Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2023

Pour un système de masse m animé d'un mouvement de translation à la vitesse v_A dans le référentiel d'étude martien, l'énergie cinétique s'écrit :

La sonde spatiale étant modélisée en translation à la vitesse notée v_B au point B, son énergie cinétique en ce point s'écrit :

Par définition, la variation d'énergie cinétique de la sonde entre l'instant de déploiement en A et le point de largage B est :

On obtient ainsi :

D'après la question Q2, la variation d'énergie cinétique entre les points A et B s'écrit :

En utilisant l'aide au calcul fournie par l'énoncé :

Avec m = 3\,000\text{ kg} = 3,0 \cdot 10^3\text{ kg}, on obtient :

En ne conservant que deux chiffres significatifs en accord avec la précision de l'aide au calcul :

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel (ou d'un solide indéformable en translation) entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce système entre ces deux positions :

Le champ de pesanteur martien étant supposé uniforme, le poids \vec{P} = m\vec{g} est une force constante. Dans un repère muni d'un axe vertical (Oz) ascendant, le travail du poids lors du déplacement du point A (altitude z_A) au point B (altitude z_B) s'écrit :

D'après les données de l'énoncé :

• m = 3\,000\text{ kg} = 3 \cdot 10^3\text{ kg} ;
• g = 3,7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• z_A = 10,6\text{ km} = 10,6 \cdot 10^3\text{ m} ;
• z_B = 7,5\text{ km} = 7,5 \cdot 10^3\text{ m}, d'où z_A - z_B = 3,1\text{ km} = 3,1 \cdot 10^3\text{ m}.

Le calcul donne :

En utilisant l'aide au calcul fournie (3 \times 3,7 \times 3,1 \approx 34) :

Le travail du poids calculé à la question précédente est strictement positif :

Par conséquent, ce travail est qualifié de moteur.

D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la sonde entre les points A et B (question Q4), en considérant que seules les forces de pesanteur et les frottements fluides travaillent :

On en déduit l'expression littérale du travail des forces de frottement :

À l'aide des résultats des questions Q3 et Q5 :

• \Delta E_{\mathrm{c}} \approx -2,25 \cdot 10^{8}\text{ J} ;
• W_{AB}(\vec{P}) \approx 3,4 \cdot 10^{7}\text{ J} = 0,34 \cdot 10^{8}\text{ J}.

L'application numérique donne :

On retrouve bien la valeur annoncée par l'énoncé.

Le mouvement étant supposé rectiligne et vertical vers le bas, le vecteur déplacement s'écrit :

où \vec{u}_z est un vecteur unitaire vertical descendant et d la distance verticale parcourue :

Pour une force \vec{f} constante, le travail le long de ce trajet est :

En notant f = \|\vec{f}\| la norme de cette force et \theta l'angle entre \vec{f} et le vecteur déplacement \vec{AB}, on a :

Le travail étant résistant (W_{AB}(\vec{f}) < 0), on a en valeur absolue :

La norme de la force vérifie donc :

Cette valeur minimale est atteinte lorsque la force de frottement est strictement colinéaire et opposée au déplacement (\theta = \pi, force purement verticale ascendante) :

D'après la question précédente, |W_{AB}(\vec{f})| \approx 2{,}5 \cdot 10^8\text{ J}. L'application numérique donne :

Le système étudié est la sonde spatiale, modélisée par son centre de gravité G en translation dans le référentiel martien supposé galiléen.

On introduit un axe vertical (Oz) orienté vers le bas, de vecteur unitaire \vec{u}_z, dont l'origine O correspond à la position d'ouverture du parachute.

Les deux forces extérieures appliquées à la sonde sont :

• le poids martien : \vec{P} = m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z, vertical et dirigé vers le bas ;
• la force de frottement fluide exercée par l'atmosphère martienne : \vec{f} = -h\,\vec{v} = -h\,v\,\vec{u}_z (avec v = \dot{z} > 0 au cours de la descente), verticale et dirigée vers le haut, à l'opposé du mouvement.

Pendant la phase de freinage étudiée, la sonde décélère fortement (\|\vec{f}\| > \|\vec{P}\|).

Par définition, un système mécanique est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son propre poids \vec{P} (les autres actions mécaniques étant inexistantes ou négligeables).

