Feuille d'entraînement : Réflexion, transmission et ondes stationnaires électromagnétiques

10 questions · filière MP · durée estimée environ 1 h

Énoncés

Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q18· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
En exploitant les conditions aux limites imposées au champ électrique au niveau des miroirs $M_{1}$ ( $x = 0$ ) et $M_{2}$ ( $x = L$ ), déterminer deux relations entre $\underline{E}_{0 +}$ , $\underline{E}_{0 -}$ , $k$ et $L$ . Les relations de passage du champ électrique sont rappelées dans le formulaire en fin d'énoncé.
Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q19· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Montrer que les fréquences des modes de la cavité s'écrivent sous la forme $ν_{m} = m \times FSR_{ν}$ où $m$ est un entier naturel non nul et $FSR_{ν} = \frac{c}{2 L}$ .
Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2026, Q14· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
On admet la continuité de $E (x, t)$ en $x = 0$ et en $x = L$ . Résoudre cette équation différentielle, puis exprimer les fréquences propres $ν_{n}$ des modes pouvant exister dans la cavité, quantifiées par un entier $n$ , en fonction de la longueur $L$ de la cavité et de $c$ . Déterminer ensuite l'Intervalle Spectral Libre, défini comme l'écart en fréquence entre deux modes voisins :
$ISL = ν_{n + 1} - ν_{n} . (3)$
Exercice 4X-ENS Physique MP 2024, Q9· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
Donner l'équation à laquelle obéit le champ électromagnétique entre les deux parois. En déduire une équation différentielle vérifiée par $E_{0} (x)$ . On note $k = \frac{ω}{c}$ la norme du vecteur d'onde.
Exercice 5X-ENS Physique MP 2024, Q10· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
En précisant les conditions aux limites en $x = 0$ et $x = L$ sur $E_{0}$ et en expliquant leur origine, déterminer l'expression de $E_{0} (x)$ . Montrer que les conditions aux limites conduisent à une quantification de la pulsation et déterminer l'expression de cette pulsation $ω_{n}$ , $n \in N^{*}$ .
Exercice 6X-ENS Physique MP 2024, Q12· Exigeant· Incontournable· ≈ 8 min
Exprimer le nombre de modes $N (ω)$ pour lesquels la pulsation est inférieure à $ω$ fixée.
Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2023, Q5· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Le champ électrique de l'onde décrite par l'équation (I.1) vérifie-t-il la relation de passage (I.2) ? Dans le demi-espace $x < 0$ , règne aussi une onde de la forme $E_{r} (M, t) = E_{0 r} cos (ω^{'} t + k^{'} x)$ . En utilisant les relations de passage, déterminer $E_{0 r}$ , $ω^{'}$ et $k^{'}$ . Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde ainsi que son état de polarisation.
Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2023, Q6· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Dans le milieu $x < 0$ , établir l'expression des champs électrique $E (M, t)$ et magnétique $B (M, t)$ résultants. Comment qualifier l'onde correspondante ?
Exercice 9X-ENS Physique-SI MP 2023, Q3· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 10 min
Nous allons d'abord étudier la cavité optique la plus simple qu'on puisse imaginer : cette cavité est formée de deux miroirs plans parallèles, et parfaitement réfléchissants, séparés par du vide. C'est donc une cavité linéaire (voir figure 1-a), d'axe $O z$ , de longueur développée $L$ (ce qui signifie que la distance entre les deux miroirs est $L /2$ ) et ses miroirs peuvent être considérés comme des plans conducteurs parfaits.
3-a) Etablir que les ondes électromagnétiques qui peuvent exister dans cette cavité sont quantifiées, et exprimer leurs fréquences $ν_{N}$ en fonction de $L$ et $N$ .
3-b) Décrire la dépendance spatiale du champ électrique $E (z, t)$ ou de sa représentation complexe $\underline{E} (z, t)$ oscillant dans cette cavité à la fréquence $ν_{N}$ . Montrer que l'amplitude complexe $E (z)$ du mode $N$ peut toujours être choisie réelle, et tracer l'allure des représentations graphiques de $E (z)$ pour les trois premiers modes de la cavité.
Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2021, Q11· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
On admet que la relation de continuité du champ électrique sur (P') s'écrit, pour tout $t \geq 0$ :
$\underline{E}_{i}^{'} (x = V t, t) + \underline{E}_{r}^{'} (x = V t, t) = 0 .$
a) En déduire le rapport des fréquences $f_{2} / f_{1}$ .
b) Exprimer l'écart de fréquence $Δ f = f_{2} - f_{1}$ en fonction de $f_{1}$ et du rapport $V / c$ .
c) Donner $Δ f$ à l'ordre 1 en $V / c$ .

Corrigés

Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q18
Dans la cavité (0 \leqslant x \leqslant L), le champ électrique total s'écrit par superposition linéaire :
\vec{\underline{E}}(x, t) = \vec{\underline{E}}_+(x, t) + \vec{\underline{E}}_-(x, t) = \left( \underline{E}_{0+} \mathrm{e}^{-j k x} + \underline{E}_{0-} \mathrm{e}^{j k x} \right) \mathrm{e}^{j \omega t} \, \vec{u}_y
D'après le formulaire, la relation de passage du champ électrique à l'interface entre deux milieux s'écrit :
\vec{E}_2 - \vec{E}_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \, \vec{n}_{12}
où \vec{n}_{12} est un vecteur unitaire normal à la surface (ici selon \pm \vec{u}_x). En projetant cette relation sur le plan tangentiel aux miroirs (porté par \vec{u}_y et \vec{u}_z), il vient la continuité de la composante tangentielle du champ électrique :
\vec{E}_{\mathrm{tangentiel}}(M_2, t) = \vec{E}_{\mathrm{tangentiel}}(M_1, t)
Le champ électromagnétique étant nul à l'extérieur de la cavité (x < 0 et x > L), et le champ électrique étant purement transverse (porté par \vec{u}_y, qui est tangent aux plans des miroirs), le champ électrique doit s'annuler en x = 0 et en x = L, pour tout instant t :
- En x = 0 (miroir M_1) :
  \begin{aligned} \vec{\underline{E}}(0, t) = \vec{0} \quad &\implies \quad \left( \underline{E}_{0+} + \underline{E}_{0-} \right) \mathrm{e}^{j \omega t} = 0 \\ &\implies \quad \underline{E}_{0+} + \underline{E}_{0-} = 0 \end{aligned}
- En x = L (miroir M_2) :
  \begin{aligned} \vec{\underline{E}}(L, t) = \vec{0} \quad &\implies \quad \left( \underline{E}_{0+} \mathrm{e}^{-j k L} + \underline{E}_{0-} \mathrm{e}^{j k L} \right) \mathrm{e}^{j \omega t} = 0 \\ &\implies \quad \underline{E}_{0+} \mathrm{e}^{-j k L} + \underline{E}_{0-} \mathrm{e}^{j k L} = 0 \end{aligned}
Les deux relations reliant \underline{E}_{0+}, \underline{E}_{0-}, k et L sont donc :
\boxed{\underline{E}_{0-} = -\underline{E}_{0+}} \quad \text{et} \quad \boxed{\underline{E}_{0+} \mathrm{e}^{-j k L} + \underline{E}_{0-} \mathrm{e}^{j k L} = 0}
En combinant ces deux relations (pour une onde non identiquement nulle, c'est-à-dire \underline{E}_{0+} \neq 0), la seconde condition s'écrit de façon équivalente sous la forme :
\boxed{\sin(k L) = 0}
Résultat
$\underline{E}_{0 -} = - \underline{E}_{0 +}$ $\underline{E}_{0 +} e^{- j k L} + \underline{E}_{0 -} e^{j k L} = 0$ $sin (k L) = 0$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q19
D'après la question Q18, le champ électrique total dans la cavité s'annule aux deux miroirs plans conducteurs parfaits situés en x=0 et x=L. La condition en x=L s'écrit :
-2\mathrm{j} \underline{E}_{0+} \sin(kL) = 0.
Pour obtenir une solution non triviale (champ non identiquement nul, soit \underline{E}_{0+} \neq 0), la norme du vecteur d'onde doit vérifier :
\sin(kL) = 0 \iff kL = m\pi \quad \text{avec } m \in \mathbb{Z}.
