Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2022 (page 2/3 : Partie III)

Un Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) idéal présente les caractéristiques suivantes :

• des impédances d'entrée différentielle et de mode commun infinies, d'où des courants d'entrée nuls :

  i_+ = i_- = 0
• une impédance de sortie nulle ;
• un gain différentiel statique infini (A_0 \to \infty) et une bande passante infinie.

Par conséquent :

• en régime linéaire, la tension différentielle d'entrée est nulle :

  \varepsilon = v_+ - v_- = 0 \iff v_+ = v_-

  avec une tension de sortie bornée : -V_{\mathrm{sat}} \le v_{\mathrm{s}} \le +V_{\mathrm{sat}} ;

• en régime saturé, la tension différentielle n'est pas nulle et la tension de sortie vaut :

  v_{\mathrm{s}} = \pm V_{\mathrm{sat}} = \operatorname{sgn}(\varepsilon)\,V_{\mathrm{sat}}

Examinons la chaîne de rétroaction de chacun des amplificateurs du montage de la figure 8 :

• Pour (A1) : la sortie est rebouclée sur l'entrée inverseuse (-) par l'intermédiaire du conducteur ohmique R_2, tandis que la borne non-inverseuse (+) est reliée à la masse. Il s'agit d'une rétroaction négative stabilisatrice : l'ALI (A1) fonctionne en régime linéaire.
• Pour (A2) : la sortie v_2 est rebouclée sur l'entrée inverseuse (-) par l'intermédiaire du condensateur C, et la borne (+) est à la masse. C'est également une rétroaction négative : l'ALI (A2) fonctionne en régime linéaire (intégrateur inverseur).
• Pour (A3) : la sortie v_s est rebouclée sur l'entrée non-inverseuse (+) par la résistance R_4, tandis que la borne inverseuse (-) est reliée à la masse. Il s'agit d'une rétroaction positive déstabilisatrice : l'ALI (A3) fonctionne en régime saturé (comparateur à hystérésis ou trigger de Schmitt).

1. Relation entre v_e(t) et v_1(t) (étage A1) :

L'ALI (A1) fonctionne en régime linéaire (d'après la question Q18) et est supposé idéal, donc :

La borne non inverseuse étant reliée à la masse, on a V_+^{(1)} = 0, d'où une masse virtuelle à l'entrée inverseuse :

La loi des nœuds appliquée à la borne inverseuse s'écrit :

On en déduit immédiatement la relation propre à un amplificateur inverseur :

2. Relation entre v_1(t) et v_2(t) (étage A2) :

De même, l'ALI (A2) fonctionne en régime linéaire avec sa borne non inverseuse à la masse, soit V_+^{(2)} = 0, d'où :

Le courant traversant la résistance R vers le nœud inverseur est :

Ce courant traverse intégralement le condensateur C vers la sortie au potentiel v_2(t) :

L'égalité de ces deux expressions donne l'équation différentielle régissant cet intégrateur inverseur :

Soit, sous forme intégrale entre un instant t_0 et t :

L'ALI (A3) fonctionne en régime saturé, sa sortie vaut donc soit +V_{\text{sat}}, soit -V_{\text{sat}}.

L'entrée inverseuse est reliée à la tension v_2 :

L'entrée non-inverseuse est connectée au pont diviseur constitué de R_3 et R_4. Le courant d'entrée étant nul (i_+ = 0), on a :

La tension différentielle d'entrée s'écrit donc :

Définissons le seuil haut V_H et le seuil bas V_B :

Le comportement du comparateur dépend de l'état initial et du sens d'évolution de v_2 :

• Si v_s = +V_{\text{sat}} : le basculement vers -V_{\text{sat}} a lieu dès que \varepsilon < 0, soit v_2 > V_H. Ainsi, tant que v_2 augmente et reste inférieur à V_H, la sortie demeure à +V_{\text{sat}}. Elle bascule à -V_{\text{sat}} lorsque v_2 dépasse V_H.
• Si v_s = -V_{\text{sat}} : le basculement vers +V_{\text{sat}} a lieu dès que \varepsilon > 0, soit v_2 < V_B. Ainsi, tant que v_2 diminue et reste supérieur à V_B, la sortie demeure à -V_{\text{sat}}. Elle bascule à +V_{\text{sat}} dès que v_2 franchit V_B par valeurs inférieures.

