Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2022

Le numéro atomique de l'oxygène est Z = 8. L'atome d'oxygène possède donc 8 électrons.

D'après les règles de remplissage (règle de Klechkowski, principe d'exclusion de Pauli, règle de Hund), la configuration électronique de l'atome d'oxygène dans son état fondamental s'écrit :

On distingue alors deux types d'électrons selon leur couche d'appartenance :

• Les électrons de cœur, situés sur la couche interne n = 1 (1s^2), au nombre de 2 ;
• Les électrons de valence, situés sur la couche électronique externe de nombre quantique principal le plus élevé n = 2 (2s^2\, 2p^4), au nombre de 6.

Le numéro de la période (ou ligne) de la classification périodique correspond à la valeur maximale du nombre quantique principal n de la couche électronique occupée dans l'état fondamental de l'atome.

D'après la configuration électronique établie à la question Q1, 1\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{p}^4, la couche de valence correspond à n = 2.

Par conséquent, l'oxygène appartient à la deuxième période de la classification périodique :

1. Définition d'isotopes :
Des isotopes sont des atomes (ou nucléides) possédant le même numéro atomique Z (même nombre de protons), mais un nombre de masse A différent, c'est-à-dire un nombre de neutrons N = A - Z différent.

2. Composition du noyau des isotopes de l'oxygène (Z = 8) :

• Pour l'isotope ^{16}_{8}\mathrm{O} (A = 16) :

  Z = 8 \text{ protons} \quad \text{et} \quad N = 16 - 8 = 8 \text{ neutrons.}

• Pour l'isotope ^{17}_{8}\mathrm{O} (A = 17) :

  Z = 8 \text{ protons} \quad \text{et} \quad N = 17 - 8 = 9 \text{ neutrons.}

• Pour l'isotope ^{18}_{8}\mathrm{O} (A = 18) :

  Z = 8 \text{ protons} \quad \text{et} \quad N = 18 - 8 = 10 \text{ neutrons.}

3. Identité des propriétés chimiques :
La réactivité chimique d'un atome dépend quasi exclusivement de son cortège électronique, et tout particulièrement de sa couche de valence. Deux isotopes d'un même élément possédant le même numéro atomique Z, leurs atomes neutres possèdent le même nombre d'électrons et donc exactement la même configuration électronique fondamentale. Par conséquent, ils développent les mêmes liaisons et présentent des propriétés chimiques identiques.

Soient x_{16}, x_{17} et x_{18} les fractions molaires (abondances relatives) respectives des isotopes ^{16}\mathrm{O}, ^{17}\mathrm{O} et ^{18}\mathrm{O}, et M_{16}, M_{17}, M_{18} leurs masses molaires respectives fournies en tête d'énoncé.

La somme des abondances vaut l'unité :

La masse molaire atomique moyenne M est donnée par :

En substituant x_{16}, on obtient :

On en déduit l'expression littérale de l'abondance de l'isotope ^{18}\mathrm{O} :

Application numérique :

• M = 15,9994\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}
• M_{16} = 15,99491\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}
• M_{17} = 16,99914\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}
• M_{18} = 17,99916\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}
• x_{17} = 0,037\,\% = 3,7 \times 10^{-4}

Les écarts de masse molaire valent :

D'où :

On en déduit ensuite l'abondance de l'isotope ^{16}\mathrm{O} :

Compte tenu de la précision sur M (quatre décimales, ce qui limite le numérateur M - M_{16} à trois chiffres significatifs) :

D'après la question Q1, chaque atome d'oxygène possède 6 électrons de valence. La molécule de dioxygène \mathrm{O}_2 compte ainsi :

Pour que chaque atome d'oxygène respecte la règle de l'octet (8 électrons dans sa couche de valence), les deux atomes doivent mettre en commun 4 électrons, formant une double liaison covalente (deux doublets liants). Les quatre doublets restants constituent deux doublets non liants sur chaque atome d'oxygène.

La charge formelle portée par chaque atome d'oxygène est nulle :

Le schéma de Lewis de la molécule de dioxygène est donc :

Chaque atome d'oxygène possède 6 électrons de valence (question Q1). Le nombre total d'électrons de valence de \mathrm{O}_3 est donc :

Dans une structure cyclique, les trois atomes forment un cycle triangulaire comportant 3 liaisons simples covalentes \mathrm{O}-\mathrm{O}, mobilisant ainsi 3 doublets liants. Pour respecter la règle de l'octet (4 doublets par atome), il faut attribuer 2 doublets non liants à chaque atome d'oxygène, soit 3 \times 2 = 6 doublets non liants supplémentaires. Le total correspond bien aux 9 doublets disponibles.

La charge formelle de chaque atome d'oxygène vaut :

Tous les atomes sont donc électriquement neutres.

Polarité de la molécule cyclique :

• Les liaisons sont formées entre atomes identiques d'oxygène (même électronégativité), elles ne sont donc pas polarisées.
• De plus, par symétrie, les trois noyaux forment un triangle équilatéral. Le barycentre des charges positives coïncide nécessairement avec le barycentre des charges négatives.

Le moment dipolaire permanent de la molécule cyclique serait donc nul :

1. Formules de Lewis équivalentes

Chaque atome d'oxygène (Z=8) possède 6 électrons de valence. La molécule d'ozone \mathrm{O}_3 comporte donc au total :

Dans une structure non cyclique, l'atome d'oxygène central est lié aux deux oxygènes terminaux. Pour que chaque atome d'oxygène vérifie la règle de l'octet, il faut une liaison double avec l'un des oxygènes terminaux et une liaison simple avec l'autre :

• l'atome central possède un doublet non liant, une liaison double et une liaison simple (soit 4 paires d'électrons, octet respecté). Sa charge formelle est :

  q = 6 - 2 - 3 = +1\text{ ;}

• l'atome d'oxygène doublement lié possède 2 doublets non liants. Sa charge formelle est :

  q = 6 - 4 - 2 = 0\text{ ;}

• l'atome d'oxygène simplement lié possède 3 doublets non liants. Sa charge formelle est :

  q = 6 - 6 - 1 = -1.