Comme l'onde se propage et que la pulsation \omega est strictement positive, la norme k est strictement positive, ce qui restreint les valeurs possibles à :
k_m = \frac{m\pi}{L}, \quad m \in \mathbb{N}^*.
D'après la relation de dispersion établie à la question Q17, \omega = ck, et en utilisant la relation entre pulsation et fréquence \omega = 2\pi\nu, il vient :
k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi\nu}{c}.
En injectant cette relation dans la condition de quantification, on obtient :
\begin{aligned} \frac{2\pi\nu_m}{c} L &= m\pi \\ \nu_m &= m \frac{c}{2L}. \end{aligned}
En posant \mathrm{FSR}_{\nu} = \dfrac{c}{2L}, les fréquences permises des modes de la cavité s'écrivent bien sous la forme :
\boxed{\nu_m = m \times \mathrm{FSR}_{\nu} \quad \text{avec} \quad \mathrm{FSR}_{\nu} = \frac{c}{2L} \quad \text{et} \quad m \in \mathbb{N}^*.}
Résultat
$ν_{m} = m \times FSR_{ν} avec FSR_{ν} = \frac{c}{2 L} et m \in N^{*} .$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2026, Q14
D'après la question Q13, la fonction f(x) vérifie :
\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} + k^2 f(x) = 0 \quad \text{avec} \quad k = \frac{\omega}{c}
La solution générale de cette équation différentielle harmonique s'écrit :
f(x) = A \cos(kx) + B \sin(kx) \quad (A, B \in \mathbb{R})
Le champ électrique étant nul dans les conducteurs parfaits (Q12), la continuité de E(x, t) = f(x)\sin(\omega t) aux interfaces impose, pour tout instant t :
\begin{aligned} E(0, t) = 0 &\implies f(0) = 0 \implies A = 0 \\ E(L, t) = 0 &\implies f(L) = 0 \implies B \sin(kL) = 0 \end{aligned}
Pour obtenir une onde non identiquement nulle (B \neq 0), la pulsation \omega doit vérifier la condition de quantification :
k_n L = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^*)
Or k_n = \frac{\omega_n}{c} = \frac{2\pi \nu_n}{c}, d'où l'expression des fréquences propres des modes de la cavité :
\boxed{\nu_n = n \frac{c}{2L} \quad (n \in \mathbb{N}^*)}
On en déduit l'expression de l'Intervalle Spectral Libre (ISL) :
\mathrm{ISL} = \nu_{n+1} - \nu_n = (n+1)\frac{c}{2L} - n\frac{c}{2L}
\boxed{\mathrm{ISL} = \frac{c}{2L}}
Résultat
$ν_{n} = n \frac{c}{2 L} (n \in N^{*})$ $ISL = \frac{c}{2 L}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4X-ENS Physique MP 2024, Q9
L'espace situé entre les parois est le vide, dépourvu de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}). Les équations de Maxwell s'écrivent :
\begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E} &= 0, & \mathrm{div}\,\vec{B} &= 0, \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, & \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} &= \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}, \end{aligned}
avec c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}. En prenant le rotationnel de la loi de Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta\vec{E}, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert :
\boxed{\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}
Le champ électrique s'écrit sous forme harmonique monochromatique :
\vec{E}(M, t) = E_0(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_y.
Calculons les opérateurs intervenant dans l'équation de propagation :
\begin{aligned} \Delta \vec{E} &= \frac{\mathrm{d}^2 E_0}{\mathrm{d}x^2}(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_y, \\ \frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} &= -\omega^2 E_0(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_y. \end{aligned}
En injectant ces expressions dans l'équation de d'Alembert et en simplifiant par le terme temporel non nul \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_y, il vient :
\frac{\mathrm{d}^2 E_0}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{\omega^2}{c^2} E_0(x) = 0.
En introduisant k = \frac{\omega}{c}, on obtient l'équation différentielle vérifiée par E_0(x) :
\boxed{\frac{\mathrm{d}^2 E_0}{\mathrm{d}x^2}(x) + k^2 E_0(x) = 0}
Résultat
$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0$ $\frac{d ^{2} E _{0}}{d x ^{2}} (x) + k^{2} E_{0} (x) = 0$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5X-ENS Physique MP 2024, Q10
Les parois situées en x = 0 et x = L sont constituées d'un métal parfait (\gamma \to +\infty), au sein duquel le champ électrique est rigoureusement nul : \vec{E}_{\text{métal}} = \vec{0}.