Or, lors de la descente de la sonde sous parachute, celle-ci subit une force de frottement fluide \vec{f} très intense exercée par l'atmosphère martienne. Le travail de cette force, calculé à la question Q7, est d'environ -2,5 \cdot 10^8\text{ J}, ce qui est prépondérant devant le travail du poids (3,4 \cdot 10^7\text{ J}) et permet un freinage efficace de la sonde.

La force de frottement fluide n'étant absolument pas négligeable devant le poids, on en déduit que :

On étudie la sonde spatiale, modélisée par un point matériel de masse m, dans le référentiel martien supposé galiléen.

D'après les questions précédentes, le repère associé à l'axe vertical descendant est muni du vecteur unitaire \vec{u}_z. Le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = v\,\vec{u}_z.

Les forces extérieures appliquées à la sonde sont :

• le poids martien : \vec{P} = m g\,\vec{u}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -h\vec{v} = -h v\,\vec{u}_z.

La deuxième loi de Newton s'énonce :

En projetant sur l'axe vertical descendant (Oz) :

Cette relation est bien de la forme demandée \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + Av = B, avec :

D'après la question Q11, l'équation différentielle régissant la vitesse s'écrit :

Au bout d'un temps infiniment long (t \to \infty), le système atteint un régime permanent : la vitesse tend vers une valeur limite constante notée v_{\ell}. Sa dérivée temporelle devient donc nulle :

En injectant cette condition dans l'équation différentielle, on obtient directement :

En remplaçant par les expressions de A et B, il vient :

La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 d'une onde électromagnétique est reliée à sa fréquence f et à la célérité de la lumière dans le vide c par la relation :

Avec c = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 30\text{ GHz} = 3,0 \cdot 10^{10}\text{ Hz}, on obtient :

L'onde électromagnétique émise par le radar se propage à la célérité c de la lumière (l'atmosphère martienne, très ténue, est assimilée au vide du point de vue de la propagation).

Pour effectuer l'aller-retour entre la sonde située à l'altitude H et le sol martien, l'onde parcourt une distance totale :

En notant \Delta t la durée nécessaire à cet aller-retour, la distance parcourue s'écrit également :

On en déduit l'expression de l'altitude H :

D'après l'infographie du document 1, au moment de la « séparation du bouclier thermique », l'altitude de la sonde est indiquée dans la fourchette :

(le texte introductif de la partie I.1 précise une valeur de H \approx 7{,}5\text{ km}).

D'après la relation établie à la question Q14 :

Application numérique :

• Pour la valeur H = 7{,}5\text{ km} = 7{,}5 \cdot 10^3\text{ m} :

  \Delta t = \frac{2 \times 7{,}5 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} = 5{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ s} = 50\text{ }\mu\text{s}

• Pour l'intervalle de l'infographie [7\text{ km} \,,\, 11\text{ km}] :

  \begin{aligned} \Delta t_{\min} &= \frac{2 \times 7 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} \approx 4{,}7 \cdot 10^{-5}\text{ s} \approx 47\text{ }\mu\text{s} \\ \Delta t_{\max} &= \frac{2 \times 11 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} \approx 7{,}3 \cdot 10^{-5}\text{ s} \approx 73\text{ }\mu\text{s} \end{aligned}

Ainsi, le temps écoulé est de l'ordre de grandeur d'une cinquantaine de microsecondes :

Avant la fermeture de l'interrupteur (t < 0), le circuit est ouvert, donc aucun courant ne circule :

De plus, l'énoncé indique que le condensateur est initialement déchargé :

Tension aux bornes du condensateur : L'énergie électrostatique emmagasinée par le condensateur, \mathcal{E}_e = \frac{1}{2}C u_c^2, est une fonction continue du temps pour éviter une puissance échangée infinie. La tension u_c(t) est donc continue en t = 0 :

Intensité du courant dans le circuit : L'énergie magnétique stockée dans la bobine, \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}L i^2, est également une fonction continue du temps. L'intensité i(t) traversant la bobine est donc continue en t = 0 :

Pour t > 0, l'interrupteur est fermé. En choisissant un sens horaire pour le parcours de la maille et pour l'intensité i(t), les dipôles R, L et C sont orientés en convention récepteur. La loi des mailles s'écrit :

Les relations caractéristiques des dipôles s'écrivent :

• pour le conducteur ohmique : u_R(t) = R \, i(t) ;
• pour la bobine idéale : u_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}(t) ;
• pour le condensateur : i(t) = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}(t).

