Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2024

L'enveloppe gonflable du spa a la forme d'un cylindre creux (un anneau cylindrique) délimité par les diamètres extérieur d_{\text{ext}} et intérieur d_{\text{int}}, sur une hauteur H. Le tapis de fond en plastique n'étant pas gonflable, le volume d'air nécessaire pour gonfler la structure à sa forme définitive sous la pression atmosphérique est :

D'après le formulaire, on prend \dfrac{\pi}{4} = 0,8. Avec d_{\text{ext}} = 2,0\text{ m}, d_{\text{int}} = \sqrt{2}\text{ m} et H = 1,0\text{ m} :

Le temps de gonflage étant t_{\text{g}} = 10\text{ min} = 600\text{ s}, le débit volumique moyen de la pompe s'écrit :

Soit numériquement :

À l'instant t_{\text{g}}, l'enveloppe a atteint son volume définitif V à la pression atmosphérique P_0 = 1\text{ bar}. La quantité d'air emprisonnée est, d'après l'équation d'état des gaz parfaits :

Pour t > t_{\text{g}}, le volume V et la température T restent constants. La pompe continue d'injecter de l'air prélevé dans l'atmosphère extérieure à la pression P_0 et à la température T. Le débit molaire d'air entrant s'écrit :

Pendant une durée supplémentaire \Delta t après t_{\text{g}}, la quantité de matière ajoutée est :

La valve s'ouvre lorsque la surpression atteint le seuil \delta p = 0{,}1\text{ bar}, soit à la pression intérieure P = P_0 + \delta p. La quantité de matière correspondante vaut :

En égalant les deux expressions de \Delta n, et sachant d'après la question 1 que V = D_{\text{p}} t_{\text{g}}, on obtient :

L'application numérique donne :

La valve s'ouvre donc au bout d'un temps total t = t_{\text{g}} + \Delta t depuis la mise en marche de la pompe :

À la fin du temps de gonflage t_{\mathrm{g}}, la pompe est arrêtée. L'air enfermé dans l'enveloppe constitue un système fermé de quantité de matière n constante, occupant un volume fixé V.

Dans l'état initial (le matin), l'air est à l'équilibre mécanique et thermique avec l'extérieur :

Au cours de la journée, la température extérieure augmente et l'air intérieur s'équilibre thermiquement avec le milieu extérieur (T_{\mathrm{int}} = T). La transformation étant isochore pour le gaz parfait contenu dans l'enveloppe :

La valve de surpression s'ouvre dès que la surpression atteint le seuil \delta p = 0{,}1\text{ bar}, soit pour une pression intérieure :

La température T_2 correspondante s'exprime donc par :

L'élévation de température nécessaire est :

D'où la température d'ouverture :

Avec deux chiffres significatifs :

La vitesse de chauffage annoncée par le constructeur étant constante et égale à v_{\mathrm{c}} = 2^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}^{-1}, la durée nécessaire pour élever la température de T_{\mathrm{i}} = 20^\circ\mathrm{C} à T_{\mathrm{f}} = 40^\circ\mathrm{C} est donnée par :

Application numérique :

Pour évaluer la cohérence avec la puissance annoncée \mathscr{P}_{\mathrm{c}} = 2{,}5\text{ kW}, calculons la puissance thermique théorique \mathscr{P}_{\text{th}} requise pour chauffer l'eau à ce rythme, en l'absence de pertes thermiques.

L'eau occupe le cylindre intérieur de diamètre d_{\text{int}} sur une hauteur h_{\mathrm{e}}. Son volume vaut :

Avec les données de l'énoncé et la convention \frac{\pi}{4} = 0{,}8 :

La masse d'eau correspondante est donc :

L'énergie thermique nécessaire pour augmenter la température de l'eau de \Delta T = 20\text{ K} vaut :

La puissance thermique moyenne minimale à fournir au cours de la durée \Delta t_{\mathrm{c}} est alors :

En convertissant la vitesse de chauffage en \text{K}\cdot\text{s}^{-1} (v_{\mathrm{c}} = \frac{2}{3600}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1} = \frac{1}{1800}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}) :

Cette valeur théorique de 2{,}8\text{ kW} est du même ordre de grandeur et très proche de la valeur nominale de l'unité de contrôle \mathscr{P}_{\mathrm{c}} = 2{,}5\text{ kW} (écart relatif d'environ 10\%, parfaitement imputable à l'approximation sur \pi et aux pertes thermiques non nulles lors de l'essai constructeur). Le résultat est donc tout à fait cohérent.

