Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2023 (page 2/3 : Partie I (questions 18 à 22) et partie II)

Par définition, le taux d'avancement \alpha_{\text{diss}}(t) représente la fraction d'acide pyruvique consommée à la date t :

La quantité de matière d'acide pyruvique restant dans le réacteur à l'instant t s'écrit donc :

Le volume V étant constant au cours de la réaction, la concentration molaire en acide pyruvique est :

La réaction étant d'ordre 1 par rapport à l'acide pyruvique (l'ordre partiel par rapport au dioxygène étant nul au vu de la question suivante), la loi de vitesse volumique de disparition s'écrit :

En remplaçant par l'expression de la concentration, on obtient :

La constante de vitesse k d'une réaction chimique dépend de la température absolue T selon la loi empirique d'Arrhénius :

où :

• A (ou k_0) est le facteur pré-exponentiel (ou facteur de fréquence), homogène à la constante de vitesse k (ici en \text{s}^{-1} pour une réaction d'ordre 1) ;
• E_a est l'énergie d'activation de la réaction (E_a > 0, exprimée en \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}) ;
• R est la constante universelle des gaz parfaits (R = 8,31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}) ;
• T est la température thermodynamique (en \text{K}).

Influence de la température sur la vitesse de réaction :
L'énergie d'activation étant strictement positive (E_a > 0), la fonction T \mapsto \exp\left(-\frac{E_a}{RT}\right) est strictement croissante avec la température absolue T.

La constante de vitesse k(T) augmente donc lorsque la température s'élève. Par conséquent, à composition donnée des réactifs, la vitesse de la réaction augmente avec la température : la température est un facteur cinétique accélérateur.

Le système considéré est l'accumulateur et le mélange réactionnel qu'il contient. Entre t et t+\mathrm{d}t, la transformation est adiabatique (\delta Q = 0) et supposée isobare (\mathrm{d}P = 0). Le premier principe de la thermodynamique s'écrit donc :

L'enthalpie étant une fonction d'état, on décompose la transformation infinitésimale en deux étapes successives fictives :

1. Une réaction chimique d'avancement \mathrm{d}\xi à pression P et température T constantes :

   \mathrm{d}H_1 = \Delta_r H^\circ(T)\,\mathrm{d}\xi

2. Un échauffement isobare du système (sans réaction chimique) de T à T+\mathrm{d}T. En considérant la capacité thermique C de la batterie et en négligeant celle des gaz :

   \mathrm{d}H_2 = C\,\mathrm{d}T

Le bilan enthalpique s'écrit alors :

D'après la définition du taux d'avancement de la combustion (avec un coefficient stœchiométrique de 1 pour l'acide pyruvique), l'avancement vaut \xi(t) = n_0\,\alpha_{\text{diss}}(t). La vitesse volumique de disparition s'écrit, d'après la question Q18 :

soit :

En introduisant la loi d'Arrhénius rappelée en Q19, k(T) = A\exp\left(-\frac{E_a}{RT}\right), on obtient :

En divisant le bilan enthalpique par \mathrm{d}t, il vient :

On identifie ainsi la loi demandée :

avec :

La combustion étant une réaction exothermique (\Delta_r H^\circ < 0), la constante \beta est bien strictement positive.

Lorsque l'avancement de la réaction est faible, c'est-à-dire pour \alpha_{\text{diss}} \ll 1, le facteur d'épuisement des réactifs est quasi unitaire : 1 - \alpha_{\text{diss}} \approx 1. L'équation différentielle établie à la question Q20 se simplifie alors en :

avec \beta > 0 et E_a > 0.

• D'une part, comme \beta > 0, on a \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} > 0 : la température T augmente au cours du temps par dégagement de la chaleur de réaction.
• D'autre part, la fonction T \mapsto \exp\left(-\dfrac{E_a}{R T}\right) est strictement croissante avec la température T. Par conséquent, la dérivée \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} augmente elle-même très rapidement avec T.

Il s'établit ainsi une boucle de rétroaction positive (ou auto-accélération thermique) :

Tant que les réactifs ne sont pas significativement consommés et que les pertes thermiques vers l'extérieur sont négligeables, aucun mécanisme régulateur ne vient compenser cette production de chaleur : la vitesse de réaction et la température croissent de façon explosive. Cette divergence auto-entretenue justifie pleinement le terme d'emballement thermique (thermal runaway).

