Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2022 (page 2/3 : Partie II (questions 15 à 30))

On considère une tranche de fluide mésoscopique d'épaisseur \mathrm{d}z et de section droite horizontale S, comprise entre les cotes z et z+\mathrm{d}z. L'atmosphère étant au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le système est en équilibre statique.

Le système est soumis à :

• la force de pression sur la face inférieure : \vec{F}(z) = P(z)\,S\,\vec{e}_z ;
• la force de pression sur la face supérieure : \vec{F}(z+\mathrm{d}z) = -P(z+\mathrm{d}z)\,S\,\vec{e}_z ;
• les forces de pression latérales, qui se compensent par symétrie horizontale ;
• le poids de la tranche de fluide : \vec{P} = -\mathrm{d}m\,g\,\vec{e}_z = -\rho\,S\,\mathrm{d}z\,g\,\vec{e}_z.

La condition d'équilibre mécanique s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z, on obtient :

En simplifiant par la section S et en notant \mathrm{d}P = P(z+\mathrm{d}z) - P(z) :

L'air étant modélisé par un gaz parfait à la température uniforme T_0, son équation d'état relie la pression P, le volume V, la quantité de matière n et la masse m par :

La masse volumique s'écrit donc en tout point :

En reportant cette expression dans la relation fondamentale de la statique des fluides établie à la question Q15, \mathrm{d}P = -\rho\,g\,\mathrm{d}z, il vient :

En intégrant entre le niveau du sol (z = 0, P(0) = P_0) et l'altitude z, sous l'hypothèse d'une accélération de la pesanteur g uniforme :

On en déduit l'expression de la loi barométrique pour une atmosphère isotherme :

D'après la loi barométrique établie à la question Q16, le profil de pression d'une atmosphère isotherme à T_0 = 273\text{ K} s'écrit :

En utilisant la masse molaire de l'air M = 29,0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Sur la figure 2, la flèche verticale à droite indique une échelle de longueur de 2\text{ km}. La mesure de la hauteur propre du nuage (séparation verticale entre la base et les crêtes des ondulations) représente un peu moins de la moitié de ce segment étalon :

Entre la base z_b et le sommet z_h = z_b + h du nuage, la variation relative de la pression s'écrit :

En réalisant l'application numérique avec h \approx 850\text{ m} et H \approx 7{,}97\text{ km} :

La variation relative de pression sur la hauteur du nuage est de l'ordre de 10\,\%. L'hypothèse d'une pression uniforme se situe donc exactement à la limite du critère de tolérance de 10\,\% fixé par l'énoncé : elle constitue une approximation acceptable en première approche pour modéliser le phénomène, mais reste à la limite de la validité.

1. Mécanisme qualitatif de formation du nuage

• Soulèvement forcé : Une masse d'air en mouvement horizontal rencontre une barrière montagneuse et est contrainte de s'élever le long du versant au vent.
• Détente et refroidissement : En prenant de l'altitude, la pression atmosphérique extérieure décroît (statique des fluides). L'air en ascension subit une détente. Le mouvement étant rapide devant le temps caractéristique des échanges thermiques conductifs, cette détente s'effectue sans transfert thermique notable avec l'environnement (transformation adiabatique). L'air fournit un travail de détente contre l'extérieur, ce qui provoque une chute de son énergie interne et donc de sa température.
• Saturation et condensation : La pression de vapeur saturante de l'eau P_s(T) diminue fortement avec la température (formule de Clapeyron). La pression partielle de vapeur d'eau P_{\mathrm{vap}} finissant par égaler P_s(T) (ou, de façon équivalente, le rapport de mélange r atteignant le rapport de mélange à saturation r_{\mathrm{sat}}), l'humidité relative atteint 100\,\%. La vapeur d'eau excédentaire se condense alors en microgouttelettes d'eau liquide en suspension : le nuage orographique apparaît.

2. Modèle et hypothèses associées Pour décrire quantitativement cette ascension :

• Système fermé (« particule d'air ») : On isole une petite masse d'air humide qui ne s'échange pas avec l'air ambiant et dont la composition reste homogène.
• Modèle de gaz parfait : L'air sec et la vapeur d'eau (diluée, r \ll 1) sont modélisés comme des gaz parfaits de coefficient isentropique \gamma \approx 1{,}40.
• Équilibre mécanique local (transformation quasi-statique) : La particule s'ajuste continûment à la pression locale de l'atmosphère : P_{\mathrm{particule}}(z) = P_{\mathrm{atm}}(z).
• Détente adiabatique réversible (adiabatique sèche) : Les échanges thermiques par conduction ou rayonnement étant négligeables à l'échelle temporelle de l'ascension, la détente est isentropique tant que l'eau reste uniquement à l'état de vapeur. Sur l'émagramme, la particule suit une adiabatique sèche.