En résumé, selon les valeurs et le sens de variation de v_2(t) :

avec :

La caractéristique de transfert v_s = f(v_2) décrit un cycle d'hystérésis parcouru dans le sens horaire :

D'après le schéma du circuit (figure 8), la sortie v_s(t) est rebouclée sur l'entrée de l'inverseur :

En combinant les relations obtenues à la question Q19 :

on obtient l'équation régissant l'évolution de v_2(t) :

D'après l'étude du comparateur à seuils (A3) menée à la question Q20, la sortie v_s(t) prend deux valeurs possibles, +V_{\text{sat}} ou -V_{\text{sat}}, séparées par les seuils de basculement V_H = \frac{R_3}{R_3+R_4}V_{\text{sat}} et V_B = -V_H :

• Première demi-période (v_s = +V_{\text{sat}}) : La dérivée est constante et positive :

  \frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} = +\frac{R_2}{R_1 RC} V_{\text{sat}} > 0

  La tension v_2(t) croît linéairement à partir de V_B = -V_H. Dès que v_2(t) atteint le seuil haut V_H, le comparateur (A3) bascule instantanément à v_s = -V_{\text{sat}}.

• Seconde demi-période (v_s = -V_{\text{sat}}) : La dérivée est constante et négative :

  \frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} = -\frac{R_2}{R_1 RC} V_{\text{sat}} < 0

  La tension v_2(t) décroît linéairement depuis V_H. Dès que v_2(t) atteint le seuil bas V_B = -V_H, le comparateur bascule à nouveau à +V_{\text{sat}}, et le cycle se répète périodiquement.

Parmi les tensions du montage :

• v_s(t) et v_e(t) = v_s(t) sont des tensions en créneaux alternant entre +V_{\text{sat}} et -V_{\text{sat}} ;
• v_1(t) = -\frac{R_2}{R_1}v_s(t) est également un créneau symétrique alternant entre \mp \frac{R_2}{R_1}V_{\text{sat}} ;
• seule v_2(t) est une fonction continue, affine par morceaux : c'est donc la tension triangulaire recherchée :

Pendant une demi-période \Delta t = \frac{T}{2}, la tension v_2(t) varie de V_B = -V_H à V_H :

En remplaçant l'expression du seuil V_H = \frac{R_3}{R_3 + R_4} V_{\text{sat}} :

d'où l'expression de la période T :

1. Calcul de la capacité C

D'après le résultat de la question Q21, la période de la tension triangulaire v_t(t) est :

Avec R_1 = R_2 et R_3 = R_4, cette expression se simplifie en :

La fréquence associée s'écrit f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2RC}, d'où l'expression de la capacité :

Application numérique avec R = 1\text{ k}\Omega = 1{,}0\times 10^3\;\Omega et f = 2\text{ kHz} = 2{,}0\times 10^3\text{ Hz} :

2. Modification de la fréquence par l'utilisateur

L'expression générale de la fréquence est :

Pour faire varier la fréquence f sans modifier l'amplitude E du signal triangulaire (qui ne dépend que du rapport \frac{R_3}{R_3+R_4}), le constructeur permet à l'utilisateur :

• d'ajuster la résistance R à l'aide d'un potentiomètre variable ;
• ou de choisir la valeur d'une capacité externe C branchée sur les broches dédiées du composant.

