Feuille d'entraînement : Signaux et propagation

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique PSI 2024, Q41

   La source lumineuse \mathrm{S} étant immobile dans le référentiel du laboratoire et l'onde se propageant dans le vide à la célérité c :

   • La première impulsion, émise par la source à la date t_1, se propage en ligne droite jusqu'à l'atome récepteur situé en \mathrm{R}(t'_1) à la date de réception t'_1. La distance parcourue par cette impulsion est donc \mathrm{SR}(t'_1), d'où :

     t'_1 = t_1 + \frac{\mathrm{SR}(t'_1)}{c}

   • La seconde impulsion, émise à la date t_2 = t_1 + T, atteint l'atome en \mathrm{R}(t'_2) à la date de réception t'_2. La distance parcourue est \mathrm{SR}(t'_2), d'où :

     t'_2 = t_2 + \frac{\mathrm{SR}(t'_2)}{c} = t_1 + T + \frac{\mathrm{SR}(t'_2)}{c}

   En effectuant la différence membre à membre, la période apparente T' = t'_2 - t'_1 perçue par l'atome s'écrit :

   T' = \left( t_1 + T + \frac{\mathrm{SR}(t'_2)}{c} \right) - \left( t_1 + \frac{\mathrm{SR}(t'_1)}{c} \right)

   Soit finalement :

   \boxed{T' = T + \frac{\mathrm{SR}(t'_2) - \mathrm{SR}(t'_1)}{c}}

   Résultat

   $$T^{\prime }=T+\frac{\mathrm{SR}(t_2^{\prime })-\mathrm{SR}(t_1^{\prime })}{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q27

   Dans le cadre de la théorie linéaire, la surface résultante est la superposition des deux vagues :

   \eta(x,t) = \eta_1(x,t) + \eta_2(x,t) = A\cos(k_1 x - \omega_1 t) + A\cos(k_2 x - \omega_2 t)

   En utilisant la formule trigonométrique \cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right), il vient :

   \eta(x,t) = 2A \cos\left(\frac{k_1 - k_2}{2}x - \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) \cos\left(\frac{k_1 + k_2}{2}x - \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)

   Supposons, sans perte de généralité, k_1 > k_2. La relation de dispersion \omega^2 = gk\tanh(kH) montre que \omega(k) est une fonction strictement croissante de k, de sorte que \omega_1 > \omega_2. En posant :

   \begin{aligned} k &= \frac{|k_1 - k_2|}{2}, & \omega &= \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2} \\ k' &= \frac{k_1 + k_2}{2}, & \omega' &= \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \end{aligned}

   les nombres d'ondes et pulsations étant strictement positifs, on vérifie immédiatement que :

   k < k' \quad \text{et} \quad \omega < \omega'

   La vague résultante s'écrit bien sous la forme demandée :

   \boxed{\eta(x,t) = 2A \cos(kx - \omega t)\cos(k'x - \omega' t)}

   avec les paramètres :

   \boxed{k = \frac{|k_1 - k_2|}{2}, \quad k' = \frac{k_1 + k_2}{2}, \quad \omega = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2}, \quad \omega' = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}}

   À un instant t fixé (choisi arbitrairement à t=0 quitte à translater l'origine des coordonnées), le profil spatial correspond à un signal modulé en amplitude (phénomène de battements spatiaux) :

   • Une onde porteuse rapide de pulsation spatiale k' et de longueur d'onde \lambda' = \frac{2\pi}{k'}.
   • Une enveloppe lente d'amplitude modulée 2A\cos(kx) dont la période spatiale fondamentale est \lambda = \frac{2\pi}{k} (l'écart entre deux nœuds consécutifs de l'enveloppe valant \lambda/2).

   Résultat

   $$\eta (x,t)=2A\cos (kx-\omega t)\cos (k^{\prime }x-{\omega }^{\prime }t)$$

   $$k=\frac{|k_1-k_2|}{2},k^{\prime }=\frac{k_1+k_2}{2},\omega =\frac{|{\omega }_1-{\omega }_2|}{2},{\omega }^{\prime }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2022, Q7

   Une onde est caractérisée par la direction dans laquelle s'effectue la perturbation (vibration) par rapport à sa direction de propagation :

   • Une onde est dite longitudinale si la perturbation physique s'effectue dans une direction colinéaire (parallèle) à la direction de propagation de l'onde.
   • Une onde est dite transversale si la perturbation physique s'effectue dans une direction orthogonale (perpendiculaire) à la direction de propagation de l'onde.