D'après la question Q20, pour \alpha_{\text{diss}} \ll 1, l'équation différentielle régissant l'évolution de la température s'écrit :

En prenant le logarithme népérien de cette expression, on obtient :

En posant X = \frac{1000}{T} (exprimé en \text{K}^{-1}) et Y = \ln\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right), la fonction Y(X) est une droite affine de pente p :

On remarque que le choix de l'unité de la vitesse de montée en température ({}^\circ\text{C}\cdot\text{min}^{-1}) ne modifie que la constante additive \ln \beta et n'affecte aucunement la pente de la droite.

Par lecture graphique sur la figure 5, on repère deux points sur la droite moyenne passant par les points de mesure :

• Point 1 : X_1 = 1{,}91\text{ K}^{-1} pour Y_1 = 6{,}0 ;
• Point 2 : X_2 = 2{,}14\text{ K}^{-1} pour Y_2 = 1{,}0.

La pente expérimentale vaut ainsi :

Avec la constante universelle des gaz parfaits R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, on en déduit :

Considérons le système fermé constitué de la tranche cylindrique de batterie de rayon a, comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t.

• Son volume est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x = \pi a^2\,\mathrm{d}x, et sa masse est \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}V.
• Sa surface latérale d'échange est \mathrm{d}\Sigma_{\mathrm{lat}} = 2\pi a\,\mathrm{d}x.

La matière étant condensée (incompressible et indilatable), la variation d'énergie interne du système entre t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

Effectuons le bilan des transferts d'énergie reçus par le système pendant la durée \mathrm{d}t :

• Conduction axiale : d'après la loi de Fourier, le vecteur densité de courant thermique axial est \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T(x, t)}{\partial x} \vec{u}_x. Le transfert thermique net entrant à travers les sections droites en x et en x+\mathrm{d}x vaut :

  \begin{aligned} \delta Q_{\mathrm{cond}} &= \left[ \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x,t)\cdot \vec{u}_x \, S - \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x,t)\cdot \vec{u}_x \, S \right] \mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}}\cdot\vec{u}_x)}{\partial x}\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = \lambda \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2}\,\pi a^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t. \end{aligned}

• Échange conducto-convectif latéral : le flux sortant à travers la surface latérale orientée par la normale unitaire sortante \vec{u} est donné par la loi de Newton :

  \delta Q_{\mathrm{lat}} = - \vec{\jmath}\cdot \vec{u} \;\mathrm{d}\Sigma_{\mathrm{lat}}\,\mathrm{d}t = - h_{cc}(T(x, t) - T_{\mathrm{ext}})\,2\pi a\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = \frac{2 h_{cc}}{a}(T_{\mathrm{ext}} - T(x, t))\,\pi a^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

• Production interne d'énergie : chaque accumulateur dégage une puissance volumique constante p_J, d'où l'énergie reçue pendant \mathrm{d}t :

  \delta W_J = p_J\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_J\,\pi a^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

En appliquant le premier principe de la thermodynamique, \mathrm{d}U = \delta Q_{\mathrm{cond}} + \delta Q_{\mathrm{lat}} + \delta W_J :

En simplifiant par le volume \mathrm{d}V = \pi a^2\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t, on obtient :

En régime stationnaire, le champ de température est indépendant du temps :

La dérivée spatiale devient alors une dérivée droite, et l'équation établie à la question Q23 s'écrit :

En factorisant par -\frac{2 h_{cc}}{a} dans les termes sources :

On reconnaît l'expression de la température limite T_l = T_{\text{ext}} + \dfrac{p_J a}{2 h_{cc}} :

En divisant l'ensemble par \lambda et en introduisant H^2 = \dfrac{a \lambda}{2 h_{cc}} (soit \dfrac{1}{H^2} = \dfrac{2 h_{cc}}{a \lambda}), on obtient l'équation différentielle simplifiée :

La grandeur H = \sqrt{\dfrac{a\lambda}{2h_{cc}}} a la dimension d'une longueur :

Sur le plan physique, H représente la longueur caractéristique d'atténuation (ou de relaxation) thermique axiale le long du cylindre :

• Elle caractérise la compétition entre la diffusion thermique longitudinale (conduction le long de l'axe x, favorisée par une conductivité \lambda élevée) et les pertes thermiques latérales (convection vers l'air extérieur, favorisées par un coefficient h_{cc} élevé).
• Pour un tronçon de cylindre de longueur H, la résistance thermique de conduction axiale R_{\text{th, diff}} = \dfrac{H}{\lambda (\pi a^2)} est du même ordre de grandeur que la résistance thermique d'échange convectif superficiel R_{\text{th, conv}} = \dfrac{1}{h_{cc}(2\pi a H)}.
• Elle correspond à l'échelle spatiale sur laquelle l'influence thermique des extrémités (imposée à T_{\text{ext}}) pénètre à l'intérieur du bloc : sur une distance de quelques H depuis les bords, la température passe de la température imposée aux extrémités à la température limite T_l au cœur de la batterie.

