Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2021 (page 4/4 : Partie C (questions 51 à 68))

D'après la question Q50, la fonction de transfert de la chaîne directe non bouclée associant le filtre et l'étage amplificateur s'écrit :

où \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}, Q = \dfrac{R_0 R}{R_0 + R}\sqrt{\dfrac{C}{L}} et H_1 = \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1}\right)\dfrac{R}{R_0 + R}.

En multipliant par le dénominateur, on obtient :

Multiplions par \dfrac{\mathrm{j}\omega}{Q\,\omega_0} :

Par passage dans le domaine temporel en régime quelconque, l'opérateur \mathrm{j}\omega s'identifie à la dérivation temporelle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}, ce qui donne :

Lorsque l'interrupteur K est fermé pour t \ge 0, la sortie de l'amplificateur est rebouclée sur l'entrée du filtre :

En reportant cette égalité et en regroupant les termes du premier ordre :

Soit, sous forme canonique :

D'après la question Q51, l'évolution temporelle de v_3(t) est régie par l'équation différentielle :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Son discriminant est :

L'obtention d'oscillations pseudo-périodiques d'amplitude croissante impose deux conditions :

• Caractère oscillant (pseudo-périodique) : les racines doivent être complexes conjuguées, ce qui impose un discriminant strictement négatif :

  \begin{aligned} \Delta < 0 &\iff \left(\frac{1 - H_1}{Q}\right)^2 < 4 \\ &\iff \frac{|1 - H_1|}{Q} < 2 \\ &\iff 1 - 2Q < H_1 < 1 + 2Q \end{aligned}

• Amplitude croissante : la solution générale étant de la forme v_3(t) = A\,\mathrm{e}^{\operatorname{Re}(r)\,t}\cos(\Omega t + \varphi), l'amplitude croît si et seulement si la partie réelle des racines est strictement positive :

  \begin{aligned} \operatorname{Re}(r) = -\frac{\omega_0}{2Q}(1 - H_1) > 0 \iff 1 - H_1 < 0 \iff H_1 > 1 \end{aligned}

En combinant ces deux conditions, le comportement recherché est obtenu pour :

La condition d'amorçage (ou condition de démarrage) est la condition minimale \boxed{H_1 > 1}.

D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q51 :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Sous la condition établie en Q52 (1 < H_1 < 1 + 2Q), le discriminant réduit est strictement négatif :

Les deux racines sont complexes conjuguées à partie réelle strictement positive :

où la pseudo-pulsation d'oscillation vaut :

La fréquence des oscillations pendant cette phase de démarrage est la pseudo-fréquence f = \dfrac{\Omega}{2\pi}. Avec f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi}, on obtient :

D'après la question Q53, la fréquence des oscillations pendant la phase de démarrage s'écrit :

Pour que cette fréquence soit considérée comme égale à la fréquence propre f_0 du filtre (f \approx f_0), le terme correctif sous le radical doit être très petit devant 1 :

Sachant que l'amorçage impose H_1 > 1 (question Q52), cette condition se traduit concrètement par :

• un gain de boucle H_1 très proche de 1 par valeurs supérieures (H_1 \gtrsim 1), ce qui correspond à un amorçage « doux » juste au-dessus du seuil critique d'oscillation ;
• et/ou un facteur de qualité Q grand (Q \gg 1), c'est-à-dire un filtre RLC très sélectif.

On peut donc considérer que f \approx f_0 si :

Le gain maximal de la chaîne directe s'écrit H_1 = A_2 H_0 avec A_2 = 1 + \frac{R_2}{R_1}. Il est préférable de limiter le gain A_2 de l'étage amplificateur (et donc H_1) pour deux grandes catégories de raisons :

1. D'après l'étude précédente (modélisation du circuit) :

• Préservation du régime oscillatoire : D'après la question Q52, des oscillations pseudo-périodiques ne peuvent exister que si :

  1 < H_1 < 1 + 2Q

  Si le gain est trop grand (H_1 \ge 1 + 2Q), le discriminant de l'équation caractéristique devient positif : le régime devient apériodique divergent et le système bascule directement en saturation sans osciller.

• Précision de la fréquence d'oscillation : D'après les questions Q53 et Q54, la fréquence des oscillations au démarrage vaut :

  f = f_0 \sqrt{1 - \left(\frac{H_1 - 1}{2Q}\right)^2}

  Pour que la fréquence soit stable et calibrée par le filtre (f \approx f_0), il est impératif de maintenir \frac{H_1 - 1}{2Q} \ll 1, soit un gain H_1 à peine supérieur à 1 (H_1 \gtrsim 1).

