Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2021 (page 2/4 : Partie B (questions 20 à 27) et partie C (questions 28 à 35))

Pendant la phase de vidange, l'écoulement varie suffisamment lentement pour être décrit dans l'approximation des écoulements quasi-stationnaires. Le fluide (l'eau) est incompressible et non visqueux, soumis au seul champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{u}_z.

Appliquons la relation de Bernoulli (établie à la question Q15) le long d'une ligne de courant reliant un point A de la surface libre du réservoir (à la cote z) à un point de la section de sortie D du siphon (à la cote z_D = 0) :

Précisons les conditions aux limites :

• La surface libre A et la sortie D débouchent toutes deux à l'atmosphère, de sorte que P_A = P_D = P_{\text{atm}}.
• Les cotes valent respectivement z_A = z et z_D = 0.

L'équation se simplifie ainsi en :

Par conservation du débit volumique du fluide vidangé, la vitesse à la surface libre v_A et la vitesse de sortie v_D sont reliées par :

Puisque S_r \gg S_t, on a v_A \ll v_D, ce qui permet de négliger l'énergie cinétique à la surface libre devant celle en sortie (v_A^2 \ll v_D^2).

Il vient alors immédiatement :

Soit finalement :

Le débit volumique D_t traversant la section de sortie du siphon au point D, d'aire S_t, s'exprime par le produit de cette section par la vitesse d'écoulement v_D (supposée uniforme sur la section droite du tube) :

En utilisant l'expression de la vitesse v_D établie à la question Q20, il vient directement :

Le fluide étant incompressible, le volume d'eau présent dans le réservoir à l'instant t s'écrit :

en négligeant le volume d'eau contenu dans la branche montante du siphon devant celui du réservoir principal puisque S_r \gg S_t.

Pendant la durée élémentaire \mathrm{d}t, le système ouvert constitué par le réservoir reçoit un volume entrant \mathrm{d}V_e = D_e\,\mathrm{d}t et perd un volume sortant par le siphon \mathrm{d}V_s = D_t\,\mathrm{d}t. Le bilan de matière en volume s'écrit donc :

soit, en dérivant par rapport au temps :

D'après le résultat de la question Q21, le débit volumique en sortie du siphon est :

En substituant cette relation, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution du niveau d'eau z(t) :

ou sous forme équivalente :

D'après le résultat de la question Q22, l'évolution du niveau de fluide pendant la phase de vidange est régie par :

Pour qu'il y ait vidange effective, le niveau d'eau doit décroître au cours du temps, ce qui impose \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} < 0, soit un débit entrant strictement inférieur au débit sortant : D_e < S_t\sqrt{2gz}.

• Au début de la vidange (z = z_C) :

  \left.\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right|_{z=z_C} = \frac{D_e - S_t\sqrt{2gz_C}}{S_r} < 0 \iff D_e < S_t\sqrt{2gz_C}

• À la fin de la vidange (z \to z_B) :

  \left.\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right|_{z=z_B} = \frac{D_e - S_t\sqrt{2gz_B}}{S_r} < 0 \iff D_e < S_t\sqrt{2gz_B}

Puisque z_B < z_C, la fonction z \mapsto S_t\sqrt{2gz} est strictement croissante : le débit sortant D_t(z) diminue au fur et à mesure que la hauteur d'eau baisse et atteint sa valeur minimale en fin de vidange, pour z = z_B.

Pour que la vidange ne s'arrête pas avant d'atteindre la cote de désamorçage z_B, l'inégalité doit être vérifiée sur l'ensemble de l'intervalle [z_B, z_C], ce qui impose de satisfaire la contrainte la plus restrictive, obtenue en z = z_B :

Pour obtenir un cycle complet d'oscillations (remplissage du réservoir puis vidange jusqu'au désamorçage), le réservoir doit pouvoir se remplir (D_e > 0) et se vider complètement jusqu'à z_B. Il faut donc choisir D_e tel que :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q22 :

La vidange s'arrête si le niveau d'eau atteint un état stationnaire, c'est-à-dire une cote z_0 telle que :

