Feuille d'entraînement : Réflexion, transmission et ondes stationnaires électromagnétiques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q58

   1. Lien entre le champ électrique et les zones de fonte

   D'après le document 1, le champ électrique de l'onde stationnaire dans la cavité s'écrit :

   \vec{E}(x,t) = 2 E_0 \sin(\omega t) \sin(kx)\,\vec{e}_y

   avec k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi f}{c}.

   L'échauffement diélectrique du chocolat est dû à l'absorption de l'énergie électromagnétique (polarisation et réorientation des molécules d'eau et de graisse). La puissance volumique moyenne absorbée est proportionnelle au carré moyen du champ électrique :

   \mathcal{P}_{\text{vol}}(x) \propto \langle E^2(x,t) \rangle \propto \sin^2(kx)

   Le chocolat commence donc à fondre préférentiellement aux ventres de champ électrique, là où \sin^2(kx) est maximal (égal à 1), soit pour :

   kx_n = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})

   La distance \Delta x séparant deux zones de fusion consécutives est la demi-longueur d'onde de l'onde stationnaire :

   \Delta x = x_{n+1} - x_n = \frac{\pi}{k} = \frac{\lambda}{2} = \frac{c}{2f}

   D'où l'expression de la fréquence :

   f = \frac{c}{2\Delta x}

   2. Évaluation de la distance \Delta x par lecture de l'expérience

   Sur le document 2, la tablette de chocolat a une largeur connue de 70\text{ mm} (selon la direction verticale de la photo).

   En mesurant sur la photographie :

   • la largeur de la tablette correspond à une dimension apparente mesurée de 22\text{ mm} ;
   • la distance entre les centres des deux zones de fonte consécutives le long de l'axe (Ox) mesure environ 19\text{ mm} à 20\text{ mm}.

   Par proportionnalité, la distance réelle entre les deux ventres est :

   \Delta x \approx 70 \times \frac{19{,}5}{22} \approx 62\text{ mm} \approx 6{,}0\text{ à }6{,}2\text{ cm}

   3. Calcul de la fréquence des micro-ondes

   Avec c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et en prenant \Delta x \approx 6{,}1\text{ cm} = 6{,}1 \cdot 10^{-2}\text{ m} (ou 6{,}0\text{ cm}) :

   \begin{aligned} f &= \frac{3{,}0 \cdot 10^8}{2 \times 6{,}1 \cdot 10^{-2}} \approx 2{,}46 \cdot 10^9\text{ Hz} \approx 2{,}5\text{ GHz} \end{aligned}

   \boxed{f \approx 2{,}5\text{ GHz}}

   4. Commentaires

   • Ordre de grandeur : la valeur obtenue est en parfait accord avec la fréquence standard normalisée des fours à micro-ondes grand public (f = 2{,}45\text{ GHz}). Cette fréquence appartient à la bande ISM (industrielle, scientifique et médicale) et correspond à un bon compromis entre absorption par les molécules d'eau et profondeur de pénétration au cœur des aliments.
   • Rôle du plateau tournant : l'expérience montre l'existence de nœuds (zones non chauffées) et de ventres (points chauds) due au caractère stationnaire de l'onde. La rotation du plateau tournant permet aux aliments de traverser successivement des nœuds et des ventres, assurant ainsi un chauffage beaucoup plus homogène.

   Résultat

   $$f\approx 2,5\text{ GHz}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q53

   D'après l'énoncé, le champ électrique est nul en tout point et à tout instant dans un conducteur parfait :

   \vec{E}_{\text{cond}} = \vec{0}

   D'après les relations de passage du champ électrique données en formulaire :

   \vec{E}(M^+, t) - \vec{E}(M^-, t) = \frac{\sigma(M, t)}{\varepsilon_0}\,\vec{n}_{M^- \to M^+}

   Le saut de champ électrique étant purement normal à la surface de séparation (porté par le vecteur unitaire \vec{e}_x), la composante tangentielle du champ électrique est continue à travers l'interface. En conséquence, à la surface d'un conducteur parfait, la composante tangentielle du champ électrique s'annule :

   \vec{E}_t(0^+, t) = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{E}_t(L^-, t) = \vec{0} \quad \forall t

   Le champ électrique proposé par l'équation (II.2) est :

   \vec{E}_i(x, t) = E_0 \cos(\omega t - kx)\,\vec{e}_y

   Comme le vecteur \vec{e}_y est tangent aux parois planes en x = 0 et x = L, ce champ est purement tangentiel : \vec{E}_t = \vec{E}_i.