Par délocalisation des électrons \pi et des doublets non liants, on obtient deux formules mésomères limites équivalentes :

2. Géométrie de la molécule d'ozone

Pour déterminer la géométrie, on applique la théorie VSEPR (Gillespie) à l'atome d'oxygène central :

• l'atome central est entouré de deux atomes d'oxygène (chacun comptant pour un ligand) et porte un doublet non liant ;
• la molécule est donc du type \mathrm{AX}_2\mathrm{E}_1.

La figure de répulsion associée est trigonale plane. La géométrie moléculaire (disposition des atomes uniquement) est donc coudée (ou angulaire).

L'angle de liaison \widehat{\mathrm{O-O-O}} attendu pour une disposition trigonale plane idéale est de 120^\circ. En raison de l'encombrement stérique supérieur du doublet non liant par rapport aux doublets liants, l'angle réel est légèrement inférieur à 120^\circ (valeur expérimentale : 116,8^\circ).

La transformation associée à la réaction 1 s'écrit :

Elle correspond à la rupture d'une demi-mole de liaisons \mathrm{A-A} et d'une demi-mole de liaisons \mathrm{B-B} à l'état gazeux. Par additivité des enthalpies standard de réaction (loi de Hess) :

L'enthalpie étant une fonction d'état, sa variation ne dépend pas du chemin suivi. Le cycle thermodynamique de la figure 1 donne immédiatement :

On en déduit l'énergie de liaison E_{\text{liaison}}(\mathrm{AB}) = \Delta_{\text{dis}}H^\circ(\mathrm{A-B}) :

En substituant l'expression de \Delta_r H^\circ_1, il vient :

Considérons la réaction standard de formation de l'eau gazeuse à 298\text{ K} :

À partir de l'état standard des réactifs, on peut envisager un état intermédiaire constitué des atomes gazeux libres 2\,\mathrm{H}_{(\mathrm{g})} + \mathrm{O}_{(\mathrm{g})} :

• Dissociation des réactifs en atomes gazeux : rupture d'une mole de liaisons \mathrm{H-H} et d'une demi-mole de liaisons dans \mathrm{O}_2, soit une variation d'enthalpie standard :

  \Delta H^\circ_1 = \Delta_{\text{dis}}H^\circ(\mathrm{H-H}) + \frac{1}{2}\,\Delta_{\text{dis}}H^\circ(\mathrm{O_2})

• Recombinaison des atomes libres pour former la molécule d'eau \mathrm{H-O-H}_{(\mathrm{g})} : formation de deux moles de liaisons simples \mathrm{O-H}, soit une variation d'enthalpie standard :

  \Delta H^\circ_2 = -\,2\,\Delta_{\text{dis}}H^\circ(\mathrm{O-H})

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de la réaction globale s'écrit :

On en déduit l'expression littérale de l'énergie de liaison de la molécule de dioxygène :

Application numérique : Avec les données fournies :

• \Delta_f H^\circ(\mathrm{H_2O}_{(\mathrm{g})}) = -243\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\text{dis}}H^\circ(\mathrm{O-H}) = 463\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\text{dis}}H^\circ(\mathrm{H-H}) = 435\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie E transportée par un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence \nu s'écrit :

où :

• E est l'énergie du photon (en \mathrm{J}) ;
• h est la constante de Planck (h = 6{,}626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) ;
• \nu est la fréquence du rayonnement électromagnétique (en \mathrm{Hz} ou \mathrm{s}^{-1}).

Pour dissocier une molécule de dioxygène, l'énergie minimale apportée par un photon incident doit être égale à l'énergie de dissociation par molécule, soit :

D'après la relation de Planck-Einstein rappelée en question Q10, l'énergie d'un photon de longueur d'onde \lambda dans le vide est E = \dfrac{h\,c}{\lambda}. La condition de photodissociation s'écrit donc :

La longueur d'onde limite (maximale) recherchée est ainsi :

Avec les valeurs numériques fournies par le sujet :

• h = 6,626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• c \simeq 3,00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• N_A = 6,022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
• \Delta_{\text{dis}}H^\circ(\mathrm{O_2}) = 496\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = 496 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} (d'après Q9).

On obtient :

D'après le spectre des ondes électromagnétiques fourni en annexe (page 10), cette longueur d'onde se situe dans le domaine des rayons ultraviolets, et plus précisément dans le sous-domaine des UVC (compris entre 100\text{ nm} et 280\text{ nm}).

D'après la relation de Planck-Einstein rappelée à la question Q10, l'énergie d'un photon s'écrit :

L'énergie individuelle portée par un photon est donc inversement proportionnelle à sa longueur d'onde \lambda.

• Évolution de la dangerosité : La dangerosité d'un rayonnement électromagnétique augmente lorsque la longueur d'onde diminue. En effet, des photons plus énergétiques sont capables d'exciter des transitions électroniques profondes, de rompre des liaisons covalentes indispensables aux molécules biologiques (comme l'ADN), voire d'arracher des électrons (ionisation).

• Commentaire du résultat (\lambda \approx 241\text{ nm}) et rayonnements ionisants :

  • La valeur \lambda \le 241\text{ nm} se situe dans le domaine des ultraviolets courts (UVC, 100\text{ nm} \le \lambda \le 280\text{ nm}). Ces photons sont suffisamment énergétiques pour dissocier la molécule très stable de dioxygène (\mathrm{O}_2). Pour les organismes vivants, ce rayonnement présente une forte toxicité cellulaire (action germicide, mutations).
  • Aux longueurs d'onde encore plus faibles (\lambda \lesssim 100\text{ nm}, incluant les UV extrêmes, les rayons X et les rayons \gamma), l'énergie des photons dépasse les potentiels d'ionisation des atomes et molécules usuels (environ 10 à 15\text{ eV}, soit \lambda \le 80\text{--}120\text{ nm}). Ces rayonnements deviennent ionisants et sont particulièrement destructeurs pour la matière vivante.