D'après la question Q24, le profil de température en régime stationnaire obéit à l'équation différentielle :

En posant la variable d'écart \theta(x) = T(x) - T_l, l'équation devient \theta''(x) - \frac{1}{H^2}\,\theta(x) = 0. La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s'écrit :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration réelles.

Les conditions aux limites imposées sont symétriques : T(-L) = T(L) = T_{\text{ext}}.

• La différence des températures aux deux extrémités donne :

  T(L) - T(-L) = 2 C_2 \sinh\left(\frac{L}{H}\right) = 0

  Comme L > 0 et H > 0, \sinh(L/H) \neq 0, d'où C_2 = 0. Le profil de température est donc une fonction paire de x.

• La condition en x = L s'écrit :

  T(L) = C_1 \cosh\left(\frac{L}{H}\right) + T_l = T_{\text{ext}} \implies C_1 = \frac{T_{\text{ext}} - T_l}{\cosh(L/H)}

Le profil de température se met donc bien sous la forme :

avec :

ce qui correspond à l'expression explicite :

D'après les questions Q24 et Q26, l'élévation de température dans le bloc s'écrit :

avec :

L'écart maximal de température est atteint au centre (x = 0) :

1. Commentaire qualitatif des simulations (figure 7) :

• À h_{cc} = 5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} fixé (graphe de gauche) : L'écart asymptotique T_l - T_{\text{ext}} est constant. Lorsque la conductivité thermique \lambda augmente (0{,}4 \to 1 \to 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}), la longueur caractéristique H \propto \sqrt{\lambda} croît. Le rapport L/H diminue, donc \cosh(L/H) se rapproche de 1 : la diffusion thermique axiale évacue très efficacement la chaleur vers les extrémités x = \pm L maintenues à T_{\text{ext}}. Le profil s'aplatit considérablement et l'élévation maximale chute de 30\text{ K} (pour \lambda = 0{,}4) à environ 13\text{ K} (pour \lambda = 1) puis à seulement 1{,}5\text{ K} (pour \lambda = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
• À \lambda = 0{,}4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} fixé (graphe de droite) : Lorsque h_{cc} augmente (1 \to 10 \to 100\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}), le terme source convectif T_l - T_{\text{ext}} \propto 1/h_{cc} diminue, favorisant l'évacuation surfacique latérale. Toutefois, pour une faible conductivité (\lambda = 0{,}4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}), le transfert de chaleur reste limité par la conduction interne du matériau. Même en multipliant h_{cc} par 100, l'élévation au centre ne diminue que modérément, passant de 33\text{ K} à environ 20\text{ K}.

2. Choix des paramètres pour une bonne gestion thermique : Le préambule de la partie II impose :

• un écart de température entre éléments inférieur à 10\text{ \textdegree C} (\Delta T \leqslant 10\text{ K}) ;
• le maintien d'une température modérée (ne dépassant pas 40\text{ \textdegree C}, soit pour T_{\text{ext}} \approx 20\text{ \textdegree C} une élévation \Delta T \leqslant 20\text{ K}).

À \lambda = 0{,}4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} (valeur intrinsèque des accumulateurs), même avec une convection très forte (h_{cc} = 100\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}), l'écart au sein du bloc reste d'environ 20\text{ K}, ce qui est incompatible avec la limite de 10\text{ K}.

En revanche, une conductivité élevée telle que \lambda = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} conduit à un écart maximal \Delta T_{\max} \approx 1{,}5\text{ K} \ll 10\text{ K}, assurant une quasi-uniformité de température.

D'après la figure 9, les accumulateurs cylindriques de diamètre d sont disposés selon un maillage carré régulier. Les cylindres adjacents horizontalement et verticalement sont tangents, de sorte que la distance entre leurs axes vaut d.

Considérons le motif carré délimité par les centres de quatre accumulateurs voisins :

• la longueur du côté du carré est d ;
• la longueur de la diagonale joignant les centres de deux cylindres opposés est donc d\sqrt{2}.

