Feuille d'entraînement : Réflexion, transmission et ondes stationnaires électromagnétiques

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PC 2025, QPhysique-I-Q2

   Dans le demi-espace x < 0, le champ électromagnétique total est la superposition du champ incident et du champ réfléchi :

   \begin{aligned} \vec{E}_{\text{vide}}(x,t) &= \vec{E}_i(x,t) + \vec{E}_r(x,t) \\ \vec{B}_{\text{vide}}(x,t) &= \vec{B}_i(x,t) + \vec{B}_r(x,t) \end{aligned}

   Pour le champ électrique :

   \begin{aligned} \vec{E}_{\text{vide}}(x,t) &= E_0 \left[ \cos(\omega t - kx) - \cos(\omega t + kx) \right] \vec{e}_y \end{aligned}

   En utilisant la formule trigonométrique :

   \cos(a) - \cos(b) = -2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)

   avec a = \omega t - kx et b = \omega t + kx, il vient \frac{a+b}{2} = \omega t et \frac{a-b}{2} = -kx, d'où :

   \begin{aligned} \cos(\omega t - kx) - \cos(\omega t + kx) &= -2\sin(\omega t)\sin(-kx) = 2\sin(kx)\sin(\omega t) \end{aligned}

   Ainsi :

   \boxed{\vec{E}_{\text{vide}}(x,t) = 2E_0 \sin(kx)\sin(\omega t)\,\vec{e}_y}

   Pour le champ magnétique :

   \begin{aligned} \vec{B}_{\text{vide}}(x,t) &= B_0 \left[ \cos(\omega t - kx) + \cos(\omega t + kx) \right] \vec{e}_z \end{aligned}

   En utilisant la formule trigonométrique :

   \cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)

   il vient :

   \begin{aligned} \cos(\omega t - kx) + \cos(\omega t + kx) &= 2\cos(\omega t)\cos(-kx) = 2\cos(kx)\cos(\omega t) \end{aligned}

   Ainsi :

   \boxed{\vec{B}_{\text{vide}}(x,t) = 2B_0 \cos(kx)\cos(\omega t)\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $${\vec{E}}_{\text{vide}}(x,t)=2E_0\sin (kx)\sin (\omega t){\vec{e}}_y$$

   $${\vec{B}}_{\text{vide}}(x,t)=2B_0\cos (kx)\cos (\omega t){\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2022, Q23

   Dans un milieu d'indice de réfraction réel n, la relation de dispersion d'une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation \omega s'écrit :

   k = \frac{\omega}{v_\varphi} = \frac{n\omega}{c}

   La forme générale du facteur de phase d'une onde plane progressive est \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}, où \vec{r} = z\vec{e}_z.

   • Onde incidente : elle se propage dans le verre (indice n_v) dans le sens des z croissants. Son vecteur d'onde s'écrit :

     \vec{k}_i = \frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z

     ce qui correspond bien à la phase (\omega t - k_i z) avec k_i = \frac{n_v \omega}{c}.

   • Onde réfléchie : elle se propage dans le verre (indice n_v) dans le sens des z décroissants, vers les z<0. Son vecteur d'onde s'écrit :

     \vec{k}_r = -\frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z

     On retrouve alors la phase \omega t - \vec{k}_r\cdot\vec{r} = \omega t - (-k_r z) = \omega t + k_r z avec k_r = \frac{n_v \omega}{c}.

   • Onde transmise : elle se propage dans le silicium (indice n_s) dans le sens des z croissants. Son vecteur d'onde s'écrit :

     \vec{k}_t = \frac{n_s \omega}{c}\vec{e}_z

     ce qui correspond bien à la phase (\omega t - k_t z) avec k_t = \frac{n_s \omega}{c}.

