Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2025

Considérons une tranche élémentaire d'eau de mer au repos, comprise entre les altitudes z et z + \mathrm{d}z, de section horizontale d'aire S. Le volume de cet élément est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z et sa masse vaut :

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, cette tranche de fluide est soumise à :

• son poids :

  \mathrm{d}\vec{P}_p = \mathrm{d}m\,\vec{g} = -\rho_0\,g\,S\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z \,;

• les forces de pression s'exerçant sur les faces horizontales inférieure et supérieure :

  \mathrm{d}\vec{F}_{\text{inf}} = P(z)\,S\,\vec{e}_z \quad \text{et} \quad \mathrm{d}\vec{F}_{\text{sup}} = -P(z+\mathrm{d}z)\,S\,\vec{e}_z \,;
• les forces de pression latérales qui s'exercent selon des directions horizontales et n'ont pas de composante suivant \vec{e}_z.

À l'équilibre statique du fluide, la somme vectorielle des forces est nulle :

En projetant cette relation sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z, on obtient :

On en déduit ainsi :

D'après le résultat de la question Q1, la pression vérifie l'équation différentielle :

Les grandeurs \rho_0 et g étant supposées uniformes, on intègre cette relation entre la surface libre de l'océan située en z = 0, où règne la pression atmosphérique P(0) = P_{\text{atm}}, et la cote z = -H correspondant à la profondeur H :

On en déduit l'expression de la pression P_{4000} :

Avec les données numériques fournies :

• P_{\text{atm}} = 1{,}01 \times 10^5\text{ Pa} ;
• \rho_0 = 1\,025\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• H = 4\,000\text{ m}.

Le calcul donne :

La loi de l'hydrostatique projetée sur l'axe vertical (Oz) ascendant s'écrit :

En introduisant la loi de comportement \rho_e = \rho_0\left(1 + \chi_e(P - P_{\mathrm{atm}})\right), on obtient la nouvelle équation différentielle :

qui peut également s'écrire sous forme canonique :

Par séparation des variables :

En intégrant entre la surface z = 0 (où P = P_{\mathrm{atm}}) et la cote z :

D'où l'expression du profil de pression :

À la profondeur H = 4\,000\text{ m}, la cote est z = -H :

Application numérique :

• \chi_e \rho_0 g H = 4{,}5 \times 10^{-10} \times 1\,025 \times 9{,}81 \times 4\,000 \simeq 1{,}81 \times 10^{-2}
• P'_{4000} = 1{,}01 \times 10^5 + \frac{\mathrm{e}^{0{,}0181} - 1}{4{,}5 \times 10^{-10}} \simeq 1{,}01 \times 10^5 + 4{,}059 \times 10^7\text{ Pa}

Commentaire : La prise en compte de la compressibilité conduit à une pression légèrement plus élevée qu'avec le modèle incompressible (P_{4000} = 4{,}03 \times 10^7\text{ Pa}, cf. Q2). L'écart relatif n'est que de :

L'eau de mer peut donc être considérée comme quasi-incompressible en première approximation pour le calcul de la pression. Néanmoins, cet écart de pression correspond à une augmentation locale de la masse volumique de l'ordre de 1\,\%, ce qui modifie sensiblement la poussée d'Archimède et s'avère déterminant pour le positionnement précis d'un flotteur sous-marin.

D'après l'énoncé, la loi de comportement régissant la compressibilité de l'eau de mer s'écrit :

D'après le résultat de la question Q3, l'expression de la surpression à la profondeur H (z = -H) est :

En injectant cette relation dans la loi d'état, on obtient directement l'expression de la masse volumique en fonction de la profondeur :

On effectue l'application numérique avec :

• \rho_0 = 1\,025\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \chi_e = 4{,}5 \times 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} ;
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• H = 4\,000\text{ m}.

Le terme exponentiel vaut :

D'où :

On vérifie donc bien :

Le flotteur, de masse totale m_f = 26{,}0\text{ kg}, est immobile à la profondeur H = 4\,000\text{ m} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Lorsque la vessie est vide (V_p = 0), son volume immergé est exactement égal à V_0.

Le système est soumis à deux forces verticales :

• son poids : \vec{P} = -m_f g\,\vec{e}_z ;
• la poussée d'Archimède exercée par l'eau de mer à la profondeur H : \vec{\Pi}_A = \rho_{e,4000} V_0 g\,\vec{e}_z.

À l'équilibre mécanique, la première loi de Newton impose :

On en déduit l'expression du volume V_0 :

Application numérique :

Lorsque le flotteur est en surface à l'équilibre mécanique, il est soumis à deux forces verticales :

• son poids : \vec{P} = -m_f g\,\vec{e}_z ;
• la poussée d'Archimède exercée par l'eau de mer en surface (de masse volumique \rho_0) : \vec{\Pi}_A = \rho_0 V_{\text{imm}} g\,\vec{e}_z, où V_{\text{imm}} est le volume immergé.

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique projeté sur l'axe vertical donne :

Le volume total du flotteur avec la vessie gonflée au maximum vaut V_{\text{tot}} = V_0 + V_{p,\text{max}}. La condition d'émergence stipule qu'un volume V_{\text{em}} = 0{,}020\,V_0 émerge de l'eau. Le volume immergé s'écrit donc :

On en déduit l'expression du volume maximal de la vessie :

En rappelant que d'après la question Q5, V_0 = \frac{m_f}{\rho_{e,4000}}, il vient :

Application numérique : Avec m_f = 26{,}0\text{ kg}, \rho_0 = 1\,025\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \rho_{e,4000} \simeq 1\,044\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

Pour remonter à la surface, le vérin doit transférer de l'huile dans la vessie afin d'augmenter le volume du flotteur et rendre la poussée d'Archimède supérieure au poids.

