Feuille d'entraînement : Photons et dualité onde-corpuscule

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique U PSI 2024, Q[25]

   D'après la relation de de Broglie (étendue aux photons par la relation d'Einstein-de Broglie), le vecteur quantité de mouvement \vec{p} d'une particule quantique est proportionnel à son vecteur d'onde \vec{k} selon :

   \boxed{\vec{p} = \hbar \vec{k}}

   où \hbar = \frac{h}{2\pi} est la constante de Planck réduite.

   Après la traversée de la lentille, les photons convergent vers le foyer avec une inclinaison par rapport à l'axe optique z comprise entre -\theta et +\theta, où \theta \simeq \frac{w}{2f} (question Q23). La composante selon x du vecteur d'onde varie donc de façon symétrique dans l'intervalle :

   k_x \in [-k_x^{\max}, \, +k_x^{\max}] \quad \text{avec} \quad k_x^{\max} \simeq k \frac{w}{2f}

   Par conséquent, la composante de la quantité de mouvement selon x, p_x = \hbar k_x, s'étend sur la plage [-p_x^{\max}, \, +p_x^{\max}] avec :

   p_x^{\max} = \hbar k_x^{\max} \simeq \hbar k \frac{w}{2f}

   La plage totale \Delta p_x (largeur de l'intervalle) occupée par les photons du faisceau vaut ainsi :

   \begin{aligned} \Delta p_x &= p_x^{\max} - (-p_x^{\max}) = 2 \hbar k_x^{\max} \\ &= 2 \hbar \left( k \frac{w}{2f} \right) = \hbar k \frac{w}{f} \end{aligned}

   Comme le vecteur d'onde a pour norme k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}, on peut également écrire :

   \boxed{\Delta p_x = \hbar k \frac{w}{f} = \frac{h}{\lambda} \frac{w}{f} = \frac{\hbar \omega w}{c f}}

   Résultat

   $$\vec{p}=\hslash \vec{k}$$

   $$\Delta p_x=\hslash k\frac{w}{f}=\frac{h}{\lambda }\frac{w}{f}=\frac{\hslash \omega w}{cf}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique U PSI 2022, Q22

   Pour une onde plane se propageant selon la direction du vecteur d'onde \mathbf{k}, l'amplitude complexe du champ électrique s'écrit :

   \underline{E}_0(\mathbf{R}) = E_0 e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}

   où E_0 est pris réel positif sans perte de généralité. Son amplitude est uniforme, |E_0(\mathbf{R})| = E_0, et sa phase vaut :

   \phi(\mathbf{R}) = \mathbf{k}\cdot\mathbf{R} \implies \operatorname{\mathbf{grad}}\phi(\mathbf{R}) = \mathbf{k}

   D'après le résultat de la question 21, la force \mathbf{F}_2 s'écrit donc :

   \mathbf{F}_2 = \frac{1}{2}\operatorname{Im}(\alpha_c(\omega)) |E_0|^2 \mathbf{k}

   Elle est directement colinéaire et proportionnelle au vecteur d'onde \mathbf{k} du champ incident.

   À la résonance (\omega = \omega_0), la polarisabilité complexe obtenue à la question 11 devient :

   \alpha_c(\omega_0) = \frac{q^2/m}{-i\omega_0 \gamma(\omega_0)} = i\frac{q^2}{m\omega_0 \gamma(\omega_0)}

   En injectant l'expression de \gamma(\omega_0) = \frac{q^2\omega_0^2}{6\pi\epsilon_0 m c^3}, on obtient :

   \operatorname{Im}(\alpha_c(\omega_0)) = \frac{6\pi\epsilon_0 c^3}{\omega_0^3}

   En reportant cette valeur et en notant k_0 = \omega_0/c :

   \begin{aligned} \mathbf{F}_2 &= \frac{1}{2}\left(\frac{6\pi\epsilon_0 c^3}{\omega_0^3}\right) |E_0|^2 \mathbf{k}_0 = \frac{3\pi\epsilon_0 c^3}{\omega_0^3} |E_0|^2 \left(\frac{\omega_0}{c}\frac{\mathbf{k}_0}{k_0}\right) \end{aligned}

   \boxed{\mathbf{F}_2 = \frac{3\pi\epsilon_0 c^2}{\omega_0^2} |E_0|^2 \frac{\mathbf{k}_0}{k_0} = \frac{1}{2}\operatorname{Im}(\alpha_c(\omega_0))|E_0|^2\mathbf{k}_0}

   Cette composante correspond à la force de pression de radiation (ou force de diffusion). Elle pousse l'atome dans le sens de propagation de l'onde lumineuse.