Le chauffage par le Soleil est le plus efficace au midi solaire (vers 13 h ou 14 h selon l'heure légale en France), pour deux raisons physiques complémentaires :

1. Effet géométrique (loi du cosinus de Lambert) : à midi solaire, le Soleil atteint sa hauteur angulaire maximale au-dessus de l'horizon. L'angle d'incidence \theta des rayons par rapport à la normale de la surface horizontale de l'eau est minimal. La puissance surfacique reçue par cette surface horizontale, proportionnelle à \cos\theta, est donc maximale.
2. Atténuation atmosphérique minimale : l'épaisseur d'atmosphère traversée par les rayons solaires est minimale lorsque le Soleil est au plus haut dans le ciel. L'atténuation du rayonnement par diffusion (notamment la diffusion Rayleigh par les molécules d'air étudiée dans les questions suivantes) et par absorption atmosphérique est alors la plus faible.

1. Forme de l'onde électromagnétique

Le rayonnement solaire provient d'une source située à une très grande distance de la Terre (d \approx 1{,}5\times 10^{8}\text{ km}). À l'échelle de l'atmosphère locale, les surfaces d'onde sphériques sont assimilables à des plans : l'onde incidente est donc localement modélisable par une onde plane.

• Bien que le rayonnement solaire soit polychromatique, la linéarité des équations de Maxwell permet une décomposition spectrale de Fourier : on étudie séparément chaque composante monochromatique de pulsation \omega.
• L'onde se propage dans l'air (milieu assimilé au vide, d'indice n \approx 1) à la célérité c selon l'axe (Ox).
• Du fait de la transversalité des ondes électromagnétiques dans le vide (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0), le champ électrique est orthogonal à la direction de propagation (Ox), par exemple selon \widehat{e}_z pour une composante de polarisation rectiligne donnée.

L'expression \vec{E}(x,t) = E_0 \cos[\omega(t - x/c)]\,\widehat{e}_z est donc bien celle d'une onde plane progressive monochromatique (OPPM) polarisée rectilignement.

2. Apparition de la polarisation

Sous l'effet du champ électrique incident \vec{E}, les électrons des molécules d'air (\mathrm{N}_2, \mathrm{O}_2) subissent une force électrique \vec{F}_{\mathrm{e}} = -e\vec{E}. Les noyaux, plusieurs milliers de fois plus massiques que les électrons, restent pratiquement immobiles. Il en résulte un déplacement relatif \vec{r} du barycentre des charges négatives par rapport à celui des charges positives, ce qui induit un moment dipolaire instantané :

Ce moment dipolaire oscille à la même pulsation \omega que le champ excitateur et est orienté selon la même direction \widehat{e}_z.

3. Signification de \omega_0

Dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié (modèle de Lorentz), \omega_0 représente la pulsation propre (ou pulsation de résonance) d'oscillation des électrons au sein de la molécule.

L'onde plane progressive monochromatique se propage selon l'axe (Ox) dans le sens des x croissants. Le vecteur de Poynting s'écrit :

L'éclairement \mathcal{E}_\omega, assimilé à la puissance surfacique moyenne temporelle du rayonnement incident, vaut :

La puissance moyenne rayonnée (diffusée) par chaque molécule d'air est donnée par :

En injectant E_0^2 = \dfrac{2\mathcal{E}_\omega}{\varepsilon_0 c} et en utilisant la relation de Maxwell \varepsilon_0\mu_0 c^2 = 1, soit \dfrac{1}{\varepsilon_0^2 c^4} = \mu_0^2 :

En introduisant le paramètre sans dimension \kappa = \dfrac{\omega_0}{\omega}, le facteur fréquentiel se simplifie :

D'où l'expression de la puissance rayonnée par molécule :

Considérons une tranche d'atmosphère d'épaisseur \mathrm{d}x et de section droite transverse S, située entre x et x+\mathrm{d}x. Le volume S\,\mathrm{d}x contient \mathrm{d}N = n\,S\,\mathrm{d}x molécules.