Le transfert d'un volume élémentaire d'huile \mathrm{d}V_p vers la vessie nécessite de vaincre la pression de l'eau P(z) s'exerçant sur celle-ci. En supposant la pression interne au flotteur négligeable devant la pression océanique (P_{\mathrm{atm}} \ll P(z)), le travail élémentaire fourni par le vérin s'écrit :

Deux scénarios principaux de commande du vérin peuvent être envisagés :

1. Gonflage intégral de la vessie à la profondeur de 4\,000\text{ m} :

Si le vérin gonfle directement la vessie jusqu'à son volume maximal V_{p,\mathrm{max}} au fond afin d'assurer l'ascension et l'émergence finale en surface :

Avec P'_{4000} \simeq 4{,}07 \times 10^7\text{ Pa} (question Q3) et V_{p,\mathrm{max}} \simeq 0{,}96\text{ L} = 0{,}96 \times 10^{-3}\text{ m}^3 (question Q6) :

2. Stratégie optimisée en énergie :

Pour limiter la dépense énergétique, le flotteur peut injecter au fond uniquement le volume d'huile strictement nécessaire pour compenser la baisse de flottabilité due à la décompression de l'eau lors de la remontée :

Le travail fourni au fond vaut alors :

Le volume restant nécessaire à l'émergence (environ 0{,}50\text{ L}) n'est alors injecté qu'au voisinage immédiat de la surface, où la pression est quasi-atmosphérique (P \approx 1\text{ bar}), ce qui ne requiert qu'un travail négligeable (\approx 10^5 \times 0{,}5 \times 10^{-3} = 50\text{ J}). L'énergie totale consommée est alors d'environ 19\text{ kJ}.

En tenant compte d'un éventuel rendement mécanique du vérin non unitaire, on peut estimer l'énergie consommée par le vérin à :

1. Principe de fonctionnement d'une cellule conductimétrique usuelle

Une cellule de conductimétrie de laboratoire est constituée de deux électrodes métalliques planes parallèles (généralement en platine platiné), de même surface S, séparées d'une distance \ell et en contact direct avec la solution.

• On applique entre les deux électrodes une tension alternative sinusoïdale de fréquence moyenne (typiquement de l'ordre de 1\text{ kHz}) afin d'éviter le phénomène de polarisation des électrodes (formation de doubles couches capacitives) ainsi que toute électrolyse de la solution.
• La mesure simultanée de la tension efficace U et du courant efficace I permet de déterminer la conductance G = \frac{I}{U} de la portion d'électrolyte comprise entre les plaques.

• La conductivité \sigma de la solution est alors déduite de la relation :

  G = \sigma \frac{S}{\ell} = \frac{\sigma}{K_{\text{cell}}}

  où K_{\text{cell}} = \frac{\ell}{S} est la constante de cellule (déterminée par étalonnage).

2. Inadaptation à un flotteur autonome en mer

Les cellules à contact direct ne conviennent pas à bord d'un flotteur profileur autonome pour plusieurs raisons :

• Encrassement biologique (biofouling) et dépôts minéraux : dans le milieu marin naturel, des micro-organismes, algues ou dépôts salins se déposent rapidement sur les surfaces métalliques, modifiant drastiquement la surface active S, l'écartement \ell et donc la constante de cellule.
• Corrosion et altération des électrodes : l'eau de mer est un milieu particulièrement agressif et riche en ions chlorure, ce qui conduit à l'oxydation ou à l'altération chimique progressive des électrodes métalliques.
• Absence de maintenance et de ré-étalonnage : un flotteur Argo doit fonctionner de manière totalement autonome pendant plusieurs années (jusqu'à 5 ans), sans possibilité de nettoyer ou de ré-étalonner les électrodes. Une cellule inductive (sans contact métallique direct avec l'eau) élimine ces problèmes de dérive d'interface.

Le modèle de l'amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal repose sur les caractéristiques suivantes :

• Courants d'entrée nuls : les impédances d'entrée sont considérées comme infinies, ce qui impose

  \boxed{i_+ = i_- = 0}
• Impédance de sortie nulle : la tension de sortie ne dépend pas de l'intensité du courant débité (dans les limites de saturation en courant).
• Gain différentiel en boucle ouverte infini (\mu_0 \to \infty) avec une bande passante infinie (aucun retard, temps de réponse nul).

Ce modèle se traduit par deux régimes de fonctionnement selon la valeur de la tension différentielle d'entrée \varepsilon = v_+ - v_- :

• En régime linéaire (lorsque la tension de sortie vérifie |u_s| < V_{\mathrm{sat}}) : le gain infini implique une tension différentielle d'entrée rigoureusement nulle, soit :

  \boxed{\varepsilon = v_+ - v_- = 0 \iff v_+ = v_-}

• En régime saturé : la tension de sortie plafonne aux tensions de saturation :

  u_s = \begin{cases} +V_{\mathrm{sat}} & \text{si } v_+ > v_- \\ -V_{\mathrm{sat}} & \text{si } v_+ < v_- \end{cases}

Le nœud A est relié à l'entrée non inverseuse (+) de l'ALI et se trouve au potentiel V_A = u_0 par rapport à la masse. L'ALI étant idéal, son courant d'entrée non inverseur est nul :

Le courant i_p(t) s'écoulant du point A vers la masse à travers l'association parallèle formée d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C s'écrit :

D'après la loi des nœuds appliquée au point A, le courant i_s(t) provenant de la sortie (à la tension u_1) à travers la branche série (R\text{--}C) vérifie :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

Par ailleurs, la tension aux bornes de la branche série constituée de la résistance R et du condensateur C en série vaut :

En dérivant cette équation par rapport au temps et en utilisant la relation constitutive du condensateur série, i_s = C \frac{\mathrm{d}u_{C,\text{série}}}{\mathrm{d}t} :

En remplaçant i_s(t) et \frac{\mathrm{d}i_s}{\mathrm{d}t} par leurs expressions en fonction de u_0 :

En ajoutant \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} de part et d'autre :

On identifie alors la pulsation caractéristique \omega_0 :

Ce qui conduit bien à la forme demandée :

D'après le schéma de la figure 4, l'entrée non inverseuse de l'ALI est directement reliée au nœud A, dont le potentiel par rapport à la masse est u_0 :

L'entrée inverseuse est située au point milieu de la branche composée des deux résistances R_a et R_b. Comme l'ALI est supposé idéal, le courant d'entrée est nul (i_- = 0). Le diviseur de tension non chargé donne alors immédiatement :

L'ALI fonctionnant en régime linéaire, la tension différentielle d'entrée est nulle :

On en déduit :

La relation s'écrit bien sous la forme u_1 = G u_0, avec :

