Feuille d'entraînement : Dispersion, paquets d'ondes et chaînes d'oscillateurs

10 questions · filière PSI · durée estimée environ 1 h 05

Énoncés

Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q9· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle du déplacement du plan de rang $n$ en fonction notamment de $ξ_{n - 1} (t)$ , $ξ_{n + 1} (t)$ et $ξ_{n} (t)$ .
Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2023, Q28· Exigeant· Incontournable· ≈ 5 min
Établir la relation de dispersion. Exprimer $k^{''}$ en notant que $k^{'} ≃ \frac{ω}{c}$ .
Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q24· Exigeant· Incontournable· ≈ 10 min
En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, établir la relation de dispersion de l'onde entre $ω, g, k$ et la tangente hyperbolique de $k H$ .
Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q25· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 7 min
Calculer la vitesse de phase $v_{φ}$ de la vague linéaire. Déterminer les deux expressions limites de $v_{φ}$ lorsque la profondeur du réservoir $H$ est petite ou grande devant la longueur d'onde de la vague linéaire. On commentera les expressions obtenues.
Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q27· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 8 min
Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre sous la forme $η (x, t) = 2 A cos (k x - ω t) cos (k^{'} x - ω^{'} t)$ . On donnera l'expression des 4 paramètres $k < k^{'}$ et $ω < ω^{'}$ en fonction de $k_{1}, k_{2}, ω_{1}$ et $ω_{2}$ . Tracer le profil cette vague résultante à un instant fixé $t$ en représentant les longueurs d'ondes $λ = 2 π / k$ et $λ^{'} = 2 π / k^{'}$ sur le même schéma.
Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2021, Q22· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 8 min
Trouver la relation de dispersion pour chaque mode propre et montrer l'existence d'une pulsation de coupure $ω_{c, n}$ à partir de laquelle le mode propre $n > 0$ peut se propager. En déduire la vitesse de phase et la vitesse de groupe, associées à chaque mode propre, en fonction de $c$ , $ω$ et $ω_{c, n}$ . Commenter ces expressions.
Exercice 7X-ENS Physique PSI 2021, Q6· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Établir l'équation différentielle reliant $u_{n} (t)$ , $u_{n - 1} (t)$ et $u_{n + 1} (t)$ .
Exercice 8X-ENS Physique PSI 2021, Q7· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Pour cette question uniquement, nous nous plaçons dans l'approximation des milieux continus. Cette approximation consiste à considérer que les atomes sont très rapprochés vis-à-vis de la distance caractéristique $λ_{c}$ de variation de $u_{n}$ en fonction de $n$ : $a ≪ λ_{c}$ . On peut alors considérer $u_{n} (t)$ comme une fonction continue $u (x, t) = u (x_{n} = na, t), \forall n$ . Établir que le champ de déplacement $u (x, t)$ est solution d'une équation de D'Alembert. On précisera l'expression de la célérité $c_{s}$ de l'onde ainsi décrite.
Exercice 9X-ENS Physique PSI 2021, Q8· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Montrer que la relation de dispersion $ω (q)$ se met sous la forme suivante :
$ω (q) = A sin (\frac{q a}{2}),$
où $A$ est une constante à exprimer en fonction des données.