• Impact de la haute atmosphère : La haute atmosphère (thermosphère, mésosphère, stratosphère) constitue un filtre protecteur indispensable :

  • les rayonnements ionisants (rayons X et UV extrêmes) sont absorbés dans la thermosphère par photo-ionisation des gaz majeurs (\mathrm{N}_2, \mathrm{O}_2, \mathrm{O}) ;
  • les rayonnements UVC hautement énergétiques (\lambda \le 241\text{ nm}) sont arrêtés dans la haute stratosphère et la mésosphère en induisant la photodissociation de \mathrm{O}_2 (réaction étudiée ici, qui initie le cycle de formation de l'ozone) ;
  • l'ozone formé absorbe ensuite le reste des UV nocifs (notamment les UVB de 280 à 315\text{ nm}).

  Aucun photon de longueur d'onde inférieure à environ 290\text{ nm} n'atteint ainsi la surface terrestre, protégeant la biosphère de leurs effets délétères.

1. Allure du graphe de k_1(z) :

D'après le document A2, la constante de vitesse de photolyse k_1(z) est proportionnelle à l'intensité I(z) du rayonnement solaire ultraviolet.

• Au sommet de l'atmosphère (z \to +\infty), le flux incident provenant du Soleil n'a pas encore interagi avec l'atmosphère : l'intensité prend sa valeur extraterrestre maximale I_\infty, donc k_1 tend vers une valeur limite finie k_{1,\infty}.
• À mesure que le rayonnement pénètre dans l'atmosphère (altitude z décroissante), il est absorbé par le dioxygène présent. Cette absorption est d'autant plus efficace que la concentration en dioxygène augmente exponentiellement lorsque z diminue.
• Par conséquent, I(z) et donc k_1(z) sont des fonctions strictement croissantes de l'altitude z. Au niveau du sol (z = 0), le rayonnement UV responsable de la photolyse est quasiment entièrement absorbé : k_1(0) \approx 0.

2. Justification de l'existence d'un maximum pour n_{\mathrm{O}_3}(z) :

D'après le modèle cinétique de Chapman en régime stationnaire :

En considérant les constantes k_2, k_3 et k_4 indépendantes de l'altitude au premier ordre, n_{\mathrm{O}_3}(z) varie proportionnellement au produit \sqrt{k_1(z)}\,n_{\mathrm{O}_2}(z).

• À basse altitude (z \to 0) : la concentration en dioxygène n_{\mathrm{O}_2} est maximale, mais le flux UV est presque nul (k_1 \approx 0). Sans photons de haute énergie pour initier la photodissociation de \mathrm{O}_2 en radicaux \mathrm{O}^\bullet, l'ozone ne peut se former :

  n_{\mathrm{O}_3}(z \to 0) \approx 0

• À très haute altitude (z \to +\infty) : le flux UV est maximal (k_1 \to k_{1,\infty}), mais la densité de l'air se raréfie et la concentration en dioxygène décroît exponentiellement vers zéro (n_{\mathrm{O}_2} \to 0). Sans réactif \mathrm{O}_2, la production d'ozone est impossible :

  n_{\mathrm{O}_3}(z \to +\infty) \to 0

La fonction n_{\mathrm{O}_3}(z) étant continue, strictement positive sur ]0, +\infty[ et s'annulant aux deux limites, le théorème des bornes atteintes (ou de Rolle) assure l'existence d'au moins un extremum local :

D'après le document A2, la concentration stationnaire en ozone s'écrit :

La constante cinétique k_1(z) étant proportionnelle au flux I(z), on a :

Sachant que n_{\mathrm{O}_2}(z) = n_0\exp\left(-\frac{z}{H}\right), introduisons la variable sans dimension u = \exp\left(-\frac{z}{H}\right) et la constante sans dimension \alpha = H n_0 \sigma_{\mathrm{O}_2}. Il vient :

Pour trouver le maximum de n_{\mathrm{O}_3}, dérivons la fonction f(u) = u\exp\left(-\frac{\alpha}{2}u\right) par rapport à u :

La dérivée s'annule et change de signe pour :

Comme u = \exp(-z/H), l'altitude du maximum est :

Application numérique pour l'altitude :

Ordre de grandeur de la concentration maximale : À l'altitude z = 50\text{ km} (sommet de la stratosphère) :

On a donc \exp(-\alpha u) \approx 1, si bien que k_{1,\infty} \approx k_1(50\text{ km}) = 3\times 10^{-12}\text{ s}^{-1}.

À l'altitude z_{\max}, on a \frac{\alpha}{2}u_{\max} = 1, d'où :

Le rapport des constantes cinétiques vaut :

D'où le facteur sans dimension :

On en déduit la concentration maximale :

On considère une tranche de fluide mésoscopique d'épaisseur \mathrm{d}z et de section droite horizontale S, comprise entre les cotes z et z+\mathrm{d}z. L'atmosphère étant au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le système est en équilibre statique.

Le système est soumis à :

• la force de pression sur la face inférieure : \vec{F}(z) = P(z)\,S\,\vec{e}_z ;
• la force de pression sur la face supérieure : \vec{F}(z+\mathrm{d}z) = -P(z+\mathrm{d}z)\,S\,\vec{e}_z ;
• les forces de pression latérales, qui se compensent par symétrie horizontale ;
• le poids de la tranche de fluide : \vec{P} = -\mathrm{d}m\,g\,\vec{e}_z = -\rho\,S\,\mathrm{d}z\,g\,\vec{e}_z.

