Feuille d'entraînement : Signaux et propagation

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2022, Q13

   L'impulsion sonore émise par le sonar effectue un aller-retour entre la surface et le fond du lac, soit une distance parcourue :

   d = 2H

   La célérité c de l'onde sonore dans l'eau est reliée à sa longueur d'onde \lambda et à sa fréquence f par la relation de dispersion :

   c = \lambda f

   Pendant la durée \tau s'écoulant entre l'émission et la réception, l'onde se propage à la vitesse constante c, ce qui donne :

   2H = c\,\tau = \lambda f \tau

   On en déduit l'expression de la profondeur H du lac :

   \boxed{H = \frac{\lambda f \tau}{2}}

   Application numérique : Avec \lambda = 3{,}75\text{ cm} = 3{,}75 \cdot 10^{-2}\text{ m}, f = 40\text{ kHz} = 40 \cdot 10^3\text{ Hz} (obtenu à la question précédente) et \tau = 40\text{ ms} = 40 \cdot 10^{-3}\text{ s} :

   \begin{aligned} c &= 3{,}75 \cdot 10^{-2} \times 40 \cdot 10^3 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \\ H &= \frac{1500 \times 40 \cdot 10^{-3}}{2} \end{aligned}

   \boxed{H = 30\text{ m}}

   Résultat

   $$H=\frac{\lambda f\tau }{2}$$

   $$H=30\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2020, Q8

   L'onde gravitationnelle se propage le long de l'axe Oz à la célérité c avec une fréquence f_0 \approx 1\text{ kHz}. Sa longueur d'onde spatiale est :

   \Lambda_g = \frac{c}{f_0}

   Avec c = 3{,}0\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f_0 \approx 10^3\text{ Hz} :

   \Lambda_g = \frac{3{,}0\times 10^8}{10^3} = 3\times 10^5\text{ m} = 300\text{ km}

   La variation de la phase spatiale sur la hauteur maximale des miroirs D = 1\text{ m} s'écrit :

   \Delta \phi_z = 2\pi f_0 \frac{D}{c} = 2\pi \frac{D}{\Lambda_g}

   Numériquement, avec un chiffre significatif :

   \Delta \phi_z = 2\pi \times \frac{1}{3\times 10^5} \approx 2\times 10^{-5}\text{ rad} \ll 1\text{ rad}

   De manière équivalente, le temps mis par l'onde pour traverser la dimension verticale d'un miroir, \Delta t = D/c \approx 3\times 10^{-9}\text{ s}, est infiniment plus court que sa période temporelle T_0 = 1/f_0 = 10^{-3}\text{ s}.

   Comme D \ll \Lambda_g, la perturbation \tau(z,t) peut être considérée comme uniforme selon z sur l'ensemble de la surface des miroirs :

   \boxed{\tau(z,t) \approx \tau(t) = \tau_M \cos(2\pi f_0 t)}

   Résultat

   $$\tau (z,t)\approx \tau (t)={\tau }_M\cos (2\pi f_{0}t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2020, Q2

   Dans le vide, la relation liant la célérité c de l'onde lumineuse, sa fréquence \nu (ou f) et sa longueur d'onde dans le vide \lambda est donnée par :

   \nu = \frac{c}{\lambda}

   Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

   • c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
   • \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}

   On obtient :

   \nu = \frac{3{,}0 \cdot 10^8}{6{,}0 \cdot 10^{-7}} = 5{,}0 \cdot 10^{14}\text{ Hz}

   Conformément à la consigne générale précisant que les calculs s'effectuent avec un chiffre significatif :

   \boxed{\nu = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz}}

   Résultat

   $$\nu =5\cdot 10^{14}\text{ Hz}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question