   Dans la configuration étudiée :

   • l'onde se propage selon l'axe (Ox), car l'équation de d'Alembert établie à la question Q5 ne dépend que de la coordonnée spatiale x ;
   • le vecteur déplacement des tranches de matière est purement dirigé selon ce même axe : \vec{u}(x, t) = u(x, t)\,\vec{e}_x.

   Le déplacement du milieu est donc parallèle à la direction de propagation de l'onde :

   \boxed{\text{Le champ de déplacement décrit une onde longitudinale.}}

   Résultat

   $$\text{Le champ de deˊplacement deˊcrit une onde longitudinale.}$$

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4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2022, Q24

   1. Définition du plan d'incidence et première loi de Descartes

   • Le plan d'incidence est le plan formé par la direction de propagation de l'onde incidente (portée par le vecteur d'onde \vec{k}_i) et la normale à l'interface au point d'incidence (ici portée par \vec{e}_z). Dans la géométrie choisie, il s'agit du plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z).
   • La première loi de Descartes stipule que le rayon réfléchi et le rayon transmis (ou réfracté) sont contenus dans le plan d'incidence.

   2. Seconde loi de Descartes

   Les milieux (1) et (2) étant non dispersifs pour les ondes de compression étudiées, les relations de dispersion donnent les normes des vecteurs d'onde à la pulsation \omega :

   \begin{aligned} k_i = \|\vec{k}_i\| = \frac{\omega}{c_{p1}}, \qquad k_r = \|\vec{k}_r\| = \frac{\omega}{c_{p1}}, \qquad k_t = \|\vec{k}_t\| = \frac{\omega}{c_{p2}}. \end{aligned}

   D'après la figure 8, les angles i_1, r et i_2 sont définis par rapport à la normale \vec{e}_z. Les projections des vecteurs d'onde sur l'axe tangentiel (Ox) s'écrivent donc :

   \begin{aligned} k_{ix} = k_i \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1, \qquad k_{rx} = k_r \sin r = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r, \qquad k_{tx} = k_t \sin i_2 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2. \end{aligned}

   L'égalité imposée des composantes tangentielles, k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}, fournit :

   • pour la réflexion :

     \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r \implies \boxed{r = i_1}

   • pour la réfraction (transmission) :

     \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2 \implies \boxed{\frac{\sin i_1}{c_{p1}} = \frac{\sin i_2}{c_{p2}}}

   3. Expression de k_x

   On en déduit immédiatement la composante tangentielle commune du vecteur d'onde :

   \boxed{k_x = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1}

   Résultat

   $$r=i_1$$

   $$\frac{\sin i_1}{c_{p1}}=\frac{\sin i_2}{c_{p2}}$$

   $$k_x=\frac{\omega }{c_{p1}}\sin i_1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2021, Q1

   À l'instant t, la particule P coïncide avec le front d'onde \Pi_1. Le front d'onde immédiatement consécutif \Pi_2, situé en arrière, se trouve à une distance spatiale égale à la longueur d'onde \lambda_e :

   x_{\Pi_1}(t) - x_{\Pi_2}(t) = \lambda_e

   où x désigne l'abscisse selon l'axe orienté par \widehat{u}_e.