En régime permanent, le flux d'énergie entrant est S\,\mathcal{E}_\omega(x) et le flux sortant est S\,\mathcal{E}_\omega(x+\mathrm{d}x). La perte d'énergie correspondante est intégralement diffusée par les molécules présentes dans la tranche :

En divisant par S\,\mathrm{d}x :

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit sous la forme :

dont la solution est :

avec la longueur caractéristique :

Vérification dimensionnelle : Les dimensions des grandeurs intervenant dans H_\omega sont :

• [m] = \mathrm{M} ;
• [e] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T} ;
• [n] = \mathrm{L}^{-3} ;
• [\kappa] = 1 (rapport de pulsations) ;
• D'après l'unité fournie pour \mu_0 (\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{A}^{-2}\cdot\mathrm{s}^{-2}), [\mu_0] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{I}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-2}.

La dimension du dénominateur vaut :

On en déduit la dimension de H_\omega :

H_\omega a bien la dimension d'une longueur, ce qui valide la cohérence dimensionnelle de l'expression.

D'après la loi du déplacement de Wien fournie :

Pour T_{\mathrm{S}} = 5\,800\text{ K} :

La pulsation correspondante s'écrit :

Avec c \approx 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et l'approximation \pi \approx 3 (cohérente avec \pi/3 = 1{,}0) :

Le rapport sans dimension \kappa = \omega_0 / \omega vaut donc :

Comme \kappa^2 \approx 37 \gg 1, on a (\kappa^2 - 1)^2 \approx \kappa^4 \approx 1{,}4 \times 10^3.

La densité volumique de molécules n au niveau du sol (P_0 = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, T \approx 288\text{ K}) est obtenue par la loi des gaz parfaits :

En injectant ces grandeurs dans l'expression de H_\omega établie à la question 7 :

L'épaisseur totale de l'atmosphère étant L_{\text{atm}} \sim 100\text{ km}, on a L_{\text{atm}} \ll H_\omega : l'atténuation totale par diffusion Rayleigh à travers toute l'épaisseur de l'atmosphère n'est que de l'ordre de 1 - \mathrm{e}^{-100/800} \approx 12\%.

Une variation d'altitude accessible à un utilisateur de spa (typiquement \Delta z \sim 1 \text{ à } 2\text{ km}) correspond à une variation relative de chemin optique dans l'atmosphère extrêmement faible :

Conclusion : L'effet d'une augmentation d'altitude sur le flux solaire reçu par l'eau du spa du fait de la moindre diffusion Rayleigh est minime (gain inférieur à 1\%) et donc tout à fait négligeable sur le chauffage naturel du spa.

1. Définition de la résistance thermique

Par analogie formelle avec la loi d'Ohm en électrocinétique (U = R_{\text{él}} I), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un milieu séparant deux zones isothermes de températures respectives T_1 et T_2 traversé par un flux thermique \Phi (puissance thermique transférée) en régime stationnaire est définie par :

Elle s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}.

2. Résistance thermique de conduction de la paroi latérale R_{\mathrm{p}}

On modélise l'enveloppe gonflable verticale par un cylindre creux d'air de hauteur H, compris entre le rayon intérieur r_{\text{int}} = d_{\text{int}}/2 et le rayon extérieur r_{\text{ext}} = d_{\text{ext}}/2. L'épaisseur du plastique étant négligée, le milieu conducteur est l'air de conductivité thermique \lambda_{\mathrm{a}}.

En adoptant les coordonnées cylindriques d'axe vertical et compte tenu de la symétrie axiale, la température ne dépend que de la coordonnée radiale r : T = T(r).

D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique s'écrit \vec{j}_{\mathrm{th}} = -\lambda_{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\,\widehat{e}_r. Le flux thermique à travers un cylindre de rayon r et de hauteur H est donc :

En régime stationnaire et en l'absence de terme source volumique, le flux thermique est conservatif : \Phi(r) = \Phi = \text{cte}. On sépare les variables :

En intégrant entre le rayon intérieur r_{\text{int}} et le rayon extérieur r_{\text{ext}} :

Par identification avec la relation \Delta T = R_{\mathrm{p}} \Phi, on obtient :

3. Résistance thermique de conduction du tapis d'herbe R_{\mathrm{t}}

Le tapis d'herbe d'épaisseur e_{\mathrm{h}} et de conductivité \lambda_{\mathrm{h}} est soumis à un transfert thermique unidimensionnel selon la direction verticale. À travers une surface d'échange S_{\mathrm{t}}, le flux s'exprime selon la loi de conduction plane :

Sous toute l'emprise au sol de l'installation, la surface de contact circulaire est de diamètre d_{\text{ext}}, soit S_{\mathrm{t}} = \frac{\pi d_{\text{ext}}^2}{4} (ou S_{\mathrm{int}} = \frac{\pi d_{\text{int}}^2}{4} si l'on considère uniquement la surface au fond de l'eau).