3. Expression de l'amplitude E et paramètres d'influence

La tension v_t(t) = v_2(t) oscille symétriquement entre les seuils -V_H et +V_H du comparateur à hystérésis (A3) déterminés à la question Q20. L'amplitude E est donc donnée par :

Pour modifier cette amplitude, on peut agir sur les résistances R_3 et R_4 (plus précisément sur le rapport de division \frac{R_3}{R_3 + R_4} ou \frac{R_4}{R_3}) ou sur la tension de saturation V_{\text{sat}} (en modifiant les tensions d'alimentation des ALI).

4. Condition sur les paramètres et valeur numérique de E

Le rapport s'écrit :

La condition sur les résistances est :

soit :

L'amplitude correspondante pour V_{\text{sat}} = 15\text{ V} vaut :

Sur l'intervalle temporel considéré, \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right], la tension v_t(t) est une fonction linéaire et croissante du temps.

D'après le graphe de la tension triangulaire réduite v_t/E en fonction de \theta fourni sur la figure 9 :

• à \theta = 0, la tension est nulle : v_t(0) = 0 ;
• à \theta = \frac{1}{4}, la tension atteint sa valeur crête maximale positive : v_t\left(\frac{1}{4}\right) = E.

La pente de la droite vaut donc :

On en déduit immédiatement l'expression de v_t pour \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right] :

1. Conduction simultanée des deux diodes de la cellule (1)

Notons A le nœud supérieur à la tension v_s (par rapport à la masse de potentiel nul), et B_1 le nœud intermédiaire situé entre les deux diodes et la résistance r_1.

• Pour la diode orientée vers le bas D_{1\downarrow}, l'anode est connectée en A et la cathode en B_1. Sa tension en convention récepteur est :

  u_{d,\downarrow} = v_s - v_{B_1}

• Pour la diode orientée vers le haut D_{1\uparrow}, l'anode est connectée en B_1 et la cathode en A. Sa tension en convention récepteur est :

  u_{d,\uparrow} = v_{B_1} - v_s = - u_{d,\downarrow}

D'après la loi des mailles reliant ces deux branches en parallèle :

Si les deux diodes conduisaient simultanément, on aurait par définition du modèle à seuil :

ce qui conduirait à :

Comme la tension de seuil est strictement positive (U_s = 0{,}7\text{ V} > 0), cette égalité est absurde.

Par conséquent, les deux diodes ne peuvent conduire le courant simultanément.

2. Courant dans la résistance r_1 pour v_s \ge 0

Orientons le courant i_{r1} traversant la résistance r_1 du nœud B_1 vers la masse. La loi d'Ohm s'écrit :

La loi des nœuds en B_1 donne :

Plaçons-nous sous l'hypothèse v_s \ge 0 :

• Si D_{1\uparrow} conduisait, on aurait i_{d,\uparrow} > 0 et i_{d,\downarrow} = 0, donc i_{r1} = -i_{d,\uparrow} < 0, ce qui impliquerait v_{B_1} = r_1 i_{r1} < 0. Or u_{d,\uparrow} = U_s \implies v_s = v_{B_1} - U_s < -U_s < 0, ce qui contredit v_s \ge 0. La diode D_{1\uparrow} est donc nécessairement bloquée (i_{d,\uparrow} = 0).

• Si D_{1\downarrow} est également bloquée, alors i_{d,\downarrow} = 0, d'où i_{r1} = 0 et v_{B_1} = 0. La tension aux bornes de D_{1\downarrow} vaut alors :

  u_{d,\downarrow} = v_s - v_{B_1} = v_s

  Cette situation de blocage est effective tant que :

  u_{d,\downarrow} \le U_s \iff v_s \le U_s

  Ainsi, si 0 \le v_s \le U_s, le courant dans la résistance r_1 est strictement nul (i_{r1} = 0).