En reportant l'expression de i(t) dans celles de u_R(t) et u_L(t), on obtient :

En substituant ces tensions dans la loi des mailles, on aboutit à :

En divisant par LC, on met l'équation différentielle sous forme normalisée :

D'après la question Q17, l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) s'écrit :

Par identification terme à terme avec la forme canonique proposée :

• Pour le terme d'ordre 0 en u_c :

  \omega_0^2 = \frac{1}{LC}

  Comme la pulsation propre \omega_0 est une grandeur strictement positive :

  \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

• Pour le terme d'ordre 1 en dérivée première :

  \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} \implies Q = \frac{L\,\omega_0}{R} = \frac{L}{R}\,\frac{1}{\sqrt{LC}}

  Soit finalement :

  \boxed{Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}

La fréquence propre f_0 du circuit est reliée à la pulsation propre \omega_0 déterminée à la question précédente par la relation :

Calculons préalablement la pulsation propre \omega_0 avec les valeurs numériques fournies :

• L = 40\text{ mH} = 4{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ H} ;
• C = 10\text{ nF} = 1{,}0 \cdot 10^{-8}\text{ F}.

On obtient :

d'où :

En utilisant l'approximation \pi \approx 3, la fréquence propre vaut :

Arrondie à un seul chiffre significatif comme demandé par l'énoncé, la fréquence propre est :

D'après la question Q18, le facteur de qualité du circuit RLC série s'exprime par :

Calculons numériquement ce terme avec les valeurs fournies :

Comme R = 2,0\text{ k}\Omega, on obtient immédiatement :

L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle canonique s'écrit :

Son discriminant s'exprime par :

Ici, Q = 1{,}0 > \dfrac{1}{2}, ce qui entraîne \Delta < 0. Les racines sont deux complexes conjugués à partie réelle strictement négative.

Le système est donc dans un régime pseudo-périodique (oscillations amorties).

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, l'impédance complexe d'un condensateur de capacité C s'écrit :

Pour une association de dipôles passifs branchés en série, l'impédance complexe équivalente est la somme des impédances de chaque dipôle. On en déduit :

En utilisant la relation \frac{1}{j} = -j, on peut également écrire :

La tension délivrée par le générateur s'écrit dans le domaine temporel réel :

Sa phase à l'origine étant nulle, la grandeur complexe associée est :

L'intensité du courant dans le circuit s'écrit sous forme réelle :

Sa grandeur complexe associée s'exprime donc sous la forme :

D'après la loi d'Ohm en régime sinusoïdal forcé, la tension et l'intensité complexes sont reliées par l'impédance équivalente du dipôle RLC série :

En prenant le module de chaque membre, sachant que |\underline{e}(t)| = E et |\underline{i}(t)| = I d'après la question Q22, on obtient :

L'impédance équivalente établie à la question Q21 s'écrit :

Son module vaut ainsi :

On en déduit l'expression de l'amplitude I de l'intensité :

D'après l'expression établie à la question Q23, l'amplitude de l'intensité s'écrit :

L'amplitude E et les composants R, L, C étant fixés, I(\omega) est maximale lorsque son dénominateur est minimal. Or :

Ce terme quadratique s'annule pour :

La fréquence d'oscillation correspondante, notée f_{\text{max}} (ou f_0), s'exprime donc par :

À cette fréquence de résonance, l'impédance équivalente est purement résistive (\underline{Z_{\text{eq}}} = R), et l'amplitude maximale de l'intensité vaut :

Les ondes radio sont des ondes électromagnétiques qui se propagent dans le vide à la célérité c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

La durée \tau mise par le signal pour parcourir la distance D s'écrit :

Avec D = 300\text{ millions de km} = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ km} = 3{,}0 \cdot 10^{11}\text{ m} :

En convertissant en minutes :

Conclusion : La durée de transmission aller-simple étant d'environ 17 minutes (et plus de 33 minutes pour un aller-retour), aucun téléguidage en temps réel du rover depuis la Terre n'est envisageable. Le rover doit impérativement être autonome dans ses prises de décision, notamment pour la navigation, la détection d'obstacles et les phases critiques telles que l'atterrissage (les fameuses « sept minutes de terreur »).