La distance caractéristique de l'écoulement d_{\text{écoulement}} correspond à l'espacement libre mesuré le long de cette diagonale entre les surfaces des deux cylindres opposés. En retranchant le rayon R = d/2 de chacun des deux cylindres, on obtient :

Application numérique : Avec d = 18\text{ mm} :

L'air s'écoule parallèlement aux axes des accumulateurs le long des 4 rangées longitudinales. Dans la section droite transverse (figure 9), les accumulateurs forment une grille de 6 \times 6 = 36 cylindres de diamètre d.

Le caisson étant de section parfaitement ajustée aux dimensions du pack, sa section totale est un carré de côté 6d :

La section transverse occupée par les 36 accumulateurs cylindriques vaut :

La section libre disponible pour l'écoulement de l'air est donc :

Sous l'hypothèse d'un écoulement parfait et incompressible en régime stationnaire, la vitesse de l'air est uniforme à travers toute la section de passage. La conservation du débit volumique s'écrit :

On en déduit l'expression de la vitesse d'écoulement entre les accumulateurs :

Application numérique :

• Q_{V,e} = 80\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \dfrac{80}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 2{,}22 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}
• d = 18\text{ mm} = 1{,}8 \times 10^{-2}\text{ m}
• S_{\text{libre}} = 36 \times (1{,}8 \times 10^{-2})^2 \times \left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) \approx 2{,}50 \times 10^{-3}\text{ m}^2

Le nombre de Reynolds sans dimension caractérise le rapport des forces d'inertie sur les forces visqueuses :

où :

• v \approx 8{,}9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est la vitesse de l'air entre les éléments (d'après Q29) ;
• d_{\text{écoulement}} \approx 7{,}5\text{ mm} = 7{,}5 \times 10^{-3}\text{ m} est la distance caractéristique de passage de l'air (d'après Q28) ;
• \nu = 1{,}6 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} est la viscosité cinématique de l'air.

L'application numérique donne :

Remarque : si l'on choisit le diamètre externe des cylindres d = 18\text{ mm} comme échelle spatiale caractéristique du système, on obtient :

Le nombre de Reynolds obtenu (\mathrm{Re} \sim 4 \times 10^3 à 10^4) est nettement supérieur au nombre de Reynolds critique de transition pour un écoulement confiné (\mathrm{Re}_c \approx 2000). L'écoulement de l'air entre les accumulateurs est donc en régime turbulent.

Considérons le volume de contrôle fixe (\mathcal{V}) délimité par les parois intérieures du caisson entre la section d'entrée e et la section de sortie s. On définit le système fermé \Sigma^* constitué :

• de la masse de fluide présente dans le volume de contrôle (\mathcal{V}) à l'instant t ;
• de la masse élémentaire de fluide \delta m = D_m\,\mathrm{d}t entrant dans (\mathcal{V}) à travers la section d'entrée pendant \mathrm{d}t.

À l'instant t + \mathrm{d}t, ce même système \Sigma^* est constitué de la masse de fluide présente dans (\mathcal{V}) à t + \mathrm{d}t et de la masse \delta m sortie de (\mathcal{V}) à travers la section de sortie.

On formule les hypothèses suivantes :

1. Régime stationnaire : les grandeurs thermodynamiques en tout point du volume de contrôle sont indépendantes du temps ;
2. Énergies cinétique et potentielle négligeables : les variations d'énergie cinétique macroscopique et d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie sont négligeables devant la variation d'enthalpie ;
3. Absence de travail utile : aucun organe mécanique mobile n'échange de travail avec le fluide dans ce tronçon (\delta W_u = 0) ;
4. Caisson calorifugé : les parois extérieures ne laissent passer aucun transfert thermique vers l'extérieur, de sorte que le seul transfert thermique reçu par le fluide provient des accumulateurs : \delta Q = \mathcal{P}\,\mathrm{d}t.