D'après la question Q11, on a u_1(t) = G u_0(t). En dérivant par rapport au temps :

En reportant cette expression dans l'équation différentielle de la question Q10 :

Soit, en regroupant les termes :

Pour que le système présente un régime oscillant purement sinusoïdal et permanent (non amorti), le terme dissipatif d'ordre 1 doit s'annuler, ce qui impose :

Sachant que G = 1 + \dfrac{R_b}{R_a}, la condition sur les résistances s'écrit :

L'équation différentielle se réduit alors à celle d'un oscillateur harmonique :

La pulsation des oscillations est \omega_0 = \dfrac{1}{RC}, d'où la fréquence :

Inductance propre L d'un circuit : Considérons un circuit filiforme \mathcal{C} fermé, orienté et parcouru par un courant d'intensité i. D'après les lois de la magnétostatique (loi de Biot et Savart), le champ magnétique propre \vec{B}_{\mathrm{p}} créé par ce courant en tout point de l'espace est proportionnel à i.

Le flux propre \Phi_{\mathrm{p}} de ce champ magnétique à travers toute surface ouverte s'appuyant sur le circuit \mathcal{C} et orientée en cohérence avec le sens de parcours du courant (règle de la main droite) est donc proportionnel à i :

Le coefficient de proportionnalité L est l'inductance propre du circuit. Il s'exprime en henrys (\mathrm{H}). Avec la convention d'orientation adoptée, L est une grandeur strictement positive qui ne dépend que de la géométrie du circuit et de la perméabilité magnétique du milieu.

Inductance mutuelle M entre deux circuits : Considérons deux circuits fermés \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, orientés et parcourus respectivement par des courants d'intensités i_1 et i_2.

• Le courant i_1 circulant dans \mathcal{C}_1 crée un champ magnétique \vec{B}_1. Le flux de \vec{B}_1 à travers une surface orientée s'appuyant sur \mathcal{C}_2 est noté \Phi_{1 \to 2}. Par linéarité, il est proportionnel à i_1 :

  \Phi_{1 \to 2} = M_{12} \, i_1

• Réciproquement, le courant i_2 circulant dans \mathcal{C}_2 crée un flux \Phi_{2 \to 1} à travers \mathcal{C}_1 proportionnel à i_2 :

  \Phi_{2 \to 1} = M_{21} \, i_2

D'après le théorème de réciprocité (formule de Neumann), les deux coefficients sont égaux :

Le flux magnétique intercepté par un circuit en présence de l'autre s'écrit ainsi :

Le coefficient M est l'inductance mutuelle entre les deux circuits. Il s'exprime en henrys (\mathrm{H}). Son signe dépend des sens relatifs choisis pour l'orientation des deux circuits.

Considérons le solénoïde \mathcal{S}_a comportant N_a spires réparties sur une longueur \ell, soit un nombre de spires par unité de longueur n_a = \dfrac{N_a}{\ell}.

D'après l'énoncé, en négligeant les effets de bord, le champ magnétique propre créé à l'intérieur de \mathcal{S}_a est uniforme et s'écrit :

Le flux magnétique propre à travers une section circulaire de rayon r_a et de normale \vec{u}_z s'exprime par :

Le flux propre total \Phi_{\mathrm{p},a} à travers l'ensemble des N_a spires identiques en série est donc :

Par identification avec la relation de définition \Phi_{\mathrm{p},a} = L_a i_a, on en déduit l'inductance propre L_a :

Par un raisonnement rigoureusement identique appliqué au solénoïde \mathcal{S}_b de rayon r_b comportant N_b spires sur la même longueur \ell, on obtient :

D'après la figure 5, le solénoïde \mathcal{S}_a est placé à l'intérieur du solénoïde \mathcal{S}_b, soit r_a < r_b. Les deux solénoïdes sont coaxiaux, de même longueur \ell, et leurs spires sont orientées dans le même sens.

Considérons le solénoïde \mathcal{S}_b parcouru par un courant i_b seul. En négligeant les effets de bord, le champ magnétique qu'il crée à l'intérieur de son volume (r < r_b) est uniforme et vaut :

Puisque le solénoïde \mathcal{S}_a est entièrement contenu dans \mathcal{S}_b (r_a < r_b), ce champ \vec{B}_b baigne uniformément toutes les spires de \mathcal{S}_a.

Le flux de \vec{B}_b à travers une spire de \mathcal{S}_a orientée selon \vec{u}_z est :

Le flux total envoyé par \mathcal{S}_b à travers les N_a spires de \mathcal{S}_a est alors :

Par définition de l'inductance mutuelle rappelée en Q13, \Phi_{b \to a} = M i_b. On en déduit l'expression de M :

D'après les résultats établis aux questions Q14 et Q15, les inductances s'écrivent :

Calculons le produit géométrique \sqrt{L_a L_b} :

En formant le rapport entre M et \sqrt{L_a L_b}, il vient :

On a donc bien M = k \sqrt{L_a L_b} avec :

D'après les résultats de la question Q14, les inductances propres des deux solénoïdes sont données par :

En divisant chaque inductance propre par le carré de son nombre de spires, on obtient :

Dans le cas considéré où les deux solénoïdes ont même section (r_a = r_b = r), ces deux termes sont strictement égaux :

Les deux enroulements n'ayant pas de résistance ohmique significative et étant orientés en convention récepteur relativement aux courants i_a(t) et i_b(t), les tensions à leurs bornes s'expriment par la loi de Faraday :

Dans le cas où r_a = r_b (couplage parfait k=1), d'après les résultats de la question Q17, on a :

On peut donc réécrire les inductances sous la forme :

En injectant ces expressions dans les équations électriques :

En divisant respectivement par N_a et N_b, on obtient le même membre de droite :

D'où la relation fondamentale du transformateur idéal :

Considérons les deux bobines en couplage mutuel d'inductance mutuelle M > 0, orientées selon les conventions établies dans la partie II (bornes correspondantes en haut des enroulements) :

• Pour la bobine primaire d'inductance propre L_3, la tension \underline{u}_3 est orientée du bas vers le haut. Le courant \underline{i}_e pénètre par la borne supérieure, ce qui correspond à la convention récepteur.
• Pour la bobine secondaire d'inductance propre L_4, le courant \underline{i}_4 est orienté sur le schéma comme sortant par la borne supérieure vers la résistance R_m. Le courant qui entre par la borne supérieure de cette bobine est donc -\underline{i}_4.