On en déduit immédiatement l'expression de la cote d'équilibre z_0 :

Pour que la vidange débute effectivement lorsque le siphon s'amorce en z_C, il faut que la dérivée soit strictement négative en ce point, soit :

Pour que cette vidange s'interrompe avant d'atteindre le niveau de désamorçage z_B, il faut que la dérivée s'annule pour une cote z_0 > z_B, ce qui impose :

Ainsi, pour toute valeur de débit D_e vérifiant la double inégalité :

la vidange commence dès l'amorçage en z_C, mais le niveau se stabilise à la cote z_0 \in ]z_B, z_C[.

Raisonnement physique :
Au fur et à mesure que le niveau z baisse, la charge motrice z diminue, réduisant la vitesse de vidange de Torricelli (v_D = \sqrt{2gz}) et donc le débit extrait par le siphon D_t(z). Lorsque le niveau atteint la cote z_0, le débit évacué compense exactement le débit d'alimentation du robinet (D_t(z_0) = D_e). Le niveau d'eau ne peut donc plus baisser.

Cet état d'équilibre est par ailleurs stable :

• si z > z_0, D_t(z) > D_e \implies \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} < 0 (le réservoir se vide vers z_0) ;
• si z < z_0, D_t(z) < D_e \implies \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} > 0 (le réservoir se remplit vers z_0).

Le siphon ne se désamorce jamais puisque la cote z_B n'est pas atteinte : le régime oscillant est détruit au profit d'un régime permanent d'écoulement stationnaire.

D'après l'équation différentielle établie à la question Q22 :

En négligeant le débit d'injection D_e devant le débit de vidange du siphon pendant toute cette phase, l'équation différentielle régissant le niveau d'eau z(t) devient :

Pour déterminer z(t), séparons les variables. En prenant comme origine des temps (t=0) le début de la vidange, c'est-à-dire l'instant d'amorçage où z(0) = z_C, il vient pour t \in [0, t_2] :

On obtient ainsi :

Soit, en élevant au carré (le terme entre parenthèses restant positif jusqu'à la fin de la vidange) :

La vidange s'achève à l'instant t = t_2 dès que le niveau atteint la cote z_B, moment où le siphon se désamorce (z(t_2) = z_B) :

Un cycle périodique complet d'oscillation du vase de Tantale correspond à l'alternance d'une phase de remplissage de z_B à z_C et d'une phase de vidange de z_C à z_B.

La période des oscillations, notée T, est donc la somme des durées de ces deux phases :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q18 et Q25 :

• durée de remplissage (Q18) : t_1 = \dfrac{S_r(z_C - z_B)}{D_e},
• durée de vidange sous l'hypothèse d'un débit entrant négligeable (Q25) : t_2 = \dfrac{S_r}{S_t}\sqrt{\dfrac{2}{g}}\left(\sqrt{z_C} - \sqrt{z_B}\right),

on obtient l'expression finale de la période des oscillations :

D'après les questions précédentes, l'évolution du niveau d'eau z(t) présente une alternance de deux régimes entre les cotes extrêmes z_B et z_C :

• Phase de remplissage (de t = 0 à t = t_1) :

  z(t) = z_B + \frac{D_e}{S_r}\,t

  La croissance est strictement linéaire avec une pente constante \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \dfrac{D_e}{S_r} > 0.

• Phase de vidange (de t = t_1 à t = t_1 + t_2 = T) :

  z(t) = \left(\sqrt{z_C} - \frac{S_t}{S_r}\sqrt{\frac{g}{2}}\,(t - t_1)\right)^2

  La décroissance est non linéaire (parabolique). La dérivée :

  \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = -\frac{S_t}{S_r}\sqrt{2gz(t)} < 0

  est négative et croît en valeur algébrique au fur et à mesure que z diminue (la valeur absolue de la pente diminue : \dfrac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2} > 0). La courbe est donc convexe (la vidange ralentit au fur et à mesure que le réservoir se vide).

Ce cycle se répète périodiquement avec la période T = t_1 + t_2 déterminée à la question Q26.

