Feuille d'entraînement : Signaux et propagation

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q3

   La période temporelle T_{\text{mes}} de l'onde mesurée par l'observateur correspond à la durée séparant la réception de deux pics successifs émis à un intervalle T_0 d'intervalle :

   T_{\text{mes}} = t_2 - t_1

   D'après les résultats des questions Q1 et Q2 :

   t_2 - t_1 = T_0 + \frac{d + vT_0}{c} - \frac{d}{c} = T_0 \left(1 + \frac{v}{c}\right)

   Ainsi, la période apparente reçue s'écrit :

   T_{\text{mes}} = T_0 \left(1 + \frac{v}{c}\right)

   Les fréquences émise f_0 et mesurée f_{\text{mes}} étant les inverses des périodes correspondantes (f_0 = 1/T_0 et f_{\text{mes}} = 1/T_{\text{mes}}), on obtient directement :

   \frac{1}{f_{\text{mes}}} = \frac{1}{f_0}\left(1 + \frac{v}{c}\right)

   ce qui conduit bien à :

   \boxed{f_{\text{mes}} = \frac{f_0}{1 + v/c}}

   Résultat

   $$f_{\text{mes}}=\frac{f_0}{1+v/c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q21

   Le raisonnement précédent repose sur la loi de composition galiléenne des vitesses, qui n'est pas applicable aux photons pour deux raisons fondamentales :

   1. Invariance de la vitesse de la lumière : Pour des photons, la norme de la vitesse d'émission dans le référentiel \mathcal{R} de l'électron vaut v_p = c. La règle galiléenne conduit dans le référentiel \mathcal{R}' du laboratoire à une vitesse :

      \|\vec{v}_p'\| = \sqrt{v^2 + v_p^2} = \sqrt{v^2 + c^2} > c

      ce qui contredit le postulat d'Einstein stipulant que la vitesse de la lumière dans le vide est invariante par changement de référentiel galiléen et vaut strictement c.

   2. Domaine ultrarelativiste de l'électron : L'électron dans l'anneau de stockage se déplace à une vitesse v extrêmement proche de c (avec \gamma \approx 5\cdot 10^4). La cinématique newtonienne est totalement invalide et il est indispensable d'utiliser les formules de transformation relativiste des vitesses de Lorentz-Einstein.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q5

   Soit O_1 le premier orifice situé à la distance x_1 de la membrane \mathrm{M}, et O_2 le second orifice situé en x_2 = x_1 + d. L'onde incidente, supposée plane à grande distance, se propage à la célérité c_a dans une direction faisant un angle \theta avec l'axe (Ox) du tube.

   Différence de marche entre les deux trajets : Considérons une surface d'onde incidente plane \Sigma. D'après le théorème de Malus, tous les points de cette surface d'onde sont en phase.

   • À l'extérieur du tube : le front d'onde atteint l'orifice O_2 avant O_1. La distance supplémentaire que l'onde doit parcourir dans l'air extérieur pour atteindre O_1 vaut :

     \Delta L_{\text{ext}} = d \cos\theta

   • À l'intérieur du tube : après diffraction au niveau de chaque orifice, les ondes se propagent le long de l'axe (Ox) vers la membrane \mathrm{M} (située en amont, du côté des x décroissants). L'onde entrée en O_2 doit donc parcourir la distance d = O_1 O_2 supplémentaire dans le tube pour atteindre O_1 puis \mathrm{M} :

     \Delta L_{\text{int}} = d

   Le chemin acoustique total parcouru par l'onde passant par O_2 dépasse donc celui de l'onde passant par O_1 de la différence de marche :

   \delta = L_2 - L_1 = \Delta L_{\text{int}} - \Delta L_{\text{ext}} = d(1 - \cos\theta)

   Expression des amplitudes complexes : Avec la convention temporelle en \mathrm{e}^{j\omega t}, la propagation d'une onde sur une distance L s'accompagne d'un terme de phase \mathrm{e}^{-j k L} avec le nombre d'onde k = \frac{\omega}{c_a} = \frac{2\pi f}{c_a}.

