Feuille d'entraînement : Réflexion, transmission et ondes stationnaires électromagnétiques

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2020, Q17

   À l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électrique est identiquement nul :

   \boxed{\vec{E}_{\text{int}} = \vec{0}}

   Justification :

   • Par définition d'un conducteur parfait, la conductivité électrique tend vers l'infini (\gamma \to +\infty).

   • D'après la loi d'Ohm locale, la densité volumique de courant s'écrit :

     \vec{j} = \gamma \vec{E}

     Pour que la densité de courant \vec{j} et la puissance volumique dissipée par effet Joule restent finies, le champ électrique doit impérativement vérifier :

     \vec{E} = \frac{\vec{j}}{\gamma} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} \vec{0}

   • En régime variable harmonique de pulsation \omega, cette propriété se traduit également par une épaisseur de peau nulle :

     \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} 0

     L'onde électromagnétique ne pénètre donc pas dans le conducteur, assurant la stricte nullité du champ électrique en son sein.

   Résultat

   $${\vec{E}}_{\text{int}}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2020, Q16

   La forme proposée pour le champ électrique est :

   \vec{E}(x,t) = g(x) \cos(2\pi ft) \, \vec{u}_y

   Cette forme présente plusieurs caractéristiques physiques :

   • Onde stationnaire : les variables spatiale x et temporelle t sont factorisées sous la forme d'un produit g(x) \times \cos(2\pi ft). L'onde ne dépend pas d'une combinaison de propagation du type (t \pm x/c) : il n'y a pas de transport net d'énergie selon Ox, mais une oscillation synchrone en tous points avec une amplitude locale modulée par g(x), définissant des ventres et des nœuds d'oscillation.
   • Onde monochromatique (ou harmonique) : l'évolution temporelle est purement sinusoïdale de fréquence bien déterminée f.
   • Onde polarisée rectilignement : la direction du champ électrique est fixe au cours du temps et parallèle à l'axe vertical \vec{u}_y.
   • Onde plane transverse : le champ ne dépend spatialement que de la seule coordonnée cartésienne x, et il est orthogonal à la direction de variation spatiale (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).

   \boxed{\text{Il s'agit d'une onde plane monochromatique stationnaire, polarisée rectilignement selon } \vec{u}_y.}

   Résultat

   $$\text{Il s’agit d’une onde plane monochromatique stationnaire, polariseˊe rectilignement selon }{\vec{u}}_y.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2020, Q18

   Les deux parois conductrices occupent les plans x=0 et x=L, dont le vecteur unitaire normal est \vec{u}_x. Par conséquent, tout vecteur orthogonal à \vec{u}_x, en particulier \vec{u}_y, est contenu dans le plan tangent aux interfaces.

   Le champ électrique dans la cavité s'écrit \vec{E}(x,t) = g(x)\cos(2\pi f t)\,\vec{u}_y : il est donc purement tangentiel aux deux interfaces :

   \vec{E}_t(x,t) = \vec{E}(x,t)

   D'après le résultat de la question Q17, le champ électrique est strictement nul à l'intérieur des conducteurs parfaits situés en x < 0 et x > L. La continuité de la composante tangentielle du champ électrique à la traversée des interfaces impose donc :

   \begin{aligned} \vec{E}_t(0^+, t) &= \vec{E}_t(0^-, t) = \vec{0} \implies \vec{E}(0, t) = \vec{0} \\ \vec{E}_t(L^-, t) &= \vec{E}_t(L^+, t) = \vec{0} \implies \vec{E}(L, t) = \vec{0} \end{aligned}

   Cette relation étant valable à tout instant t, la fonction spatiale g(x) doit vérifier :

   \boxed{g(0) = 0 \quad \text{et} \quad g(L) = 0}

   ou, sous forme vectorielle pour le champ électromagnétique :

   \boxed{\vec{E}(0,t) = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{E}(L,t) = \vec{0} \quad \forall t}

   Résultat

   $$g(0)=0\text{et}g(L)=0$$

   $$\vec{E}(0,t)=\vec{0}\text{et}\vec{E}(L,t)=\vec{0}\forall t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2020, Q19

   D'après la question Q15, le champ électrique dans le vide vérifie l'équation de propagation de d'Alembert :

   \vec{\Delta}\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Le champ recherché est unidimensionnel et polarisé selon \vec{u}_y : \vec{E}(x,t) = g(x)\cos(\omega t)\vec{u}_y, avec la pulsation \omega = 2\pi f.

   Calculons les dérivées partielles nécessaires :

   \begin{aligned} \vec{\Delta}\vec{E} &= \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}\,\vec{u}_y = \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2}(x)\cos(\omega t)\,\vec{u}_y \\ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} &= -\omega^2 g(x)\cos(\omega t)\,\vec{u}_y \end{aligned}

   En reportant dans l'équation de d'Alembert, il vient :

   \left( \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{\omega^2}{c^2}g(x) \right)\cos(\omega t)\,\vec{u}_y = \vec{0}

   Cette relation étant vraie à tout instant t, g(x) vérifie l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2}(x) + k^2 g(x) = 0 \quad \text{avec} \quad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}}

   La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

   g(x) = A\cos(kx) + B\sin(kx) \quad (A, B \in \mathbb{R})

   En appliquant la condition aux limites en x = 0 obtenue à la question Q18, g(0) = 0 :

   g(0) = A = 0

   On en déduit la forme de la fonction g(x) :

   \boxed{g(x) = B\sin(kx) = B\sin\left(\frac{2\pi f}{c}x\right)}

   où B est une constante d'amplitude réelle.

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}g}{\mathrm{d}{x}^2}(x)+k^{2}g(x)=0\text{avec}k=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi f}{c}$$

   $$g(x)=B\sin (kx)=B\sin \left(\frac{2\pi f}{c}x\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2020, Q20

   D'après la question Q19, la solution générale respectant la condition aux limites en x=0 s'écrit :

   g(x) = B \sin(kx) = B \sin\left(\frac{2\pi f}{c}x\right)

   La condition aux limites en x = L établie à la question Q18 impose :

   g(L) = B \sin(kL) = 0

   Pour obtenir un champ électromagnétique non identiquement nul dans la cavité, l'amplitude B doit être non nulle, ce qui conduit à :

   \sin(kL) = 0 \iff kL = p\pi \quad \text{avec } p \in \mathbb{N}^*

   Le vecteur d'onde ne peut donc prendre qu'un ensemble discret de valeurs k_p = \frac{p\pi}{L}.

   Comme k = \frac{2\pi f}{c}, les fréquences permises (fréquences des modes propres de la cavité) sont quantifiées :

   \frac{2\pi f_p}{c} L = p\pi \implies \boxed{f_p = p \frac{c}{2L} \quad (p \in \mathbb{N}^*)}

   La longueur d'onde dans le vide associée à chaque mode propre s'en déduit par \lambda_p = \frac{c}{f_p} :

   \boxed{\lambda_p = \frac{2L}{p} \quad (p \in \mathbb{N}^*)}

   Ce qui équivaut à la condition de résonance géométrique :

   L = p \frac{\lambda_p}{2}

   Résultat

   $$f_p=p\frac{c}{2L}(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

   $${\lambda }_p=\frac{2L}{p}(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question