• Si v_s > U_s, D_{1\downarrow} ne peut rester bloquée (car cela exigerait u_{d,\downarrow} = v_s > U_s, ce qui est interdit pour une diode bloquée). La diode D_{1\downarrow} devient donc passante :

  u_{d,\downarrow} = U_s \implies v_{B_1} = v_s - U_s > 0

  Le courant traversant la résistance r_1 vaut alors :

  i_{r1} = \frac{v_s - U_s}{r_1} > 0

  Ce courant n'est donc pas nul.

On en déduit l'existence d'une tension seuil U_1 > 0 telle que le courant est nul pour 0 \le v_s \le U_1 et non nul pour v_s > U_1, donnée par :

La cellule (2) est constituée de deux sous-branches montées en tête-bêche en série avec la résistance r_2 :

• la sous-branche descendante comporte deux diodes en série orientées dans le sens de la sortie v_s vers la masse ;
• la sous-branche montante comporte deux diodes en série orientées dans le sens inverse (de la masse vers la sortie v_s).

Pour v_s \ge 0 :

• La sous-branche montante est polarisée en inverse. Ses diodes sont donc bloquées et aucun courant n'y circule.
• Considérons la sous-branche descendante, constituée des deux diodes D_1 et D_2 en série, parcourue par un courant direct i_2 \ge 0.

La loi des mailles appliquée à cette branche s'écrit :

1. Cas où les deux diodes sont bloquées (i_2 = 0) :

Si les diodes sont bloquées, le courant traversant la résistance r_2 est nul (i_2 = 0), d'où :

Or, d'après le modèle fourni pour une diode bloquée (i_d = 0), on a nécessairement :

Ainsi, tant que 0 \le v_s \le 2\,U_s, l'état bloqué (i_2 = 0) est compatible avec les lois de fonctionnement des diodes.

2. Cas où v_s > 2\,U_s :

Il est impossible d'avoir i_2 = 0 car cela impliquerait u_{d1} + u_{d2} > 2\,U_s, ce qui exigerait qu'au moins l'une des deux diodes ait une tension supérieure à U_s, en contradiction avec la caractéristique de diode bloquée.

Les deux diodes de la sous-branche descendante entrent donc en conduction simultanément, de sorte que i_2 > 0 et u_{d1} = u_{d2} = U_s. Le courant dans la résistance r_2 est alors non nul et vaut :

Il existe donc bien une tension de seuil strictement positive U_2 délimitant ces deux régimes, donnée par :

D'après la figure 10, la cellule (3) est directement connectée entre la borne de sortie au potentiel v_s et la masse (potentiel 0\text{ V}), sans résistance en série. Elle est constituée de deux branches montées en tête-bêche :

• une branche comportant trois diodes identiques en série, orientées de la borne de sortie vers la masse ;
• une branche comportant trois diodes identiques en série, orientées de la masse vers la borne de sortie.

Pour des valeurs positives de v_s, la branche orientée de la masse vers la sortie est polarisée en inverse : ses diodes sont bloquées et n'imposent aucune limitation positive.

Considérons la branche descendante (orientée vers la masse). En appliquant la loi d'additivité des tensions le long de cette branche, la tension de sortie s'écrit comme la somme des tensions aux bornes des trois diodes (en convention récepteur) :

D'après le modèle donné pour les diodes :

Par conséquent :

Tant que les trois diodes sont bloquées (i_d = 0), v_s < 3 U_s. Dès que les trois diodes entrent en conduction (i_d > 0), chacune présente à ses bornes la tension de seuil u_{d,k} = U_s, ce qui bloque la tension de sortie à 3 U_s, le surplus de courant fourni par l'entrée s'écoulant vers la masse à travers la cellule (3) via la résistance r_0.