   Pour relier cette force à la puissance rayonnée calculée à la question 12 :

   \mathcal{P} = \frac{\omega^4}{12\pi\epsilon_0 c^3} |\alpha_c(\omega)|^2 |E_0|^2

   Exprimons la partie imaginaire de \alpha_c(\omega) :

   \operatorname{Im}(\alpha_c(\omega)) = \frac{q^2}{m} \frac{\omega\gamma(\omega)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \omega^2\gamma(\omega)^2} = \frac{m}{q^2}\omega\gamma(\omega)|\alpha_c(\omega)|^2

   Comme \gamma(\omega) = \frac{q^2\omega^2}{6\pi\epsilon_0 m c^3}, on en déduit l'identité remarquable (théorème optique pour un dipôle classique) :

   \operatorname{Im}(\alpha_c(\omega)) = \frac{\omega^3}{6\pi\epsilon_0 c^3}|\alpha_c(\omega)|^2

   Il apparaît immédiatement que :

   \frac{1}{2}\operatorname{Im}(\alpha_c(\omega))|E_0|^2 = \frac{\omega^3}{12\pi\epsilon_0 c^3}|\alpha_c(\omega)|^2|E_0|^2 = \frac{\mathcal{P}}{\omega}

   La force s'exprime donc sous la forme :

   \mathbf{F}_2 = \frac{\mathcal{P}}{\omega}\mathbf{k}

   Interprétation corpusculaire : Dans le modèle photonique, un photon incident possède l'énergie \hbar\omega et l'impulsion \hbar\mathbf{k}. Le taux d'absorption/diffusion de photons par l'atome s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathcal{P}}{\hbar\omega}

   À chaque diffusion, l'atome absorbe un photon incident d'impulsion \hbar\mathbf{k}, puis le réémet par rayonnement dipolaire. L'émission dipolaire étant spatialement symétrique (invariante par inversion d'espace), la quantité de mouvement moyenne emportée par les photons diffusés est nulle : \langle \mathbf{p}_{\text{diff}} \rangle = \mathbf{0}.

   Le transfert moyen de quantité de mouvement à l'atome par unité de temps s'écrit alors :

   \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} \left(\hbar\mathbf{k} - \langle \mathbf{p}_{\text{diff}} \rangle\right) = \frac{\mathcal{P}}{\hbar\omega}\,\hbar\mathbf{k} = \frac{\mathcal{P}}{\omega}\mathbf{k}

   On retrouve rigoureusement l'expression de \mathbf{F}_2.

   Résultat

   $${\mathbf{F}}_2=\frac{3\pi {ϵ}_0{c}^2}{{\omega }_0^2}|E_0{|}^2\frac{{\mathbf{k}}_0}{k_0}=\frac{1}{2}\mathrm{Im}({\alpha }_c({\omega }_0))|E_0{|}^2{\mathbf{k}}_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2020, Q35

   Dans le système international d'unités (MKSA), déterminons les dimensions des grandeurs physiques mises en jeu :

   • L'énergie s'exprime en joules (\mathrm{J}), soit [\mathcal{E}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}. La constante de Planck h, homogène à une action (\mathrm{J}\cdot\mathrm{s}), a pour dimension :

     [h] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

   • La charge élémentaire e s'exprime en coulombs (\mathrm{C} = \mathrm{A}\cdot\mathrm{s}), d'où :

     [e] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T}

   • La puissance dissipée par effet Joule dans une résistance R s'écrit \mathcal{P} = R\,I^2, de dimension [\mathcal{P}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}. La dimension d'une résistance électrique est donc :

     [R] = \frac{[\mathcal{P}]}{[I]^2} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\mathrm{I}^{-2}