   L'onde parvenant en \mathrm{M} par l'orifice O_2 présente donc par rapport à celle passant par O_1 un retard de phase :

   \varphi = k\,\delta = \frac{2\pi f}{c_a} d(1 - \cos\theta)

   On en déduit immédiatement la relation liant les amplitudes complexes en \mathrm{M} :

   \underline{p}_{2} = \underline{p}_{1}\,\mathrm{e}^{-j\varphi}

   avec :

   \boxed{\varphi = \frac{2\pi f d}{c_a}(1 - \cos\theta)}

   Résultat

   $$\phi =\frac{2\pi fd}{c_a}(1-\cos \theta )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q6

   Pour N = 2, le signal acoustique reçu en \mathrm{M} est la superposition des ondes issues des deux orifices :

   \underline{p}_{\text{tot}} = \underline{p}_1 + \underline{p}_2 = \underline{p}_1 \left(1 + \mathrm{e}^{-j\varphi}\right)

   En factorisant par l'exponentielle de l'arc moitié :

   \underline{p}_{\text{tot}} = \underline{p}_1 \, \mathrm{e}^{-j\frac{\varphi}{2}} \left(\mathrm{e}^{j\frac{\varphi}{2}} + \mathrm{e}^{-j\frac{\varphi}{2}}\right) = 2\,\underline{p}_1 \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \mathrm{e}^{-j\frac{\varphi}{2}}

   L'intensité acoustique reçue en \mathrm{M} est donnée par la moyenne temporelle I_{\text{tot}} = |\underline{p}_{\text{tot}}|^2. Comme |\underline{p}_1|^2 = p_0^2 = I_0, on obtient :

   I_{\text{tot}} = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)

   On identifie ainsi l'intensité sous la forme demandée I_{\text{tot}} = I_0 f_2(\varphi) avec :

   \boxed{f_2(\varphi) = 4 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 2\left(1 + \cos\varphi\right)}

   Commentaires sur la fonction f_2 :

   • Formule d'interférences à deux ondes : On retrouve la formule classique d'interférences à deux ondes cohérentes de même amplitude (formule de Fresnel).
   • Périodicité : La fonction f_2 est paire et 2\pi-périodique en \varphi.
   • Interférences constructives : Lorsque \varphi \equiv 0 \pmod{2\pi}, f_2(\varphi) = 4, soit I_{\text{tot}} = 4I_0. En particulier, pour une onde arrivant dans l'axe du tube (\theta = 0), on a \varphi = 0 : les deux ondes arrivent en phase en \mathrm{M}, leurs amplitudes de pression s'ajoutent constructivement, conférant un gain d'un facteur 4 en intensité.
   • Interférences destructives : Lorsque \varphi \equiv \pi \pmod{2\pi}, f_2(\varphi) = 0, d'où I_{\text{tot}} = 0. Il y a extinction complète du signal sonore pour les directions d'incidence correspondantes.

   Résultat

   $$f_2(\phi )=4{\cos }^2\left(\frac{\phi }{2}\right)=2\left(1+\cos \phi \right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q7

   D'après la question Q5, les ondes issues des N=4 orifices parviennent en \mathrm{M} avec des déphasages successifs réguliers de \varphi :

   \underline{p}_k = \underline{p}_1 \mathrm{e}^{-j(k-1)\varphi} \quad \text{pour } k \in \{1, 2, 3, 4\}

   L'amplitude complexe totale s'écrit donc :

   \begin{aligned} \underline{p}_{\text{tot}} &= \sum_{k=1}^{4} \underline{p}_k = \underline{p}_1 \left(1 + \mathrm{e}^{-j\varphi} + \mathrm{e}^{-2j\varphi} + \mathrm{e}^{-3j\varphi}\right) \\ &= \underline{p}_1 \left(1 + \mathrm{e}^{-j\varphi}\right) \left(1 + \mathrm{e}^{-2j\varphi}\right) \end{aligned}

   En utilisant la formule d'Euler ou la factorisation par l'arc moitié :

   \left|1 + \mathrm{e}^{-j u}\right|^2 = \left|2\cos\left(\frac{u}{2}\right)\mathrm{e}^{-j u/2}\right|^2 = 4\cos^2\left(\frac{u}{2}\right) = f_2(u)