La tension v_s est donc écrêtée à la valeur 3 U_s. La valeur positive maximale de v_s vaut ainsi :

D'après la question Q23, pour \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right], l'expression de la tension triangulaire est :

La pente à l'origine de cette droite par rapport à la variable sans dimension \theta vaut :

Par ailleurs, la fonction sinusoïdale idéale est définie par :

avec V_{\max} = 3 U_s d'après le résultat de la question Q26, soit :

Sa dérivée par rapport à \theta s'écrit :

La pente à l'origine de la courbe s(\theta) vaut donc :

L'égalité des pentes en \theta = 0 impose :

ce qui donne la relation recherchée :

Le rapport E/U_s s'identifie ainsi à une fraction de \pi :

Pour 0 \le v_s < U_1 :

• d'après la question Q24, la cellule (1) ne conduit aucun courant car v_s < U_1 = U_s ;
• d'après la question Q25, la cellule (2) ne conduit aucun courant car v_s < U_1 < U_2 = 2U_s ;
• d'après la question Q26, la cellule (3) ne conduit aucun courant car v_s < U_1 < 3U_s.

Toutes les branches dérivées sont donc bloquées (courants nuls). Comme le courant de sortie est nul (i_s = 0), aucun courant ne traverse la résistance r_0. La loi d'Ohm donne une chute de tension nulle aux bornes de r_0, d'où :

D'après la question Q23, pour \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right], la tension triangulaire s'écrit v_t(\theta) = 4E\theta. On a donc :

Par définition, le temps réduit \theta_1 vérifie v_s(\theta_1) = U_1. Sachant que U_1 = U_s (d'après la question Q24), il vient :

D'après la question Q27, la condition d'égalité des pentes impose \dfrac{E}{U_s} = \dfrac{3\pi}{2}, c'est-à-dire \dfrac{U_s}{E} = \dfrac{2}{3\pi}. On obtient ainsi l'expression simplifiée de \theta_1 :

1. Expression de v_s pour U_1 < v_s < U_2

Pour U_1 < v_s < U_2 avec U_1 = U_s et U_2 = 2U_s :

• dans la cellule (1), la diode orientée vers le bas est passante (sa chute de tension vaut U_s), tandis que la diode tête-bêche est bloquée ;
• les cellules (2) et (3) sont entièrement bloquées car v_s < 2U_s < 3U_s ;
• le courant de sortie étant nul (i_s = 0), le courant traversant la cellule (1) est i_1 = \dfrac{v_s - U_s}{r_1}.

La loi des nœuds au niveau de la sortie s'écrit :

soit :

On en déduit l'expression de v_s :

En utilisant v_t(\theta) = 4E\theta pour 0 \le \theta \le 1/4 (établi à la question Q23) :

2. Détermination du rapport \rho_1 = r_0 / r_1

La pente de v_s(\theta) pour \theta > \theta_1 s'écrit en posant \rho_1 = r_0/r_1 :

Pour la tension sinusoïdale idéale s(\theta) = V_{\max}\sin(2\pi\theta) = 3U_s\sin(2\pi\theta), la dérivée vaut :

D'après la question Q28, \theta_1 = \dfrac{1}{6\pi}, d'où 2\pi\theta_1 = \dfrac{1}{3}\text{ rad}. Ainsi :

Comme E = \dfrac{3\pi}{2}U_s (question Q27), on a 4E = 6\pi U_s. L'égalité des pentes lorsque \theta \to \theta_1^+ s'écrit :

On en déduit :

3. Expression de v_s et détermination de \theta_2

En factorisant par r_1 au numérateur et au dénominateur, la tension v_s s'exprime en fonction de \rho_1 :

L'instant \theta_2 est défini par v_s(\theta_2) = U_2 = 2U_s :

Sachant que 4E\theta_1 = U_1 = U_s (d'après la question Q28), il vient directement :

En remplaçant \rho_1 par son expression :

La relation cherchée est donc bien de la forme \theta_2 = \alpha\theta_1 avec :

Puisque U_1 = U_s et U_2 = 2U_s, la condition U_2 < v_s < 3U_1 correspond à 2U_s < v_s < 3U_s.