   On cherche une expression de la forme R_{\text{u}} = C\,h^\alpha e^\beta, où C = 1 est une constante sans dimension :

   \begin{aligned} [R_{\text{u}}] &= [h]^\alpha [e]^\beta \\ \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\mathrm{I}^{-2} &= \left(\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}\right)^\alpha \left(\mathrm{I}\cdot\mathrm{T}\right)^\beta \\ &= \mathrm{M}^\alpha\cdot\mathrm{L}^{2\alpha}\cdot\mathrm{T}^{-\alpha + \beta}\cdot\mathrm{I}^\beta \end{aligned}

   Par identification des exposants :

   • Sur la masse \mathrm{M} (ou la longueur \mathrm{L}) : \alpha = 1 ;
   • Sur l'intensité \mathrm{I} : \beta = -2 ;
   • Sur le temps \mathrm{T} : -\alpha + \beta = -1 - 2 = -3, ce qui est bien vérifié.

   On en déduit l'expression de la résistance universelle :

   \boxed{R_{\text{u}} = \frac{h}{e^2}}

   Application numérique : avec h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C},

   R_{\text{u}} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}}{(1{,}60 \times 10^{-19})^2} = \frac{6{,}63}{2{,}56} \times 10^4 \simeq 2{,}59 \times 10^4\ \Omega

   \boxed{R_{\text{u}} \simeq 25{,}9\text{ k}\Omega}

   Résultat

   $$R_{\text{u}}=\frac{h}{e^2}$$

   $$R_{\text{u}}\simeq 25,9\text{ k}\Omega$$

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4. Exercice 4CCINP Modelisation PSI 2026, Q35

   La relation de Planck-Einstein exprime le quantum d'énergie E_{\text{ph}} transporté par un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence \nu (ou de longueur d'onde dans le vide \lambda) :

   \boxed{E_{\text{ph}} = h \nu = \frac{h c}{\lambda}}

   avec :

   • E_{\text{ph}} : énergie du photon, exprimée en joules (\text{J}) ;
   • h : constante de Planck (h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) ;
   • \nu : fréquence du rayonnement électromagnétique, en hertz (\text{Hz} ou \text{s}^{-1}) ;
   • c : célérité de la lumière dans le vide (c \approx 3{,}00 \cdot 10^{8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
   • \lambda : longueur d'onde du rayonnement dans le vide, en mètres (\text{m}).

   Résultat

   $$E_{\text{ph}}=h\nu =\frac{hc}{\lambda }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Modelisation PSI 2026, Q37

   L'intensité lumineuse I(z) représente une puissance surfacique (en \mathrm{W\cdot m^{-2}}). Entre la surface du bassin (z = 0) et le fond (z = L), la puissance surfacique absorbée par le milieu s'écrit :

   \Delta I = I(0) - I(L)

   La surface de l'eau étant notée S_e, la puissance lumineuse totale absorbée par l'ensemble du volume d'eau du bassin vaut :

   \mathcal{P}_{\text{abs}} = S_e \cdot (I(0) - I(L))

   D'après la relation de Planck-Einstein rappelée à la question précédente, l'énergie d'un photon UV de longueur d'onde \lambda est :

   E_{\text{ph}} = \frac{hc}{\lambda}

   Le flux total de photons absorbés par l'eau par unité de temps (en \mathrm{photons\cdot s^{-1}}) est donc :

   \dot{N}_{\text{ph, tot}} = \frac{\mathcal{P}_{\text{abs}}}{E_{\text{ph}}} = \frac{S_e \lambda}{hc}\,(I(0) - I(L))

   D'après la question Q36, la fraction de ces photons absorbée spécifiquement par le chlore libre est \tau. Le flux de photons absorbés par le chlore libre s'élève ainsi à :

   \dot{N}_{\text{ph, chlore}} = \tau \dot{N}_{\text{ph, tot}} = \tau \frac{S_e \lambda}{hc}\,(I(0) - I(L))

   Le rendement photochimique étant unitaire, l'absorption de chaque photon provoque la disparition d'une molécule d'espèce chlorée active. Le nombre de molécules détruites par unité de temps est donc égal à \dot{N}_{\text{ph, chlore}}.