• Conservation de la vapeur d'eau : En phase non saturée, le rapport de mélange de la particule reste constant et égal à sa valeur au sol :

  r = r_{\text{sol}} = \text{cte}

  La base du nuage (niveau de condensation) est alors modélisée par l'intersection entre le profil suivi le long de l'adiabatique sèche issue de l'état au sol (T_{\text{sol}}, P_{\text{sol}}) et la ligne d'égal rapport de mélange de saturation r_{\mathrm{sat}} = r_{\text{sol}}.

D'après le modèle établi à la question précédente, l'air s'élève initialement sans condensation :

• la transformation thermodynamique suivie par la particule d'air est modélisée par une adiabatique sèche partant de T = 10\text{ }^\circ\text{C} à P = 1000\text{ hPa} ;
• le rapport de mélange reste constant et égal à sa valeur au sol : r = 0,8\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1}.

La condensation (formation de la base du nuage) intervient dès que la vapeur d'eau devient saturante, c'est-à-dire au point d'intersection de l'adiabatique sèche suivie et de la courbe d'égal rapport de mélange de saturation r_{\text{sat}} = 0,8\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1}.

Sur l'émagramme de la figure 7 :

• on suit l'adiabatique sèche (ligne en trait plein épais inclinée vers la gauche) issue de l'abscisse T = 10\text{ }^\circ\text{C} sur l'isobare 1000\text{ hPa} ;
• on suit la ligne d'égal rapport de mélange cotée 0,8\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1} en haut du diagramme (ligne en tiretés inclinée vers la droite en descendant).

Leur intersection définit le niveau de condensation :

En reportant cette pression sur l'axe vertical de droite indiquant l'altitude, on lit directement :

Comparaison avec la figure 2 :
La figure 2 indique pour le Mont Shasta une altitude sommitale d'environ 4500\text{ m}. Les structures nuageuses associées à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz sont observées au voisinage immédiat du sommet, à une altitude comprise entre 3{,}5\text{ km} et 4{,}5\text{ km}. L'estimation trouvée (z \approx 4\text{ km}) est donc en très bon accord avec l'observation.

Dans chacune des deux couches (i \in \{1, 2\}), en dehors de la zone de mélange :

• L'écoulement étant stationnaire, la masse contenue dans une portion de tube de courant est constante au cours du temps, ce qui assure la conservation du débit massique le long de chaque tube de courant :

  D_{mi} = \text{cte le long du tube.}

• Le fluide étant incompressible et homogène, sa masse volumique \rho_i est uniforme et constante au cours du temps. La relation générale reliant les débits s'écrit alors :

  D_{mi} = \rho_i \, D_{vi}

  ce qui implique que le débit volumique est également conservé le long de chaque tube de courant (D_{vi} = \text{cte}).

• L'écoulement étant unidirectionnel suivant (Ox) et la vitesse v_i étant uniforme sur la section droite S orthogonale à la direction d'écoulement, les débits s'expriment simplement par :

Ces grandeurs sont donc constantes le long de chaque ligne de courant considérée.

D'après la question Q20, pour deux tubes de courant de même section droite S, les débits massiques s'écrivent :

L'égalité des débits massiques D_{m1} = D_{m2} impose donc :

Par définition des deux couches d'air, le fluide 1 est l'air chaud et le fluide 2 est l'air froid, soit T_1 > T_2.

D'après l'expression empirique fournie \rho(T) = A + \frac{B}{T} avec A > 0 et B > 0, la masse volumique de l'air est une fonction strictement décroissante de la température. Par conséquent :

Le rapport des masses volumiques vérifie ainsi \dfrac{\rho_1}{\rho_2} < 1, ce qui conduit directement à :

Considérons une surface horizontale d'aire \mathrm{d}S, située à l'altitude z et de vecteur normal \vec{e}_z dirigé du bas vers le haut. Pour un écoulement plan unidirectionnel \vec{v} = v_x(z)\,\vec{e}_x d'un fluide newtonien de viscosité dynamique \eta, la force surfacique de viscosité exercée par la couche inférieure (située en z^-) sur la couche supérieure (située en z^+) s'écrit :

Le signe s'interprète physiquement :

• Si \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}z} > 0, la couche inférieure se déplace moins vite que la couche supérieure. Elle tend donc à freiner cette dernière : la force exercée est orientée dans le sens opposé à l'écoulement (-\vec{e}_x).