La résistance thermique s'écrit donc :

1. Bilan thermique et équation différentielle

On applique le premier principe de la thermodynamique au système fermé constitué par l'eau du spa, de masse m_{\mathrm{eau}} = \rho_{\mathrm{e}} V_{\mathrm{eau}} = 1{,}2 \times 10^3\text{ kg} (d'après la question Q4) et de capacité thermique C = m_{\mathrm{eau}} c_{\mathrm{e}}, supposée à température uniforme T_{\mathrm{int}}(t).

Pendant la durée \mathrm{d}t, en l'absence de travail utile et en régime quasi-stationnaire :

où \Phi_{\mathrm{pertes}} = \dfrac{T_{\mathrm{int}}(t) - T_{\mathrm{ext}}}{R_{\text{eq}}} désigne le flux thermique total perdu vers l'extérieur à travers la résistance thermique équivalente R_{\text{eq}}.

L'équation différentielle vérifiée par l'écart de température \theta(t) = T_{\mathrm{int}}(t) - T_{\mathrm{ext}} s'écrit donc :

Par intégration avec la condition initiale \theta(0) = T_{\mathrm{int}}(0) - T_{\mathrm{ext}}, on obtient bien :

2. Détermination de la résistance équivalente R_{\text{eq}}

Les déperditions thermiques de l'eau s'effectuent par trois voies en parallèle :

• la surface libre de l'eau en contact avec l'air (convection) : R_{\mathrm{surf}} = R_{\mathrm{s}} = 6 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} ;
• le fond en contact avec le sol à travers l'herbe tassée (conduction) : R_{\mathrm{fond}} = R_{\mathrm{t}} = 5 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} ;
• les parois latérales verticales (convection eau-paroi puis conduction dans l'enveloppe en série) : R_{\mathrm{lat}} = R_{\mathrm{pc}} + R_{\mathrm{p}} \approx R_{\mathrm{p}} = 3\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} puisque R_{\mathrm{p}} \gg R_{\mathrm{pc}}.

La conductance thermique globale associée à ces trois branches en parallèle vaut :

soit R_{\text{eq}} \approx \dfrac{1}{37} \approx 2{,}7 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}.

3. Calcul de la capacité thermique et du temps caractéristique \tau

La capacité thermique de l'eau vaut :

On en déduit la constante de temps :

Commentaire : La valeur élevée de \tau (environ 1,5 jour) s'explique par la très grande inertie thermique de la masse d'eau (1{,}2\text{ tonne}) associée à la capacité thermique massique élevée de l'eau. Cela justifie pleinement l'hypothèse de régime quasi-stationnaire formulée dans l'énoncé. Toutefois, à l'échelle d'une journée (24\text{ h}), la baisse de température reste importante (environ 6^\circ\text{C}), ce qui motive l'utilisation d'une couverture et d'un tapis de sol isolant.

1. Modification des échanges par le sol

L'ajout de la toile de sol de bulles d'air d'épaisseur e_{\mathrm{t}} = 5\text{ mm} intercale une résistance thermique de conduction supplémentaire en série avec le tapis d'herbe. Avec une surface au sol S_{\text{sol}} = \frac{\pi}{4} d_{\text{ext}}^2 = 0{,}8 \times 2{,}0^2 = 3{,}2\text{ m}^2 (identique à celle utilisée pour R_{\mathrm{t}} à la question Q9) :

La nouvelle résistance thermique au niveau du sol vaut donc :

d'où une conductance thermique résiduelle vers le sol :

2. Modification des échanges par la surface supérieure

La couverture gonflée d'air d'épaisseur e_{\mathrm{s}} = 25\text{ cm} recouvre le dessus du spa. Sa résistance thermique de conduction s'écrit (en prenant S = S_{\text{sol}} = 3{,}2\text{ m}^2) :

(si l'on considérait uniquement la section intérieure de l'eau S_{\text{int}} = 1{,}6\text{ m}^2, on trouverait R_{\text{couv}} \approx 6{,}3\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}).