Exercice 10ENS Physique U PSI 2026, Q26· Difficile· ≈ 7 min
En utilisant un développement limité de $det M (ω, k) = 0$ au premier ordre en $ε$ , au voisinage de $k_{0}$ , montrer que
$ε ≃ \frac{\frac{κ ρ _{0}}{c _{P} T _{0}} ( k _{0} ω ) ^{2}}{\frac{\partial det A}{\partial k} _{k_{0}} det B ( ω , k _{0} ) - 2 \frac{κ ρ _{0}}{c _{P} T _{0}} ω ^{2} k _{0}} . (9)$

Corrigés

Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q9
On applique le principe fondamental de la dynamique au plan atomique de rang n, de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Le mouvement étant purement transverse selon la direction (Oz), le vecteur accélération s'écrit :
\vec{a}_n(t) = \frac{\mathrm{d}^2 \xi_n}{\mathrm{d}t^2}(t)\,\vec{e}_z
Le plan de rang n est soumis uniquement aux forces de rappel élastique exercées par ses deux plus proches voisins, les plans de rang n+1 et n-1 :
- le plan n+1 exerce la force donnée par l'énoncé :
  \vec{F}_{n+1\to n} = C \big(\xi_{n+1}(t) - \xi_n(t)\big)\,\vec{e}_z
- le plan n-1 exerce, d'après le principe des actions réciproques ou par invariance par translation/symétrie d'indice, la force :
  \vec{F}_{n-1\to n} = C \big(\xi_{n-1}(t) - \xi_n(t)\big)\,\vec{e}_z
En projetant la relation fondamentale de la dynamique m \vec{a}_n = \vec{F}_{n+1\to n} + \vec{F}_{n-1\to n} sur le vecteur unitaire \vec{e}_z, on obtient :
\begin{aligned} m \frac{\mathrm{d}^2 \xi_n}{\mathrm{d}t^2} &= C \big(\xi_{n+1}(t) - \xi_n(t)\big) + C \big(\xi_{n-1}(t) - \xi_n(t)\big) \\ &= C \big(\xi_{n+1}(t) + \xi_{n-1}(t) - 2\xi_n(t)\big) \end{aligned}
L'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de \xi_n(t) est donc :
\boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 \xi_n}{\mathrm{d}t^2}(t) = C \big(\xi_{n+1}(t) + \xi_{n-1}(t) - 2\xi_n(t)\big)}
Résultat
$m \frac{d ^{2} ξ _{n}}{d t ^{2}} (t) = C (ξ_{n + 1} (t) + ξ_{n - 1} (t) - 2 ξ_{n} (t))$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2023, Q28
L'équation de propagation avec terme dissipatif obtenue à la question Q27 s'écrit :
\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} - \frac{1}{c^2 \tau} \frac{\partial \xi}{\partial t} = 0
En recherchant une onde plane progressive sous la forme complexe proposée :
\underline{\xi}(x, t) = \underline{X}_0 \exp(j(\omega t - \underline{k}x))
les opérateurs différentiels se traduisent par :
\frac{\partial}{\partial x} \longrightarrow -j\underline{k} \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \longrightarrow -\underline{k}^2
\frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow j\omega \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial^2}{\partial t^2} \longrightarrow -\omega^2
En substituant dans l'équation d'onde, on obtient :
-\underline{k}^2 + \frac{\omega^2}{c^2} - j \frac{\omega}{c^2 \tau} = 0
ce qui donne la relation de dispersion :
\boxed{\underline{k}^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - j \frac{\omega}{c^2 \tau} = \frac{\omega^2}{c^2}\left(1 - \frac{j}{\omega \tau}\right)}
Par ailleurs, avec \underline{k} = k' - j k'', on a :
\underline{k}^2 = (k' - j k'')^2 = k'^2 - k''^2 - 2j k' k''
L'identification de la partie imaginaire conduit à :
-2 k' k'' = -\frac{\omega}{c^2 \tau} \iff 2 k' k'' = \frac{\omega}{c^2 \tau}
En utilisant l'approximation de faible atténuation suggérée par l'énoncé (k' \simeq \frac{\omega}{c}) :
2\left(\frac{\omega}{c}\right) k'' \simeq \frac{\omega}{c^2 \tau}
On en déduit l'expression de k'' :
\boxed{k'' = \frac{1}{2 c \tau}}
Résultat
$\underline{k}^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} - j \frac{ω}{c ^{2} τ} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 - \frac{j}{ω τ})$ $k^{''} = \frac{1}{2 c τ}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q24
D'après la question Q23, le potentiel des vitesses de la vague linéaire s'écrit :
\phi(x,z,t) = \frac{A\omega}{k}\frac{\cosh[k(z+H)]}{\sinh(kH)}\sin(kx-\omega t)