La condition d'équilibre mécanique s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z, on obtient :

En simplifiant par la section S et en notant \mathrm{d}P = P(z+\mathrm{d}z) - P(z) :

L'air étant modélisé par un gaz parfait à la température uniforme T_0, son équation d'état relie la pression P, le volume V, la quantité de matière n et la masse m par :

La masse volumique s'écrit donc en tout point :

En reportant cette expression dans la relation fondamentale de la statique des fluides établie à la question Q15, \mathrm{d}P = -\rho\,g\,\mathrm{d}z, il vient :

En intégrant entre le niveau du sol (z = 0, P(0) = P_0) et l'altitude z, sous l'hypothèse d'une accélération de la pesanteur g uniforme :

On en déduit l'expression de la loi barométrique pour une atmosphère isotherme :

D'après la loi barométrique établie à la question Q16, le profil de pression d'une atmosphère isotherme à T_0 = 273\text{ K} s'écrit :

En utilisant la masse molaire de l'air M = 29,0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Sur la figure 2, la flèche verticale à droite indique une échelle de longueur de 2\text{ km}. La mesure de la hauteur propre du nuage (séparation verticale entre la base et les crêtes des ondulations) représente un peu moins de la moitié de ce segment étalon :

Entre la base z_b et le sommet z_h = z_b + h du nuage, la variation relative de la pression s'écrit :

En réalisant l'application numérique avec h \approx 850\text{ m} et H \approx 7{,}97\text{ km} :

La variation relative de pression sur la hauteur du nuage est de l'ordre de 10\,\%. L'hypothèse d'une pression uniforme se situe donc exactement à la limite du critère de tolérance de 10\,\% fixé par l'énoncé : elle constitue une approximation acceptable en première approche pour modéliser le phénomène, mais reste à la limite de la validité.

1. Mécanisme qualitatif de formation du nuage

• Soulèvement forcé : Une masse d'air en mouvement horizontal rencontre une barrière montagneuse et est contrainte de s'élever le long du versant au vent.
• Détente et refroidissement : En prenant de l'altitude, la pression atmosphérique extérieure décroît (statique des fluides). L'air en ascension subit une détente. Le mouvement étant rapide devant le temps caractéristique des échanges thermiques conductifs, cette détente s'effectue sans transfert thermique notable avec l'environnement (transformation adiabatique). L'air fournit un travail de détente contre l'extérieur, ce qui provoque une chute de son énergie interne et donc de sa température.
• Saturation et condensation : La pression de vapeur saturante de l'eau P_s(T) diminue fortement avec la température (formule de Clapeyron). La pression partielle de vapeur d'eau P_{\mathrm{vap}} finissant par égaler P_s(T) (ou, de façon équivalente, le rapport de mélange r atteignant le rapport de mélange à saturation r_{\mathrm{sat}}), l'humidité relative atteint 100\,\%. La vapeur d'eau excédentaire se condense alors en microgouttelettes d'eau liquide en suspension : le nuage orographique apparaît.

2. Modèle et hypothèses associées Pour décrire quantitativement cette ascension :

• Système fermé (« particule d'air ») : On isole une petite masse d'air humide qui ne s'échange pas avec l'air ambiant et dont la composition reste homogène.
• Modèle de gaz parfait : L'air sec et la vapeur d'eau (diluée, r \ll 1) sont modélisés comme des gaz parfaits de coefficient isentropique \gamma \approx 1{,}40.
• Équilibre mécanique local (transformation quasi-statique) : La particule s'ajuste continûment à la pression locale de l'atmosphère : P_{\mathrm{particule}}(z) = P_{\mathrm{atm}}(z).
• Détente adiabatique réversible (adiabatique sèche) : Les échanges thermiques par conduction ou rayonnement étant négligeables à l'échelle temporelle de l'ascension, la détente est isentropique tant que l'eau reste uniquement à l'état de vapeur. Sur l'émagramme, la particule suit une adiabatique sèche.

• Conservation de la vapeur d'eau : En phase non saturée, le rapport de mélange de la particule reste constant et égal à sa valeur au sol :

  r = r_{\text{sol}} = \text{cte}

  La base du nuage (niveau de condensation) est alors modélisée par l'intersection entre le profil suivi le long de l'adiabatique sèche issue de l'état au sol (T_{\text{sol}}, P_{\text{sol}}) et la ligne d'égal rapport de mélange de saturation r_{\mathrm{sat}} = r_{\text{sol}}.

D'après le modèle établi à la question précédente, l'air s'élève initialement sans condensation :

• la transformation thermodynamique suivie par la particule d'air est modélisée par une adiabatique sèche partant de T = 10\text{ }^\circ\text{C} à P = 1000\text{ hPa} ;
• le rapport de mélange reste constant et égal à sa valeur au sol : r = 0,8\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1}.

La condensation (formation de la base du nuage) intervient dès que la vapeur d'eau devient saturante, c'est-à-dire au point d'intersection de l'adiabatique sèche suivie et de la courbe d'égal rapport de mélange de saturation r_{\text{sat}} = 0,8\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1}.

Sur l'émagramme de la figure 7 :

• on suit l'adiabatique sèche (ligne en trait plein épais inclinée vers la gauche) issue de l'abscisse T = 10\text{ }^\circ\text{C} sur l'isobare 1000\text{ hPa} ;
• on suit la ligne d'égal rapport de mélange cotée 0,8\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1} en haut du diagramme (ligne en tiretés inclinée vers la droite en descendant).

Leur intersection définit le niveau de condensation :

En reportant cette pression sur l'axe vertical de droite indiquant l'altitude, on lit directement :

Comparaison avec la figure 2 :
La figure 2 indique pour le Mont Shasta une altitude sommitale d'environ 4500\text{ m}. Les structures nuageuses associées à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz sont observées au voisinage immédiat du sommet, à une altitude comprise entre 3{,}5\text{ km} et 4{,}5\text{ km}. L'estimation trouvée (z \approx 4\text{ km}) est donc en très bon accord avec l'observation.

Dans chacune des deux couches (i \in \{1, 2\}), en dehors de la zone de mélange :

• L'écoulement étant stationnaire, la masse contenue dans une portion de tube de courant est constante au cours du temps, ce qui assure la conservation du débit massique le long de chaque tube de courant :

  D_{mi} = \text{cte le long du tube.}

• Le fluide étant incompressible et homogène, sa masse volumique \rho_i est uniforme et constante au cours du temps. La relation générale reliant les débits s'écrit alors :

  D_{mi} = \rho_i \, D_{vi}

  ce qui implique que le débit volumique est également conservé le long de chaque tube de courant (D_{vi} = \text{cte}).