En régime temporel, la tension aux bornes de la bobine primaire s'écrit :

En adoptant la notation complexe associée aux grandeurs sinusoïdales à la pulsation \omega_0 (où la dérivation par rapport au temps se traduit par une multiplication par j\omega_0), on obtient :

Aux bornes de la résistance de mesure R_m, orientée en convention récepteur sur la figure 6, la loi d'Ohm en régime sinusoïdal s'écrit :

D'après le résultat de la question Q18, applicable ici au transformateur idéal constitué de la boucle d'eau (primaire de nombre de spires N_3 = 1) et de la bobine de mesure (secondaire de nombre de spires N_4) :

On en déduit l'expression du courant secondaire \underline{i}_4 en fonction de \underline{u}_3 :

D'après la relation établie à la question Q19 :

En y substituant l'expression de \underline{i}_4 :

En divisant par j L_3 \omega_0, on obtient :

On identifie ainsi la relation \underline{i}_e = \underline{Y} \cdot \underline{u}_3 avec :

D'après le schéma de la figure 6, le transformateur idéal associé présente un rapport de transformation de 1 : N_4. La boucle d'eau conductrice (circuit primaire associé à l'inductance L_3) comporte donc N_3 = 1 spire, et la bobine de mesure (circuit secondaire associé à l'inductance L_4) comporte N_4 spires.

En appliquant le résultat de la question Q17 au cas d'un couplage parfait (k = 1, sans fuite magnétique) entre ces deux enroulements :

Avec N_3 = 1, cette relation se simplifie immédiatement en :

D'après l'expression de l'admittance \underline{Y} établie à la question Q20 :

En y injectant le rapport \frac{M}{L_3} = N_4, on obtient directement :

D'après le schéma équivalent du circuit de mesure complet (figure 7), la boucle d'eau de mer est parcourue par le courant \underline{i}_e. Ce courant traverse en série la résistance R_e de l'eau, puis le dipôle d'impédance \underline{Z} = \frac{1}{\underline{Y}}, avant de retourner à l'enroulement secondaire de la bobine d'excitation.

En appliquant la loi des mailles à cette boucle orientée dans le sens horaire :

soit encore :

Puisque le dipôle d'admittance \underline{Y} est soumis à la tension \underline{u}_3 en convention récepteur, le courant qui le traverse s'écrit \underline{i}_e = \underline{Y}\,\underline{u}_3. Il vient alors :

On peut également retrouver directement cette relation à l'aide de la formule du diviseur de tension aux bornes de \underline{Z} :

On en déduit la relation demandée :

D'après l'expression de \underline{u}_3 établie à la question Q19 :

En utilisant le résultat du couplage parfait pour une spire au primaire (N_3 = 1) et N_4 spires au secondaire, M = N_4 L_3, cette relation devient :

Or, d'après la question Q21, l'admittance \underline{Y} s'écrit :

Par identification des deux expressions de \underline{i}_e, on en déduit :

D'après le résultat de la question Q22, la tension \underline{u}_2 s'exprime en fonction de \underline{u}_3 par :

Considérons enfin le premier transformateur (d'excitation) de rapport de spires N_1 : 1. La relation établie à la question Q18, \frac{u_a}{N_a} = \frac{u_b}{N_b}, a été démontrée pour deux tensions orientées en convention récepteur. Sur les figures 4 et 7 :

• l'enroulement primaire L_1 est orienté en convention récepteur pour le couple (\underline{u}_1, \underline{i}_1) ;
• l'enroulement secondaire L_2 délivre le courant \underline{i}_e à la boucle d'eau par sa borne supérieure : le couple (\underline{u}_2, \underline{i}_e) est donc en convention générateur. Sa tension en convention récepteur vaut -\underline{u}_2.

La relation du transformateur s'écrit donc :

En substituant l'expression de \underline{u}_2, on obtient directement la relation recherchée :

D'après la question Q23, la tension \underline{u}_1 et l'intensité \underline{i}_4 sont reliées par :

En utilisant l'expression de \underline{Y} établie à la question Q21 :

le terme entre crochets s'écrit :

À la limite où la résistance R_m tend vers 0 :

On en déduit l'expression de la relation complexe à cette limite :

Soit en exprimant l'intensité complexe \underline{i}_{4,\text{lim}} :

Le facteur de proportionnalité étant réel, il n'introduit aucun déphasage supplémentaire (en dehors du signe moins qui correspond à une opposition de phase). En régime temporel, on obtient directement :

Commentaires :

• Mesure de la conductivité : L'énoncé précise que la résistance de l'eau R_e est proportionnelle à l'inverse de la conductivité \sigma de l'eau (R_e \propto 1/\sigma). Ainsi, l'amplitude de i_{4,\text{lim}}(t) est directement proportionnelle à la conductivité \sigma :

  i_{4,\text{lim}}(t) \propto \sigma \, u_1(t)

  La mesure de l'intensité i_{4,\text{lim}} donne donc accès de manière linéaire à la salinité de l'eau de mer.

• Suppression des effets réactifs : À la limite R_m \to 0, le terme inductif j L_3 \omega_0 disparaît de la relation entre l'entrée et la sortie. Le système se comporte comme une simple résistance équivalente, s'affranchissant des fluctuations éventuelles de la pulsation \omega_0 ou des caractéristiques géométriques inductives.
• Condition de réalisation pratique : Cette limite idéale R_m \to 0 correspond au fonctionnement d'un circuit de mesure en court-circuit (masse virtuelle), ce qui justifie l'utilisation d'un convertisseur courant-tension à ALI étudié dans la sous-partie suivante.

L'ALI est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire (bouclage sur la borne inverseuse via le résistor de résistance R_M) :

• Les courants d'entrée sont nuls : i_+ = i_- = 0 ;
• La tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = v_+ - v_- = 0, soit v_- = v_+.