En évaluant ce potentiel en z=0, on obtient :
\phi(x,0,t) = \frac{A\omega}{k\tanh(kH)}\sin(kx-\omega t)
La dérivée temporelle de ce potentiel en surface vaut donc :
\left.\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=0} = -\frac{A\omega^2}{k\tanh(kH)}\cos(kx-\omega t)
En injectant cette dérivée dans la condition aux limites dynamique linéarisée en z=0 :
\eta(x,t) = -\left.\frac{1}{g}\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=0} = \frac{A\omega^2}{gk\tanh(kH)}\cos(kx-\omega t)
Or, le profil de la surface libre est donné par :
\eta(x,t) = A\cos(kx-\omega t)
L'identification de ces deux expressions pour toute position x et tout instant t impose :
1 = \frac{\omega^2}{gk\tanh(kH)}
d'où la relation de dispersion :
\boxed{\omega^2 = g k \tanh(kH)}
Résultat
$ω^{2} = g k tanh (k H)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q25
La vitesse de phase d'une onde monochromatique est définie par :
v_{\varphi} = \frac{\omega}{k}
En utilisant la relation de dispersion obtenue à la question Q24, \omega^2 = gk\tanh(kH), on en déduit l'expression générale de la vitesse de phase :
\boxed{v_{\varphi} = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh(kH)}}
La longueur d'onde étant reliée au nombre d'onde par \lambda = 2\pi/k, le produit adimensionné s'écrit :
kH = 2\pi \frac{H}{\lambda}
1. Cas d'une faible profondeur (eau peu profonde : H \ll \lambda) On a dans ce cas kH \ll 1. Au premier ordre de développement limité :
\tanh(kH) \underset{kH \to 0}{=} kH + o(kH)
L'expression de la vitesse de phase devient alors :
\boxed{v_{\varphi} \approx \sqrt{gH}}
2. Cas d'une grande profondeur (eau profonde : H \gg \lambda) On a cette fois kH \gg 1. La fonction tangente hyperbolique tend asymptotiquement vers 1 :
\lim_{kH \to +\infty} \tanh(kH) = 1
L'expression de la vitesse de phase se réduit à :
\boxed{v_{\varphi} \approx \sqrt{\frac{g}{k}} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}}
Résultat
$v_{φ} = \frac{g}{k} tanh (k H)$ $v_{φ} \approx g H$ $v_{φ} \approx \frac{g}{k} = \frac{g λ}{2 π}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q27
Dans le cadre de la théorie linéaire, la surface résultante est la superposition des deux vagues :
\eta(x,t) = \eta_1(x,t) + \eta_2(x,t) = A\cos(k_1 x - \omega_1 t) + A\cos(k_2 x - \omega_2 t)
En utilisant la formule trigonométrique \cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right), il vient :
\eta(x,t) = 2A \cos\left(\frac{k_1 - k_2}{2}x - \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) \cos\left(\frac{k_1 + k_2}{2}x - \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)
Supposons, sans perte de généralité, k_1 > k_2. La relation de dispersion \omega^2 = gk\tanh(kH) montre que \omega(k) est une fonction strictement croissante de k, de sorte que \omega_1 > \omega_2. En posant :
\begin{aligned} k &= \frac{|k_1 - k_2|}{2}, & \omega &= \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2} \\ k' &= \frac{k_1 + k_2}{2}, & \omega' &= \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \end{aligned}
les nombres d'ondes et pulsations étant strictement positifs, on vérifie immédiatement que :
k < k' \quad \text{et} \quad \omega < \omega'
La vague résultante s'écrit bien sous la forme demandée :
\boxed{\eta(x,t) = 2A \cos(kx - \omega t)\cos(k'x - \omega' t)}
avec les paramètres :
\boxed{k = \frac{|k_1 - k_2|}{2}, \quad k' = \frac{k_1 + k_2}{2}, \quad \omega = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2}, \quad \omega' = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}}
À un instant t fixé (choisi arbitrairement à t=0 quitte à translater l'origine des coordonnées), le profil spatial correspond à un signal modulé en amplitude (phénomène de battements spatiaux) :
- Une onde porteuse rapide de pulsation spatiale k' et de longueur d'onde \lambda' = \frac{2\pi}{k'}.