• L'écoulement étant unidirectionnel suivant (Ox) et la vitesse v_i étant uniforme sur la section droite S orthogonale à la direction d'écoulement, les débits s'expriment simplement par :

Ces grandeurs sont donc constantes le long de chaque ligne de courant considérée.

D'après la question Q20, pour deux tubes de courant de même section droite S, les débits massiques s'écrivent :

L'égalité des débits massiques D_{m1} = D_{m2} impose donc :

Par définition des deux couches d'air, le fluide 1 est l'air chaud et le fluide 2 est l'air froid, soit T_1 > T_2.

D'après l'expression empirique fournie \rho(T) = A + \frac{B}{T} avec A > 0 et B > 0, la masse volumique de l'air est une fonction strictement décroissante de la température. Par conséquent :

Le rapport des masses volumiques vérifie ainsi \dfrac{\rho_1}{\rho_2} < 1, ce qui conduit directement à :

Considérons une surface horizontale d'aire \mathrm{d}S, située à l'altitude z et de vecteur normal \vec{e}_z dirigé du bas vers le haut. Pour un écoulement plan unidirectionnel \vec{v} = v_x(z)\,\vec{e}_x d'un fluide newtonien de viscosité dynamique \eta, la force surfacique de viscosité exercée par la couche inférieure (située en z^-) sur la couche supérieure (située en z^+) s'écrit :

Le signe s'interprète physiquement :

• Si \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}z} > 0, la couche inférieure se déplace moins vite que la couche supérieure. Elle tend donc à freiner cette dernière : la force exercée est orientée dans le sens opposé à l'écoulement (-\vec{e}_x).

• D'après le principe des actions réciproques, la force surfacique exercée par la partie supérieure sur la partie inférieure est l'opposée :

  \vec{f}_{s,\,\text{sup}\to\text{inf}}(z) = +\eta\,\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}z}\,\vec{e}_x

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement dans le tube de courant de dimension transversale caractéristique L s'écrit :

où v est la vitesse de l'écoulement et \nu_a la viscosité cinématique de l'air.

Avec les grandeurs fournies :

• v = 40\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{40}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 11{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• L \sim 1\text{ km} = 10^3\text{ m} ;
• \nu_a = 1{,}4 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}.

L'application numérique donne :

Cohérence du profil uniforme de vitesse :

• Le nombre de Reynolds est extrêmement grand devant l'unité (Re \gg 1), ce qui traduit une prépondérance absolue des effets d'inertie sur les effets visqueux au cœur de l'écoulement.
• Les contraintes de cisaillement visqueux sont ainsi reléguées dans une couche limite ou une zone de fort gradient de vitesse (ici la couche de mélange d'épaisseur e).
• En dehors de cette couche de mélange, le fluide se comporte comme un fluide parfait et/ou le brassage turbulent homogénéise le profil de vitesse, conduisant à un profil aplati (« en bouchon »).

L'hypothèse d'un profil de vitesse uniforme en dehors de la zone de mélange est donc tout à fait cohérente.

Pour l'écoulement d'un fluide soumis au champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z, sous les hypothèses suivantes :

• fluide parfait (viscosité négligeable) ;
• écoulement stationnaire (\partial/\partial t = 0) ;
• fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cste}) ;

la grandeur scalaire, appelée constante de Bernoulli, est conservée le long d'une même ligne de courant :

où P est la pression statique, v la norme de la vitesse du fluide et z l'altitude repérée selon l'axe vertical ascendant.

1. Définition de la surface de contrôle \Sigma et du système fermé \Sigma^*

On isole un tube de courant d'extension finie, de faible section, entourant une ligne de courant entre un point amont A (altitude z_A, pression P_A, vitesse v_A, section S_A) et un point aval B (altitude z_B, pression P_B, vitesse v_B, section S_B).

• La surface de contrôle \Sigma est la frontière fermée limitant le volume fixe V_0 constitué par le tronçon de tube de courant entre les sections S_A et S_B, et la surface latérale S_{\text{lat}} constituée de lignes de courant.

• Le système fermé coïncident \Sigma^* est constitué à chaque instant par les mêmes particules fluides :

  • à l'instant t, \Sigma^*(t) comprend le fluide situé dans le volume V_0, ainsi qu'une tranche élémentaire entrante de masse \mathrm{d}m_A = \rho\, S_A v_A\,\mathrm{d}t = \rho\,\mathrm{d}V_A située immédiatement en amont de S_A ;
  • à l'instant t + \mathrm{d}t, ces mêmes particules occupent le volume V_0 et une tranche élémentaire sortante de masse \mathrm{d}m_B = \rho\, S_B v_B\,\mathrm{d}t = \rho\,\mathrm{d}V_B située immédiatement en aval de S_B.

2. Bilan d'énergie mécanique pour le système fermé \Sigma^*

Appliquons le théorème de l'énergie mécanique au système fermé \Sigma^* entre les instants t et t + \mathrm{d}t dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

• Variation d'énergie cinétique :

  \begin{aligned} \mathrm{d}E_c &= E_c(t+\mathrm{d}t) - E_c(t) \\ &= \left[ E_c(V_0, t+\mathrm{d}t) + \frac{1}{2}\mathrm{d}m_B\, v_B^2 \right] - \left[ \frac{1}{2}\mathrm{d}m_A\, v_A^2 + E_c(V_0, t) \right] \end{aligned}

  L'écoulement étant stationnaire, l'énergie cinétique contenue dans le volume fixe V_0 est constante : E_c(V_0, t+\mathrm{d}t) = E_c(V_0, t).
  L'écoulement étant incompressible et le fluide homogène (\rho = \text{cste}), la conservation de la masse impose :