• Pureté spectrale (quasi-sinusoïdale) : L'amplitude des oscillations est stabilisée en régime permanent par les non-linéarités de saturation (\pm V_{\text{sat}}) de l'ALI. Si le gain H_1 est nettement supérieur à 1, l'écrêtage est très violent, ce qui enrichit considérablement le signal en harmoniques et dégrade la forme d'onde (signal proche d'un créneau au lieu d'une sinusoïde).

2. D'après le comportement réel de l'ALI U1 :

• Bande passante et produit gain-bande : Un ALI réel présente un produit gain-bande constant (G \times B = \text{cte}). Augmenter le gain statique A_2 réduit drastiquement la bande passante de l'amplificateur. Or, la fréquence de travail est élevée (f_0 \approx 100\text{ kHz}) : une bande passante trop étroite introduirait un déphasage parasite important et une atténuation à f_0, rendant impossible le maintien de la condition de phase d'oscillation.
• Vitesse de balayage (slew rate) : À forte amplitude et à haute fréquence (100\text{ kHz}), la pente maximale du signal \left|\frac{\mathrm{d}v_3}{\mathrm{d}t}\right|_{\max} = \omega_0 V_3 risquerait de dépasser le slew rate de l'ALI, entraînant une distorsion triangulaire du signal.

En comparant les schémas des figures F12 et F13 au niveau du filtre passif :

• la résistance R, branchée en parallèle entre la sortie du filtre et la masse sur la figure F12, est absente sur le schéma réel de la figure F13 ;
• l'inductance idéale L et le condensateur idéal C sont remplacés par des composants notés L_r et C_r, désignant des composants réactifs réels.

Le reste du montage (l'interrupteur K, la résistance série R_0 et l'étage amplificateur non inverseur constitué de l'amplificateur linéaire intégré U1 et des résistances R_1, R_2) demeure strictement identique.

Le composant du schéma de la figure F13 qui permet d'expliquer l'équivalence entre les deux montages est la bobine réelle (notée L_r).

En effet, dans le schéma théorique de la figure F12, la résistance R modélise l'ensemble des pertes énergétiques (dissipation par effet Joule) du résonateur.

Dans un montage physique (figure F13) :

• La bobine réelle L_r est constituée d'un fil conducteur (en cuivre) d'une certaine longueur, présentant une résistance interne propre r non négligeable.
• Au voisinage de la fréquence de résonance, le modèle série d'une bobine réelle (inductance L en série avec sa résistance interne r) est électriquement équivalent à une association parallèle d'une inductance et d'une résistance de pertes R_{\text{p}} \approx \frac{L^2\omega_0^2}{r}.

La résistance R connectée en dérivation sur la figure F12 n'est donc pas un composant ajouté physiquement, mais la représentation des pertes résistives de la bobine réelle L_r.

La résistance R d'un conducteur cylindrique homogène de longueur l_{\text{fil}}, de section droite conductrice s_{\mathrm{Cu}} et de conductivité \sigma_{\mathrm{Cu}} est donnée par :

Section conductrice du fil : Seule l'âme en cuivre conduit le courant électrique. Sa section droite circulaire de diamètre d_{\mathrm{Cu}} s'écrit :

Longueur totale du fil : En considérant une section de spire circulaire d'aire S_B = \pi R_B^2, le rayon d'une spire est R_B = \sqrt{S_B/\pi}, d'où le périmètre \mathcal{P} d'une spire :

Pour N_{sp} spires, la longueur totale du fil de cuivre enroulé est :

On en déduit une première expression de la résistance en fonction de N_{sp} :

Prise en compte de la condition de spires jointives : Chaque spire est constituée d'une âme de diamètre d_{\mathrm{Cu}} enrobée d'une gaine isolante d'épaisseur t_i. Le diamètre extérieur total du fil vaut donc :

Les N_{sp} spires étant jointives sur la longueur l_B du solénoïde en une seule couche, on a la relation géométrique :

En injectant cette relation, on obtient l'expression complète de la résistance de la bobine :

Par définition, un condensateur est constitué de deux milieux conducteurs (les électrodes ou armatures) placés à proximité l'un de l'autre et séparés par un milieu isolant (le diélectrique) :

• le fil de cuivre des deux spires adjacentes constitue deux armatures conductrices en regard ;
• les couches d'enrobage isolant (d'épaisseur totale 2t_i entre les cœurs de cuivre en contact mécanique) forment un diélectrique empêchant tout contact électrique direct.