   Entre les instants t et t' = t + \Delta t, l'onde se propage à la célérité c_0 dans la direction \widehat{u}_e. La distance parcourue par le front d'onde \Pi_2 pendant cette durée vaut :

   d_{\text{onde}} = c_0 \Delta t

   Pendant cette même durée \Delta t, le déplacement algébrique de la particule P selon l'axe de propagation \widehat{u}_e s'écrit :

   \Delta x_P = (\vec{V} \cdot \widehat{u}_e) \, \Delta t

   À l'instant t', la particule P est atteinte par le front d'onde \Pi_2 devenu \Pi'_2. Pour rattraper la particule, le front d'onde \Pi_2 doit parcourir la distance initiale \lambda_e augmentée du déplacement de la particule selon la direction de propagation :

   \boxed{d_{\text{onde}} = \lambda_e + (\vec{V} \cdot \widehat{u}_e) \, \Delta t}

   En explicitant d_{\text{onde}} = c_0 \Delta t, il vient :

   \begin{aligned} c_0 \Delta t &= \lambda_e + (\vec{V} \cdot \widehat{u}_e) \, \Delta t \\ \Delta t \left(c_0 - \vec{V} \cdot \widehat{u}_e\right) &= \lambda_e \end{aligned}

   Par définition, la fréquence f_p perçue par la particule est l'inverse de la période temporelle apparente \Delta t = 1/f_p, d'où :

   \begin{aligned} f_p &= \frac{1}{\Delta t} = \frac{c_0 - \vec{V} \cdot \widehat{u}_e}{\lambda_e} \\ &= \frac{c_0}{\lambda_e} \left(1 - \frac{\widehat{u}_e \cdot \vec{V}}{c_0}\right) \end{aligned}

   Puisque la fréquence de l'onde émise est reliée à sa longueur d'onde par f_e = c_0/\lambda_e, on obtient finalement :

   \boxed{f_p = f_e \left(1 - \frac{\widehat{u}_e \cdot \vec{V}}{c_0}\right)}

   Résultat

   $$d_{\text{onde}}={\lambda }_e+(\vec{V}\cdot {\hat{u}}_e)\Delta t$$

   $$f_p=f_e\left(1-\frac{{\hat{u}}_e\cdot \vec{V}}{c_0}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2021, Q8

   Le photorécepteur mesure l'intensité lumineuse résultant de la superposition des deux ondes diffusées :

   I(t) = K \left|\underline{E_{d1}} + \underline{E_{d2}}\right|^2 = K \left( \underline{E_{d1}} + \underline{E_{d2}} \right)\left( \underline{E_{d1}}^* + \underline{E_{d2}}^* \right)

   En développant avec \underline{E_{d1}}(t) = E_0 \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi f_{d1} t} et \underline{E_{d2}}(t) = E_0 \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi f_{d2} t} :

   \begin{aligned} I(t) &= K \left[ \left|\underline{E_{d1}}\right|^2 + \left|\underline{E_{d2}}\right|^2 + 2\,\mathrm{Re}\left(\underline{E_{d1}}\,\underline{E_{d2}}^*\right) \right] \\ &= K \left[ E_0^2 + E_0^2 + 2 E_0^2 \cos\left(2\pi(f_{d1} - f_{d2})t\right) \right] \\ &= 2 K E_0^2 \left[ 1 + \cos\left(2\pi(f_{d1} - f_{d2})t\right) \right] \end{aligned}

   Le signal s'écrit bien sous la forme demandée :

   \boxed{I(t) = 2\Lambda \left[ 1 + \cos(\beta t) \right]}

   avec, d'après le résultat de la question Q7 :

   \boxed{\Lambda = K E_0^2 \quad \text{et} \quad \beta = 2\pi(f_{d1} - f_{d2}) = \frac{4\pi \sin(\theta/2)}{\lambda_e} V_x}

   (au signe près, la fonction cosinus étant paire).

   Une fréquence étant par définition une grandeur positive, la fréquence de battement ou de clignotement f_{\mathrm{c}} correspond à :

   f_{\mathrm{c}} = \frac{|\beta|}{2\pi} = |f_{d1} - f_{d2}|

   soit :

   \boxed{f_{\mathrm{c}} = \frac{2\sin(\theta/2)}{\lambda_e} |V_x|}

   Résultat

   $$I(t)=2\Lambda \left[1+\cos (\beta t)\right]$$

   $$\Lambda =K{E}_0^2\text{et}\beta =2\pi (f_{d1}-f_{d2})=\frac{4\pi \sin (\theta /2)}{{\lambda }_e}{V}_x$$

   $$f_{\mathrm{c}}=\frac{2\sin (\theta /2)}{{\lambda }_e}|V_x|$$

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7. Exercice 7E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q16

   Le signal émis est une salve ultrasonore (paquet d'ondes) dont l'enveloppe se propage à la vitesse de groupe v_g. L'air étant modélisé comme un milieu faiblement dispersif, la vitesse de groupe s'identifie à la vitesse de phase (célérité des ondes acoustiques) :

   v_g \approx c_s = 3{,}4 \cdot 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Le paquet d'ondes se propage ainsi à la célérité c_s sans déformation notable de son enveloppe.