  \mathrm{d}m_A = \mathrm{d}m_B = \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V

  Il vient donc :

  \mathrm{d}E_c = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\left(v_B^2 - v_A^2\right)

• Variation d'énergie potentielle de pesanteur : Par le même raisonnement (champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{e}_z et stationnarité du contenu de V_0) :

  \mathrm{d}E_{pp} = \mathrm{d}m\,g\left(z_B - z_A\right)

• Travail des forces extérieures non conservatives : Le fluide étant parfait, il n'y a pas de frottements visqueux ni de dissipation interne (\delta W_{\text{visc}} = 0).
  Sur la surface latérale S_{\text{lat}}, les déplacements des particules fluides se font parallèlement aux lignes de courant, donc orthogonalement aux forces de pression locales : le travail sur la paroi latérale est nul.
  Le travail extérieur se réduit donc au travail des forces pressantes sur les sections S_A (force motrice) et S_B (force résistante) :

  \delta W_{\text{ext, non cons}} = P_A S_A (v_A\,\mathrm{d}t) - P_B S_B (v_B\,\mathrm{d}t) = (P_A - P_B)\,\mathrm{d}V = \frac{P_A - P_B}{\rho}\,\mathrm{d}m

3. Obtention de la relation de Bernoulli

En égalant \mathrm{d}E_m = \mathrm{d}E_c + \mathrm{d}E_{pp} et \delta W_{\text{ext, non cons}} :

En divisant par \mathrm{d}m et en regroupant les grandeurs relatives à chaque point :

Le champ des vitesses \vec{u}(z) = u_x(z)\,\vec{e}_x est continu en z = \pm \frac{e}{2} si et seulement si ses limites à gauche et à droite coïncident en ces deux cotes.

• En z = +\frac{e}{2} :

  \begin{aligned} \lim_{z \to (e/2)^+} u_x(z) &= v_1 \\ \lim_{z \to (e/2)^-} u_x(z) &= \langle v \rangle + \gamma\,\frac{e/2}{e} = \langle v \rangle + \frac{\gamma}{2} \end{aligned}

  ce qui impose la relation :

  \langle v \rangle + \frac{\gamma}{2} = v_1 \tag{1}

• En z = -\frac{e}{2} :

  \begin{aligned} \lim_{z \to (-e/2)^-} u_x(z) &= v_2 \\ \lim_{z \to (-e/2)^+} u_x(z) &= \langle v \rangle + \gamma\,\frac{-e/2}{e} = \langle v \rangle - \frac{\gamma}{2} \end{aligned}

  ce qui impose la relation :

  \langle v \rangle - \frac{\gamma}{2} = v_2 \tag{2}

En sommant membre à membre les équations (1) et (2), on obtient :

En soustrayant membre à membre (2) de (1), on obtient :

D'où les expressions recherchées :

1. Lignes de champ de vitesse
Par définition, en tout point, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une ligne de champ est colinéaire au vecteur vitesse \vec{u}(z) = u_x(z)\,\vec{e}_x :

L'écoulement étant unidirectionnel suivant (Ox) et stationnaire, les lignes de champ (qui sont ici confondues avec les trajectoires et les lignes de courant) sont des droites horizontales parallèles à l'axe (Ox), orientées selon +\vec{e}_x car v_1 > v_2 > 0.

2. Profil de vitesse u_x(z)
D'après l'expression donnée et les résultats de la question précédente (Q26) :

Le profil de vitesse présente donc :

• une valeur constante v_2 pour z \leqslant -e/2 ;
• une variation linéaire continue et croissante entre v_2 et v_1 dans la zone de mélange pour -e/2 \leqslant z \leqslant e/2 ;
• une valeur constante v_1 > v_2 pour z \geqslant e/2.

1. Compatibilité avec un écoulement incompressible et homogène

Pour un fluide homogène, l'incompressibilité se traduit localement par l'annulation de la divergence de la vitesse :

Le champ de vitesse étant unidirectionnel suivant (Ox) et ne dépendant que de l'altitude z, on a :

Ainsi, en tout point de l'espace (pour |z| > e/2 comme pour |z| \leqslant e/2), on a :

Par ailleurs, la composante normale de la vitesse est nulle (u_z = 0), ce qui assure l'absence de discontinuité du flux volumique à travers les frontières z = \pm e/2. La masse volumique étant uniforme au sein de chaque couche, le profil est partout compatible avec un écoulement incompressible et homogène.

2. Compatibilité avec un écoulement parfait

Un écoulement parfait suppose que les forces de viscosité sont négligeables devant les forces d'inertie et de pression. D'après la loi de Newton pour la contrainte visqueuse de cisaillement rappelée à la question Q22 :

• En dehors de la zone de mélange (|z| > e/2) : la vitesse est uniforme (v_1 ou v_2), de sorte que \dfrac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}z} = 0. Les contraintes visqueuses sont donc strictement nulles. Compte tenu du nombre de Reynolds très élevé (Re \sim 10^9 estimé en Q23), l'hypothèse d'écoulement parfait y est pleinement justifiée.

• Dans la zone de mélange (|z| \leqslant e/2) : il existe un gradient de vitesse non nul :

  \frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}z} = \frac{\gamma}{e} = \frac{v_1 - v_2}{e} \neq 0

  Ce gradient génère des forces de frottement visqueux non négligeables et une dissipation d'énergie mécanique par viscosité. C'est précisément l'action de cette viscosité (moléculaire ou turbulente) qui assure le transfert de quantité de mouvement et donne naissance à cette couche de mélange.

L'écoulement étant stationnaire, incompressible et homogène dans chaque couche, le débit volumique à travers un tube de courant de section droite S est conservé :

Par ailleurs, les fluides ne s'interpénètrent pas et ne décollent pas de l'interface : l'interface déformée constitue elle-même une ligne de courant.

