'oscillations en arrière du front sur la figure 8.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q25

   Les ondes radio sont des ondes électromagnétiques qui se propagent dans le vide à la célérité c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   La durée \tau mise par le signal pour parcourir la distance D s'écrit :

   \tau = \frac{D}{c}

   Avec D = 300\text{ millions de km} = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ km} = 3{,}0 \cdot 10^{11}\text{ m} :

   \begin{aligned} \tau &= \frac{3{,}0 \cdot 10^{11}}{3{,}00 \cdot 10^8} = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ s} \end{aligned}

   En convertissant en minutes :

   \tau = \frac{1\,000}{60}\text{ min} \approx 16{,}7\text{ min} \approx 16\text{ min } 40\text{ s}

   \boxed{\tau \approx 1\,000\text{ s} \approx 17\text{ min}}

   Conclusion : La durée de transmission aller-simple étant d'environ 17 minutes (et plus de 33 minutes pour un aller-retour), aucun téléguidage en temps réel du rover depuis la Terre n'est envisageable. Le rover doit impérativement être autonome dans ses prises de décision, notamment pour la navigation, la détection d'obstacles et les phases critiques telles que l'atterrissage (les fameuses « sept minutes de terreur »).

   Résultat

   $$\tau \approx 1000\text{ s}\approx 17\text{ min}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question