Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2023 (page 3/3 : Partie III)

1. Puissance électrique maximale fournie par les panneaux :

• D'après la figure 12, le pic d'irradiation solaire surfacique reçue au sol est d'environ :

  \Pi_{\max} \approx 750\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}
• La surface de panneaux solaires intégrée au véhicule est S_{\text{pan}} = 5\text{ m}^2 (figure 10).
• Le rendement certifié des cellules photovoltaïques en tandem pérovskite/silicium est \eta = 29{,}15\% \approx 0{,}292 (figure 11).

La puissance électrique maximale collectée s'élève à :

2. Puissance aérodynamique résistante : Sur sol horizontal à vitesse constante v, les frottements de l'air étant supposés prépondérants devant toute autre résistance (résistance au roulement négligée) :

où :

• \rho_{\text{air}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (données du sujet) ;
• C_x = 0{,}23 (figure 10) ;
• la surface frontale S peut être estimée à partir de la largeur l = 1{,}82\text{ m} et de la hauteur h = 1{,}40\text{ m}. En tenant compte de la garde au sol et des arrondis de la carrosserie, on peut modéliser la surface frontale par S \approx 0{,}8 \times l \times h \approx 2{,}0\text{ m}^2 (ou simplement par le rectangle englobant S \approx l \times h = 2{,}55\text{ m}^2).

La puissance mécanique nécessaire pour entretenir ce mouvement vaut :

3. Vitesse maximale atteignable : En l'absence de stockage d'énergie et en supposant idéale la chaîne de transmission/motorisation (\mathcal{P}_{\text{méc}} = \mathcal{P}_{\text{él}}) :

Application numérique :

• Avec S \approx 2{,}0\text{ m}^2 :

  v_{\max} = \left(\frac{2 \times 1{,}09 \times 10^3}{0{,}23 \times 1{,}2 \times 2{,}0}\right)^{1/3} \approx \left(3{,}95 \times 10^3\right)^{1/3} \approx 15{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 57\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}

• Avec S = l \times h = 2{,}55\text{ m}^2 :

  v_{\max} = \left(\frac{2 \times 1{,}09 \times 10^3}{0{,}23 \times 1{,}2 \times 2{,}55}\right)^{1/3} \approx \left(3{,}11 \times 10^3\right)^{1/3} \approx 14{,}6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 53\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}

Compte tenu des incertitudes inhérentes à cette estimation, on retient :

Fixons le potentiel du rail inférieur commun à 0\text{ V}.

Durant la phase active (0 \leqslant t < \alpha T), l'interrupteur T_r est fermé. Comme il est supposé idéal, la tension à ses bornes est nulle :

Le potentiel à l'anode A de la diode D est donc imposé à :

Le potentiel à la cathode K de la diode est quant à lui relié au nœud supérieur de sortie, soit :

La tension directe anode-cathode aux bornes de la diode s'écrit alors :

L'énoncé précisant que v_s > 0, on a :

La diode est donc polarisée en inverse. S'agissant d'une diode idéale, elle est bloquée et se comporte comme un circuit ouvert (i_D = 0).

Le circuit équivalent pour cette phase active est constitué de deux circuits totalement découplés :

• à gauche, la source de tension V_{ps} alimente directement la bobine L à travers l'interrupteur fermé T_r ;
• à droite, la diode bloquée isole la cellule constituée du condensateur C et de la résistance de charge R.

D'après le schéma équivalent de la phase active (interrupteur T_r fermé et diode D bloquée), la maille d'entrée comprenant la source de tension, la bobine et l'interrupteur fermé donne la loi des mailles :

L'interrupteur T_r étant fermé et supposé idéal, la tension à ses bornes est nulle : v_{Tr}(t) = 0. On a donc :

En convention récepteur pour la bobine, la tension s'écrit :

On en déduit l'équation différentielle vérifiée par le courant i_L(t) sur l'intervalle 0 \leqslant t < \alpha T :

La tension d'alimentation V_{ps} étant continue et constante, l'intégration par rapport au temps donne immédiatement :

En tenant compte de la condition initiale i_L(0) = i_{L,\min}, on obtient pour tout t \in [0, \alpha T[ :

Le temps caractéristique associé à l'ensemble constitué de la résistance R et du condensateur de capacité C en parallèle est :

Pendant la phase active (0 \leqslant t < \alpha T), la diode D est bloquée. Le sous-circuit de sortie est alors isolé de la source et de la bobine : le condensateur se décharge dans la résistance R selon l'équation différentielle :

ce qui conduit à une décharge de la forme :

Pour que la tension v_s(t) puisse être considérée comme constante au cours du cycle de découpage, la chute relative de tension durant la phase active (de durée \alpha T) ou plus globalement sur toute la période T doit être négligeable, ce qui impose que le temps caractéristique \tau soit très supérieur à la période de commande T du hacheur :

On en déduit la condition sur la capacité C :

Durant la phase de roue libre, définie pour \alpha T \leqslant t < T :

• le transistor T_r est commandé à l'ouverture : il se comporte comme un circuit ouvert ;
• la bobine impose la continuité de l'intensité i_L(t) (qui est strictement positive en conduction continue) ; ce courant ne pouvant plus traverser la branche du transistor, il circule nécessairement à travers la diode D, ce qui la polarise dans le sens direct. La diode idéale se comporte donc comme un interrupteur fermé (court-circuit).