D'après l'énoncé, une image 4K est approximée par une matrice de dimensions :

Chaque pixel étant codé sur 32 bits et un octet étant constitué de 8 bits, le codage d'un pixel nécessite :

La taille (ou le « poids ») en octets de l'image vaut donc :

Avec la convention indiquée par l'énoncé, 1\text{ Mo} = 10^6\text{ octets} :

Une vidéo de durée t_{\text{vidéo}} = 1\text{ s} à la cadence de 24\text{ images}\cdot\text{s}^{-1} est constituée de N = 24\text{ images}.

D'après le résultat de la question Q26, le poids d'une image 4K est de \mathcal{T} = 32\text{ Mo}. Le volume total de données à transférer est donc :

Le débit moyen de transmission étant D = 0{,}25\text{ Moctet}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}25\text{ Mo}\cdot\text{s}^{-1}, la durée de transfert (d'émission) de ces données vaut :

Pour obtenir l'intégralité de la vidéo sur Terre, il faut compter la durée de transfert ainsi que le temps de propagation du signal radio déterminé à la question Q25 (\tau \approx 1\,000\text{ s} \approx 17\text{ min} à distance maximale) :

Commentaire : Il faut près d'une heure (environ 51 minutes de téléversement seul, et plus d'une heure au total) pour recevoir seulement une unique seconde de vidéo 4K brute non compressée. Ce résultat explique parfaitement pourquoi la NASA n'a pas installé de caméra vidéo 4K à transmission continue brute : le débit radio interplanétaire est extrêmement restreint. Pour transmettre des images et vidéos, les missions spatiales doivent impérativement recourir à des algorithmes de compression très performants, réduire la définition ou la cadence des prises de vue, et privilégier le relais via les orbiteurs martiens.

Dans le vide, en l'absence de charge (\rho = 0) et de courant (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent sous forme locale :

• Équation de Maxwell-Gauss (M-G) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday (M-F) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère (M-A) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

Partons de l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide (établie à la question Q28) :

Prenons le rotationnel de cette relation :

En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide sans courant (\vec{\jmath} = \vec{0}) :

il vient :

D'après l'identité d'analyse vectorielle donnée en formulaire :

Or, en l'absence de charges (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) = \vec{0}. On en déduit :

soit finalement :

Cette équation de propagation porte le nom d'équation de d'Alembert (ou équation des ondes).

Comme exemple d'ondes non électromagnétiques obéissant à cette équation, on peut citer :

• les ondes sonores (ou acoustiques) se propageant dans un fluide parfait (non visqueux et non conducteur thermique), pour lesquelles la surpression acoustique p(M,t) vérifie l'équation de d'Alembert dans l'approximation acoustique linéaire :

  \Delta p - \frac{1}{c_s^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0
• les ondes mécaniques transversales le long d'une corde vibrante tendue sans dissipation (modèle de la corde de Melde), où le déplacement transversal y(x,t) vérifie l'équation de d'Alembert à une dimension.

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(y,t) = E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x.

Calculons ses dérivées partielles :

• Dérivée temporelle seconde :

  \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\omega E_0 \sin(\omega t - ky)\,\vec{u}_x \implies \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = -\omega^2 E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x = -\omega^2 \vec{E}

• Laplacien vectoriel (le champ ne dépendant spatialement que de la coordonnée y) :

  \Delta \vec{E} = \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial y^2} = -(-k)^2 E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x = -k^2 \vec{E}

D'après la question Q29, le champ électrique vérifie dans le vide l'équation d'onde :

Cette relation étant vraie à tout instant et en tout point, on en déduit :

Par identification avec l'équation de d'Alembert sous sa forme standard \Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}, la célérité c de l'onde dans le vide s'exprime par :

Puisque k > 0, \omega > 0 et c > 0, il vient directement :

Le champ électrique s'écrit sous la forme :

en utilisant la relation de dispersion k = \frac{\omega}{c} établie à la question Q31.