La borne non inverseuse étant reliée à la masse, on a v_+ = 0\text{ V}, d'où :

Appliquons la loi des nœuds sur l'entrée inverseuse (borne -). Aucun courant ne pénétrant dans l'ALI (i_- = 0), l'intégralité du courant i_{4,\mathrm{lim}} traverse la résistance de contre-réaction R_M en direction de la sortie de l'ALI.

La loi d'Ohm aux bornes de la résistance R_M orientée en convention récepteur s'écrit :

On en déduit l'expression de la tension de sortie :

La tension de sortie v_m(t) est directement proportionnelle au courant i_{4,\mathrm{lim}}(t) : le circuit réalise bien une conversion courant-tension linéaire (amplificateur à transimpédance).

La résistance d'entrée du montage, vue par la bobine de mesure entre la borne d'entrée inverseuse de l'ALI et la masse, est définie par :

L'amplificateur linéaire d'intégration étant supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire avec l'entrée non-inverseuse reliée à la masse (v_+ = 0\text{ V}), la masse virtuelle impose :

Quel que soit le courant i_{4,\lim} injecté, on a donc :

Intérêt du montage :

• Court-circuit virtuel parfait : le convertisseur présente une résistance d'entrée rigoureusement nulle (R_{\text{ent}} = 0\ \Omega), ce qui permet de se placer exactement dans la limite R_m \to 0 étudiée à la question Q24, condition requise pour que le courant i_{4,\lim}(t) soit directement proportionnel à la conductance 1/R_e, et donc à la conductivité \sigma de l'eau de mer.
• Tension de sortie mesurable et ajustable : si l'on avait simplement utilisé une résistance passive R_m très faible pour approcher R_m \to 0, la tension mesurée u_4 = R_m i_4 aurait été quasiment nulle et inexploitable. Ici, le montage produit en sortie une tension v_m = -R_M i_{4,\lim} d'amplitude suffisante et réglable par le choix de la résistance R_M, facilement numérisable par la chaîne d'acquisition du flotteur.

Considérons le circuit complet obtenu en insérant le convertisseur courant-tension à la place de la résistance R_m dans le circuit de la figure 4.

1. Valeur du courant i_m :

La bobine de mesure d'inductance L_4 constitue un sous-circuit connecté au convertisseur uniquement par ses deux bornes (haute et basse), sans aucune liaison galvanique avec le reste du conductimètre (le couplage avec l'eau de mer étant purement magnétique).

D'après le principe de conservation de la charge en régime quasi-stationnaire, aucun courant ne peut s'accumuler dans la bobine. Le courant quittant la bobine par la borne supérieure étant i_{4,\mathrm{lim}}(t) (orienté vers la droite sur la figure 8), le courant revenant dans la bobine par la borne inférieure doit nécessairement valoir i_{4,\mathrm{lim}}(t) (orienté vers la gauche).

Sur le schéma de la figure 8, la flèche du courant i_m est orientée de la borne inférieure vers la masse (vers le bas). Le courant quittant la masse pour entrer dans la bobine vaut donc -i_m. Par conséquent :

En valeur absolue, l'intensité du courant i_m est donc rigoureusement égale à celle de i_{4,\mathrm{lim}}.

2. Origine du courant i_m :

Pour comprendre le bouclage du courant :

• L'ALI étant supposé idéal en régime linéaire, le courant d'entrée est nul : i_- = 0.
• Le courant i_{4,\mathrm{lim}} arrivant sur la borne inverseuse traverse donc intégralement la résistance de contre-réaction R_M et pénètre dans la borne de sortie de l'ALI.
• Ce courant est absorbé par l'étage de sortie de l'ALI, puis rejoint la masse via les rails d'alimentation (\pm V_{\mathrm{sat}}) de ce dernier.
• Il circule ensuite à travers le plan de masse et remonte par le fil inférieur pour regagner la bobine de mesure L_4.

Le courant i_m provient donc des alimentations de l'amplificateur linéaire intégré (ALI) via la masse du montage.

1. Étude de la solution saturée en sulfate de calcium \mathrm{CaSO}_4

La dissolution du sulfate de calcium s'écrit :

À saturation, la solubilité molaire s_1 vérifie :

À pH neutre, [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] = [\mathrm{HO}^-] = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, concentrations négligeables devant s_1. D'après la loi de Kohlrausch :

La constante de cellule associée vaut :

2. Étude de la solution saturée en permanganate de potassium \mathrm{KMnO}_4

La dissolution s'écrit :

À saturation, la solubilité molaire s_2 vérifie :

La conductivité de cette solution vaut :

La constante de cellule associée vaut :

Les deux valeurs étant en excellent accord, on retient :

Commentaire :

• La concordance remarquable entre k_{\text{cell},1} et k_{\text{cell},2} valide la proportionnalité théorique entre la conductivité \sigma et la tension mesurée V_m sur une large plage de mesure (de 1{,}4 à 65\text{ mS}\cdot\text{cm}^{-1}).

• Pour une conductivité maximale de l'eau de mer de \sigma_{\max} = 75\text{ mS}\cdot\text{cm}^{-1}, la tension de sortie maximale atteinte est :

  V_{m,\max} = \frac{\sigma_{\max}}{k_{\text{cell}}} \simeq \frac{75}{15{,}1} \simeq 5{,}0\text{ V}

  Cette valeur est compatible avec les tensions d'alimentation usuelles des circuits électroniques embarqués (\pm 12\text{ V} ou \pm 15\text{ V}), garantissant que l'amplificateur linéaire intégré fonctionnera bien en régime linéaire sans saturer.

Deux atomes (ou nucléides) sont dits isotopes s'ils possèdent le même nombre de protons (c'est-à-dire le même numéro atomique Z), mais un nombre différent de neutrons (donc des nombres de masse A différents).

Dans la notation usuelle d'un nucléide ^{A}_{Z}\text{X} :

• Z représente le numéro atomique (nombre de protons) ;
• A représente le nombre de masse (nombre de nucléons, c'est-à-dire la somme des protons et des neutrons).

Pour le noyau de lithium ^{7}_{3}\text{Li}, on identifie :

• Z = 3, soit 3 protons ;
• N = A - Z = 7 - 3 = 4, soit 4 neutrons.

Puisque les deux isotopes appartiennent au même élément chimique, le lithium, ils possèdent le même numéro atomique Z = 3. Notons ^{A}_{3}\text{Li} le second isotope de nombre de masse A.