• D'après le principe des actions réciproques, la force surfacique exercée par la partie supérieure sur la partie inférieure est l'opposée :

  \vec{f}_{s,\,\text{sup}\to\text{inf}}(z) = +\eta\,\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}z}\,\vec{e}_x

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement dans le tube de courant de dimension transversale caractéristique L s'écrit :

où v est la vitesse de l'écoulement et \nu_a la viscosité cinématique de l'air.

Avec les grandeurs fournies :

• v = 40\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{40}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 11{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• L \sim 1\text{ km} = 10^3\text{ m} ;
• \nu_a = 1{,}4 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}.

L'application numérique donne :

Cohérence du profil uniforme de vitesse :

• Le nombre de Reynolds est extrêmement grand devant l'unité (Re \gg 1), ce qui traduit une prépondérance absolue des effets d'inertie sur les effets visqueux au cœur de l'écoulement.
• Les contraintes de cisaillement visqueux sont ainsi reléguées dans une couche limite ou une zone de fort gradient de vitesse (ici la couche de mélange d'épaisseur e).
• En dehors de cette couche de mélange, le fluide se comporte comme un fluide parfait et/ou le brassage turbulent homogénéise le profil de vitesse, conduisant à un profil aplati (« en bouchon »).

L'hypothèse d'un profil de vitesse uniforme en dehors de la zone de mélange est donc tout à fait cohérente.

Pour l'écoulement d'un fluide soumis au champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z, sous les hypothèses suivantes :

• fluide parfait (viscosité négligeable) ;
• écoulement stationnaire (\partial/\partial t = 0) ;
• fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cste}) ;

la grandeur scalaire, appelée constante de Bernoulli, est conservée le long d'une même ligne de courant :

où P est la pression statique, v la norme de la vitesse du fluide et z l'altitude repérée selon l'axe vertical ascendant.

1. Définition de la surface de contrôle \Sigma et du système fermé \Sigma^*

On isole un tube de courant d'extension finie, de faible section, entourant une ligne de courant entre un point amont A (altitude z_A, pression P_A, vitesse v_A, section S_A) et un point aval B (altitude z_B, pression P_B, vitesse v_B, section S_B).

• La surface de contrôle \Sigma est la frontière fermée limitant le volume fixe V_0 constitué par le tronçon de tube de courant entre les sections S_A et S_B, et la surface latérale S_{\text{lat}} constituée de lignes de courant.

• Le système fermé coïncident \Sigma^* est constitué à chaque instant par les mêmes particules fluides :

  • à l'instant t, \Sigma^*(t) comprend le fluide situé dans le volume V_0, ainsi qu'une tranche élémentaire entrante de masse \mathrm{d}m_A = \rho\, S_A v_A\,\mathrm{d}t = \rho\,\mathrm{d}V_A située immédiatement en amont de S_A ;
  • à l'instant t + \mathrm{d}t, ces mêmes particules occupent le volume V_0 et une tranche élémentaire sortante de masse \mathrm{d}m_B = \rho\, S_B v_B\,\mathrm{d}t = \rho\,\mathrm{d}V_B située immédiatement en aval de S_B.

2. Bilan d'énergie mécanique pour le système fermé \Sigma^*

Appliquons le théorème de l'énergie mécanique au système fermé \Sigma^* entre les instants t et t + \mathrm{d}t dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

• Variation d'énergie cinétique :

  \begin{aligned} \mathrm{d}E_c &= E_c(t+\mathrm{d}t) - E_c(t) \\ &= \left[ E_c(V_0, t+\mathrm{d}t) + \frac{1}{2}\mathrm{d}m_B\, v_B^2 \right] - \left[ \frac{1}{2}\mathrm{d}m_A\, v_A^2 + E_c(V_0, t) \right] \end{aligned}