Dans les deux cas, cette résistance est très supérieure à la résistance convective initiale R_{\mathrm{s}} = 6 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} ainsi qu'aux résistances convectives sur les faces de la couverture. La résistance thermique totale par le haut devient de l'ordre de R_{\text{haut}}' \approx 3\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}, ce qui donne une conductance résiduelle quasi négligeable :

3. Bilan et calcul du nouveau temps caractéristique

Les parois verticales ne sont pas modifiées, leur conductance reste :

La conductance thermique globale avec isolation devient :

Le nouveau temps caractéristique de refroidissement est alors :

Le gain obtenu peut s'exprimer sous forme de rapport ou d'écart absolu :

Pour maintenir la température de l'eau du spa constante à T_{\mathrm{int}} = 38\,^\circ\mathrm{C}, la puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{maintien}} apportée par le système de chauffage doit compenser exactement le flux thermique total perdu vers l'extérieur \Phi_{\mathrm{pertes}} :

En utilisant la conductance thermique globale G_{\mathrm{eq}}' (ou le temps caractéristique \tau' = C/G_{\mathrm{eq}}') obtenue à la question Q11 :

Avec :

• T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}} = 38 - 25 = 13\text{ K} ;
• G_{\mathrm{eq}}' \approx 9{,}7\text{ W}\cdot\text{K}^{-1} (issu de la question Q11).

On repère le cylindre métallique par son axe de révolution selon le vecteur unitaire \vec{e}_x, entre l'entrée en x = 0 au potentiel V_1 et la sortie en x = L au potentiel V_2, sous la tension U = V_1 - V_2.

En régime stationnaire et en négligeant les effets de bord, le champ électrique \vec{E} et le vecteur densité volumique de courant \vec{j} sont colinéaires à l'axe du cylindre et uniformes sur toute la section S :

D'après la loi d'Ohm locale :

La différence de potentiel s'écrit par circulation conservative du champ électrostatique :

soit :

L'intensité I du courant électrique traversant une section droite S s'obtient par intégration du flux de \vec{j} :

Par définition de la résistance électrique macroscopique R_{\text{él}} = \frac{U}{I}, on en déduit immédiatement :

On étudie un électron de masse m et de charge q = -e dans le référentiel du conducteur supposé galiléen. L'électron est soumis à :

• la force électrique : \vec{F}_{\mathrm{e}} = -e\vec{E} ;
• la force de frottement fluide modélisant les collisions : \vec{F}_{\mathrm{d}} = -\dfrac{m}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v}.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit :

soit sous forme canonique :

Le champ électrique \vec{E} étant supposé constant, l'équation admet pour solution générale :

Au bout d'un temps grand devant le temps caractéristique \tau_{\mathrm{d}} (t \gg \tau_{\mathrm{d}}), le terme exponentiel s'annule : la vitesse de l'électron devient constante, égale à sa vitesse limite de dérive \vec{v}_{\mathrm{lim}}.

Le vecteur densité de courant volumique associé à l'ensemble des électrons mobiles (de densité volumique n_{\mathrm{e}}) s'écrit :

Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité électrique selon le modèle de Drude :

1. Expression de la vitesse avant la collision suivante

Entre deux collisions successives (pendant le vol libre), l'électron n'interagit pas avec les ions du réseau. Il n'est donc soumis qu'à la force électrostatique due au champ électrique extérieur :

D'après la deuxième loi de Newton appliquée à un électron de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

Le champ \vec{E} étant uniforme et constant, une intégration directe entre l'instant t_0 de la dernière collision et l'instant t_0 + \delta t de la collision suivante donne :

2. Interprétation physique de \tau_{\mathrm{d}}

À l'issue d'une collision, la vitesse \vec{v}_0 est redistribuée de façon isotrope et aléatoire par diffusion sur les ions du réseau. En faisant la moyenne sur un grand nombre d'électrons ou de collisions, la vitesse moyenne de réémission est nulle :

La vitesse moyenne des électrons juste avant le choc suivant s'écrit alors :

En identifiant cette grandeur à la vitesse limite de dérive obtenue à la question Q14, \vec{v}_{\mathrm{lim}} = -\dfrac{e\,\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}, on identifie :