L'abondance isotopique naturelle du premier isotope ^{7}_{3}\text{Li} est x_1 = 92{,}5\,\% = 0{,}925. Il n'existant que deux isotopes naturels, l'abondance isotopique du second est :

La masse molaire atomique moyenne du lithium naturel s'exprime comme la moyenne pondérée des masses molaires de ses isotopes :

En première approximation, la masse molaire d'un nucléon étant M_n = 1{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, la masse molaire d'un isotope de nombre de masse A_i vaut M_i \simeq A_i M_n, soit M_1 \simeq 7{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_2 \simeq A \, M_n. On en déduit :

Le nombre de masse étant un entier, on obtient A = 6.

Le second isotope naturel du lithium a donc pour symbole atomique :

Le numéro atomique du lithium est Z = 3. Sa configuration électronique dans son état fondamental s'écrit selon les règles de Klechkowski, de Pauli et de Hund :

• Position dans le tableau périodique :

  • Le nombre quantique principal maximal de la couche occupée est n = 2 : le lithium appartient à la 2^{\text{e}} période (deuxième ligne).
  • La couche de valence ne comporte qu'un seul électron (sur la sous-couche 2\mathrm{s}) : le lithium appartient à la 1^{\text{re}} colonne (groupe 1, bloc \mathrm{s}).
• Famille chimique : Les éléments de la première colonne (à l'exception de l'hydrogène) constituent la famille des métaux alcalins.
• Schéma de Lewis : L'atome de lithium possède un unique électron de valence, représenté par un point (électron célibataire) à côté du symbole chimique :

La population N (ou multiplicité) d'une maille représente le nombre d'atomes appartenant en propre à cette maille conventionnelle.

Dans une structure cubique centrée (figure 9 de l'énoncé), les atomes de lithium occupent :

• les 8 sommets du cube, chacun étant partagé entre 8 mailles adjacentes, soit une contribution de \frac{1}{8} par sommet ;
• le centre du cube, qui appartient intégralement à la maille, soit une contribution de 1.

On en déduit la population de la maille :

Il y a donc 2 atomes de lithium par maille élémentaire.

La masse volumique \rho_{\text{Li}} du lithium solide est le rapport de la masse contenue dans une maille élémentaire sur le volume de celle-ci :

Une maille cubique de paramètre a possède un volume V_{\text{maille}} = a^3. Elle contient N = 2 atomes de lithium en propre (d'après la question Q33), de masse molaire atomique M(\text{Li}), soit une masse :

On en déduit l'expression littérale :

Application numérique : Avec N = 2, M(\text{Li}) = 6{,}93\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 6{,}93 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, \mathcal{N}_A = 6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} et a = 351\text{ pm} = 351 \times 10^{-12}\text{ m} :

L'utilisation d'une solution aqueuse est impossible pour deux raisons majeures :

1. Oxydation spontanée et violente du lithium métallique par l'eau : Le lithium est un métal alcalin extrêmement réducteur (E^\circ(\mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}) \simeq -3{,}04\text{ V}). En présence d'eau, il réagit spontanément de façon très exothermique selon :

   2\,\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \longrightarrow 2\,\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})} + \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}

   Cette réaction entraînerait la destruction immédiate de l'électrode de lithium ainsi qu'un risque majeur d'inflammation et d'explosion lié au dégagement de dihydrogène \mathrm{H}_2.

2. Hydrolyse violente du chlorure de thionyle : Le solvant et oxydant \mathrm{SOCl}_{2(\mathrm{l})} s'hydrolyse immédiatement et quantitativement au contact de l'eau :

   \mathrm{SOCl}_{2(\mathrm{l})} + \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \longrightarrow \mathrm{SO}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HCl}_{(\mathrm{g/aq})}

   Cette réaction détruirait l'oxydant de la pile tout en libérant des gaz toxiques et corrosifs.

1. Géométrie de la molécule de chlorure de thionyle :

D'après le schéma de Lewis, l'atome central de soufre \text{S} engage :

• une double liaison avec l'oxygène \text{O} ;
• deux liaisons simples avec les atomes de chlore \text{Cl} ;
• un doublet non liant propre.

L'atome central est donc entouré de 3 directions de liaison et d'un doublet non liant, ce qui correspond à une figure de répulsion de type VSEPR :

La molécule adopte ainsi une géométrie pyramidale à base trigonale.

2. Polarité de la molécule :

D'après les données de l'énoncé :

Les différences d'électronégativité sont strictement positives :

Les liaisons \text{S}=\text{O} et \text{S}-\text{Cl} sont donc nettement polarisées : le soufre porte une charge partielle positive \delta^+, tandis que l'oxygène et les atomes de chlore portent des charges partielles négatives.

En raison de la géométrie pyramidale (non plane et non centrosymétrique), la somme vectorielle des moments dipolaires de liaison ne s'annule pas :

3. Commentaire vis-à-vis de la solubilité des ions \text{Li}^+ :

Un solvant polaire permet d'établir des interactions intermoléculaires attractives de type ion-dipôle avec les espèces chargées :

• le cation \text{Li}^+, de très faible rayon ionique et donc de forte densité de charge, interagit fortement avec le pôle négatif du dipôle moléculaire (notamment l'atome d'oxygène très électronégatif et porteur de doublets non liants) ;
• cette solvatation stabilise énergétiquement les ions en solution et favorise la dissociation ainsi que la solubilisation des sels de lithium.

Cela explique qu'il soit possible d'obtenir une concentration élevée de 1{,}0\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} en ions \text{Li}^+, indispensable pour assurer une bonne conductivité ionique de l'électrolyte.