Un amplificateur linéaire intégré (ALI) est un composant actif possédant deux entrées (V^+ non inverseuse, V^- inverseuse) et une sortie v_s, dont le rôle principal est d'amplifier la différence de potentiel différentielle d'entrée \varepsilon = V^+ - V^-.

1. Caractéristiques d'un ALI idéal (parfait) :

• Impédance d'entrée différentielle infinie (R_e \to +\infty) : les courants d'entrée sont rigoureusement nuls :

  \boxed{i_+ = i_- = 0}
• Impédance de sortie nulle (R_s = 0) : la tension de sortie v_s est indépendante du courant débité dans la charge.

• Gain différentiel statique infini (\mu_0 \to +\infty) : en régime linéaire (non saturé), cela impose une tension différentielle d'entrée nulle :

  \boxed{\varepsilon = V^+ - V^- = 0}
• Bande passante infinie : le gain est indépendant de la fréquence, le temps de réponse est instantané.
• Vitesse de balayage infinie (slew-rate \mathrm{SR} \to +\infty) : la vitesse de variation temporelle de la tension de sortie |\mathrm{d}v_s/\mathrm{d}t| n'est pas bornée.
• Absence d'imperfections statiques : tension de décalage nulle (V_{\mathrm{offset}} = 0), tensions de saturation égales aux tensions d'alimentation (\pm V_{\mathrm{sat}} = \pm V_{\mathrm{alim}}).

2. Caractéristiques d'un ALI réel standard :

• Impédance d'entrée très élevée mais finie (R_e grande) : les courants d'entrée (courants de polarisation I_{\mathrm{pol}}) sont très faibles mais non nuls.
• Impédance de sortie faible mais non nulle (R_s > 0) et courant de sortie maximal borné (I_{s,\max}).
• Gain différentiel statique très grand mais fini (\mu_0 \gg 1) : \varepsilon est non strictement nul en régime linéaire mais très petit (\varepsilon \approx v_s / \mu_0).
• Bande passante limitée : le gain dépend de la fréquence selon un comportement passe-bas du premier ordre, caractérisé par une fréquence de coupure à -3\text{ dB} basse et un produit gain-bande constant.
• Vitesse de balayage finie (slew-rate borné) : la pente de la tension de sortie est limitée par |\mathrm{d}v_s/\mathrm{d}t| \le \mathrm{SR}.
• Tension de décalage non nulle (V_{\mathrm{offset}} \neq 0) et tensions de saturation inférieures aux tensions d'alimentation en valeur absolue (V_{\mathrm{sat}} < V_{\mathrm{alim}}).

Pour un amplificateur linéaire intégré (ALI) réel standard d'usage général (tel que le classique \mu\text{A741} à technologie bipolaire ou le TL081 à transistors à effet de champ), les ordres de grandeur des grandeurs caractéristiques sont les suivants :

• Gain différentiel statique en boucle ouverte :

  \mu_0 \sim 10^5 \text{ à } 10^6 \quad (\text{soit } 100 \text{ à } 120\text{ dB})

• Résistance différentielle d'entrée :

  R_e \sim 10^6 \ \Omega = 1\text{ M}\Omega \quad (\text{technologie bipolaire}) \quad \text{ou} \quad 10^{12}\ \Omega = 1\text{ T}\Omega \quad (\text{technologie BiFET/JFET})

• Résistance de sortie :

  R_s \sim 10 \text{ à } 100\ \Omega \quad (\approx 75\ \Omega \text{ pour le 741})

• Courants de polarisation d'entrée :

  I_{\text{pol}} \sim 10 \text{ à } 100\text{ nA} \quad (\text{bipolaire}) \quad \text{ou} \quad \sim 1 \text{ à } 10\text{ pA} \quad (\text{FET})

• Fréquence de coupure à -3\text{ dB} en boucle ouverte et produit gain-bande :

  f_c \sim 10\text{ Hz}, \qquad f_T = \mu_0 f_c \sim 1\text{ MHz}

• Vitesse maximale de balayage (slew rate) :