   \boxed{\vec{k}_i = \frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z, \quad \vec{k}_r = -\frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z, \quad \vec{k}_t = \frac{n_s \omega}{c}\vec{e}_z}

   Résultat

   $${\vec{k}}_i=\frac{n_v\omega }{c}{\vec{e}}_z,{\vec{k}}_r=-\frac{n_v\omega }{c}{\vec{e}}_z,{\vec{k}}_t=\frac{n_s\omega }{c}{\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2022, Q24

   Dans les deux milieux considérés (verre et silicium), assimilés à des diélectriques parfaits non magnétiques (\mu = \mu_0), l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe :

   \vec{\operatorname{rot}}\,\underline{\vec{E}} = -\frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t} = -\mathrm{i}\omega \underline{\vec{B}}

   Pour une onde plane progressive monochromatique harmonique de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k}, cette relation donne la structure de l'onde :

   \underline{\vec{B}}(z,t) = \frac{\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}(z,t)}{\omega}

   Onde incidente (dans le verre, z < 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_i = \dfrac{n_v \omega}{c}\,\vec{e}_z (d'après la question Q23). On a donc :

   \underline{\vec{B}}_i(z,t) = \frac{\vec{k}_i \wedge \underline{\vec{E}}_i(z,t)}{\omega} = \frac{n_v}{c} \left(\vec{e}_z \wedge \underline{\vec{E}}_{0i}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k_i z)}

   d'où l'amplitude du champ magnétique incident :

   \boxed{\underline{\vec{B}}_{0i} = \frac{n_v}{c} \left(\vec{e}_z \wedge \underline{\vec{E}}_{0i}\right)}

   et l'expression complète :

   \boxed{\underline{\vec{B}}_i(z,t) = \underline{\vec{B}}_{0i} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k_i z)}}

   Onde réfléchie (dans le verre, z < 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_r = -\dfrac{n_v \omega}{c}\,\vec{e}_z. Il vient :

   \underline{\vec{B}}_r(z,t) = \frac{\vec{k}_r \wedge \underline{\vec{E}}_r(z,t)}{\omega} = -\frac{n_v}{c} \left(\vec{e}_z \wedge \underline{\vec{E}}_{0r}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t + k_r z)}

   d'où l'amplitude du champ magnétique réfléchi :

   \boxed{\underline{\vec{B}}_{0r} = -\frac{n_v}{c} \left(\vec{e}_z \wedge \underline{\vec{E}}_{0r}\right)}

   et l'expression complète :

   \boxed{\underline{\vec{B}}_r(z,t) = \underline{\vec{B}}_{0r} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t + k_r z)}}

   Onde transmise (dans le silicium, z > 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_t = \dfrac{n_s \omega}{c}\,\vec{e}_z. Il vient :

   \underline{\vec{B}}_t(z,t) = \frac{\vec{k}_t \wedge \underline{\vec{E}}_t(z,t)}{\omega} = \frac{n_s}{c} \left(\vec{e}_z \wedge \underline{\vec{E}}_{0t}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k_t z)}

   d'où l'amplitude du champ magnétique transmis :

   \boxed{\underline{\vec{B}}_{0t} = \frac{n_s}{c} \left(\vec{e}_z \wedge \underline{\vec{E}}_{0t}\right)}

   et l'expression complète :

   \boxed{\underline{\vec{B}}_t(z,t) = \underline{\vec{B}}_{0t} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k_t z)}}

   Résultat

   $${\underline{\vec{B}}}_{0i}=\frac{n_v}{c}\left({\vec{e}}_z\wedge {\underline{\vec{E}}}_{0i}\right)$$

   $${\underline{\vec{B}}}_i(z,t)={\underline{\vec{B}}}_{0i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-k_{i}z)}$$

   $${\underline{\vec{B}}}_{0r}=-\frac{n_v}{c}\left({\vec{e}}_z\wedge {\underline{\vec{E}}}_{0r}\right)$$

   $${\underline{\vec{B}}}_r(z,t)={\underline{\vec{B}}}_{0r}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t+k_{r}z)}$$

   $${\underline{\vec{B}}}_{0t}=\frac{n_s}{c}\left({\vec{e}}_z\wedge {\underline{\vec{E}}}_{0t}\right)$$

   $${\underline{\vec{B}}}_t(z,t)={\underline{\vec{B}}}_{0t}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-k_{t}z)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 1 PC 2022, Q25

   L'onde étant sous incidence normale avec une direction de propagation selon \vec{e}_z, les champs électriques et magnétiques sont purement transverses, donc entièrement contenus dans le plan de l'interface z = 0 : toutes leurs composantes sont tangentielles.