• Caractère progressif : La dépendance spatiotemporelle est de la forme f(t - y/c) et ne présente pas de factorisation de la forme g(y) \cdot h(t) caractéristique d'une onde stationnaire. Le profil d'onde se propage donc sans déformation dans l'espace au cours du temps : cette onde est bien progressive.
• Direction de propagation : Le champ ne dépend spatialement que de la coordonnée y, l'onde se propage selon la direction de l'axe (Oy).

• Sens de propagation : En suivant un point de phase constante \varphi(y,t) = \omega t - ky = \text{C}^{\text{te}}, on obtient par dérivation par rapport au temps :

  \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k} = c > 0

  La phase se déplace donc dans le sens des y croissants (sens du vecteur unitaire \vec{u}_y).

Le vecteur d'onde \vec{k} est colinéaire à la direction de propagation et orienté dans le sens de celle-ci. D'après la question Q32, l'onde se propage selon l'axe (Oy) dans le sens des y croissants, donc :

Par ailleurs, la norme du vecteur d'onde (ou pulsation spatiale) k est reliée à la longueur d'onde spatiale \lambda par la relation fondamentale :

On en déduit l'expression vectorielle de \vec{k} dans la base cartésienne (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

Une onde est dite plane si, à tout instant t, les grandeurs qui la caractérisent (amplitude, phase, direction) sont uniformes sur tout plan perpendiculaire à la direction de propagation.

Ici, la propagation s'effectue selon la direction de l'axe (Oy) (vecteur \vec{u}_y). Le champ électrique s'écrit :

Il ne dépend dans l'espace que de la seule coordonnée y et est indépendant des coordonnées transverses x et z. Par conséquent, à chaque instant t, le champ est identique en tout point d'un plan défini par y = \text{cte}, qui est bien orthogonal à la direction de propagation.

La polarisation d'une onde électromagnétique caractérise l'évolution temporelle de la direction du champ électrique \vec{E} en un point donné de l'espace.

D'après l'expression fournie :

le champ électrique ne possède qu'une composante non nulle, portée en tout point et à tout instant par la direction fixe du vecteur unitaire \vec{u}_x.

Il s'agit donc d'une onde à polarisation rectiligne :

L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

Pour une onde plane progressive harmonique dépendant du temps et de l'espace par le facteur \exp[j(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels spatiaux et temporels se traduisent en notation complexe par :

L'équation de Maxwell-Faraday devient alors :

En repassant aux grandeurs réelles :

Analysons les propriétés géométriques de cette relation :

• Par définition du produit vectoriel, \vec{B} est orthogonal à la fois à \vec{k} et à \vec{E} (\vec{B}\perp\vec{k} et \vec{B}\perp\vec{E}).

• L'onde est ici polarisée selon \vec{u}_x et se propage selon \vec{u}_y (\vec{k} = k\,\vec{u}_y), on a donc immédiatement :

  \vec{k}\cdot\vec{E} = 0 \quad (\vec{k}\perp\vec{E})

  ce qui découle également de l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (\mathrm{div}\,\vec{E}=0 \implies \vec{k}\cdot\underline{\vec{E}}=0).

• Comme \omega > 0, le scalaire \frac{1}{\omega} est strictement positif, de sorte que le produit vectoriel \vec{k}\wedge\vec{E} est directement colinéaire et de même sens que \vec{B}.

Les trois vecteurs étant deux à deux orthogonaux et vérifiant \vec{B} \propto \vec{k}\wedge\vec{E} avec un coefficient positif :

D'après la question Q36, pour une onde plane progressive harmonique, le champ magnétique est relié au champ électrique par :

Les expressions des vecteurs sont :

Dans la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z), le produit vectoriel des vecteurs unitaires vaut :

En injectant ces expressions dans la relation de structure :

En utilisant la relation de dispersion k = \frac{\omega}{c} (question Q31), soit \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}, on retrouve bien :

Le vecteur de Poynting \vec{\pi} représente la densité volumique de flux d'énergie (ou vecteur densité de courant d'énergie électromagnétique) : son flux à travers une surface orientée fermée ou ouverte représente la puissance électromagnétique instantanée traversant cette surface. Il indique la direction et le sens de propagation de l'énergie électromagnétique.