   La vitesse de disparition molaire v_d = -\frac{\mathrm{d}n_{\text{chlore}}}{\mathrm{d}t} (exprimée en \mathrm{mol\cdot s^{-1}}) s'obtient en divisant par la constante d'Avogadro \mathscr{N}_A :

   v_d = \frac{\dot{N}_{\text{ph, chlore}}}{\mathscr{N}_A} = \tau \left(\frac{S_e \lambda}{hc \mathscr{N}_A}\right) (I(0) - I(L))

   Par identification avec l'expression imposée par l'énoncé v_d = \tau K_d \cdot (I(0) - I(L)), on en déduit l'expression de la constante K_d :

   \boxed{K_d = \frac{S_e \lambda}{h c \mathscr{N}_A}}

   Résultat

   $$K_d=\frac{S_e\lambda }{hc{\mathcal{N}}_A}$$

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6. Exercice 6CCINP Modelisation PSI 2026, Q46

   Fermer le volet roulant en pleine journée présente plusieurs intérêts majeurs :

   1. Protection photochimique du chlore libre (intérêt principal du modèle) : L'étude a montré que les rayonnements solaires UV provoquent la photodégradation de l'acide hypochloreux et de l'ion hypochlorite (vitesse de disparition v_d \propto I_0, questions Q37 et Q40). Comme l'irradiance UV I_0(t) est maximale au zénith entre 11 h et 16 h (figure 9), l'occultation du bassin par le volet opaque annule ce rayonnement (I_0 \approx 0) et supprime cette décomposition.

      Cela évite la chute de la concentration en chlore actif observée l'après-midi (figure 11) et réduit considérablement la durée de fonctionnement journalière de l'électrolyseur (estimée à 15 h à la question Q44), d'où une importante économie d'énergie électrique (question Q45) et une moindre usure des électrodes.

   2. Limitation des dérives de pH : Moins solliciter l'électrolyse réduit la production d'ions hydroxyde à la cathode et limite la dérive basique du pH (question Q27), réduisant ainsi la consommation de produit correcteur (pompe péristaltique).

   3. Intérêts thermique et matériel complémentaires :

      • Le volet limite l'évaporation de l'eau et les pertes thermiques superficielles, réduisant la consommation de la pompe à chaleur et les appoints d'eau.
      • Il empêche les pollutions extérieures (feuilles, insectes, poussières) de pénétrer dans le bassin, diminuant la consommation de chlore par les matières organiques et l'encrassement du filtre.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique U PSI 2024, Q[26]

   D'après le principe d'incertitude de Heisenberg appliqué à la coordonnée x et à la projection correspondante de la quantité de mouvement, la dispersion spatiale \Delta x et la dispersion en impulsion \Delta p_x vérifient :

   \Delta x \, \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}

   La taille minimale transverse \Delta x_{\min} du faisceau au foyer est ainsi atteinte lorsque l'inégalité devient une égalité :

   \Delta x_{\min} = \frac{\hbar}{2 \Delta p_x}

   En injectant l'expression de la plage d'impulsion obtenue à la question précédente, \Delta p_x = \hbar k \dfrac{w}{f} = \dfrac{2\pi \hbar}{\lambda} \dfrac{w}{f} :

   \begin{aligned} \Delta x_{\min} &= \frac{\hbar}{2 \left( \dfrac{2\pi \hbar w}{\lambda f} \right)} \\ &= \frac{\lambda f}{4\pi w} \end{aligned}

   \boxed{\Delta x_{\min} = \frac{\lambda f}{4\pi w}}

   Résultat

   $$\Delta x_{\min }=\frac{\lambda f}{4\pi w}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique U PSI 2024, Q[27]

   La formule obtenue à la question précédente est :

   \Delta x_{\min} \sim \frac{\lambda f}{w}

   Elle ne fait pas intervenir la constante de Planck réduite \hbar.

   Physiquement, cela s'explique par le fait que :

   • la quantité de mouvement d'un photon est proportionnelle à son vecteur d'onde par la relation de de Broglie : \vec{p} = \hbar \vec{k}, d'où \Delta p_x = \hbar \Delta k_x ;

   • l'inégalité d'Heisenberg impose \Delta x \, \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}, soit :

     \Delta x (\hbar \Delta k_x) \ge \frac{\hbar}{2} \iff \Delta x \, \Delta k_x \ge \frac{1}{2}.

   La constante \hbar se simplifie rigoureusement. La relation \Delta x \, \Delta k_x \sim 1 est en réalité une propriété générale de l'analyse de Fourier valable pour toute onde classique (le produit de l'extension spatiale par la largeur spectrale spatiale est minoré par une constante d'ordre un). La limitation de la taille du faisceau au foyer est un phénomène purement ondulatoire classique, à savoir la diffraction, et n'a pas une origine intrinsèquement quantique.