Pour v_s dans cet intervalle, examinons l'état des trois cellules à diodes en parallèle :

• Cellule (1) : la tension v_s est supérieure à U_1 = U_s. La diode orientée vers le bas est passante (tension u_d = U_s), tandis que celle orientée vers le haut est bloquée. Le courant traversant la branche vaut :

  i_1 = \frac{v_s - U_s}{r_1}

• Cellule (2) : la tension v_s est supérieure à U_2 = 2U_s. Les deux diodes orientées dans le sens direct du courant (vers le bas) conduisent, présentant chacune une chute de tension égale à U_s. Les deux autres diodes sont bloquées. Le courant dérivé vaut donc :

  i_2 = \frac{v_s - 2U_s}{r_2}

• Cellule (3) : constituée de trois diodes en série, elle ne peut entrer en conduction que si v_s \ge 3U_s = 3U_1. Comme v_s < 3U_1, ces diodes restent bloquées :

  i_3 = 0

Le courant de sortie étant nul (i_s = 0), la loi des nœuds au potentiel v_s s'écrit :

En regroupant les termes en v_s, on obtient :

D'après la question Q23, pour 0 \le \theta \le \frac{1}{4}, on a v_t(\theta) = 4E\theta. Il vient ainsi :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le produit r_0 r_1 r_2, on obtient l'expression recherchée :

D'après la question Q26, la cellule (3) comporte une branche constituée de trois diodes idéales en série orientées dans le sens direct pour v_s > 0.

Chaque diode conduit dès lors qu'un courant direct i_3 > 0 la traverse, imposant alors à ses bornes la tension de seuil constante U_s. Par additivité des tensions, la mise en conduction de cette branche s'effectue dès que :

Par définition, à l'instant réduit \theta = \theta_3, la tension de sortie atteint v_s(\theta_3) = 3U_1.

Pour \theta_3 < \theta \le \frac{1}{4}, la tension d'attaque v_t(\theta) = 4E\theta continue de croître de façon strictement monotone. Le courant débité par l'entrée à travers la résistance r_0 s'écrit, en l'absence de charge de sortie (i_s = 0) :

Les branches (1) et (2) restent également passantes et dérivent des courants constants fixés par la tension v_s = 3U_s :

La loi des nœuds impose pour le courant circulant dans la branche (3) :

Comme v_t(\theta) > v_t(\theta_3) pour \theta > \theta_3, on a :

Le courant i_3(\theta) étant strictement positif, les trois diodes de la cellule (3) demeurent passantes et imposent rigoureusement leur tension de seuil cumulée. La tension de sortie est donc écrêtée :

Le montage conformateur à diodes réalise une synthèse de la sinusoïde par interpolation affine par morceaux. Sur un quart de période, la courbe de v_s(\theta) n'est constituée que de quatre segments de droite (trois seuils de conduction successifs), ce qui laisse subsister des écarts notables avec la fonction sinusoïdale idéale s(\theta) (présence d'harmoniques de rangs élevés).

Pour réduire ces écarts, on peut envisager deux aménagements principaux :

1. Augmenter le nombre de branches à diodes (ou cellules de conduction) : En insérant des cellules intermédiaires supplémentaires en parallèle (constituées de chaînes de diodes en série de seuils 3U_s, 4U_s, etc., associées à des résistances r_3, r_4, \dots judicieusement dimensionnées, et en reportant le niveau d'écrêtage à une tension plus élevée), on augmente le nombre de segments de droite. L'approximation de la courbe par une ligne brisée devient alors plus fine et colle au plus près à la fonction sinus.
2. Ajouter un filtre passe-bas en sortie : Le signal en sortie du conformateur présente des discontinuités de pente (angles vifs) responsables d'harmoniques d'ordres impairs supérieurs (3f, 5f, \dots). L'adjonction d'un filtre passe-bas sélectif (de fréquence de coupure légèrement supérieure à la fréquence fondamentale f=1/T) permet d'atténuer ces harmoniques résiduels et de lisser la tension pour ne conserver que la composante fondamentale purement sinusoïdale.