D'après la relation de passage fournie :
\vec{E}_2 - \vec{E}_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec{n}_{1\to 2}
Le vecteur normal aux parois est orienté selon \vec{e}_x, ce qui implique que la composante tangentielle du champ électrique est continue à travers chaque interface :
\vec{E}_{\text{tangentiel}}(x = 0^+) = \vec{E}_{\text{tangentiel}}(x = 0^-) = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{E}_{\text{tangentiel}}(x = L^-) = \vec{E}_{\text{tangentiel}}(x = L^+) = \vec{0}
Le champ électrique étant purement polarisé selon \vec{e}_y, direction parallèle aux parois, il est entièrement tangentiel. Par conséquent, les conditions aux limites sur E_0(x) s'écrivent :
E_0(0) = 0 \quad \text{et} \quad E_0(L) = 0
D'après la question 9, l'amplitude spatiale E_0(x) vérifie :
\frac{\mathrm{d}^2 E_0}{\mathrm{d}x^2}(x) + k^2 E_0(x) = 0
La solution générale est de la forme :
E_0(x) = A\cos(kx) + B\sin(kx) \quad (A, B \in \mathbb{C})
L'application de la première condition aux limites donne :
E_0(0) = A = 0 \implies E_0(x) = B\sin(kx)
La seconde condition aux limites impose alors :
E_0(L) = B\sin(kL) = 0
Pour obtenir une solution non triviale (B \neq 0), l'argument du sinus doit être un multiple entier de \pi :
kL = n\pi \quad \text{avec} \quad n \in \mathbb{Z}
Par convention, la pulsation \omega et la norme du vecteur d'onde k = \omega/c sont strictement positives, ce qui restreint les valeurs permises à n \in \mathbb{N}^*. Le vecteur d'onde est donc quantifié :
k_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n \in \mathbb{N}^*)
La pulsation est ainsi quantifiée selon :
\boxed{\omega_n = c k_n = \frac{n\pi c}{L} \quad (n \in \mathbb{N}^*)}
L'amplitude spatiale associée au mode n s'écrit alors, à une constante multiplicative près notée E_{0n} :
\boxed{E_0(x) = E_{0n}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}
Résultat
$ω_{n} = c k_{n} = \frac{nπ c}{L} (n \in N^{*})$ $E_{0} (x) = E_{0 n} sin (\frac{nπ x}{L})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6X-ENS Physique MP 2024, Q12
D'après l'énoncé, la pulsation propre associée au triplet (n_x, n_y, n_z) \in (\mathbb{N}^*)^3 s'écrit :
\omega_{n_x, n_y, n_z} = \frac{\pi c}{L} \left(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right)^{1/2} = c \|\vec{k}_{n_x, n_y, n_z}\|.
La condition \omega_{n_x, n_y, n_z} \le \omega équivaut à :
\|\vec{k}\| \le k = \frac{\omega}{c}.
Dans l'espace des vecteurs d'onde (k_x, k_y, k_z), les états correspondent aux nœuds d'un réseau cubique de pas \pi/L. Le volume élémentaire associé à chaque nœud est :
\delta V_k = \left(\frac{\pi}{L}\right)^3.
Comme les entiers n_x, n_y et n_z sont strictement positifs, les vecteurs d'onde admissibles se situent exclusivement dans le premier octant (k_x > 0, k_y > 0, k_z > 0). Dans la limite des hautes fréquences (où le nombre d'états est grand), le nombre de nœuds correspond au rapport entre le volume du premier octant de la sphère de rayon k et le volume élémentaire \delta V_k :
\mathcal{N}_{\text{nœuds}}(\omega) \simeq \frac{\frac{1}{8} \left(\frac{4}{3}\pi k^3\right)}{\delta V_k} = \frac{\frac{\pi}{6} \left(\frac{\omega}{c}\right)^3}{\left(\frac{\pi}{L}\right)^3} = \frac{L^3 \omega^3}{6 \pi^2 c^3} = \frac{V \omega^3}{6 \pi^2 c^3},
où V = L^3 est le volume de la cavité cubique.