3. Évolution de la résistance avec la température

• Lorsque la température T du métal augmente, l'agitation thermique des ions du réseau cristallin s'amplifie (accroissement de l'amplitude de vibration des ions autour de leur position d'équilibre, ce qui augmente leur section efficace apparente de diffusion) et la vitesse thermique des électrons libres augmente.
• Les chocs sont par conséquent plus fréquents, ce qui réduit le temps moyen entre deux collisions : \tau_{\mathrm{d}} est une fonction décroissante de T.
• D'après la question Q14, la conductivité électrique vaut \sigma = \dfrac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m} ; la densité d'électrons libres n_{\mathrm{e}} restant pratiquement constante dans un métal, \sigma diminue lorsque T augmente.
• D'après la question Q13, la résistance électrique vaut R_{\text{él}} = \dfrac{L}{\sigma S}.

On en déduit que la résistance du métal augmente lorsque sa température augmente :

1. Expressions des potentiels V^+ et V^- et condition de saturation haute

L'ALI étant supposé idéal, les courants d'entrée sont nuls :

Chaque générateur de tension continue V_0 débite ainsi dans un pont diviseur de tension non chargé. On en déduit directement :

D'après les règles de fonctionnement à saturation données par l'énoncé, la sortie est à saturation haute V_{\mathrm{s}} = +V_{\mathrm{sat}} si et seulement si V^+ > V^-, soit :

En utilisant la loi de variation de la thermistance R_{\mathrm{th}}(T) = R_0 [1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})], cette condition s'écrit :

2. Température de changement d'état de l'ALI

La sortie de l'ALI change d'état lorsque V^+ = V^-, soit R_{\mathrm{th}} = R_2. Cette température de basculement T_{\mathrm{c}} vaut donc :

3. Réalisation de ce réglage sur le spa

Ce réglage est effectué en ajustant la valeur de la résistance variable R_2 (schématisée par un potentiomètre). Sur le spa, lorsque l'utilisateur sélectionne la température de consigne désirée sur l'unité de commande, le système modifie la résistance R_2 associée au comparateur.

4. Précision relative requise sur R_2

À la température de basculement, on a R_2 = R_0 [1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})]. En différentiant cette relation par rapport à T :

La précision relative sur R_2 nécessaire pour régler la température à \Delta T près s'écrit :

Pour des températures usuelles du spa comprises entre 20\,^\circ\mathrm{C} et 40\,^\circ\mathrm{C}, avec T_{\mathrm{ref}} = 20\,^\circ\mathrm{C}, on a T - T_{\mathrm{ref}} \in [0\,;\,20]\,^\circ\mathrm{C}. Comme \alpha = 4 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1}, le terme correctif \alpha(T - T_{\mathrm{ref}}) \le 0{,}08 \ll 1 reste très faible devant 1, si bien que :

Pour \Delta T = 1\,^\circ\mathrm{C} = 1\text{ K} :

(À T = 40\,^\circ\mathrm{C}, on obtiendrait \frac{4 \times 10^{-3}}{1{,}08} \approx 3{,}7 \times 10^{-3} \approx 0{,}4\%).

1. Uniformité de la vitesse sur une section droite

L'énoncé précise que l'on ne prend pas en compte la dissipation visqueuse : le fluide est ainsi modélisé comme un fluide parfait. En l'absence de viscosité, il n'y a pas de condition d'adhérence du fluide aux parois (pas de couche limite ni de gradient transversal de vitesse). Par conséquent, la vitesse de l'eau ne chute pas à zéro au voisinage des parois et peut être considérée comme uniforme sur toute la section droite de la canalisation ou de la cuve du spa (approximation de l'écoulement par tranches).

2. Relation entre v_{\mathrm{s}} et v_{\mathrm{t}}

L'écoulement étant supposé incompressible et à masse volumique \rho_{\mathrm{e}} constante, le débit volumique D_v se conserve le long du tube de courant formé par le spa et le tuyau d'évacuation :

où les sections droites respectives du spa et du tuyau sont :

On en déduit :

soit la relation :

L'écoulement est supposé :

• stationnaire (régime permanent avec h_{\mathrm{e}}(t) = h_{\mathrm{e},0} = \text{cte}) ;
• incompressible et homogène (masse volumique \rho_{\mathrm{e}} constante) ;
• parfait (dissipation visqueuse négligée) ;
• placé dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\widehat{u}_z.