1. Au niveau d'une bosse (soulèvement vers le haut) :

• Au-dessus (air chaud, couche 1) : la section offerte à l'écoulement diminue (S_1 < S_{10}). Par conservation du débit, les lignes de courant se resserrent et la vitesse du fluide augmente (v > v_1).
• Au-dessous (air froid, couche 2) : la section offerte à l'écoulement augmente (S_2 > S_{20}). Les lignes de courant s'écartent et la vitesse du fluide diminue (v < v_2).

2. Au niveau d'un creux (abaissement vers le bas) :

• Au-dessus (air chaud, couche 1) : la section offerte à l'écoulement augmente (S_1 > S_{10}). Les lignes de courant s'écartent et la vitesse du fluide diminue (v < v_1).
• Au-dessous (air froid, couche 2) : la section offerte à l'écoulement diminue (S_2 < S_{20}). Les lignes de courant se resserrent et la vitesse du fluide augmente (v > v_2).

3. Tracé des lignes de courant :

L'écoulement étant stationnaire, incompressible, homogène et parfait (en négligeant dans un premier temps l'effet de la pesanteur à l'échelle de la petite déformation), la relation de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant dans chaque couche :

1. Au niveau d'une bosse (déplacement vers z > 0) :

• Dans la couche supérieure 1 (air chaud), la section offerte à l'écoulement diminue, d'où une accélération locale du fluide (v_1 > v_{10}). Par effet Bernoulli, la pression diminue à la crête :

  P_1 < P_{10}

• Dans la couche inférieure 2 (air froid), la section offerte augmente, d'où un ralentissement local (v_2 < v_{20}). Par effet Bernoulli, la pression augmente sous la crête :

  P_2 > P_{20}

À l'état non perturbé, la continuité de la pression à l'interface impose P_{10} = P_{20}. Il apparaît donc au sommet de la bosse une surpression de la couche inférieure par rapport à la couche supérieure :

Ce saut de pression se traduit par un gradient vertical de pression dirigé vers le bas (\partial P / \partial z < 0), exerçant sur l'interface une force surfacique nette orientée vers le haut :

Cette force pousse l'interface encore davantage vers le haut, accentuant le relief de la bosse.

2. Au niveau d'un creux (déplacement vers z < 0) : Par un raisonnement symétrique :

• Au-dessus, la section s'élargit : v_1 < v_{10} \implies P_1 > P_{10}.
• Au-dessous, la section se resserre : v_2 > v_{20} \implies P_2 < P_{20}.

On obtient donc P_1 > P_2, soit une force surfacique nette orientée vers le bas :

Cette force pousse le creux encore plus profondément vers le bas.

Conclusion :

1. Intérêt de l'introduction de la fonction courant

L'introduction de la fonction courant \Psi(x, z, t) présente deux intérêts majeurs :

• Simplification mathématique : elle permet de remplacer la recherche d'un champ vectoriel de vitesse à deux composantes (v_x, v_z) satisfaisant l'équation d'incompressibilité \operatorname{div}\vec{v} = 0 par celle d'un unique champ scalaire \Psi. En effet, en posant \vec{v} = \vec{\nabla} \times (\Psi\,\vec{e}_y) (soit v_x = \frac{\partial \Psi}{\partial z} et v_z = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}), l'incompressibilité est identiquement vérifiée.
• Visualisation directe et géométrique de l'écoulement : par définition, à un instant t fixé, la fonction courant est constante le long de chaque ligne de courant (\mathrm{d}\Psi = \frac{\partial \Psi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial \Psi}{\partial z}\mathrm{d}z = -v_z\mathrm{d}x + v_x\mathrm{d}z = 0). Ainsi, tracer les courbes iso-valeurs de \Psi revient à visualiser immédiatement le réseau des lignes de courant du fluide. En particulier, l'interface déformée entre les deux fluides étant une ligne de courant, son tracé et son évolution temporelle sont directement donnés par une courbe iso-\Psi.
• Information quantitative sur l'écoulement : le débit volumique (par unité de largeur transverse) entre deux lignes de courant vaut simplement \Delta \Psi. Par conséquent, les zones où les courbes iso-\Psi se resserrent correspondent directement aux zones d'accélération du fluide, car la norme de la vitesse est reliée au gradient de la fonction courant : \|\vec{v}\| = \|\vec{\nabla}\Psi\|.

2. Analogue des lignes de niveau d'une carte topographique

Sur une carte topographique, les lignes de niveau relient les points de même altitude. Par analogie directe, les courbes d'iso-valeurs de la fonction courant \Psi(x, z, t) à un instant fixé représentent les lignes de courant de l'écoulement.

L'écoulement non perturbé est caractérisé par un profil de vitesse constant par morceaux :

En dehors de l'interface (z \neq 0), la vitesse de base est uniforme dans chaque couche, ce qui implique :

L'équation de Rayleigh s'écrit alors, pour chacun des domaines notés par l'indice i \in \{1, 2\} :

Par hypothèse de l'énoncé, la célérité complexe \underline{c} est différente de la vitesse de l'écoulement de base (v_i - \underline{c} \neq 0), d'où :

En introduisant la forme modale de la fonction courant \underline{\Psi}_i(x, z, t) = \Phi_i(z) \exp(\mathrm{i}(kx - \underline{\omega}t)), on calcule la dérivée spatiale seconde selon z :

En reportant cette dérivée dans l'équation différentielle, il vient :

Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, les amplitudes \Phi_i(z) vérifient bien pour chaque couche i \in \{1, 2\} :

D'après la question Q32, la fonction \Phi_i(z) vérifie dans chaque zone l'équation différentielle :

avec k > 0. L'équation caractéristique associée, r^2 - k^2 = 0, admet pour racines réelles r = \pm k. La forme générale des solutions s'écrit donc :

Pour le milieu supérieur 1 (z > 0) :

• Lorsque z \to +\infty, le terme \exp(kz) diverge car k > 0. La condition « \Phi_1 reste bornée à l'infini » impose :

  C_1 = 0 \implies \Phi_1(z) = D_1 \exp(-kz)
• En z = 0, la fonction tend vers la constante A_1, d'où D_1 = A_1.