  \sigma = \left(\frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\max} \sim 0{,}5 \text{ à } 1\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1} \quad (\approx 0{,}5\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1} \text{ pour le 741, } 10\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1} \text{ pour le TL081})

• Tension de déchet et de saturation (pour V_{\text{alim}} = \pm 15\text{ V}) :

  V_{\text{sat}} \approx V_{\text{alim}} - (1\text{ à } 2\text{ V}) \approx 13{,}5 \text{ à } 14\text{ V}

Sur le schéma de la figure F5 :

• la sortie de l'amplificateur U_0 est rebouclée sur la borne non-inverseuse (+) à travers la résistance R_2 : il s'agit d'une rétroaction positive ;
• le signal d'entrée V_e est appliqué directement sur la borne inverseuse (-), sans aucune boucle de contre-réaction sur cette borne.

En présence d'une rétroaction positive exclusive, le système est instable en fonctionnement linéaire. Par conséquent :

La tension de sortie ne peut prendre que l'une des deux valeurs de saturation :

Le circuit réalise la fonction de comparateur à deux seuils (ou trigger de Schmitt inverseur).

L'amplificateur linéaire intégré U_0 étant supposé idéal, le courant entrant sur la borne non inverseuse est rigoureusement nul :

Les résistances R_1 et R_2 forment par conséquent un pont diviseur de tension non chargé entre la sortie au potentiel V_s et la masse au potentiel nul. Il vient directement :

Par application du théorème de Millman au nœud (+), on retrouve de façon équivalente :

L'amplificateur linéaire intégré fonctionne en régime de saturation car la réaction s'effectue sur l'entrée non inverseuse (+) (bouclage positif, voir question Q30). La tension différentielle d'entrée s'écrit :

D'après le résultat de la question Q31 :

1. État initial pour V_e = -15\text{ V} : Puisque V_s \in \{-V_{\text{sat}}, +V_{\text{sat}}\}, la tension V^{(+)} ne peut valoir que \pm \frac{R_1}{R_1 + R_2} V_{\text{sat}}. Comme V_{\text{sat}} = 14\text{ V} et \frac{R_1}{R_1 + R_2} < 1, on a nécessairement |V^{(+)}| < 14\text{ V}.

Pour V_e = -15\text{ V}, on a donc :

L'amplificateur est donc saturé à son niveau haut :

Le potentiel de l'entrée non inverseuse vaut alors :

Avec R_1 = 1{,}8\text{ k}\Omega, R_2 = 2{,}2\text{ k}\Omega et V_{\text{sat}} = 14\text{ V} :

2. Condition de basculement : Tant que la tension d'entrée V_e reste inférieure à V_H, on a \varepsilon > 0, donc la sortie reste à V_s = +V_{\text{sat}}.

Dès que V_e atteint et dépasse légèrement V_H = 6{,}3\text{ V}, la tension différentielle devient négative (\varepsilon < 0). La sortie bascule brutalement vers le niveau de saturation bas :

La tension de basculement lors de la croissance de V_e est donc le seuil haut :

Après ce basculement, le potentiel de l'entrée (+) devient :

Pour V_e \in [6{,}3\text{ V}, +15\text{ V}], on a V_e > V_B, donc \varepsilon < 0 : la sortie reste maintenue à V_s = -14\text{ V}.

3. Tracé de la courbe V_s(V_e) pour V_e croissant :

Lorsque la tension d'entrée se trouve initialement à V_e = +15\text{ V}, le système est dans l'état saturé bas :

D'après la relation établie à la question Q31, le potentiel de l'entrée non inverseuse vaut alors :

Numériquement :

La tension différentielle d'entrée est \varepsilon = V^{(+)} - V^{(-)} = V_B - V_e.

Tant que V_e > V_B, \varepsilon < 0 : la sortie reste saturée à V_s = -V_{\text{sat}}.

Lorsque V_e décroît et franchit la tension de seuil bas V_B, la tension différentielle \varepsilon devient strictement positive, ce qui provoque le basculement instantané de la sortie vers le niveau haut :

Ce basculement entraîne immédiatement une remontée du potentiel V^{(+)} à la valeur V_H = +6{,}3\text{ V}, confirmant que \varepsilon = V_H - V_e > 0.