  L'écoulement étant stationnaire, l'énergie cinétique contenue dans le volume fixe V_0 est constante : E_c(V_0, t+\mathrm{d}t) = E_c(V_0, t).
  L'écoulement étant incompressible et le fluide homogène (\rho = \text{cste}), la conservation de la masse impose :

  \mathrm{d}m_A = \mathrm{d}m_B = \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V

  Il vient donc :

  \mathrm{d}E_c = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\left(v_B^2 - v_A^2\right)

• Variation d'énergie potentielle de pesanteur : Par le même raisonnement (champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{e}_z et stationnarité du contenu de V_0) :

  \mathrm{d}E_{pp} = \mathrm{d}m\,g\left(z_B - z_A\right)

• Travail des forces extérieures non conservatives : Le fluide étant parfait, il n'y a pas de frottements visqueux ni de dissipation interne (\delta W_{\text{visc}} = 0).
  Sur la surface latérale S_{\text{lat}}, les déplacements des particules fluides se font parallèlement aux lignes de courant, donc orthogonalement aux forces de pression locales : le travail sur la paroi latérale est nul.
  Le travail extérieur se réduit donc au travail des forces pressantes sur les sections S_A (force motrice) et S_B (force résistante) :

  \delta W_{\text{ext, non cons}} = P_A S_A (v_A\,\mathrm{d}t) - P_B S_B (v_B\,\mathrm{d}t) = (P_A - P_B)\,\mathrm{d}V = \frac{P_A - P_B}{\rho}\,\mathrm{d}m

3. Obtention de la relation de Bernoulli

En égalant \mathrm{d}E_m = \mathrm{d}E_c + \mathrm{d}E_{pp} et \delta W_{\text{ext, non cons}} :

En divisant par \mathrm{d}m et en regroupant les grandeurs relatives à chaque point :

Le champ des vitesses \vec{u}(z) = u_x(z)\,\vec{e}_x est continu en z = \pm \frac{e}{2} si et seulement si ses limites à gauche et à droite coïncident en ces deux cotes.

• En z = +\frac{e}{2} :

  \begin{aligned} \lim_{z \to (e/2)^+} u_x(z) &= v_1 \\ \lim_{z \to (e/2)^-} u_x(z) &= \langle v \rangle + \gamma\,\frac{e/2}{e} = \langle v \rangle + \frac{\gamma}{2} \end{aligned}

  ce qui impose la relation :

  \langle v \rangle + \frac{\gamma}{2} = v_1 \tag{1}

• En z = -\frac{e}{2} :

  \begin{aligned} \lim_{z \to (-e/2)^-} u_x(z) &= v_2 \\ \lim_{z \to (-e/2)^+} u_x(z) &= \langle v \rangle + \gamma\,\frac{-e/2}{e} = \langle v \rangle - \frac{\gamma}{2} \end{aligned}

  ce qui impose la relation :

  \langle v \rangle - \frac{\gamma}{2} = v_2 \tag{2}

En sommant membre à membre les équations (1) et (2), on obtient :

En soustrayant membre à membre (2) de (1), on obtient :

D'où les expressions recherchées :

1. Lignes de champ de vitesse
Par définition, en tout point, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une ligne de champ est colinéaire au vecteur vitesse \vec{u}(z) = u_x(z)\,\vec{e}_x :

L'écoulement étant unidirectionnel suivant (Ox) et stationnaire, les lignes de champ (qui sont ici confondues avec les trajectoires et les lignes de courant) sont des droites horizontales parallèles à l'axe (Ox), orientées selon +\vec{e}_x car v_1 > v_2 > 0.

2. Profil de vitesse u_x(z)
D'après l'expression donnée et les résultats de la question précédente (Q26) :

Le profil de vitesse présente donc :

• une valeur constante v_2 pour z \leqslant -e/2 ;
• une variation linéaire continue et croissante entre v_2 et v_1 dans la zone de mélange pour -e/2 \leqslant z \leqslant e/2 ;
• une valeur constante v_1 > v_2 pour z \geqslant e/2.

1. Compatibilité avec un écoulement incompressible et homogène

Pour un fluide homogène, l'incompressibilité se traduit localement par l'annulation de la divergence de la vitesse :

Le champ de vitesse étant unidirectionnel suivant (Ox) et ne dépendant que de l'altitude z, on a :

Ainsi, en tout point de l'espace (pour |z| > e/2 comme pour |z| \leqslant e/2), on a :

Par ailleurs, la composante normale de la vitesse est nulle (u_z = 0), ce qui assure l'absence de discontinuité du flux volumique à travers les frontières z = \pm e/2. La masse volumique étant uniforme au sein de chaque couche, le profil est partout compatible avec un écoulement incompressible et homogène.