De plus, lorsqu'une tension est appliquée à la bobine, celle-ci se répartit sur l'ensemble des N_{sp} spires, ce qui engendre une différence de potentiel non nulle entre deux spires successives.

Deux spires adjacentes constituent donc bien deux armatures conductrices en regard séparées par un diélectrique et soumises à une différence de potentiel, ce qui forme un condensateur de capacité élémentaire notée C_i.

La spire intermédiaire \text{Sp2} constitue une armature commune au condensateur formé par la paire \{\text{Sp1}-\text{Sp2}\} et au condensateur formé par la paire \{\text{Sp2}-\text{Sp3}\}. Ces deux condensateurs élémentaires, de même capacité C_i, sont donc électriquement associés en série entre la spire \text{Sp1} et la spire \text{Sp3}.

Pour ces trois spires, la capacité équivalente C_{13} vérifie :

Par extension à une bobine complète comportant N_{sp} spires jointives en une seule couche, il existe N_{sp} - 1 intervalles entre spires consécutives, formant une chaîne de N_{sp} - 1 condensateurs élémentaires identiques C_i branchés en série de la première à la dernière spire.

La capacité équivalente globale de l'ensemble des spires (dite capacité parasite inter-spires, notée C_p) s'exprime donc par :

La bobine réelle est le siège de trois phénomènes physiques distincts :

• un effet inductif propre, modélisé par une inductance idéale L_r (ou L_{\text{sp}}) ;
• des pertes par effet Joule dans le conducteur en cuivre, modélisées par la résistance série de l'enroulement R_{\text{bob}} déterminée en Q58 ;
• un couplage électrostatique global entre la première et la dernière spire (résultante des capacités inter-spires en série calculée en Q60), modélisé par une capacité parasite C_p connectée entre les deux bornes d'accès de la bobine.

Le condensateur parasite C_p se trouve ainsi placé en dérivation (en parallèle) sur la branche série formée par l'inductance L_r et la résistance interne R_{\text{bob}}.

La présence de la capacité parasite C_p entraîne deux conséquences physiques majeures :

1. Phénomène d'auto-résonance de la bobine : L'association en parallèle de la branche inductive (L_r, R_{\text{bob}}) et du condensateur parasite C_p fait apparaître une pulsation d'antirésonance propre (dite de résonance propre) :

   \omega_{\text{SRF}} \approx \frac{1}{\sqrt{L_r C_p}}
   • Pour des pulsations \omega < \omega_{\text{SRF}}, le dipôle conserve un comportement globalement inductif.
   • Pour des pulsations \omega > \omega_{\text{SRF}}, l'admittance du condensateur parasite jC_p\omega l'emporte sur celle de l'inductance : la bobine présente un comportement capacitif. Elle ne peut donc plus jouer son rôle d'inductance à ces fréquences.

2. Modification de la fréquence de résonance de l'oscillateur : Sur le schéma de la figure F13, la bobine réelle se trouve branchée en parallèle avec le condensateur C_r. La capacité parasite s'ajoute ainsi directement en dérivation sur C_r :

   C_{\text{eff}} = C_r + C_p > C_r

   Il en résulte un abaissement de la fréquence propre d'oscillation par rapport à la valeur théorique visée :

   \boxed{f_0' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_r(C_r + C_p)}} < f_0}

   De plus, cette capacité parasite dépendant fortement de la température, de l'humidité et de la géométrie des spires, elle peut être source de dérive en fréquence et nuire à la stabilité à court et moyen terme de l'oscillateur.

• Relation du filtre : L'amplificateur non inverseur présentant une impédance d'entrée infinie (Z_{e2} = +\infty, d'après la question Q49), il ne charge pas le filtre. La relation d'entrée-sortie du filtre s'écrit donc simplement :

  \underline{V}_2 = \underline{H}_F(\omega) \, \underline{V}_1

• Relation de l'amplificateur : Par définition de la fonction de transfert \underline{A} de l'étage amplificateur :

  \underline{V}_3 = \underline{A} \, \underline{V}_2

• Condition de bouclage : D'après le schéma de la figure F15, la sortie de l'amplificateur est directement connectée à l'entrée du filtre (interrupteur fermé et liaison équipotentielle idéale sans impédance intermédiaire) :

  \underline{V}_1 = \underline{V}_3

En injectant successivement ces expressions dans celle de \underline{V}_3, on obtient :

soit :

S'il y a effectivement oscillation, le signal n'est pas identiquement nul (\underline{V}_3 \neq 0), ce qui impose la condition d'oscillation :

D'après la question Q63, la condition d'oscillation en régime permanent (critère de Barkhausen) s'écrit :