Le théorème de Bernoulli s'applique donc le long d'une ligne de courant reliant un point \mathrm{A} de la surface libre du spa à un point \mathrm{B} situé à la section de sortie du tuyau d'arrosage :

En choisissant l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut avec l'origine z = 0 au niveau de l'axe du tuyau horizontal posé au sol :

• à la surface libre (point \mathrm{A}) : z_{\mathrm{A}} = h_{\mathrm{e},0}, et la pression est égale à la pression atmosphérique : P_{\mathrm{A}} = P_0 ;
• au débouché du tuyau à l'air libre (point \mathrm{B}) : z_{\mathrm{B}} = 0, et le jet débouchant impose : P_{\mathrm{B}} = P_0.

D'après la question Q17, la conservation du débit volumique donne :

Comme le diamètre intérieur du tuyau est très petit devant celui du spa (d_{\mathrm{t}} \ll d_{\mathrm{int}}), on a :

On peut donc légitimement négliger le terme cinétique \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}}v_{\mathrm{s}}^2 devant \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}}v_{\mathrm{t}}^2.

La relation de Bernoulli se simplifie ainsi en :

d'où l'expression de la vitesse d'écoulement dans le tuyau (formule de Torricelli) :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-permanents (ARQP), la hauteur d'eau h_{\mathrm{e}}(t) varie suffisamment lentement pour que l'écoulement puisse être considéré à chaque instant comme le régime permanent associé à la hauteur instantanée.

D'après le résultat de la question Q18, la vitesse de l'eau dans le tuyau s'écrit donc à tout instant :

Par définition de la hauteur d'eau, la vitesse de descente de la surface libre dans le spa s'écrit :

En utilisant la relation de conservation du débit établie à la question Q17, v_{\mathrm{s}}(t) = \left(\frac{d_{\mathrm{t}}}{d_{\mathrm{int}}}\right)^2 v_{\mathrm{t}}(t), il vient :

L'équation différentielle vérifiée par h_{\mathrm{e}}(t) est ainsi :

Il s'agit d'une équation différentielle non linéaire à variables séparables. Pour h_{\mathrm{e}} > 0, séparons les variables :

À l'instant t = 0, la hauteur d'eau est h_{\mathrm{e}}(0). Le spa est totalement vidé à l'instant t_{\mathrm{v}} lorsque h_{\mathrm{e}}(t_{\mathrm{v}}) = 0. En intégrant entre ces deux instants :

On en déduit la durée de vidange :

Soit finalement :

L'équation d'Euler régissant l'écoulement d'un fluide parfait incompressible sous l'action de la pesanteur \vec{g} = -g \vec{e}_z s'écrit (d'après le formulaire) :

Considérons une ligne de courant reliant un point \mathrm{A} situé à la surface libre de l'eau (z_{\mathrm{A}} = h_{\mathrm{e}}(0)) à un point \mathrm{B} situé à la sortie du tuyau d'évacuation (z_{\mathrm{B}} = 0). Le long d'une ligne de courant, le déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} est colinéaire à la vitesse \vec{v}, de sorte que :

En intégrant l'équation d'Euler de \mathrm{A} à \mathrm{B} :

Examinons les différents termes :

• Pression : les points \mathrm{A} et \mathrm{B} débouchent à l'air libre à la pression atmosphérique P_0, d'où :

  P_{\mathrm{A}} = P_{\mathrm{B}} = P_0 \implies \left[ \frac{P}{\rho_{\mathrm{e}}} \right]_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} = 0

• Énergie potentielle de pesanteur :

  \left[ g z \right]_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} = g(z_{\mathrm{B}} - z_{\mathrm{A}}) = -g h_{\mathrm{e}}(0)

• Énergie cinétique : en \mathrm{A}, la vitesse vaut v_{\mathrm{s}}. D'après la question 17, v_{\mathrm{s}} = (d_{\mathrm{t}}/d_{\mathrm{int}})^2 v_{\mathrm{t}}. Puisque d_{\mathrm{t}} \ll d_{\mathrm{int}}, on a v_{\mathrm{s}}^2 \ll v_{\mathrm{t}}^2, ce qui permet de négliger v_{\mathrm{A}}^2 devant v_{\mathrm{B}}^2 = v_{\mathrm{t}}^2 :