- Une enveloppe lente d'amplitude modulée 2A\cos(kx) dont la période spatiale fondamentale est \lambda = \frac{2\pi}{k} (l'écart entre deux nœuds consécutifs de l'enveloppe valant \lambda/2).
Résultat
$η (x, t) = 2 A cos (k x - ω t) cos (k^{'} x - ω^{'} t)$ $k = \frac{∣ k _{1} - k _{2} ∣}{2}, k^{'} = \frac{k _{1} + k _{2}}{2}, ω = \frac{∣ ω _{1} - ω _{2} ∣}{2}, ω^{'} = \frac{ω _{1} + ω _{2}}{2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2021, Q22
L'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression s'écrit :
\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p_1}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = 0
En injectant le mode propre d'ordre n :
p_{1,n}(x,z,t) = A_n \cos\left(\frac{n\pi}{a} z\right) \cos(\omega t - kx + \phi)
il vient :
-k^2 - \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 + \frac{\omega^2}{c^2} = 0
On obtient ainsi la relation de dispersion du mode n :
\omega^2 = c^2 k^2 + \omega_{c,n}^2 \quad \text{avec} \quad \omega_{c,n} = \frac{n\pi c}{a}
Le nombre d'onde k selon la direction de propagation Ox s'écrit alors :
k = \frac{1}{c}\sqrt{\omega^2 - \omega_{c,n}^2}
Pour qu'une onde se propage selon Ox sans atténuation, il faut que k soit réel strictement positif :
- Si \omega > \omega_{c,n}, k \in \mathbb{R}^{+*} : le mode propre est propagatif.
- Si \omega < \omega_{c,n}, k = -i\alpha avec \alpha = \frac{1}{c}\sqrt{\omega_{c,n}^2 - \omega^2} \in \mathbb{R}^{+*} : le mode est évanescent (décroissance exponentielle en e^{-\alpha x} sans transport moyen d'énergie).
Il existe donc bien, pour chaque mode n > 0, une pulsation minimale de propagation appelée pulsation de coupure :
\boxed{\omega_{c,n} = \frac{n\pi c}{a}}
Pour \omega > \omega_{c,n}, le nombre d'onde s'écrit :
k = \frac{\omega}{c}\sqrt{1 - \left(\frac{\omega_{c,n}}{\omega}\right)^2}
La vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k} vaut alors :
\boxed{v_\varphi = \frac{c}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{\omega_{c,n}}{\omega}\right)^2}}}
Pour déterminer la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}, on différentie la relation de dispersion \omega^2 = c^2 k^2 + \omega_{c,n}^2 :
\begin{aligned} 2\omega\,\mathrm{d}\omega &= 2c^2 k\,\mathrm{d}k \\ v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} &= c^2 \frac{k}{\omega} = \frac{c^2}{v_\varphi} \end{aligned}
On en déduit l'expression de la vitesse de groupe :
\boxed{v_g = c \sqrt{1 - \left(\frac{\omega_{c,n}}{\omega}\right)^2}}
Résultat
$ω_{c, n} = \frac{nπ c}{a}$ $v_{φ} = \frac{c}{1 - ( \frac{ω _{c, n}}{ω} ) ^{2}}$ $v_{g} = c 1 - (\frac{ω _{c, n}}{ω})^{2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7X-ENS Physique PSI 2021, Q6
On étudie l'atome n de masse m, situé à la position x_n(t) = na + u_n(t), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
L'atome n est soumis à l'action de ses deux voisins immédiats par l'intermédiaire de deux ressorts identiques, de raideur K et de longueur à vide a :
- Le ressort situé à sa gauche relie l'atome n-1 à l'atome n. Sa longueur instantanée est \ell_{\text{g}} = x_n - x_{n-1} = a + u_n - u_{n-1}. La force exercée par ce ressort sur l'atome n s'écrit :
  \vec{F}_{\text{g}} = -K(\ell_{\text{g}} - a)\vec{e}_x = -K\big(u_n(t) - u_{n-1}(t)\big)\vec{e}_x
- Le ressort situé à sa droite relie l'atome n à l'atome n+1. Sa longueur instantanée est \ell_{\text{d}} = x_{n+1} - x_n = a + u_{n+1} - u_n. La force exercée par ce ressort sur l'atome n s'écrit :
  \vec{F}_{\text{d}} = +K(\ell_{\text{d}} - a)\vec{e}_x = +K\big(u_{n+1}(t) - u_n(t)\big)\vec{e}_x
En appliquant la deuxième loi de Newton à l'atome n et en tenant compte du fait que \frac{\mathrm{d}^2 x_n}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} (la position d'équilibre na étant constante), on obtient :
\begin{aligned} m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_x &= \vec{F}_{\text{g}} + \vec{F}_{\text{d}} \\ &= \Big[-K\big(u_n(t) - u_{n-1}(t)\big) + K\big(u_{n+1}(t) - u_n(t)\big)\Big]\vec{e}_x \end{aligned}
En projetant sur l'axe (Ox), on en déduit l'équation différentielle du mouvement :
\boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2}(t) = K \big(u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t)\big)}
Résultat
$m \frac{d ^{2} u _{n}}{d t ^{2}} (t) = K (u_{n + 1} (t) + u_{n - 1} (t) - 2 u_{n} (t))$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8X-ENS Physique PSI 2021, Q7
D'après la question Q6, l'équation régissant l'écart à l'équilibre du n-ième atome s'écrit :
m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2}(t) = K \big( u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) \big).
Dans le cadre de l'approximation des milieux continus, la position d'équilibre na est repérée par la variable d'espace continue x. Comme le pas du réseau vérifie a \ll \lambda_c, où \lambda_c est l'échelle spatiale caractéristique de variation du déplacement, on peut effectuer un développement limité à l'ordre 2 en puissances de a :
\begin{aligned} u_{n+1}(t) &= u(x+a,t) = u(x,t) + a\,\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + o(a^2), \\ u_{n-1}(t) &= u(x-a,t) = u(x,t) - a\,\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + o(a^2). \end{aligned}
En sommant ces deux expressions, les termes du premier ordre se compensent exactement par symétrie :
u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) = a^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + o(a^2).
En reportant ce résultat dans l'équation du mouvement, on obtient :
m\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = K a^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t).
Le champ de déplacement u(x,t) vérifie donc l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :
\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) - \frac{1}{c_s^2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = 0}
avec pour célérité de l'onde acoustique :
\boxed{c_s = a\sqrt{\frac{K}{m}}}
Résultat
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (x, t) - \frac{1}{c _{s}^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} (x, t) = 0$ $c_{s} = a \frac{K}{m}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9X-ENS Physique PSI 2021, Q8
D'après la question 6, l'équation régissant le déplacement du n-ième atome s'écrit :
m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2}(t) = K \Big( u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) \Big)
On injecte la solution recherchée sous forme d'onde plane discrète (équation 8 de l'énoncé) :
u_n(t) = u_0 \exp[\mathrm{i}(qna - \omega t)]
La dérivée temporelle seconde de u_n(t) vaut :
\frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2}(t) = (-\mathrm{i}\omega)^2 u_n(t) = -\omega^2 u_n(t)
D'autre part, pour les atomes voisins :
\begin{aligned} u_{n+1}(t) &= u_n(t) \mathrm{e}^{\mathrm{i}qa} \\ u_{n-1}(t) &= u_n(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}qa} \end{aligned}
Le membre de droite de l'équation du mouvement s'exprime donc sous la forme :
\begin{aligned} K \Big( u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) \Big) &= K u_n(t) \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}qa} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}qa} - 2 \right) \\ &= 2K u_n(t) \left( \cos(qa) - 1 \right) \\ &= -4K \sin^2\left(\frac{qa}{2}\right) u_n(t) \end{aligned}
En réinjectant ces expressions dans l'équation différentielle et en simplifiant par u_n(t) \neq 0, on obtient :
-m \omega^2 = -4K \sin^2\left(\frac{qa}{2}\right) \implies \omega^2 = \frac{4K}{m} \sin^2\left(\frac{qa}{2}\right)
Comme la pulsation est par convention positive (\omega \in \mathbb{R}^+), on prend la racine carrée :
\omega(q) = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} \left| \sin\left(\frac{qa}{2}\right) \right|
On retrouve bien la forme demandée avec :
\boxed{A = 2 \sqrt{\frac{K}{m}}}
Résultat
$A = 2 \frac{K}{m}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENS Physique U PSI 2026, Q26
D'après l'énoncé, le déterminant de la matrice couplée \mathbf{M}(\omega, k) s'écrit :
\det\mathbf{M}(\omega, k) = \det\mathbf{A}(\omega, k)\det\mathbf{B}(\omega, k) - \frac{\kappa\rho_0}{c_P T_0}(k\omega)^2.