La norme du vecteur de Poynting s'exprime en watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}).

Par définition, dans le vide, le vecteur de Poynting s'écrit :

En utilisant les expressions des champs établies aux questions Q31 et Q37 :

Sachant que \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y, le produit vectoriel s'écrit :

On en déduit l'expression du vecteur de Poynting :

D'après la relation (1) fournie par l'énoncé, la puissance reçue s'exprime par :

En remplaçant la surface S par son expression S = 4\pi d^2, il vient :

Les grandeurs P_e, G_e et S_r = \dfrac{\lambda^2}{4\pi} G_r ne dépendent que des caractéristiques des antennes et de l'onde radio émise, et sont donc totalement indépendantes de la distance de transmission d.

On en déduit immédiatement :

La puissance reçue P_r décroît donc bien en 1/d^2.

La longueur d'onde du signal émis à la fréquence f = 8{,}0\text{ GHz} vaut :

D'après la formule de transmission établie à la question Q39 :

Avec la distance Terre-Mars au plus près d = 56 \cdot 10^6\text{ km} = 5{,}6 \cdot 10^{10}\text{ m} :

Comme P_e = 10\text{ W}, G_e = 1\,000 = 10^3 et G_r = 1\,000 = 10^3, le préfacteur vaut P_e \, G_e \, G_r = 10^7\text{ W}. On en déduit :

Commentaire : Cette puissance reçue est extrêmement faible (quelques dizaines d'attowatts). Cela met en évidence :

• la nécessité d'utiliser sur Terre d'immenses antennes réceptrices paraboliques à très fort gain (comme les paraboles de 34 à 70 mètres du Deep Space Network de la NASA) couplées à des amplificateurs cryogéniques à très faible bruit ;
• l'intérêt d'utiliser les sondes orbitales (orbiters) martiennes comme relais de télécommunication, réduisant considérablement la distance de transmission directe pour le rover et préservant son bilan énergétique.

La molécule de dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 est constituée d'un atome de carbone et de deux atomes d'oxygène. Sa masse molaire moléculaire M(\mathrm{CO}_2) s'exprime donc par :

D'après les données fournies en fin d'énoncé :

• M(\mathrm{C}) = 12\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• M(\mathrm{O}) = 16\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

On obtient :

Convertie dans l'unité demandée (\text{kg}\cdot\text{mol}^{-1}), correspondant aux unités du système international (SI) :

La température absolue de l'atmosphère martienne vaut :

D'après l'énoncé, la célérité du son dans un gaz parfait est donnée par :

avec d'après la question Q41 :

• \gamma = 1{,}4 ;
• R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T = 210\text{ K} ;
• M = 44\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

Calculons le carré de la célérité :

Comme \dfrac{147}{22} \approx 6{,}68 et 6{,}68 \times 8{,}31 \approx 55{,}5 :

Or :

La racine carrée donne donc c \approx 236\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui conduit bien à la valeur attendue :

D'après le document 2, le laser pulsé émet un rayonnement de longueur d'onde :

Le spectre de la lumière visible par l'œil humain s'étend conventionnellement d'environ 400\text{ nm} (violet) à 750\text{ nm} voire 800\text{ nm} (rouge).

Comme cette longueur d'onde est strictement supérieure à la borne supérieure du visible :

le rayonnement émis par le laser se situe dans le domaine de l'infrarouge (plus précisément dans le proche infrarouge).

Une onde lumineuse rigoureusement monochromatique est un modèle théorique constitué d'une seule fréquence pure (spectre modélisé par un pic de Dirac, correspondant à un train d'ondes de durée infinie).

En pratique, une source de lumière réelle est dite quasi-monochromatique si l'énergie rayonnée est concentrée dans une bande spectrale de largeur très étroite \Delta\nu (ou \Delta\lambda) autour d'une fréquence centrale \nu_0 (ou d'une longueur d'onde centrale \lambda_0), telle que :

D'après le document 2, chaque impulsion laser délivre une énergie E = 15\text{ mJ} pendant une durée \tau = 5\text{ ns}. La puissance moyenne durant l'impulsion (puissance crête) s'écrit :

Application numérique :

Au niveau de la cible, le faisceau est focalisé sur un disque de diamètre D = 400\ \mu\text{m} = 4{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ cm}. La surface éclairée vaut :

En prenant l'approximation \pi \approx 3{,}14 :

L'irradiance (puissance par unité de surface) au niveau de la cible est donc :

On constate que :

L'irradiance obtenue est bien supérieure au seuil requis : les conditions sont réunies pour vaporiser et ioniser la roche afin de former un plasma.