   L'onde effectue un aller-retour dans l'air sur la distance d = H_{\text{capteur}} - h(t_{\text{mes}}) séparant le capteur de la surface libre de l'eau. La durée de propagation aller-retour \Delta t vérifie :

   2\,d = 2\left(H_{\text{capteur}} - h(t_{\text{mes}})\right) = c_s \Delta t

   On en déduit l'expression de la hauteur d'eau :

   h(t_{\text{mes}}) = H_{\text{capteur}} - \frac{c_s \Delta t}{2}

   D'après la figure 3, le centre du paquet d'ondes émis est situé à t_{\text{ém}} = 0{,}00\text{ s} et le centre du paquet d'ondes reçu se situe à t_{\text{réc}} \approx 42\text{ à }43\text{ ms}, soit :

   \Delta t \approx 42{,}5\text{ ms} = 4{,}25 \cdot 10^{-2}\text{ s} \quad (\pm 1\text{ ms})

   Application numérique avec les données de l'énoncé (H_{\text{capteur}} = 8{,}5\text{ m} et c_s = 3{,}4 \cdot 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) :

   \begin{aligned} d &= \frac{c_s \Delta t}{2} = 170 \times 4{,}25 \cdot 10^{-2} \approx 7{,}2\text{ m} \\ h(t_{\text{mes}}) &= 8{,}5 - 7{,}2 = 1{,}3\text{ m} \end{aligned}

   Compte tenu de l'incertitude de lecture sur le graphique (\Delta t \in [42\text{ ms} \,;\, 43\text{ ms}]) :

   \boxed{h(t_{\text{mes}}) \approx 1{,}3\text{ m}} \quad (\text{soit entre } 1{,}2\text{ m et } 1{,}4\text{ m})

   Résultat

   $$h(t_{\text{mes}})\approx 1,3\text{ m}$$

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8. Exercice 8ENS Physique U PSI 2026, Q42

   Plaçons un repère orthonormé centré au milieu du segment reliant les deux oreilles :

   • l'axe (Oy), dirigé vers l'avant, correspond à la direction du nez ;
   • l'axe (Ox), transversal, joint l'oreille gauche G de coordonnées \left(-\frac{D}{2}, 0\right) à l'oreille droite D de coordonnées \left(+\frac{D}{2}, 0\right).

   La source sonore est située dans le plan horizontal (xOy) à une distance R \gg D, repérée par un angle \theta par rapport à l'axe du nez (Oy) (\theta > 0 du côté gauche). Le vecteur unitaire pointant du centre de la tête vers la source s'écrit :

   \vec{u}_S = -\sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_y.

   Puisque R \gg D, l'onde sphérique issue de la source est localement assimilable à une onde plane au niveau de la tête, dont les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à la direction d'incidence \vec{u}_S.

   En négligeant l'effet d'écran et de diffraction de la tête, les rayons sonores se propagent en ligne droite à la célérité c. La différence de distance parcourue par l'onde pour atteindre l'oreille droite plutôt que l'oreille gauche est donnée par la projection du vecteur interaural \vec{GD} = D\,\vec{e}_x sur la direction de provenance -\vec{u}_S :

   \delta = d_d - d_g = - \vec{GD} \cdot \vec{u}_S = - (D\,\vec{e}_x) \cdot (-\sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_y) = D \sin\theta.

   Le retard de perception (ITD, pour Interaural Time Difference) entre l'oreille droite et l'oreille gauche est donc :

   \Delta t = t_d - t_g = \frac{\delta}{c} = \frac{D \sin\theta}{c}.