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9. Exercice 9X-ENS Physique PSI 2024, Q29

   L'électron oscillant à la pulsation \omega_0 engendre un rayonnement électromagnétique de même pulsation \omega_0. La longueur d'onde associée dans le vide est reliée à la pulsation propre par :

   \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda}

   D'après la question Q28, la pulsation propre est donnée par \omega_0 = \sqrt{k/m}, d'où l'expression de la constante de raideur :

   k = m\omega_0^2 = m\left(\frac{2\pi c}{\lambda}\right)^2

   Pour une radiation située au milieu du spectre visible, on prend typiquement \lambda \approx 600\text{ nm} = 6{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}. Avec les valeurs fournies par l'énoncé :

   • m = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
   • c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   On obtient numériquement :

   \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{2\pi \times 3{,}0 \times 10^8}{6{,}0 \times 10^{-7}} = \pi \times 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \approx 3{,}1 \times 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \\ k &= 9{,}1 \times 10^{-31} \times \left(3{,}1 \times 10^{15}\right)^2 \approx 9{,}1 \times 10^{-31} \times 9{,}9 \times 10^{30} \approx 9\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} \end{aligned}

   En ordre de grandeur à un seul chiffre significatif :

   \boxed{k \sim 10\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}}

   Résultat

   $$k\sim 10\text{ N}\cdot {\text{m}}^{-1}$$

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10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2024, Q32

    L'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}}(t), établie à la question précédente, s'écrit :

    \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} + \frac{e^2 \omega_0^2}{6\pi \varepsilon_0 m c^3} E_{\mathrm{m}}(t) = 0

    Sous la forme canonique \dfrac{\mathrm{d}E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} + \dfrac{E_{\mathrm{m}}}{\tau_0} = 0, la durée caractéristique de décroissance de l'énergie mécanique est donc :

    \boxed{\tau_0 = \frac{6\pi \varepsilon_0 m c^3}{e^2 \omega_0^2}}

    Interprétation de \tau_0 comme « temps de vie de l'état excité » :
    La solution de l'équation différentielle est :

    E_{\mathrm{m}}(t) = E_{\mathrm{m}}(0)\,\mathrm{e}^{-t/\tau_0}

    Au cours du temps, l'électron perd son énergie d'oscillation par émission d'ondes électromagnétiques et retourne à sa position d'équilibre au repos au centre \mathrm{O} (qui modélise ici l'état fondamental).

    En physique quantique, un atome préparé dans un niveau excité se désexcite spontanément vers le niveau fondamental par émission d'un photon. La probabilité de trouver l'atome dans l'état excité décroît exponentiellement selon \mathrm{e}^{-t/\tau_0} : \tau_0 représente donc la durée de vie moyenne de l'atome dans son état excité avant émission spontanée.

    Ordre de grandeur numérique :
    En exprimant la pulsation en fonction de la longueur d'onde de transition dans le vide \lambda_0 = 2\pi c / \omega_0, l'expression de \tau_0 devient :

    \tau_0 = \frac{3 \varepsilon_0 m c \lambda_0^2}{2\pi e^2}

    Pour une transition optique dans le domaine visible ou proche infrarouge (comme la raie du rubidium à \lambda_0 \approx 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, avec \omega_0 \approx 2{,}4 \times 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) :

    \begin{aligned} \tau_0 &\approx \frac{6\pi \times (8{,}9 \times 10^{-12}) \times (9{,}1 \times 10^{-31}) \times (3{,}0 \times 10^8)^3}{(1{,}6 \times 10^{-19})^2 \times (2{,}4 \times 10^{15})^2} \\ &\approx \frac{4{,}1 \times 10^{-15}}{1{,}5 \times 10^{-7}} \approx 2{,}7 \times 10^{-8}\text{ s} \end{aligned}

    On retient donc comme ordre de grandeur :

    \boxed{\tau_0 \sim 10^{-8}\text{ s} = 10\text{ ns}}

    Résultat

    $${\tau }_0=\frac{6\pi {\epsilon }_{0}m{c}^3}{e^2{\omega }_0^2}$$

    $${\tau }_0\sim 10^{-8}\text{ s}=10\text{ ns}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question