D'après la question Q48, l'étage amplificateur inséré dans la boucle (structures des figures F12 et F15) est le montage non inverseur (structure n°2), dont la fonction de transfert vaut :

Les résistances R_1 et R_2 étant strictement positives, le gain \underline{A} est un nombre réel strictement positif. Son argument est donc nul modulo 2\pi :

En prenant l'argument de la relation d'oscillation, il vient :

Or, l'argument d'un produit est la somme des arguments :

On en déduit ainsi la relation sur la phase du filtre (définie modulo 2\pi dans l'intervalle [-\pi/2, \pi/2]) :

La condition d'oscillation en boucle fermée s'écrit :

En prenant l'argument de cette relation, on obtient :

Le gain de l'amplificateur s'écrivant \underline{A}' = A_0 \, \mathrm{e}^{j\delta\psi} avec A_0 > 0, son argument vaut :

Pour une petite fluctuation de phase \delta\psi, la nouvelle condition d'oscillation relative à la phase du filtre s'écrit donc :

La pulsation d'oscillation s'écrit \omega = \omega_0 + \delta\omega avec \delta\omega \ll \omega_0, ce qui donne pour la pulsation réduite :

Au premier ordre en \frac{\delta\omega}{\omega_0}, la grandeur sans dimension x - \frac{1}{x} s'approxime par :

L'expression canonique de la fonction de transfert du filtre s'écrit alors :

Puisque H_0 > 0, l'argument de \underline{H}_F(\omega) vaut :

Pour une petite fluctuation (\delta\omega \ll \omega_0, soit un argument petit devant 1), le développement au premier ordre donne :

D'après le résultat de la question Q65, la condition d'oscillation de phase impose :

soit :

On en déduit l'expression littérale de la variation de pulsation :

Puisque \omega = 2\pi f, la fluctuation relative de fréquence est identique à celle de pulsation :

Pour l'application numérique, on convertit l'angle en radians :

Avec f_0 \approx 100\text{ kHz} = 10^5\text{ Hz} et Q_F \approx 3 :

D'après la relation établie à la question Q66, la pulsation d'oscillation s'adapte instantanément pour compenser le déphasage introduit par l'amplificateur selon :

• Comportement temporel : si \delta\psi(t) fluctue au cours du temps, la pulsation instantanée de l'oscillateur \omega(t) = \omega_0 + \delta\omega(t) (ainsi que sa fréquence instantanée f(t)) varie continûment autour de la valeur propre f_0. Le signal de sortie subit une modulation de phase et de fréquence (présence d'instabilités de fréquence à court terme ou bruit de phase).

• Aspect du spectre : pour un oscillateur idéal parfaitement stable, le spectre d'amplitude est une raie infiniment fine (pic de Dirac à la fréquence f_0). En raison des fluctuations temporelles de phase :

  • la raie à f_0 subit un élargissement spectral (la largeur à mi-hauteur devient non nulle) ;
  • des bandes latérales de bruit apparaissent de part et d'autre du pic central, formant un socle continu appelé piédestal de bruit de phase.

D'après la relation établie en Q66, la fluctuation relative de pulsation (et donc de fréquence) induite par une dérive de phase \delta\psi s'écrit :

Pour améliorer la stabilité en fréquence et réduire le bruit de phase de l'oscillateur, plusieurs solutions s'imposent :

1. Augmenter fortement le facteur de qualité Q_F du résonateur :

   • Plus Q_F est grand, plus la pente \left.\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\omega}\right|_{\omega_0} = -\frac{2 Q_F}{\omega_0} de la phase du filtre est raide : une variation \delta\psi ne produit alors qu'un très faible décalage \delta\omega.
   • En pratique, on remplace le circuit résonant RLC (limité à des Q_F de quelques dizaines) par un résonateur piézoélectrique à quartz (Q \sim 10^4 à 10^6), voire une cavité électromagnétique ou une transition atomique (horloge atomique).

2. Minimiser les fluctuations parasites de phase \delta\psi :

   • Choix de l'amplificateur : utiliser des composants électroniques à faible bruit et possédant un produit gain-bande passante très grand devant f_0, afin que le temps de réponse et le déphasage propre de l'ALI soient quasi-nuls et insensibles aux variations de signal ;
   • Régulation thermique et électrique : stabiliser l'alimentation électrique et thermostatiser le montage (oscillateurs de type OCXO) pour limiter la dérive thermique des composants réactifs (L, C) et de l'amplificateur ;
   • Blindage : isoler mécaniquement et électromagnétiquement le circuit contre les vibrations et les parasites extérieurs.