Chaque nœud représentant deux modes de polarisations rectilignes indépendantes, le nombre total de modes \mathcal{N}(\omega) dont la pulsation est inférieure à \omega s'obtient en multipliant par 2 :
\mathcal{N}(\omega) = 2 \times \mathcal{N}_{\text{nœuds}}(\omega).
\boxed{\mathcal{N}(\omega) = \frac{V \omega^3}{3\pi^2 c^3}}
Résultat
$N (ω) = \frac{V ω ^{3}}{3 π ^{2} c ^{3}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2023, Q5
1. Vérification de la relation de passage pour l'onde incidente seule
Le milieu 1 correspond au demi-espace x < 0 (vide) et le milieu 2 au conducteur parfait occupant x > 0. Le vecteur unitaire normal sortant du milieu 1 vers le milieu 2 est \vec{n}_{1\to 2} = \vec{u}_x.
D'après la question Q4, le champ électrique est nul dans le conducteur parfait : \vec{E}_2(M, t) = \vec{0}. La relation de passage (I.2) s'écrit alors en x = 0 :
-\vec{E}_1(0, t) = \frac{\sigma(0, t)}{\varepsilon_0}\vec{u}_x
Le membre de droite étant purement normal à l'interface, la composante tangentielle du champ électrique doit être nulle en x = 0 :
\vec{E}_{1,\mathrm{tang}}(0, t) = \vec{0}
Or, pour l'onde incidente seule :
\vec{E}_{i}(0, t) = E_0 \cos(\omega t) \vec{u}_y
Cette composante est entièrement tangentielle et non identiquement nulle à tout instant t. L'onde incidente seule ne vérifie donc pas la relation de passage (I.2).
2. Détermination de \vec{E}_{0r}, \omega' et k'
En présence d'une onde réfléchie \vec{E}_r(M, t) = \vec{E}_{0r}\cos(\omega' t + k' x), le champ électrique total dans le milieu 1 est \vec{E}_1(x, t) = \vec{E}_i(x, t) + \vec{E}_r(x, t).
En x = 0, la condition aux limites impose :
\vec{E}_1(0, t) = \vec{E}_i(0, t) + \vec{E}_r(0, t) = E_0\cos(\omega t)\vec{u}_y + \vec{E}_{0r}\cos(\omega' t) = \vec{0}
car le champ incident n'ayant pas de composante normale, il n'y a pas de charges surfaciques induites (\sigma = 0).
Pour que cette égalité soit vérifiée pour tout t, il faut nécessairement :
\omega' = \omega \quad \text{et} \quad \vec{E}_{0r} = -E_0\vec{u}_y
L'onde réfléchie se propageant dans le vide (x < 0), elle vérifie l'équation de d'Alembert établie en Q2, ce qui impose la relation de dispersion (Q3) k' = \omega'/c, d'où :
k' = k = \frac{\omega}{c}
\boxed{\vec{E}_{0r} = -E_0 \vec{u}_y, \quad \omega' = \omega, \quad k' = k}
3. Propagation et polarisation de l'onde réfléchie
Le champ électrique de l'onde réfléchie s'écrit :
\vec{E}_r(x, t) = -E_0 \cos(\omega t + k x)\vec{u}_y = E_0 \cos(\omega t + k x + \pi)\vec{u}_y
- La phase s'écrit sous la forme \omega(t + x/c) : l'onde se propage selon la direction de l'axe (Ox), dans le sens des x décroissants (sens de -\vec{u}_x).
- Le champ électrique reste colinéaire au vecteur unitaire \vec{u}_y : l'onde possède un état de polarisation rectiligne selon l'axe (Oy).