   Sans perte de généralité, fixons la polarisation rectiligne du champ électrique incident selon \vec{u}_x :

   \vec{E}_{0i} = E_{0i}\,\vec{u}_x, \quad \vec{E}_{0r} = E_{0r}\,\vec{u}_x, \quad \vec{E}_{0t} = E_{0t}\,\vec{u}_x

   D'après les résultats de la question Q24, les amplitudes des champs magnétiques associés s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{B}_{0i} &= \frac{n_v}{c} E_{0i}\,\vec{u}_y \\ \vec{B}_{0r} &= -\frac{n_v}{c} E_{0r}\,\vec{u}_y \\ \vec{B}_{0t} &= \frac{n_s}{c} E_{0t}\,\vec{u}_y \end{aligned}

   D'après l'énoncé, les composantes tangentielles des champs électrique et magnétique sont continues en z = 0 à chaque instant :

   1. Continuité du champ électrique tangentiel en z = 0 :

      E_{0i} + E_{0r} = E_{0t} \tag{1}

   2. Continuité du champ magnétique tangentiel en z = 0 :

      \frac{n_v}{c} (E_{0i} - E_{0r}) = \frac{n_s}{c} E_{0t} \iff n_v(E_{0i} - E_{0r}) = n_s E_{0t} \tag{2}

   En injectant la relation (1) dans la relation (2), il vient :

   \begin{aligned} n_v(E_{0i} - E_{0r}) &= n_s(E_{0i} + E_{0r}) \\ (n_v + n_s)E_{0r} &= (n_v - n_s)E_{0i} \end{aligned}

   Le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique r = \frac{E_{0r}}{E_{0i}} est donc :

   r = \frac{n_v - n_s}{n_v + n_s}

   En identifiant avec la notation générale de l'énoncé r_{12} = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} pour les milieux 1 = v (verre) et 2 = s (silicium), on obtient :

   \boxed{r = r_{vs}}

   soit sous forme vectorielle : \vec{E}_{0r} = r_{vs} \vec{E}_{0i}.

   Résultat

   $$r=r_{vs}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q6

   D'après le résultat de la question Q5, le champ électrique vérifie dans le vide :

   \Delta E - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0

   avec, pour un champ ne dépendant que de r et t :

   \Delta E = \frac{\partial^2 E}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial E}{\partial r}

   Injectons la forme d'onde stationnaire proposée, E(r,t) = E_0\,\xi(t)\,\psi(r), où E_0 \neq 0 :

   \Delta E = E_0\,\xi(t)\left(\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}r^2} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}r}\right) \quad\text{et}\quad \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = E_0\,\psi(r)\,\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2}

   En reportant ces dérivées dans l'équation de propagation :

   E_0\,\xi(t)\left(\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}r^2} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}r}\right) - \frac{E_0\,\psi(r)}{c^2}\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2} = 0

   Pour des fonctions non identiquement nulles, divisons par E_0\,\xi(t)\,\psi(r) :

   \frac{1}{\psi(r)}\left(\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}r^2} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}r}\right) = \frac{1}{c^2\,\xi(t)}\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2}

   Le membre de gauche est une fonction exclusive de la variable spatiale r, tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de la variable temporelle t. Ces deux variables étant indépendantes, cette égalité impose que chaque membre soit égal à une même constante.