Pour le milieu inférieur 2 (z < 0) :

• Lorsque z \to -\infty, le terme \exp(-kz) diverge car k > 0. La condition « \Phi_2 reste bornée à l'infini » impose :

  D_2 = 0 \implies \Phi_2(z) = C_2 \exp(kz)
• En z = 0, la fonction tend vers la constante A_2, d'où C_2 = A_2.

Le système algébrique reliant les amplitudes s'écrit sous forme matricielle :

Pour obtenir une solution non triviale (A_1, A_2) \neq (0,0), le déterminant de cette matrice doit être nul :

En développant cette équation polynomiale du second degré en \underline{c} :

Le discriminant réduit s'écrit :

Comme v_1 \neq v_2, ce discriminant est strictement négatif. Les deux solutions complexes conjuguées sont :

Par identification avec l'expression imposée \underline{c}^\pm = \langle V \rangle \pm \mathrm{i}\frac{\Gamma}{2}, on en déduit :

Comme v_1 > v_2, on a bien \Gamma > 0.

D'après la question Q34, les deux branches de propagation sont caractérisées par les célérités complexes :

En utilisant la relation liant la pulsation complexe \underline{\omega} à la célérité complexe \underline{c} :

on obtient immédiatement la relation de dispersion pour chacune des deux branches de propagation :

En décomposant en parties réelle et imaginaire (\underline{\omega} = \omega_{\text{re}} + \mathrm{i}\omega_{\text{im}}) :

La pulsation s'écrit \underline{\omega} = \omega_{\text{re}} + \mathrm{i}\omega_{\text{im}}. La fonction courant complexe s'exprime donc sous la forme :

La fonction amplitude \Phi(z) étant à valeurs réelles, la fonction courant réelle s'obtient directement en prenant la partie réelle :

La dépendance spatio-temporelle de la phase de l'onde est régie par la quantité :

Un plan d'onde ou front de phase constante vérifie \mathrm{d}\phi = 0, soit k\,\mathrm{d}x - \omega_{\text{re}}\,\mathrm{d}t = 0. La vitesse de phase v_\varphi correspond à la vitesse de déplacement de ce front selon l'axe (Ox) :

Par ailleurs, la célérité complexe est définie par \underline{c} = \frac{\underline{\omega}}{k} = \frac{\omega_{\text{re}} + \mathrm{i}\omega_{\text{im}}}{k}, ce qui donne immédiatement :

D'après la question Q34, les deux branches de propagation ont pour célérité \underline{c}^\pm = \langle V \rangle \pm \mathrm{i}\frac{\Gamma}{2}. On en déduit :

On obtient ainsi :

1. Sens de propagation de l'onde :

D'après les questions précédentes, la pulsation réelle est la même pour les deux branches :

La partie oscillante de la fonction courant réelle s'écrit sous la forme :

avec k > 0. Les écoulements ayant lieu dans le sens de \vec{e}_x, les vitesses satisfont v_1 > v_2 > 0, d'où :

Pour conserver une phase constante au cours du temps, il faut que x - \langle V \rangle t = \text{cste}, soit \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = \langle V \rangle > 0.

2. Caractère plan de l'onde :

Une onde est dite plane si ses surfaces d'onde (surfaces équiphases) sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation et si son amplitude y est uniforme.

• La phase \varphi(x,t) = kx - \omega_{\text{re}}t ne dépend que de la coordonnée x : les surfaces d'onde à t fixé sont bien les plans verticaux d'équation x = \text{cste}.
• En revanche, l'amplitude \Phi(z) n'est pas constante le long de ces plans : elle décroît exponentiellement de part et d'autre de l'interface z=0 (\Phi_1(z) \propto \mathrm{e}^{-kz} pour z>0 et \Phi_2(z) \propto \mathrm{e}^{kz} pour z<0).

3. Dispersion :

Par définition, il y a dispersion lorsque la vitesse de phase v_\varphi dépend de la pulsation \omega_{\text{re}} (ou de la longueur d'onde via k). Ici, d'après la question Q36 :

La vitesse de phase est strictement indépendante de k (on a également égalité avec la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega_{\text{re}}}{\mathrm{d}k} = \langle V \rangle = v_\varphi).

D'après la question Q35, la pulsation complexe associée à chaque branche s'écrit :

Par définition, le taux de croissance du mode perturbé est \sigma = |\operatorname{Im}(\underline{\omega})|. Sachant que k > 0 et \Gamma > 0 :

On a donc \underline{\omega}^\pm = k\langle V \rangle \pm \mathrm{i}\sigma. Le facteur d'évolution spatio-temporelle s'écrit alors :

D'après la question Q33, l'amplitude réelle \Phi(z) vaut :

En prenant la partie réelle de la fonction courant complexe \underline{\Psi}(x,z,t) = \Phi(z)\exp(\mathrm{i}(kx - \underline{\omega} t)), il vient :

Par identification avec la forme proposée dans l'énoncé, on obtient :

ainsi que la fonction de phase ondulatoire :

Une instabilité se caractérise par l'amplification temporelle spontanée de toute perturbation initiale infinitésimale. D'après l'écriture adoptée à la question Q38 :

avec \sigma = \frac{k\Gamma}{2} > 0 (car k > 0 et \Gamma > 0).

• Le mode en \exp(-\sigma t) correspond à une perturbation amortie qui régresse au cours du temps (mode stable).
• Le mode en \exp(+\sigma t) voit son amplitude diverger exponentiellement avec le temps : c'est le mode instable.

Puisque le facteur temporel complexe s'écrit \exp(-\mathrm{i}\underline{\omega}t) = \exp(\omega_{\mathrm{im}} t)\exp(-\mathrm{i}\omega_{\mathrm{re}} t), l'amplification exponentielle nécessite \omega_{\mathrm{im}} > 0. D'après les relations établies aux questions Q34 et Q35, cela correspond à la branche (+) :