   On en déduit immédiatement pour u = \varphi et u = 2\varphi :

   I_{\text{tot}} = \left|\underline{p}_{\text{tot}}\right|^2 = |\underline{p}_1|^2 \left|1 + \mathrm{e}^{-j\varphi}\right|^2 \left|1 + \mathrm{e}^{-2j\varphi}\right|^2

   Puisque I_0 = |\underline{p}_1|^2 = p_0^2, on obtient bien :

   \boxed{I_{\text{tot}} = I_0 f_2(\varphi) f_2(2\varphi)}

   En explicitant avec les cosinus :

   I_{\text{tot}}(\varphi) = 16 I_0 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) \cos^2(\varphi) = I_0 \frac{\sin^2(2\varphi)}{\sin^2(\varphi/2)}

   • Période \psi : La fonction \varphi \mapsto \cos^2(\varphi/2) est de période 2\pi, tandis que \varphi \mapsto \cos^2(\varphi) est de période \pi. Le produit est donc périodique de période \psi = 2\pi. En effet, pour \varphi = 0, I_{\text{tot}} = 16 I_0, alors que pour \varphi = \pi, I_{\text{tot}} = 0, ce qui confirme que la plus petite période non nulle est :

     \boxed{\psi = 2\pi}

   • Valeur maximale I_{\text{max}} : Les fonctions cosinus étant bornées par 1, le maximum est atteint lorsque \cos^2(\varphi/2) = 1 et \cos^2(\varphi) = 1, c'est-à-dire pour \varphi \equiv 0 \pmod{2\pi} :

     \boxed{I_{\text{max}} = 16 I_0}

   Commentaires physiques :

   • Période \psi = 2\pi : Un déphasage \Delta\varphi = 2\pi correspond à une variation de différence de marche entre orifices consécutifs égale à une longueur d'onde acoustique (\Delta\delta = \lambda = c_a/f). L'état vibratoire relatif des ondes est alors strictement invariant par translation spatiale d'une longueur d'onde.
   • Intensité maximale I_{\text{max}} = 16 I_0 = N^2 I_0 : Pour \varphi = 0, les N=4 ondes acoustiques interfèrent de manière totalement constructive. Les amplitudes de pression s'additionnent en phase (p_{\text{tot}} = 4 p_0). L'intensité étant quadratique en amplitude, elle vaut p_{\text{tot}}^2 = (4 p_0)^2 = 16 I_0.

   Résultat

   $$I_{\text{tot}}=I_0{f}_2(\phi )f_2(2\phi )$$

   $$\psi =2\pi$$

   $$I_{\text{max}}=16I_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q1

   On se place dans le référentiel d'étude lié à l'observateur (récepteur).

   À l'instant d'émission t = 0, la source se trouve à la distance d de l'observateur. L'onde électromagnétique se propageant dans le vide en ligne droite vers l'observateur à la célérité c, la durée de propagation du premier pic est :

   \Delta t_1 = \frac{d}{c}

   Le pic ayant été émis à l'instant initial t=0, l'observateur le reçoit à l'instant :

   \boxed{t_1 = \frac{d}{c}}

   Résultat

   $$t_1=\frac{d}{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q2

   Le second pic est émis à l'instant t_{\text{ém}} = T_0.

   L'émetteur s'éloignant en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v depuis sa position initiale située à la distance d, la distance séparant l'émetteur de l'observateur à l'instant t = T_0 vaut :

   d(T_0) = d + v T_0

   L'onde électromagnétique se propageant à la célérité c dans le vide vers l'observateur, la durée de parcours de ce second pic est :

   \Delta t_2 = \frac{d(T_0)}{c} = \frac{d + v T_0}{c}

   L'instant de réception t_2 par l'observateur s'écrit donc :

   \begin{aligned} t_2 &= t_{\text{ém}} + \Delta t_2 \\ &= T_0 + \frac{d + v T_0}{c} \end{aligned}

   En faisant apparaître t_1 = \frac{d}{c} établi à la question Q1, on peut également l'écrire sous la forme :

   \boxed{t_2 = \frac{d}{c} + T_0 \left(1 + \frac{v}{c}\right) = t_1 + T_0 \left(1 + \frac{v}{c}\right)}

   Résultat

   $$t_2=\frac{d}{c}+T_0\left(1+\frac{v}{c}\right)=t_1+T_0\left(1+\frac{v}{c}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q53

   L'onde directe atteint le mobile situé en z après s'être propagée sur la distance z.