  \left[ \frac{1}{2} v^2 \right]_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} v_{\mathrm{t}}^2(t) - \frac{1}{2} v_{\mathrm{s}}^2(t) \approx \frac{1}{2} v_{\mathrm{t}}^2(t)

• Terme d'inertie instationnaire : on décompose l'intégrale entre la traversée du spa et celle du tuyau :

  \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_{\mathrm{A}}^{\text{entrée}} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} + \int_{\text{entrée}}^{\mathrm{B}} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}

  Dans le spa, la vitesse est de l'ordre de v_{\mathrm{s}}, donc \frac{\partial v}{\partial t} \sim \left(\frac{d_{\mathrm{t}}}{d_{\mathrm{int}}}\right)^2 \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}}{\mathrm{d}t} \ll \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}}{\mathrm{d}t}, rendant la première contribution négligeable. Dans le tuyau horizontal de longueur \ell et de section constante, par incompressibilité la vitesse est uniforme le long du tube : \vec{v}(x,t) = v_{\mathrm{t}}(t)\vec{u}_x. L'intégrale se réduit donc à :

  \int_{\text{entrée}}^{\mathrm{B}} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^\ell \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}x = \ell \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}}{\mathrm{d}t}

En rassemblant ces contributions, on obtient l'équation différentielle régissant v_{\mathrm{t}}(t) :

D'après la question Q20, l'équation différentielle s'écrit :

Posons la vitesse asymptotique v_1 correspondant au régime permanent de la question Q18 :

L'équation devient alors :

Par séparation des variables, il vient :

En intégrant entre l'instant initial t=0 où l'eau est au repos (v_{\mathrm{t}}(0) = 0) et un instant t, et en utilisant la primitive donnée dans le formulaire \int \frac{\mathrm{d}x}{1-x^2} = \operatorname{artanh}(x) + \mathrm{cste} :

D'où l'expression de la vitesse sous la forme attendue :

avec :

La fonction f demandée est ainsi la tangente hyperbolique : f = \tanh.

La durée caractéristique du régime transitoire est le temps de mise en vitesse :

Comme \tanh(2) \approx 0{,}96, le régime permanent est établi au bout d'une durée de l'ordre de 2\tau_{\mathrm{e}} à 3\tau_{\mathrm{e}}.

Validité de l'approximation de régime quasi-permanent :

Pour que le régime quasi-permanent soit valide, la durée de la mise en vitesse doit être très petite devant la durée totale de vidange t_{\mathrm{v}} calculée à la question Q19 :

En remplaçant par les expressions obtenues :

Il faut donc choisir un tuyau de longueur \ell suffisamment petite devant cette longueur limite (qui vaut plusieurs centaines de mètres pour des diamètres usuels), afin que l'inertie de la colonne d'eau dans le tuyau ne ralentisse pas significativement l'ajustement instantané du débit.

Soit P la pression de l'air enfermé sous la couverture, au contact de la surface libre de l'eau (z = h_{\mathrm{e}}), et P_0 la pression atmosphérique régnant à la sortie du tuyau d'évacuation (z = 0).

En appliquant le théorème de Bernoulli le long d'une ligne de courant entre la surface libre et la sortie du tuyau, et en négligeant la vitesse v_{\mathrm{s}} devant v_{\mathrm{t}} d'après la question Q17 (d_{\mathrm{t}} \ll d_{\mathrm{int}}) :

Pour que l'eau puisse s'écouler vers l'extérieur (v_{\mathrm{t}} > 0), il est impératif que :

Or, la surpression hydrostatique maximale disponible est extrêmement faible devant la pression atmosphérique :

Si la couverture est parfaitement étanche, l'air extérieur ne peut pas pénétrer pour compenser le volume d'eau évacué. Ainsi :

• Dès qu'un très faible volume d'eau s'évacue, l'air résiduel piégé sous la couverture subit une détente isotherme : son volume augmente et sa pression P diminue très vite.
• Dès que la dépression atteint la valeur critique P_0 - P = \rho_{\mathrm{e}} g h_{\mathrm{e}}, la charge motrice s'annule (v_{\mathrm{t}} = 0) et l'écoulement s'interrompt définitivement.

Conclusion : Comme pour une pipette jaugée ou un distributeur d'eau pour oiseaux, le blocage par dépression interdit la vidange. Il est donc indispensable d'ôter la couverture ou d'assurer une mise à l'air libre préalable pour vidanger le spa.