   En notant A la constante définie par \frac{1}{\xi(t)}\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2} = A, on obtient immédiatement l'équation différentielle temporelle :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2} - A\xi = 0}

   Le membre de gauche s'écrit alors :

   \frac{1}{\psi(r)}\left(\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}r^2} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}r}\right) = \frac{A}{c^2}

   ce qui conduit à l'équation différentielle spatiale :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}r^2} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}r} - \frac{A}{c^2}\psi = 0}

   Signe de la constante A : Une onde stationnaire dans une cavité résonnante correspond à un régime entretenu où les grandeurs physiques oscillent périodiquement dans le temps et restent bornées :

   • Si A > 0, l'équation temporelle admet pour solution générale \xi(t) = C_1\mathrm{e}^{\sqrt{A}t} + C_2\mathrm{e}^{-\sqrt{A}t}, qui diverge pour t \to +\infty (sauf condition initiale triviale), ce qui est physiquement inacceptable pour un mode propre résonnant.
   • Si A = 0, la solution est affine \xi(t) = C_1 t + C_2, ce qui correspond à une divergence ou à un état statique, exclu pour une onde.
   • Si A < 0, la solution est purement oscillatoire \xi(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t) avec \omega = \sqrt{-A} > 0, décrivant un mode d'oscillation stable et borné à la pulsation \omega.

   Par conséquent, la constante A est strictement négative.

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\xi }{\mathrm{d}{t}^2}-A\xi =0$$

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}r}-\frac{A}{c^2}\psi =0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q7

   Le champ électrique s'écrit sous la forme séparée :

   E(r,t) = E_0\,\xi(t)\,\psi(r) = -E_0\sin(\omega t)\,J_0(kr)

   La condition aux limites en r = R impose la présence d'un nœud pour le champ électrique pour tout instant t :

   E(R,t) = 0 \quad \forall t \implies \psi(R) = 0 \iff J_0(kR) = 0

   Le produit kR doit donc être une racine strictement positive de la fonction de Bessel J_0. Notons x_{0n} ces zéros classés par ordre strictement croissant :

   0 < x_{01} < x_{02} < x_{03} < \dots

   Le vecteur d'onde k ne peut ainsi prendre que des valeurs discrètes k_n vérifiant :

   k_n R = x_{0n} \iff k_n = \frac{x_{0n}}{R}

   Puisque dans le vide la relation de dispersion s'écrit k = \dfrac{\omega}{c}, les pulsations propres discrètes associées sont données par :

   \omega_n = c\,k_n = \frac{c\,x_{0n}}{R}

   Les trois plus petites pulsations propres sont donc :

   \boxed{\omega_1 = \frac{c\,x_{01}}{R}, \qquad \omega_2 = \frac{c\,x_{02}}{R}, \qquad \omega_3 = \frac{c\,x_{03}}{R}}

   Résultat

   $${\omega }_1=\frac{c{x}_{01}}{R},{\omega }_2=\frac{c{x}_{02}}{R},{\omega }_3=\frac{c{x}_{03}}{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q8

   D'après l'expression de la plus petite pulsation propre obtenue à la question Q7 :

   \omega_1 = \frac{c\,x_{01}}{R}

   On en déduit l'expression du rayon intérieur de la cavité :

   R = \frac{c\,x_{01}}{\omega_1}

   Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

   • c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
   • x_{01} = 2{,}405 (donné dans le formulaire) ;
   • \omega_1 = 2\pi \times 1{,}3 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

   Le calcul numérique donne :

   R = \frac{3{,}00 \times 10^8 \times 2{,}405}{2\pi \times 1{,}3 \times 10^9} \approx 8{,}83 \times 10^{-2}\text{ m}

   \boxed{R \approx 8{,}8\text{ cm}}

   Résultat

   $$R\approx 8,8\text{ cm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie PC 2025, QPhysique-I-Q5

   D'après la question Q4, la force élémentaire s'exerçant sur un élément de volume \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z du conducteur s'écrit :

   \mathrm{d}^2\vec{F}_L = -\frac{1}{2\mu_0} \frac{\partial (B_t^2)}{\partial x} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x

   La force totale \mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} qui s'exerce sur le pavé de section droite \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z s'étendant de x = 0 à x \to +\infty s'obtient par sommation sur x :

   \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} &= \left( \int_{x=0}^{+\infty} -\frac{1}{2\mu_0} \frac{\partial \left(B_t^2(x,t)\right)}{\partial x} \,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x \\ &= -\frac{1}{2\mu_0} \left[ B_t^2(x,t) \right]_{x=0}^{x\to+\infty} \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x \end{aligned}

   En utilisant les conditions aux limites fournies par l'énoncé :