Par définition, k_0 est le nombre d'onde acoustique en l'absence de conductivité thermique (\kappa = 0), ce qui correspond à l'annulation du déterminant acoustique non couplé :
\det\mathbf{A}(\omega, k_0) = 0.
La valeur prise par \det\mathbf{M} en k = k_0 vaut donc :
\det\mathbf{M}(\omega, k_0) = -\frac{\kappa\rho_0}{c_P T_0}(k_0\omega)^2.
À pulsation \omega fixée, effectuons un développement de Taylor de la fonction k \mapsto \det\mathbf{M}(\omega, k) au premier ordre en \varepsilon = k - k_0 au voisinage de k_0 :
\det\mathbf{M}(\omega, k_0 + \varepsilon) = \det\mathbf{M}(\omega, k_0) + \left.\frac{\partial\det\mathbf{M}}{\partial k}\right|_{k_0} \varepsilon + \mathcal{O}(\varepsilon^2).
La dérivée partielle par rapport à k est obtenue en dérivant le produit et le terme polynomial :
\begin{aligned} \frac{\partial\det\mathbf{M}}{\partial k}(\omega, k) &= \frac{\partial\det\mathbf{A}}{\partial k}\det\mathbf{B}(\omega, k) + \det\mathbf{A}(\omega, k)\frac{\partial\det\mathbf{B}}{\partial k} - 2\frac{\kappa\rho_0}{c_P T_0}\omega^2 k. \end{aligned}
En évaluant cette dérivée en k = k_0, le second terme s'annule car \det\mathbf{A}(\omega, k_0) = 0, ce qui donne :
\left.\frac{\partial\det\mathbf{M}}{\partial k}\right|_{k_0} = \left.\frac{\partial\det\mathbf{A}}{\partial k}\right|_{k_0}\det\mathbf{B}(\omega, k_0) - 2\frac{\kappa\rho_0}{c_P T_0}\omega^2 k_0.
L'équation de dispersion \det\mathbf{M}(\omega, k_0 + \varepsilon) = 0 se traduit alors, au premier ordre en \varepsilon, par :
\det\mathbf{M}(\omega, k_0) + \left.\frac{\partial\det\mathbf{M}}{\partial k}\right|_{k_0}\varepsilon \simeq 0,
soit :
\varepsilon \simeq -\frac{\det\mathbf{M}(\omega, k_0)}{\left.\frac{\partial\det\mathbf{M}}{\partial k}\right|_{k_0}}.
En remplaçant par les expressions obtenues, on parvient au résultat cherché :
\boxed{\varepsilon \simeq \frac{\frac{\kappa\rho_0}{c_P T_0}(k_0\omega)^2}{\left.\frac{\partial\det\mathbf{A}}{\partial k}\right|_{k_0}\det\mathbf{B}(\omega, k_0) - 2\frac{\kappa\rho_0}{c_P T_0}\omega^2 k_0}}
Résultat
$ε ≃ \frac{\frac{κ ρ _{0}}{c _{P} T _{0}} ( k _{0} ω ) ^{2}}{\frac{\partial d e t A}{\partial k} _{k_{0}} det B ( ω , k _{0} ) - 2 \frac{κ ρ _{0}}{c _{P} T _{0}} ω ^{2} k _{0}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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