Résultat
$E_{0 r} = - E_{0} u_{y}, ω^{'} = ω, k^{'} = k$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2023, Q6
D'après les questions Q3 et Q5, le champ électrique total dans le demi-espace x < 0 s'écrit comme la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :
\vec{E}(x, t) = \vec{E}_i(x, t) + \vec{E}_r(x, t) = E_0 \left[ \cos(\omega t - kx) - \cos(\omega t + kx) \right] \vec{u}_y
En utilisant l'identité trigonométrique \cos(a - b) - \cos(a + b) = 2 \sin a \sin b, il vient directement :
\boxed{\vec{E}(x, t) = 2 E_0 \sin(kx) \sin(\omega t) \, \vec{u}_y}
Pour le champ magnétique, chaque onde plane progressive harmonique vérifie la relation de structure dans le vide \vec{B} = \frac{1}{c} \vec{u} \wedge \vec{E}, où \vec{u} est le vecteur unitaire de propagation :
- Pour l'onde incidente se propageant selon +\vec{u}_x :
  \vec{B}_i(x, t) = \frac{1}{c}\vec{u}_x \wedge \vec{E}_i(x, t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kx) \, \vec{u}_z
- Pour l'onde réfléchie se propageant selon -\vec{u}_x :
  \vec{B}_r(x, t) = \frac{1}{c}(-\vec{u}_x) \wedge \vec{E}_r(x, t) = \frac{1}{c}(-\vec{u}_x) \wedge \left[-E_0 \cos(\omega t + kx)\vec{u}_y\right] = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t + kx) \, \vec{u}_z
Par superposition :
\vec{B}(x, t) = \vec{B}_i(x, t) + \vec{B}_r(x, t) = \frac{E_0}{c} \left[ \cos(\omega t - kx) + \cos(\omega t + kx) \right] \vec{u}_z
L'identité \cos(a - b) + \cos(a + b) = 2 \cos a \cos b conduit à :
\boxed{\vec{B}(x, t) = \frac{2E_0}{c} \cos(kx) \cos(\omega t) \, \vec{u}_z}
Les variables spatiale x et temporelle t sont découplées sous la forme d'un produit f(x)g(t) : il s'agit d'une onde stationnaire (purement stationnaire du fait de la réflexion totale).
Résultat
$E (x, t) = 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) u_{y}$ $B (x, t) = \frac{2 E _{0}}{c} cos (k x) cos (ω t) u_{z}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9X-ENS Physique-SI MP 2023, Q3
3-a) Quantification des fréquences résonnantes La cavité s'étend entre les miroirs plans situés en z = 0 et z = L/2. Le champ électrique est polarisé selon \vec{u}_x, direction orthogonale à la normale aux miroirs (\vec{u}_z) : il est donc entièrement tangentiel aux interfaces.
Les miroirs étant modélisés comme des conducteurs parfaits, la composante tangentielle du champ électrique total s'y annule :
\mathcal{E}(0) = 0 \quad \text{et} \quad \mathcal{E}\left(\frac{L}{2}\right) = 0
Dans le vide séparant les deux miroirs, l'onde à la pulsation \omega = 2\pi\nu = kc est la superposition d'une onde progressive dans le sens +z et d'une onde régressive dans le sens -z :
\mathcal{E}(z) = \mathcal{E}_+ \mathrm{e}^{+\mathrm{i}kz} + \mathcal{E}_- \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kz}
La condition en z = 0 impose :
\mathcal{E}(0) = \mathcal{E}_+ + \mathcal{E}_- = 0 \implies \mathcal{E}_- = -\mathcal{E}_+
Le champ spatial s'écrit donc :
\mathcal{E}(z) = \mathcal{E}_+ \left(\mathrm{e}^{+\mathrm{i}kz} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kz}\right) = 2\mathrm{i}\mathcal{E}_+ \sin(kz)
La seconde condition aux limites en z = L/2 donne :
\mathcal{E}\left(\frac{L}{2}\right) = 2\mathrm{i}\mathcal{E}_+ \sin\left(\frac{kL}{2}\right) = 0
Pour obtenir une solution non identiquement nulle (\mathcal{E}_+ \neq 0), l'argument du sinus doit être un multiple entier de \pi :
\frac{k_N L}{2} = N\pi, \quad N \in \mathbb{N}^*
Comme k_N = \frac{2\pi\nu_N}{c}, on en déduit :
\frac{2\pi\nu_N}{c}\frac{L}{2} = N\pi \implies \frac{\nu_N L}{c} = N
Les ondes électromagnétiques stationnaires permises sont donc quantifiées, avec des fréquences propres :
\boxed{\nu_N = N \frac{c}{L}}
3-b) Dépendance spatiale et tracés des modes Pour le mode d'ordre N, l'amplitude complexe spatiale s'écrit :
\mathcal{E}(z) = 2\mathrm{i}\mathcal{E}_+ \sin\left(\frac{2\pi N z}{L}\right)
En choisissant l'amplitude \mathcal{E}_+ sous la forme \mathcal{E}_+ = -\frac{\mathrm{i}}{2}E_N où E_N \in \mathbb{R}, l'amplitude complexe devient purement réelle :
\boxed{\mathcal{E}(z) = E_N \sin\left(\frac{2\pi N z}{L}\right)}
Le champ réel associé s'écrit alors :
E(z,t) = \operatorname{Re}\left(\mathcal{E}(z)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_N t}\right) = E_N \sin\left(\frac{2\pi N z}{L}\right)\cos(\omega_N t)
Il s'agit d'une onde stationnaire, où les variables d'espace et de temps sont découplées. Les nœuds de vibration correspondent aux zéros de \sin(k_N z), soit z_p = p \frac{L}{2N} (p \in \{0, \dots, N\}), et les ventres sont situés aux extrema en z'_p = (2p+1)\frac{L}{4N}.