   La relation de passage en x = 0 impose donc, à tout instant t :

   E_0 \cos(\omega t) = 0

   Pour que cette relation soit satisfaite de façon identique à tout instant t (et non pas seulement aux zéros de la fonction cosinus), il est nécessaire que :

   \boxed{E_0 = 0}

   De la même manière, en x = L, la condition E_0 \cos(\omega t - kL) = 0 pour tout t conduit également à E_0 = 0.

   Résultat

   $$E_0=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q54

   L'expression du champ électrique est donnée par :

   \vec{E}(x, t) = 2E_0 \sin(\omega t) \sin(k x)\,\vec{e}_y

   Cette onde présente une découplage (séparation) complet des variables spatiale x et temporelle t : la vibration en chaque point s'effectue en phase (ou en opposition de phase) avec une amplitude 2E_0 |\sin(k x)| indépendante du temps, sans propagation d'énergie le long de l'axe (Ox).

   L'onde associée à cette expression est donc une onde stationnaire.

   \boxed{\text{Il s'agit d'une onde stationnaire.}}

   Résultat

   $$\text{Il s’agit d’une onde stationnaire.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q55

   Le demi-espace x < 0 est occupé par un conducteur parfait dans lequel le champ électrique est nul en tout point et à tout instant :

   \vec{E}(0^-, t) = \vec{0}

   D'après l'expression (II.3), le champ électrique régnant dans la cavité (x \in [0, L]) vaut :

   \vec{E}(x, t) = 2E_0 \sin(\omega t) \sin(kx)\,\vec{e}_y

   En évaluant cette expression en x = 0 (soit pour x \to 0^+) :

   \vec{E}(0^+, t) = 2E_0 \sin(\omega t) \sin(0)\,\vec{e}_y = \vec{0}

   L'interface située en x = 0 admet pour vecteur unitaire normal \vec{n} = \vec{e}_x. Le champ électrique étant dirigé selon \vec{e}_y, il est purement tangentiel à l'interface :

   \vec{E}_t(0^+, t) = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{E}_t(0^-, t) = \vec{0}

   La relation de passage imposant la continuité de la composante tangentielle du champ électrique à la traversée d'une surface :

   \vec{E}_t(0^+, t) - \vec{E}_t(0^-, t) = \vec{0}

   est donc rigoureusement vérifiée à tout instant t. De plus, la composante normale étant partout nulle, la relation de passage globale s'écrit \vec{E}(0^+, t) - \vec{E}(0^-, t) = \vec{0} = \frac{\sigma(t)}{\varepsilon_0}\vec{e}_x, ce qui est bien vérifié avec une densité surfacique de charge \sigma = 0.

   \boxed{\vec{E}(0^+, t) = \vec{0} = \vec{E}(0^-, t) \quad \forall t}

   Résultat

   $$\vec{E}(0^{+},t)=\vec{0}=\vec{E}(0^{-},t)\forall t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q67

   L'onde réfléchie se propage dans le demi-espace x < 0 selon la direction de l'axe (Ox), dans le sens des x décroissants (vers -x). Sa pulsation temporelle \omega et sa célérité c sont conservées lors de la réflexion, de sorte que sa phase s'écrit sous la forme \omega\left(t + \frac{x}{c}\right).

   De plus, l'énoncé précise que l'onde se réfléchit totalement en opposition de phase au niveau de l'interface plane en x = 0 (ce qui traduit la continuité de la composante tangentielle du champ électrique, nulle à la surface d'un conducteur parfait : \vec{E}_i(0, t) + \vec{E}_r(0, t) = \vec{0}).

   On en déduit :

   \vec{E}_r(0, t) = - \vec{E}_i(0, t) = - E_0 \cos(\omega t) \, \vec{u}_y

   L'onde réfléchie est donc une onde plane progressive se propageant selon les x décroissants, polarisée rectilignement selon \vec{u}_y, d'expression :

   \boxed{\vec{E}_r(x, t) = - E_0 \cos\left(\omega\left(t + \frac{x}{c}\right)\right) \vec{u}_y}

   Résultat

   $${\vec{E}}_r(x,t)=-E_0\cos \left(\omega \left(t+\frac{x}{c}\right)\right){\vec{u}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q68

   D'après le principe de superposition, dans le demi-espace x \le 0, le champ électrique total \vec{E}_{\text{tot}}(x,t) résulte de la somme du champ incident \vec{E}_i(x,t) et du champ réfléchi \vec{E}_r(x,t) déterminé en Q67 :

   \begin{aligned} \vec{E}_{\text{tot}}(x,t) &= \vec{E}_i(x,t) + \vec{E}_r(x,t) \\ &= E_0 \left[ \cos\left(\omega t - \frac{\omega x}{c}\right) - \cos\left(\omega t + \frac{\omega x}{c}\right) \right] \vec{u}_y \end{aligned}