2. Compatibilité avec un écoulement parfait

Un écoulement parfait suppose que les forces de viscosité sont négligeables devant les forces d'inertie et de pression. D'après la loi de Newton pour la contrainte visqueuse de cisaillement rappelée à la question Q22 :

• En dehors de la zone de mélange (|z| > e/2) : la vitesse est uniforme (v_1 ou v_2), de sorte que \dfrac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}z} = 0. Les contraintes visqueuses sont donc strictement nulles. Compte tenu du nombre de Reynolds très élevé (Re \sim 10^9 estimé en Q23), l'hypothèse d'écoulement parfait y est pleinement justifiée.

• Dans la zone de mélange (|z| \leqslant e/2) : il existe un gradient de vitesse non nul :

  \frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}z} = \frac{\gamma}{e} = \frac{v_1 - v_2}{e} \neq 0

  Ce gradient génère des forces de frottement visqueux non négligeables et une dissipation d'énergie mécanique par viscosité. C'est précisément l'action de cette viscosité (moléculaire ou turbulente) qui assure le transfert de quantité de mouvement et donne naissance à cette couche de mélange.

L'écoulement étant stationnaire, incompressible et homogène dans chaque couche, le débit volumique à travers un tube de courant de section droite S est conservé :

Par ailleurs, les fluides ne s'interpénètrent pas et ne décollent pas de l'interface : l'interface déformée constitue elle-même une ligne de courant.

1. Au niveau d'une bosse (soulèvement vers le haut) :

• Au-dessus (air chaud, couche 1) : la section offerte à l'écoulement diminue (S_1 < S_{10}). Par conservation du débit, les lignes de courant se resserrent et la vitesse du fluide augmente (v > v_1).
• Au-dessous (air froid, couche 2) : la section offerte à l'écoulement augmente (S_2 > S_{20}). Les lignes de courant s'écartent et la vitesse du fluide diminue (v < v_2).

2. Au niveau d'un creux (abaissement vers le bas) :

• Au-dessus (air chaud, couche 1) : la section offerte à l'écoulement augmente (S_1 > S_{10}). Les lignes de courant s'écartent et la vitesse du fluide diminue (v < v_1).
• Au-dessous (air froid, couche 2) : la section offerte à l'écoulement diminue (S_2 < S_{20}). Les lignes de courant se resserrent et la vitesse du fluide augmente (v > v_2).

3. Tracé des lignes de courant :

L'écoulement étant stationnaire, incompressible, homogène et parfait (en négligeant dans un premier temps l'effet de la pesanteur à l'échelle de la petite déformation), la relation de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant dans chaque couche :

1. Au niveau d'une bosse (déplacement vers z > 0) :

• Dans la couche supérieure 1 (air chaud), la section offerte à l'écoulement diminue, d'où une accélération locale du fluide (v_1 > v_{10}). Par effet Bernoulli, la pression diminue à la crête :

  P_1 < P_{10}

• Dans la couche inférieure 2 (air froid), la section offerte augmente, d'où un ralentissement local (v_2 < v_{20}). Par effet Bernoulli, la pression augmente sous la crête :

  P_2 > P_{20}

À l'état non perturbé, la continuité de la pression à l'interface impose P_{10} = P_{20}. Il apparaît donc au sommet de la bosse une surpression de la couche inférieure par rapport à la couche supérieure :

Ce saut de pression se traduit par un gradient vertical de pression dirigé vers le bas (\partial P / \partial z < 0), exerçant sur l'interface une force surfacique nette orientée vers le haut :

Cette force pousse l'interface encore davantage vers le haut, accentuant le relief de la bosse.

2. Au niveau d'un creux (déplacement vers z < 0) : Par un raisonnement symétrique :

• Au-dessus, la section s'élargit : v_1 < v_{10} \implies P_1 > P_{10}.
• Au-dessous, la section se resserre : v_2 > v_{20} \implies P_2 < P_{20}.

On obtient donc P_1 > P_2, soit une force surfacique nette orientée vers le bas :

Cette force pousse le creux encore plus profondément vers le bas.

Conclusion :