Représentons l'allure de \mathcal{E}(z) pour les modes N = 1, N = 2 et N = 3 sur l'intervalle [0, L/2] :
Résultat
$ν_{N} = N \frac{c}{L}$ $E (z) = E_{N} sin (\frac{2 π N z}{L})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2021, Q11
a) D'après les résultats des questions Q9b et Q10, les champs électriques incident et réfléchi dans le référentiel (R') s'écrivent, en évaluant en x = Vt :
\begin{aligned} \underline{\vec{E}}'_i(x=Vt, t) &= \left(1 - \frac{V}{c}\right) E_0 \exp\left[j\omega_1\left(1 - \frac{V}{c}\right)t\right] \vec{u}_z \\ \underline{\vec{E}}'_r(x=Vt, t) &= \left(1 + \frac{V}{c}\right) \underline{r} E_0 \exp\left[j\omega_2\left(1 + \frac{V}{c}\right)t\right] \vec{u}_z \end{aligned}
La condition de continuité sur le conducteur parfait (P') impose que pour tout instant t \ge 0 :
\left(1 - \frac{V}{c}\right) \exp\left[j\omega_1\left(1 - \frac{V}{c}\right)t\right] + \underline{r} \left(1 + \frac{V}{c}\right) \exp\left[j\omega_2\left(1 + \frac{V}{c}\right)t\right] = 0
Pour que cette relation soit vérifiée à chaque instant t, les phases doivent dépendre du temps selon la même pulsation effective, soit :
\omega_1\left(1 - \frac{V}{c}\right) = \omega_2\left(1 + \frac{V}{c}\right)
Comme \omega = 2\pi f, on en déduit directement le rapport des fréquences :
\boxed{\frac{f_2}{f_1} = \frac{1 - \frac{V}{c}}{1 + \frac{V}{c}}}
b) L'écart de fréquence \Delta f = f_2 - f_1 s'écrit :
\begin{aligned} \Delta f &= f_1 \left(\frac{f_2}{f_1} - 1\right) \\ &= f_1 \left(\frac{1 - \frac{V}{c}}{1 + \frac{V}{c}} - 1\right) \\ &= f_1 \frac{1 - \frac{V}{c} - \left(1 + \frac{V}{c}\right)}{1 + \frac{V}{c}} \end{aligned}
D'où l'expression exacte :
\boxed{\Delta f = - \frac{2\frac{V}{c}}{1 + \frac{V}{c}} f_1}
c) Dans la limite non relativiste où V/c \ll 1, le développement limité à l'ordre 1 donne :
\frac{1}{1 + \frac{V}{c}} = 1 - \frac{V}{c} + o\left(\frac{V}{c}\right)
On en déduit l'expression de \Delta f à l'ordre 1 en V/c :
\boxed{\Delta f \simeq -2 f_1 \frac{V}{c}}
Résultat
$\frac{f _{2}}{f _{1}} = \frac{1 - \frac{V}{c}}{1 + \frac{V}{c}}$ $Δ f = - \frac{2 \frac{V}{c}}{1 + \frac{V}{c}} f_{1}$ $Δ f ≃ - 2 f_{1} \frac{V}{c}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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