Pour V_e continuant de décroître de V_B jusqu'à -15\text{ V}, la sortie demeure fixée à +V_{\text{sat}}.

La tension de basculement lors de la décroissance de V_e est donc le seuil bas :

On trace sur le graphe ci-dessous la caractéristique de transfert V_s = f(V_e) :

• en bleu pour V_e croissant (étudié à la question Q32) ;
• en rouge pour V_e décroissant (étudié ici).

Ce montage est qualifié de comparateur à hystérésis (ou bascule de Schmitt) pour deux raisons complémentaires :

• Comparateur : l'amplificateur opérationnel fonctionnant en régime saturé en raison de la rétroaction positive sur la borne non inverseuse, la sortie ne peut prendre que deux valeurs discrètes (V_s = +V_{\text{sat}} ou V_s = -V_{\text{sat}}). Le circuit compare donc la tension d'entrée V_e à une tension de seuil.

• À hystérésis : le terme « hystérésis » (du grec hustérêsis, retard ou dépendance à l'histoire passée) désigne un phénomène où l'état d'un système dépend de son évolution antérieure. Ici, le seuil de basculement n'est pas unique :

  • pour V_e croissante, le basculement intervient au seuil haut :

    V_H = +\frac{R_1}{R_1 + R_2}V_{\text{sat}} \approx +6{,}3\text{ V}

  • pour V_e décroissante, le basculement intervient au seuil bas :

    V_B = -\frac{R_1}{R_1 + R_2}V_{\text{sat}} \approx -6{,}3\text{ V}

  Pour V_e \in [V_B, V_H], la sortie V_s peut valoir indifféremment +V_{\text{sat}} ou -V_{\text{sat}} : son état est déterminé par l'histoire du signal d'entrée (effet mémoire), et la caractéristique de transfert V_s = f(V_e) forme un cycle fermé irréversible parcouru dans le sens horaire.

Le montage de la figure F5 est un comparateur à hystérésis inverseur car le signal d'entrée V_e(t) est appliqué sur la borne non-inverseuse (-) de l'ALI.

D'après les questions Q31 et Q32, la tension appliquée sur la borne (+) est :

ce qui définit deux seuils de commutation associés aux tensions de saturation \pm V_{\text{sat}} = \pm 14\text{ V} :

Le fonctionnement en régime établi est le suivant :

• Si V_s = +V_{\text{sat}}, la borne non-inverseuse est à V^{(+)} = V_H = +6{,}3\text{ V}. Lorsque V_e(t) croît et franchit V_H par valeurs inférieures, la tension différentielle \varepsilon = V^{(+)} - V_e devient négative : la sortie bascule de +V_{\text{sat}} à -V_{\text{sat}}.
• Si V_s = -V_{\text{sat}}, la borne non-inverseuse est à V^{(+)} = V_B = -6{,}3\text{ V}. Lorsque V_e(t) décroît et franchit V_B par valeurs supérieures, \varepsilon = V^{(+)} - V_e redevient positive : la sortie re-bascule de -V_{\text{sat}} à +V_{\text{sat}}.

À l'instant t=0, V_e(t) croît depuis des valeurs négatives (où V_e < V_B), la sortie est donc à V_s = +V_{\text{sat}} = +14\text{ V}. Sur l'intervalle [0, T/4], le signal triangulaire a pour équation :

Le premier basculement (+V_{\text{sat}} \to -V_{\text{sat}}) intervient à l'instant t_1 tel que V_e(t_1) = V_H :

Le basculement suivant (-V_{\text{sat}} \to +V_{\text{sat}}) intervient lors de la phase de décroissance lorsque V_e(t_2) = V_B = -V_H. Par symétrie du signal triangulaire :

La tension de sortie V_s(t) est donc un signal en créneau de période T, symétrique en durée (rapport cyclique de 50\,\%), oscillant entre +V_{\text{sat}} = +14\text{ V} et -V_{\text{sat}} = -14\text{ V}.