Une pile en fonctionnement est le siège de deux réactions électrochimiques :

• À l'électrode de lithium, le métal s'oxyde selon le couple \mathrm{Li}^+ / \mathrm{Li}_{(\text{s})} :

  \mathrm{Li}_{(\text{s})} = \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^-

• À l'électrode de carbone poreux, le chlorure de thionyle est réduit selon la demi-équation donnée :

  4\,\mathrm{Li}^+ + 2\,\mathrm{SOCl}_{2(\text{l})} + 4\,\mathrm{e}^- = \mathrm{S}_{(\text{s})} + \mathrm{SO}_{2(\text{g})} + 4\,\mathrm{LiCl}_{(\text{s})}

En multipliant la demi-équation d'oxydation du lithium par 4 et en la sommant à la demi-équation de réduction, les électrons et les ions \mathrm{Li}^+ se compensent, ce qui conduit à l'équation bilan de fonctionnement de la pile :

À l'électrode de lithium se produit une oxydation (\mathrm{Li}_{(\text{s})} \to \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^-). Par définition, l'électrode où a lieu l'oxydation est l'anode :

Par convention thermodynamique, l'enthalpie standard de formation \Delta_f H^\circ(T) d'un corps pur simple (constitué d'un seul élément chimique) sous son état standard de référence à la température T et sous la pression standard P^\circ = 1\text{ bar} est nulle :

• à T = 298\text{ K} (25\text{ }^\circ\text{C}), l'état standard de référence de l'élément lithium est le lithium solide \mathrm{Li}_{(\text{s})} ;
• à cette même température, l'état standard de référence de l'élément soufre est le soufre solide \mathrm{S}_{(\text{s})} (forme allotropique rhombique).

On en déduit donc directement :

D'après la question Q37, l'équation bilan du fonctionnement de la pile est :

1. Enthalpie standard de réaction D'après la loi de Hess :

En utilisant les résultats de la question Q38 (\Delta_f H^\circ(\mathrm{S}_{(\text{s})}) = \Delta_f H^\circ(\mathrm{Li}_{(\text{s})}) = 0) :

2. Entropie standard de réaction L'entropie standard de réaction s'écrit :

Application numérique :

3. Enthalpie libre standard de réaction À la température T = 298{,}15\text{ K} (25\ ^\circ\text{C}) :

D'après le second principe de la thermodynamique appliqué au fonctionnement réversible et isotherme d'une cellule électrochimique, l'enthalpie libre standard de la réaction de fonctionnement est reliée à la force électromotrice standard e^{\circ} par la relation :

où :

• n est le nombre de moles d'électrons échangées pour l'équation de réaction telle qu'écrite à la question Q37. L'oxydation de 4\text{ Li}_{(\text{s})} en 4\text{ Li}^+ libère 4 électrons, soit n = 4 ;
• \mathcal{F} est la constante de Faraday (\mathcal{F} = 9{,}65 \times 10^4\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1}).

On en déduit l'expression de la force électromotrice standard :

En utilisant la valeur \Delta_r G^{\circ} \simeq -1\,428{,}5\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} obtenue à la question Q39 :

D'après la relation liant la force électromotrice standard à l'enthalpie libre standard de réaction (question Q40) :

avec n = 4 électrons échangés. En utilisant la relation fondamentale \Delta_r G^\circ(T) = \Delta_r H^\circ(T) - T\Delta_r S^\circ(T), il vient :

Dans le cadre de l'approximation d'Ellingham, \Delta_r H^\circ et \Delta_r S^\circ sont considérées comme indépendantes de la température. Le coefficient de température de la f.é.m. standard est donc :

Pour une variation de température \Delta T, la variation de force électromotrice standard s'écrit :

D'après la question Q39, \Delta_r S^\circ = -42{,}46\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}. Avec \Delta T = 30\text{ K} et \mathcal{F} = 9{,}65 \times 10^4\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1} :

En valeur absolue sur la plage considérée :

(ou \Delta e^\circ \simeq -3{,}3\text{ mV} pour une élévation de température de 30\text{ }^\circ\text{C}).

Commentaire : Rapportée à la force électromotrice nominale e^\circ \simeq 3{,}70\text{ V}, la variation relative vaut :

Cette variation est inférieure à 0{,}1\ \%, ce qui est tout à fait négligeable. La force électromotrice de la pile au lithium-chlorure de thionyle présente donc une excellente stabilité thermique, ce qui est particulièrement avantageux pour les flotteurs Argo qui transitent régulièrement entre les eaux froides des abysses (environ 2\text{ }^\circ\text{C} à 4\,000\text{ m}) et les eaux chaudes de surface.

Un cycle de mesure dure \tau = 10\text{ jours} et consomme une énergie E_{\text{SOLO}} = 26{,}9\text{ kJ}. Sur une durée \Delta t = 5\text{ ans}, en prenant une année moyenne de 365\text{ jours} (soit 1\,825\text{ jours}), le nombre de cycles accomplis est :

L'énergie totale requise sur 5 ans s'élève donc à :

Pour un fonctionnement réversible à température et pression constantes, le travail électrique maximal récupérable lors de l'avancement \xi de la réaction s'identifie à l'opposé de la variation d'enthalpie libre :

D'après l'équation de fonctionnement de la pile établie en Q37, la consommation de n(\text{Li}) moles de lithium correspond à un avancement \xi = \frac{n(\text{Li})}{4} (puisque le nombre stœchiométrique du lithium vaut 4). L'énergie électrique fournie s'écrit donc :

puisque e^\circ = -\frac{\Delta_r G^\circ}{4\mathcal{F}}.

La quantité minimale de matière de lithium nécessaire est alors :

d'où la masse minimale de lithium solide requise :

Avec E_{\text{tot}} = 4{,}91 \times 10^6\text{ J}, M(\text{Li}) = 6{,}93\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, \mathcal{F} = 9{,}65 \times 10^4\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1} et e^\circ = 3{,}70\text{ V} :

On étudie le mouvement d'un nano-satellite de masse m_s, modélisé par un point matériel S, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

La Terre, de masse M_T et de rayon R_T, étant assimilée à une sphère homogène, elle exerce sur le satellite situé à l'altitude h_s (soit à la distance r = R_T + h_s de son centre) la force d'attraction gravitationnelle :

où \vec{u}_r est le vecteur unitaire radial dirigé du centre de la Terre vers le satellite, et \vec{n} = -\vec{u}_r le vecteur unitaire normal centripète (dirigé vers le centre de la Terre).

Le satellite n'étant soumis qu'à cette seule force gravitationnelle, la deuxième loi de Newton s'écrit :

Dans le repère de Frenet (\vec{t}, \vec{n}), l'accélération d'un point décrivant une trajectoire circulaire de rayon r = R_T + h_s à la vitesse v_s s'écrit :

La force gravitationnelle étant purement centripète, la projection selon la direction tangentielle donne \frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}t} = 0 : le mouvement est uniforme.