   \boxed{\Delta t = \frac{D}{c} \sin\theta}

   Résultat

   $$\Delta t=\frac{D}{c}\sin \theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique U PSI 2026, Q43

   D'après l'expression établie à la question Q42 :

   \Delta t = \frac{D}{c}\sin\theta

   Cette différence temporelle est maximale en valeur absolue lorsque le son provient directement du côté de l'observateur, c'est-à-dire pour une incidence latérale \theta = \pm \frac{\pi}{2} (\sin\theta = \pm 1). L'ITD maximale s'écrit donc :

   \boxed{ \Delta t_{\max} = \frac{D}{c} }

   Application numérique : Avec un diamètre de tête D = 23\text{ cm} = 0{,}23\text{ m} et une vitesse du son c = 343{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (ou c \simeq 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} avec deux chiffres significatifs) :

   \Delta t_{\max} = \frac{0{,}23}{343{,}5} \simeq 6{,}7 \times 10^{-4}\text{ s}

   \boxed{ \Delta t_{\max} \simeq 0{,}67\text{ ms} \quad (\text{soit environ } 670\ \mu\text{s}) }

   Résultat

   $$\Delta t_{\max }=\frac{D}{c}$$

   $$\Delta t_{\max }\simeq 0,67\text{ ms}(\text{soit environ }670\mu \text{s})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique U PSI 2026, Q45

    D'après la question Q42, dans l'air, le retard interaural pour une source située dans la direction \theta est donné par :

    \Delta t = \frac{D}{c_{\text{air}}} \sin\theta.

    Le système auditif, calibré pour estimer la direction à partir de ce délai temporel perçu \Delta t dans l'air, en déduit une direction perçue \theta_{\text{perçu}} selon la relation réciproque :

    \boxed{\theta_{\text{perçu}} = \arcsin\left(\frac{c_{\text{air}}\,\Delta t}{D}\right)}

    Lorsque la source et l'auditeur se trouvent immergés dans l'eau, l'onde sonore s'y propage à la célérité c_{\text{eau}}. Le retard physique réel qui s'établit entre les deux oreilles pour une onde plane incidente sous l'angle \theta devient alors :

    \Delta t = \frac{D}{c_{\text{eau}}} \sin\theta.

    Le cerveau, appliquant toujours son décodage habituel adapté à l'air, interprète ce retard sous la forme :

    \sin\theta_{\text{perçu}} = \frac{c_{\text{air}}}{D}\,\Delta t = \frac{c_{\text{air}}}{D} \left(\frac{D}{c_{\text{eau}}}\sin\theta\right) = \frac{c_{\text{air}}}{c_{\text{eau}}} \sin\theta,

    soit :

    \boxed{\theta_{\text{perçu}} = \arcsin\left(\frac{c_{\text{air}}}{c_{\text{eau}}} \sin\theta\right)}

    Commentaire de la relation :

    • La vitesse du son dans l'eau (c_{\text{eau}} \simeq 1\,500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) est nettement supérieure à celle dans l'air (c_{\text{air}} \simeq 343\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), d'où un rapport :

      \frac{c_{\text{air}}}{c_{\text{eau}}} \simeq \frac{343}{1500} \simeq 0{,}23 < 1.
    • L'angle perçu est donc considérablement sous-estimé en valeur absolue : |\theta_{\text{perçu}}| \leqslant |\theta|.

    • En particulier, même pour une source située complètement sur le côté (\theta = 90^\circ, soit \sin\theta = 1), l'angle perçu ne dépasse pas :

      \theta_{\text{perçu},\max} = \arcsin(0{,}23) \simeq 13^\circ \simeq 0{,}23\text{ rad}.

      Toutes les sources sonores sous-marines semblent ainsi concentrées dans un cône très étroit de demi-angle au sommet d'environ 13^\circ face à l'observateur (ou directement derrière lui), rendant la localisation auditive de la provenance des sons quasiment impossible sous l'eau pour un être humain.

    Résultat

    $${\theta }_{\text{perc¸u}}=\arcsin \left(\frac{c_{\text{air}}\Delta t}{D}\right)$$

    $${\theta }_{\text{perc¸u}}=\arcsin \left(\frac{c_{\text{air}}}{c_{\text{eau}}}\sin \theta \right)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question