L'enthalpie du système fermé s'écrit aux deux instants :

En régime stationnaire, H_{(\mathcal{V})}(t+\mathrm{d}t) = H_{(\mathcal{V})}(t). La variation d'enthalpie du système fermé s'élève donc à :

D'après le premier principe appliqué au système fermé \Sigma^*, en tenant compte du travail des forces de pression aux frontières qui est incorporé dans l'enthalpie :

En identifiant les deux expressions de \mathrm{d}H_{\Sigma^*}, on obtient :

D'après la question Q31, la puissance thermique échangée entre le pack d'accumulateurs et l'air s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, il vérifie la deuxième loi de Joule : son enthalpie ne dépend que de la température. Avec une capacité thermique massique à pression constante c_{p\text{,air}} supposée indépendante de la température sur la plage considérée, la variation d'enthalpie massique s'exprime par :

Le fluide étant supposé incompressible, sa masse volumique \rho_{\text{air}} est uniforme et le débit massique s'exprime à partir du débit volumique d'entrée Q_{V,e} :

On en déduit l'expression de la puissance thermique reçue par l'air :

Application numérique :

• \rho_{\text{air}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• Q_{V,e} = 80\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \frac{80}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 2{,}22 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}
• c_{p\text{,air}} = 1{,}0\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} = 1{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• \theta_s - \theta_e = 25{,}5 - 20{,}0 = 5{,}5\text{ }^\circ\text{C} = 5{,}5\text{ K}

Compte tenu des deux chiffres significatifs sur les données \rho_{\text{air}} et c_{p\text{,air}}, on retient :

D'après la loi de Newton, la puissance thermique échangée entre le pack maintenu à température uniforme \theta_{\text{pack}} et l'air à la température moyenne \bar{\theta} s'écrit :

où S_{\text{tot}} est la surface d'échange entre les accumulateurs et l'air. L'air circule le long des N = 144 accumulateurs cylindriques de diamètre d et de hauteur h. En considérant que l'échange thermique a lieu essentiellement à travers leurs surfaces latérales cylindriques, la surface d'échange totale vaut :

On en déduit l'expression de h_{cc} :

La température moyenne de l'air est :

d'où un écart moyen :

La surface totale d'échange vaut :

Avec la puissance thermique obtenue à la question précédente \mathcal{P} \approx 147\text{ W} :

L'air étant un fluide réel de viscosité non nulle (\nu = 1{,}6 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}) et l'écoulement étant turbulent (\mathrm{Re} \approx 4 \times 10^3, d'après la question Q30), le passage du flux d'air à travers le réseau d'accumulateurs s'accompagne d'une dissipation d'énergie mécanique sous forme d'énergie thermique (dissipation visqueuse).

Cette dissipation se traduit macroscopiquement par des pertes de charge entre l'amont et l'aval :

• Pertes de charge singulières prépondérantes : la géométrie complexe du réseau d'accumulateurs provoque des variations brutales de section (rétrécissement à l'entrée, élargissement à la sortie) ainsi que le décollement de la couche limite créant des zones de recirculation et des sillages tourbillonnaires en aval de chaque cylindre (traînée de forme) ;
• Pertes de charge régulières : frottements visqueux pariétaux de l'air le long de la surface latérale des accumulateurs et des parois du caisson.

Entre deux sections droites identiques en amont et en aval, le théorème de Bernoulli généralisé (bilan d'énergie mécanique en écoulement stationnaire incompressible) donne :

La chute de pression observée \Delta P = 10\text{ mbar} correspond donc à la perte de charge totale engendrée par le faisceau d'accumulateurs.

Pour vaincre les pertes de charge \Delta P à travers le banc d'accumulateurs et assurer un écoulement à débit volumique Q_{V,e} d'un fluide incompressible, le ventilateur doit fournir au fluide une puissance utile (puissance aéraulique) donnée par :

En introduisant le rendement électromécanique \eta du ventilateur, la puissance électrique consommée \mathcal{P}_{\text{él}} s'exprime sous la forme :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• Q_{V,e} = 80\text{ m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1} = \frac{80}{3600}\text{ m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1} \approx 2{,}22 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1},
• \Delta P = 10\text{ mbar} = 1{,}0 \times 10^3\text{ Pa},
• \eta = 0{,}60,

on obtient :

Commentaire :

• Cette consommation électrique représente environ 25\text{ }\% de la puissance thermique évacuée par l'air (\mathcal{P} \approx 147\text{ W}, calculée à la question Q32), ce qui constitue un coût énergétique non négligeable pour le refroidissement à cette échelle.
• Extrapolée à la batterie complète d'un véhicule électrique comptant environ 2000 accumulateurs (soit un facteur 2000 / 144 \approx 14), la puissance de ventilation serait de l'ordre de 500\text{ W}. Cette puissance est facilement délivrée par le réseau de bord d'un véhicule et demeure très modeste par rapport à la puissance du groupe motopropulseur (plusieurs dizaines à centaines de kilowatts).