La projection sur le vecteur normal centripète \vec{n} donne :

On en déduit l'expression de la vitesse orbitale v_s :

Application numérique :

Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d'un flotteur à la surface de l'océan est la superposition :

• de la rotation propre de la Terre autour de son axe polaire à la vitesse angulaire \omega_T = \dfrac{2\pi}{T_T} ;
• de sa dérive dans l'océan par rapport au référentiel terrestre, de l'ordre de quelques dixièmes de mètre par seconde (courants océaniques typiquement inférieurs à 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

La vitesse du flotteur dans le référentiel géocentrique est donc très largement dominée par la vitesse d'entraînement due à la rotation terrestre. À une latitude \lambda, cette vitesse vaut :

Elle est maximale à l'équateur (\lambda = 0) :

Application numérique avec R_T = 6\,371\text{ km} = 6{,}371 \times 10^6\text{ m} et T_T = 86\,164\text{ s} :

D'après la question Q43, la vitesse orbitale des satellites Kinéis est v_s \simeq 7{,}53\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 7\,530\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On a donc :

Aux latitudes moyennes (\lambda \approx 45^\circ), la vitesse du flotteur n'est plus que d'environ 330\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui porte le rapport à plus de 20.

La vitesse du satellite est ainsi supérieure d'au moins un ordre de grandeur à celle du flotteur, ce qui justifie de considérer le flotteur comme fixe dans le référentiel géocentrique durant les quelques minutes que dure le survol.

1. Champ 1 (ligne 11) : Calcul de l'angle \theta_h

Le flotteur F est situé au sommet de la Terre en (x_0, y_0) = (0, R_T). La ligne d'horizon en F est le plan tangent à la sphère terrestre en F, d'équation y = R_T, donc orthogonale au rayon terrestre \vec{OF} = R_T\,\vec{u}_y.

À l'instant t = 0, le satellite apparaît sur cette ligne d'horizon en un point S. Le triangle OFS est rectangle en F, avec pour côtés OF = R_T et OS = R_T + h_s. Par projection :

Le champ 1 se complète par :

2. Champ 2 (ligne 12) : Vitesse angulaire \omega

Le satellite est animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r_s = R_T + h_s à la vitesse orbitale v_s. Sa vitesse angulaire dans le référentiel géocentrique est :

Le champ 2 se complète par :

3. Champ 3 (ligne 13) : Durée de la communication T

D'après les lignes 19 et 20 du script, la position angulaire du satellite repérée par rapport à la verticale du flotteur est \theta(t) = \theta_h - \omega t. Le satellite apparaît au-dessus de l'horizon à t = 0 (\theta(0) = \theta_h), passe au zénith à \theta = 0, puis disparaît sous l'horizon lorsque \theta(T) = -\theta_h :

Le champ 3 se complète par :

4. Champ 4 (ligne 23) : Tableau des distances SF

La position du flotteur est définie à la ligne 9 par (x_0, y_0) = (0, R_T). Les coordonnées cartésiennes du satellite au cours du temps sont stockées dans les tableaux NumPy x_sat et y_sat. La distance SF(t) s'exprime par le théorème de Pythagore :

Le champ 4 se complète par :

Le tracé de la vitesse radiale relative v_r(t) = \frac{\mathrm{d}(SF)}{\mathrm{d}t} appelle les commentaires physiques suivants :

• Fenêtre de visibilité (durée de survol) : La courbe s'étend sur une durée totale T \simeq 810\text{ s} \approx 13{,}5\text{ min}, ce qui correspond au temps durant lequel le satellite reste au-dessus de l'horizon local du flotteur et peut donc échanger des signaux radioélectriques avec lui.

• Signe et passage par zéro :

  • Pour t \in [0\,;\,T/2], on a v_r < 0 : la distance SF décroît, le satellite est en phase de rapprochement.
  • À l'instant médian t_0 = T/2 \simeq 405\text{ s}, la vitesse radiale s'annule (v_r = 0). Cela correspond au passage du satellite au zénith du flotteur (à sa verticale). La distance SF atteint son minimum (SF_{\min} = h_s = 650\text{ km}) et le vecteur vitesse \vec{v}_s, horizontal, est rigoureusement perpendiculaire à la ligne de visée \vec{FS}.
  • Pour t \in [T/2\,;\,T], on a v_r > 0 : la distance SF augmente, le satellite est en phase d'éloignement.
• Symétrie de la trajectoire : La courbe présente une symétrie centrale par rapport au point (T/2, 0), traduisant l'invariance par renversement du temps du mouvement orbital circulaire autour de la verticale du flotteur : v_r(T/2 + \Delta t) = -v_r(T/2 - \Delta t).

• Valeurs limites : Aux instants de lever (t=0) et de coucher (t=T) du satellite, la vitesse radiale atteint ses extremums :

  v_r(0) = -v_s \cos\theta_h \simeq -6{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} \quad \text{et} \quad v_r(T) = +v_s \cos\theta_h \simeq +6{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}

  Ces valeurs sont bien inférieures en module à la vitesse orbitale v_s = 7{,}53\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} en raison de la projection sur la ligne de visée.

Le champ électrique de l'onde incidente émise par le flotteur s'écrit en tout point x et à tout instant t :

L'antenne du satellite récepteur se déplace selon la loi horaire x(t) = d_0 + v_k t. Le champ électrique capté par le récepteur au cours du temps s'obtient en évaluant l'onde incidente en sa position instantanée :

En regroupant les termes dépendant du temps dans l'argument du cosinus, on a :

où la phase à l'origine vaut \varphi' = \varphi - \dfrac{\omega_c d_0}{c}.

La pulsation de l'onde reçue par le satellite est la dérivée temporelle de la phase instantanée :

Puisque le satellite s'éloigne du flotteur (v_k > 0), on a \omega'_c \neq \omega_c (en l'occurrence \omega'_c < \omega_c).

Cette modification de la fréquence (ou de la pulsation) d'une onde perçue par un observateur en mouvement relatif par rapport à la source est appelée l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes électromagnétiques).