D'après la physique quantique, l'énergie d'un atome ou d'un ion ne peut pas varier de façon continue : elle ne peut prendre que des valeurs discrètes et bien déterminées, appelées niveaux d'énergie quantifiés.

Comme l'illustre le document 3 pour l'ion \mathrm{Ca}^+, l'espèce possède un état fondamental d'énergie minimale E_0 = 0{,}00\text{ eV} et des états excités d'énergies discrètes E_1 = 1{,}88\text{ eV}, E_2 = 2{,}94\text{ eV}, E_3 = 4{,}68\text{ eV}, etc.

Lorsqu'un ion passe d'un niveau d'énergie excité E_m à un niveau de plus basse énergie E_n (E_m > E_n), il émet un photon d'énergie quantifiée \Delta E selon la relation de Planck-Einstein :

Les longueurs d'onde \lambda associées aux raies d'émission ne dépendent ainsi que des écarts énergétiques entre les niveaux de l'espèce.

Or, la structure électronique et les interactions coulombiennes (déterminées par le numéro atomique Z et le nombre d'électrons) sont propres à chaque espèce chimique. Par conséquent :

• Deux atomes ou ions différents possèdent des diagrammes énergétiques distincts (niveaux d'énergie et écarts énergétiques différents).
• Les longueurs d'onde des photons émis sont différentes, conférant à chaque espèce un spectre de raies d'émission unique, qui constitue une véritable « carte d'identité » spectroscopique.

Lors de la désexcitation d'un ion d'un niveau d'énergie E_m vers un niveau inférieur E_n, l'énergie du photon émis est donnée par la relation de Planck-Einstein :

En utilisant les valeurs numériques fournies dans l'énoncé pour \lambda = 423\text{ nm} = 423 \cdot 10^{-9}\text{ m}, h = 6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et c = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

L'aide au calcul indique que \frac{6,63 \times 3,00}{423} \approx 4,7 \cdot 10^{-2}, d'où :

La conversion en électronvolts (1\text{ eV} = 1,602 \cdot 10^{-19}\text{ J} \approx 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ J}) donne, toujours d'après l'aide au calcul (\frac{4,7}{1,6} \approx 2,9) :

Examinons les écarts d'énergie entre les niveaux du document 3 (E_0 = 0,00\text{ eV}, E_1 = 1,88\text{ eV}, E_2 = 2,94\text{ eV}, E_3 = 4,68\text{ eV}) :

• E_2 - E_0 = 2,94 - 0,00 = 2,94\text{ eV} \approx 2,9\text{ eV} ;
• E_3 - E_1 = 4,68 - 1,88 = 2,80\text{ eV} ;
• les autres écarts sont soit bien plus faibles, soit bien plus élevés.

L'écart E_2 - E_0 = 2,94\text{ eV} correspond très précisément à l'énergie du photon de longueur d'onde 423\text{ nm}.

Il s'agit donc de la transition radiative entre le deuxième niveau excité et l'état fondamental :

Le tableau 1 recense les longueurs d'onde des raies d'émission caractéristiques de l'ion \mathrm{Ca}^+ :

Sur le spectre d'émission du document 4, on observe des pics d'émission très nets à ces mêmes longueurs d'onde :

• les pics B et D correspondent respectivement aux raies à 394\text{ nm} et 397\text{ nm} ;
• le pic F, particulièrement intense, correspond à la raie à 423\text{ nm} (étudiée à la question précédente) ;
• le groupe de pics J, K et L se situe précisément dans la zone 443\text{--}446\text{ nm}.