   En appliquant la formule trigonométrique rappelée par l'énoncé, \cos(a-b) - \cos(a+b) = 2\sin a \sin b, en posant :

   a = \omega t \quad \text{et} \quad b = \frac{\omega x}{c} = kx

   on obtient :

   \begin{aligned} \cos\left(\omega t - \frac{\omega x}{c}\right) - \cos\left(\omega t + \frac{\omega x}{c}\right) &= 2 \sin(\omega t) \sin\left(\frac{\omega x}{c}\right) \end{aligned}

   Le champ électrique total s'écrit donc :

   \boxed{\vec{E}_{\text{tot}}(x,t) = 2E_0 \sin\left(\frac{\omega x}{c}\right) \sin(\omega t)\,\vec{u}_y = 2E_0 \sin(kx) \sin(\omega t)\,\vec{u}_y}

   Résultat

   $${\vec{E}}_{\text{tot}}(x,t)=2E_0\sin \left(\frac{\omega x}{c}\right)\sin (\omega t){\vec{u}}_y=2E_0\sin (kx)\sin (\omega t){\vec{u}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q69

   1. Qualification du champ électrique total

   L'expression obtenue en Q68,

   \vec{E}_{\text{tot}}(x,t) = 2 E_0 \sin(kx) \sin(\omega t)\,\vec{u}_y,

   présente une factorisation stricte de la dépendance spatiale et de la dépendance temporelle : il n'y a plus de terme de phase de la forme (\omega t \mp kx). Ce champ décrit donc une onde stationnaire (l'onde ne se propage pas dans l'espace).

   2. Perturbation de la communication aux abords du hangar

   L'amplitude du champ électrique total varie selon la position et s'annule en certains points particuliers appelés les nœuds de champ électrique. Ces nœuds correspondent aux abscisses x_n \le 0 vérifiant :

   \sin(k x_n) = 0 \iff k x_n = - n \pi \quad (n \in \mathbb{N}).

   Sachant que k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, les positions des nœuds sont données par :

   \boxed{x_n = - n\,\frac{\lambda}{2} \quad (n \in \mathbb{N})}.

   En ces points (situés à la paroi x=0, puis à \lambda/2 \approx 0{,}96\text{ m}, à \lambda \approx 1{,}91\text{ m}, etc.) :

   • le champ électrique résultant est rigoureusement nul à tout instant : \vec{E}_{\text{tot}}(x_n, t) = \vec{0} ;
   • une antenne réceptrice (sensible au champ électrique) située en ces positions ou au voisinage immédiat ne reçoit aucun signal radioélectrique (interférence totalement destructive entre l'onde directe et l'onde réfléchie).

   Ce phénomène d'extinction locale du signal (effet de « fading » ou zone d'ombre) perturbe ainsi la communication VHF à proximité de la paroi métallique.

   Résultat

   $$x_n=-n\frac{\lambda }{2}(n\in \mathbb{N})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q56

   Le demi-espace x > L est occupé par un conducteur parfait, dans lequel le champ électromagnétique est nul : \vec{E}(L^+, t) = \vec{0}.

   D'après la relation de passage rappelée en fin d'énoncé, la composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée d'une interface, ce qui impose :

   \vec{E}_t(L^-, t) = \vec{E}_t(L^+, t) = \vec{0}

   Le vecteur normal à la surface séparatrice étant \vec{e}_x, le champ \vec{E}_i(x, t) orienté selon \vec{e}_y est purement tangentiel au plan x = L. La condition aux limites s'écrit donc, pour tout instant t :

   2 E_0 \sin(k L) \sin(\omega t) \vec{e}_y = \vec{0}

   Comme E_0 \neq 0 et que cette relation doit être vérifiée pour tout t, on en déduit :

   \sin(k L) = 0

   Les grandeurs k et L étant strictement positives pour une onde physique non constante, cette équation impose des valeurs discrètes de k :

   k L = n \pi \quad \Longleftrightarrow \quad k_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   D'après la relation de dispersion établie à la question Q52, \omega = k c. La pulsation est donc également quantifiée sous forme de valeurs discrètes :

   \omega_n = k_n c = \frac{n \pi c}{L} \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   Enfin, en introduisant la longueur d'onde \lambda = \frac{2\pi}{k}, la condition k L = n \pi devient :

   \frac{2\pi}{\lambda} L = n \pi

   d'où :

   \boxed{L = n\frac{\lambda}{2}} \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   Résultat

   $$L=n\frac{\lambda }{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question