   B_t(0,t) = 2B_0\cos(\omega t) \quad \text{et} \quad \lim_{x\to+\infty} B_t(x,t) = 0

   il vient :

   \left[ B_t^2(x,t) \right]_{0}^{+\infty} = 0 - \left(2B_0\cos(\omega t)\right)^2 = -4 B_0^2 \cos^2(\omega t)

   On en déduit l'expression de la force instantanée :

   \mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} = -\frac{1}{2\mu_0} \left(-4 B_0^2 \cos^2(\omega t)\right) \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x

   \boxed{\mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} = 2\frac{B_0^2}{\mu_0}\cos^2(\omega t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x}

   Calculons à présent la moyenne temporelle de cette force. La valeur moyenne sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} de \cos^2(\omega t) vaut :

   \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T \frac{1+\cos(2\omega t)}{2}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}

   On obtient ainsi :

   \boxed{\langle \mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} \rangle = \frac{B_0^2}{\mu_0}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x}

   Résultat

   $$\mathrm{d}{\vec{F}}_{\text{paveˊ}}=2\frac{B_0^2}{{\mu }_0}{\cos }^2(\omega t)\mathrm{d}y\mathrm{d}z{\vec{e}}_x$$

   $$⟨\mathrm{d}{\vec{F}}_{\text{paveˊ}}⟩=\frac{B_0^2}{{\mu }_0}\mathrm{d}y\mathrm{d}z{\vec{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie PC 2025, QPhysique-I-Q6

   D'après l'énoncé, la force moyenne exercée sur un élément de surface \mathrm{d}S = \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z de la paroi s'écrit :

   \langle \mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} \rangle = p_{\text{rad}}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x

   Or, d'après le résultat obtenu à la question Q5, la valeur moyenne temporelle de cette force vaut :

   \langle \mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} \rangle = \frac{B_0^2}{\mu_0}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x

   Par identification directe des deux expressions, on en déduit l'expression de la pression de radiation :

   \boxed{p_{\text{rad}} = \frac{B_0^2}{\mu_0}}

   En utilisant la relation E_0 = c B_0 (question Q1) ainsi que l'expression de la vitesse de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, cette pression peut également s'écrire sous la forme équivalente :

   p_{\text{rad}} = \varepsilon_0 E_0^2

   Résultat

   $$p_{\text{rad}}=\frac{B_0^2}{{\mu }_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Polytechnique Physique A PC 2025, Q12

    Considérons une onde lumineuse sous incidence normale à l'interface séparant deux milieux diélectriques transparents d'indices n_1 et n_2. Pour le champ électrique, les coefficients de Fresnel en amplitude s'écrivent :

    r_{12} = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \quad \text{et} \quad t_{12} = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}

    Pour une onde incidente provenant du second milieu vers le premier, les rôles de n_1 et n_2 sont permutés :

    r_{21} = \frac{n_2 - n_1}{n_1 + n_2} \quad \text{et} \quad t_{21} = \frac{2n_2}{n_1 + n_2}

    Vérifions les deux relations de Stokes établies à la question Q11 :

    • Pour les coefficients de réflexion :

      r_{21} = \frac{n_2 - n_1}{n_1 + n_2} = - \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} = -r_{12}

    • Pour les coefficients de transmission :

      \begin{aligned} t_{12} \, t_{21} &= \left(\frac{2n_1}{n_1 + n_2}\right) \left(\frac{2n_2}{n_1 + n_2}\right) = \frac{4n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} \\ 1 - r_{12}^2 &= 1 - \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 = \frac{(n_1 + n_2)^2 - (n_1 - n_2)^2}{(n_1 + n_2)^2} = \frac{4n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} \end{aligned}

      On a donc bien t_{12} \, t_{21} = 1 - r_{12}^2, ce qui équivaut à t_{21} = \frac{1 - r_{12}^2}{t_{12}}.

    \boxed{\text{Ces relations sont parfaitement vérifiées dans le cas d'une onde optique.}}

    Résultat

    $$\text{Ces relations sont parfaitement veˊrifieˊes dans le cas d’une onde optique.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question