L'ensemble des raies caractéristiques de l'ion \mathrm{Ca}^+ étant retrouvé dans le spectre de la roche témoin :

1. Définition du stigmatisme :

• Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A') si tout rayon lumineux issu du point objet A (réel ou virtuel) émerge du système en passant par le point image unique A' (ou en semblant provenir de A').
• Le stigmatisme est approché lorsque l'ensemble des rayons issus d'un point objet A ne convergent pas exactement en un point géométrique unique, mais traversent une zone de dimension suffisamment restreinte (tache image) pour pouvoir être assimilée à un point par le récepteur (œil, détecteur).

2. Conditions de l'approximation de Gauss :

L'approximation de Gauss correspond à l'étude des rayons dits paraxiaux, qui satisfont aux deux conditions suivantes :

• les rayons sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (angles d'incidence faibles : \theta \ll 1\text{ rad}, justifiant les approximations \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta) ;
• les rayons sont proches de l'axe optique (faible ouverture du système, faisceau intercepté au voisinage du sommet ou du centre optique).

Dans ces conditions, le stigmatisme et l'aplanétisme approchés sont généralement vérifiés pour les systèmes centrés.

Un doublet afocal transforme un faisceau de rayons parallèles (objet à l'infini) en un faisceau de rayons parallèles (image à l'infini). Pour cela, le foyer principal image de la première lentille coïncide avec le foyer principal objet de la seconde :

Positions des éléments sur l'axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière :

• Pour la lentille divergente L_1 de centre O_1 :

  \overline{O_1 F'_1} = f'_1 = -20\text{ mm} \quad (\text{foyer image situé en amont de } L_1)

• Pour la lentille convergente L_2 de centre O_2 :

  \overline{F_2 O_2} = f'_2 = 100\text{ mm} \quad (\text{foyer objet situé en amont de } L_2)

• La distance entre les deux lentilles est donc :

  e = \overline{O_1 O_2} = \overline{O_1 F'_1} + \overline{F_2 O_2} = f'_1 + f'_2 = -20\text{ mm} + 100\text{ mm} = 80\text{ mm}

Marche des rayons lumineux :

• Les rayons incidents parallèles à l'axe optique rencontrent la lentille divergente L_1 et émergent en divergeant, les prolongements virtuels de ces rayons passant par le foyer image F'_1.
• Comme F'_1 \equiv F_2, ces rayons semblent provenir du foyer objet F_2 de la lentille convergente L_2. Ils émergent donc de L_2 parallèles entre eux et parallèles à l'axe optique.
• Le faisceau obtenu est cylindrique et élargi.

Considérons un rayon incident parallèle à l'axe optique, délimitant le bord du faisceau incident de diamètre D_1, à la distance de l'axe optique :

Ce rayon traverse la lentille divergente L_1 en I_1 et émerge selon une droite dont le prolongement vers l'amont passe par le foyer image F'_1.

Le doublet étant afocal, ce point coïncide avec le foyer objet de la seconde lentille (F'_1 \equiv F_2). Le rayon incident sur L_2 semble donc provenir de son foyer objet F_2 : il émerge de L_2 parallèlement à l'axe optique, à une distance radiale :

Les points F'_1 \equiv F_2, I_1 (sur L_1) et I_2 (sur L_2) étant alignés, le théorème de Thalès dans les triangles semblables de sommet commun F'_1 donne :

On en déduit l'expression du diamètre du faisceau émergent :

Application numérique avec f'_2 = 100\text{ mm}, |f'_1| = 20\text{ mm} et D_1 = 3{,}0\text{ mm} :

Il s'agit de la pile Daniell classique. D'après les données fournies en fin d'énoncé :

Le couple au potentiel standard le plus élevé constitue le pôle positif (+) de la pile (l'électrode de cuivre), tandis que le couple au potentiel le plus faible constitue le pôle négatif (-) (l'électrode de zinc).

La pile est donc constituée de :

• une demi-pile d'oxydation : une lame de zinc solide \mathrm{Zn_{(s)}} plongeant dans une solution contenant des ions \mathrm{Zn^{2+}_{(aq)}} (pôle négatif, anode) ;
• une demi-pile de réduction : une lame de cuivre solide \mathrm{Cu_{(s)}} plongeant dans une solution contenant des ions \mathrm{Cu^{2+}_{(aq)}} (pôle positif, cathode) ;
• un pont salin assurant la continuité électrique et l'électroneutralité des solutions ;
• un circuit extérieur comportant un récepteur (résistance R).