   L'onde réfléchie parcourt la distance de l'émetteur jusqu'à l'obstacle situé en z = L, puis revient de l'obstacle vers le récepteur en z, soit une distance totale de parcours :

   d_r = L + (L - z) = 2L - z

   La différence de marche entre l'onde réfléchie et l'onde directe au niveau du récepteur s'écrit donc :

   \delta = d_r - z = 2(L - z)

   Dans le vide (ou dans l'air), la vitesse de propagation de l'onde est c. Le retard \Delta t de l'onde réfléchie par rapport à l'onde directe vérifie :

   \Delta t = \frac{\delta}{c} = \frac{2(L - z)}{c}

   On en déduit l'expression de la distance typique L - z séparant le mobile de l'obstacle :

   L - z = \frac{c \Delta t}{2}

   Application numérique : Avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t = 0{,}5\ \mu\text{s} = 0{,}5 \times 10^{-6}\text{ s} :

   L - z = \frac{3{,}00 \times 10^8 \times 0{,}5 \times 10^{-6}}{2} = 75\text{ m}

   \boxed{L - z = 75\text{ m}}

   Résultat

   $$L-z=75\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MPI 2023, Q14

   L'impulsion laser se propage dans le vide à la célérité c = \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Le signal effectuant un trajet aller-retour sur la distance Terre-Lune d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}, la durée de propagation vérifie :

   \Delta t = \frac{2 d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}}{c}

   On en déduit l'expression de la distance Terre-Lune :

   \boxed{d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}} = \frac{c\,\Delta t}{2}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}} &= \frac{3{,}0 \cdot 10^8 \times 2{,}56}{2} = 3{,}84 \cdot 10^8\text{ m} \end{aligned}

   Avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}} \approx 3{,}8 \cdot 10^5\text{ km} \quad (3{,}8 \cdot 10^8\text{ m})}

   Comparaison et commentaire :

   • La mesure d'Aristarque obtenue à la question Q5 donnait d_{\text{Aristarque}} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\text{ km}, soit une valeur environ 4 fois plus faible :

     \frac{d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}}{d_{\text{Aristarque}}} \approx 3{,}8 \approx 4
   • Cet écart s'explique directement par l'observation d'Aristarque qui surestimait le diamètre angulaire apparent de la Lune (\theta \approx 2^\circ, alors que la valeur réelle est voisine de 0{,}5^\circ, soit un facteur 4 plus faible). Comme d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}} = D_\ell / \theta, une surestimation d'un facteur 4 de l'angle conduit à une sous-estimation d'un facteur 4 de la distance.
   • La télémétrie laser moderne est d'une précision remarquable : en mesurant la durée d'aller-retour avec une résolution de l'ordre de la picoseconde sur un grand nombre d'impulsions, elle permet de déterminer la distance Terre-Lune au millimètre près, mettant notamment en évidence l'éloignement séculaire de la Lune d'environ 3{,}8\text{ cm par an} sous l'effet des marées.

   Résultat

   $$d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}=\frac{c\Delta t}{2}$$

   $$d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}\approx 3,8\cdot 10^5\text{ km}(3,8\cdot 10^8\text{ m})$$

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10. Exercice 10X-ENS Physique MPI 2023, Q5

    Une onde électromagnétique monochromatique plane de pulsation \omega a pour période temporelle :

    T = \frac{2\pi}{\omega}

    Sa longueur d'onde \lambda, qui représente la période spatiale de l'onde se propageant à la vitesse c dans le vide, est donnée par la relation fondamentale :

    \lambda = c T

    soit :

    \boxed{\lambda = \frac{2\pi c}{\omega}}

    Résultat

    $$\lambda =\frac{2\pi c}{\omega }$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question