On obtient le schéma équivalent représenté ci-dessous :

Durant la phase de roue libre (\alpha T \leqslant t < T), l'interrupteur T_r est ouvert et la diode D est passante (v_D = 0). D'après le schéma équivalent établi à la question précédente, la loi des mailles s'écrit :

En convention récepteur pour la bobine idéale d'inductance L, la relation tension-courant est :

En considérant la tension v_s constante sur la période (justifié par la condition sur C établie en Q39), on obtient l'équation différentielle :

Par intégration directe entre l'instant initial de la phase \alpha T et une date t \in [\alpha T, T[ :

Avec la condition initiale i_L(\alpha T) = i_{L,\max}, on en déduit l'expression de l'intensité :

L'intensité du courant i_L(t) traversant une bobine d'inductance L est une fonction continue du temps.

1. Première expression (issue de la phase active) :

   D'après la question Q38, l'évolution de l'intensité sur l'intervalle [0, \alpha T[ s'écrit :

   i_L(t) = i_{L,\min} + \frac{V_{ps}}{L}\,t

   Par continuité de i_L en t = \alpha T, on a i_L(\alpha T) = i_{L,\max}, d'où :

   i_{L,\max} = i_{L,\min} + \frac{V_{ps}}{L}\,\alpha T

   On en déduit la première expression de l'ondulation de courant :

   \boxed{i_{L,\max} - i_{L,\min} = \frac{V_{ps}}{L}\,\alpha T}

2. Seconde expression (issue de la phase de roue libre) :

   D'après la question Q41, l'évolution du courant sur l'intervalle [\alpha T, T] s'écrit :

   i_L(t) = i_{L,\max} + \frac{V_{ps} - v_s}{L}\,(t - \alpha T)

   Le régime périodique étant établi, le courant vérifie la condition aux limites de périodicité :

   i_L(T) = i_L(0) = i_{L,\min}

   En évaluant l'expression précédente en t = T, il vient :

   i_{L,\min} = i_{L,\max} + \frac{V_{ps} - v_s}{L}\,(T - \alpha T)

   Soit, en réarrangeant les termes et en factorisant par T :

   \boxed{i_{L,\max} - i_{L,\min} = \frac{v_s - V_{ps}}{L}\,(1 - \alpha)T}

D'après les résultats des questions Q38 et Q41, l'intensité i_L(t) traversant la bobine vérifie sur la première période [0, T] :

• pour t \in [0, \alpha T] (phase active) :

  i_L(t) = i_{L,\min} + \frac{V_{ps}}{L}\,t

  Le courant croît linéairement de i_{L,\min} à i_{L,\max} avec une pente positive constante \dfrac{V_{ps}}{L}.

• pour t \in [\alpha T, T] (phase de roue libre) :

  i_L(t) = i_{L,\max} - \frac{v_s - V_{ps}}{L}\,(t - \alpha T)

  Le courant décroît linéairement de i_{L,\max} à i_{L,\min} avec une pente négative constante \dfrac{V_{ps} - v_s}{L} (car v_s > V_{ps}).

Par continuité du courant traversant une inductance et périodicité du régime permanent établi de période T, la courbe présente une forme triangulaire périodique (mode de conduction continue, i_L(t) > 0).

La relation constitutive d'une bobine idéale d'inductance L s'écrit :

Par définition de la valeur moyenne sur une période T :

Le régime périodique étant établi, le courant est strictement périodique de période T, soit i_L(T) = i_L(0) = i_{L,\min}. On en déduit :

Par ailleurs, la tension v_L(t) prend les valeurs suivantes au cours d'une période :

• pour 0 \leqslant t < \alpha T (phase active) : v_L(t) = V_{ps} ;
• pour \alpha T \leqslant t < T (phase de roue libre) : v_L(t) = V_{ps} - v_s(t).

Sous l'hypothèse d'une tension de sortie quasi-constante (v_s(t) \approx \langle v_s(t) \rangle), ou en intégrant directement :

Comme \langle v_L(t) \rangle = 0 (ce qui revient également à égaler les deux expressions de l'ondulation de courant \Delta i_L établies à la question Q42) :

On obtient ainsi :

D'après la question Q44, la relation entre la tension moyenne de sortie et la tension continue d'entrée s'écrit :

Le rapport cyclique \alpha représente une fraction temporelle sur une période T, il vérifie donc strictement 0 < \alpha < 1 en fonctionnement normal, d'où :

Le convertisseur hache la tension d'entrée grâce aux commutations périodiques des interrupteurs et délivre en sortie une tension moyenne strictement supérieure à la tension continue d'entrée : c'est pourquoi il est qualifié de hacheur-survolteur (ou boost).

Pour recharger la batterie dont la tension est fixée à V_s = 350\text{ V} (d'après le préambule de la partie III.B) à partir de la tension d'alimentation V_{ps} = 72\text{ V} issue des panneaux solaires, on doit avoir :

Application numérique :