CCINP Mathématiques 1 MPI 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Accessible

Requêtes SQL, fonctions génératrices et loi de Poisson, intégrale à paramètre et formule sommatoire de Poisson

Le sujet compte deux exercices et un problème indépendants, soit 22 questions. Le premier exercice demande des requêtes SQL sur des tables d'élèves et de paiements. Le second utilise les fonctions génératrices pour montrer que la somme de deux variables de Poisson indépendantes suit une loi de Poisson. Le problème calcule une intégrale à paramètre via une équation différentielle, étudie une série de fonctions 1-périodique et ses coefficients de Fourier, puis en déduit la somme d'une série.

1Exercice IQuatre requêtes SQL : sélection sans doublons, jointure avec agrégation et tri, recherche de doublons, élèves sans paiement.
2Exercice IIFonction génératrice d'une variable à valeurs entières, cas de la loi de Poisson, fonction génératrice d'une somme par produit de Cauchy.
3Problème, partie I : calcul d'une intégraleIntégrale à paramètre g(x) : définition, limite en 0, classe C2 et équation différentielle y'' - y = 0.
4Problème, partie II : formule sommatoire de PoissonSérie de fonctions F, continuité et périodicité, coefficients de Fourier exprimés par une intégrale sur R.
5Problème, partie III : applicationsCalcul des coefficients de F, identification de F avec une série G et valeur de F(x).

Accessible. Le jury écrit que le sujet est accessible à tout élève ayant bien travaillé le programme toute l'année, avec une moyenne de 10.07.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,07 / 20 · écart-type 4,18 · 1 198 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,07/ 20
Écart-type: 4,18
Présents: 1 198
Coefficient: 11
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Syntaxe SQL mal connue · Absence de paiement mal traduite · Domination non intégrable

Le sujet couvrait l'informatique, les variables aléatoires, les séries de fonctions, les intégrales sur un intervalle quelconque et les équations différentielles, et il a permis de classer les candidats. L'exercice SQL évaluait une compétence jamais testée aux sessions écrites précédentes. Le jury attend plus de rigueur : certains candidats appliquent des théorèmes sans réflexion.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Syntaxe SQL mal connueQ1, Q2
DISTINCT et l'opérateur <> sont oubliés, l'agrégation avec GROUP BY et la jointure ne sont pas maîtrisées.
« L’agrégation avec un GROUP BY n’est pas connue de tous et plus basiquement encore, la jointure n’est pas maîtrisée. »
2
Absence de paiement mal traduiteQ4
Un montant nul n'équivaut pas à une absence de paiement. Une solution consistait à utiliser LEFT JOIN avec une condition NULL.
3
Domination non intégrableQ9, Q12
Certains majorent par 1/t², qui n'est pas intégrable sur ]0, +∞[. Pour la classe C2, il fallait dominer sur tout segment.
« Question très peu réussie. Il fallait se placer sur tout segment pour appliquer la domination. »
4
Dérivée partielle et équation différentielleQ13, Q14
Le calcul de dérivée partielle a posé beaucoup de problèmes alors que le résultat était 0, et plusieurs candidats ne savent pas résoudre y'' - y = 0, pourtant faisable sans les questions précédentes.
5
Convergence uniforme d'une série de fonctionsQ16
Le fait que la norme infinie de fn tende vers 0 ne suffit pas pour la convergence uniforme de la série.
6
Primitive classique manquéeQ18
La primitive demandée est mal réussie et plusieurs candidats ne simplifient pas exp(2iπk), égal à 1 pour k entier.

Ce qui a été bien réussi

La fonction génératrice de la loi de Poisson (Q6) est très bien réussie par ceux qui connaissent la définition de la loi.
Les questions Q7, Q8, Q15, Q19 et Q20 sont plutôt bien traitées.
Q11 est plutôt bien traitée par ceux qui connaissent le théorème utile.

Conseils du jury

Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses au moment de les appliquer.
Utiliser chaque hypothèse de l'énoncé et indiquer où elle sert.
Ne pas « trafiquer » les calculs pour atteindre le résultat annoncé.
Lire le sujet en diagonale au départ et ne pas recopier l'énoncé avant chaque réponse.
Apprendre les démonstrations des points importants du cours ainsi que les exercices de base.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE I

On considère deux tables : ELEVES et PAIEMENTS. La première contient des informations sur des élèves dans une grande école d'ingénieur et la deuxième permet d'identifier quels sont les paiements effectués par les élèves pour la scolarité dans cette école.

La table ELEVES contient les attributs suivants :

-id : identifiant d'un individu (entier), clé primaire ;
-nom (chaîne de caractères) ;
-prenom (chaîne de caractères) ;
-email (chaîne de caractères) ;
-promo : année d'admission dans l'école (int).

La table PAIEMENTS contient les attributs suivants :

-id : identifiant de suivi (entier), clé primaire ;
-id_eleve : identifiant du client représenté par l'attribut id dans la table ELEVES (entier) ;
-montant : montant payé en euros (entier) ;
-date_paiement : date du paiement (chaîne de caractères).
Q1.Écrire une requête SQL affichant les emails différents (sans doublons) de tous les élèves qui ne sont pas de la promotion 2025.
Q2.Écrire une requête SQL affichant le nom, le prénom et le montant total payé pour chaque élève. Cette requête devra être triée par nom, puis prénom.
Q3.On souhaite trouver les doublons dans la table ELEVES. Écrire une requête SQL affichant les id et emails des élèves qui ont au moins deux lignes identiques dans la table ELEVES (à l'exception de l'attribut id).
Q4.Écrire une requête SQL affichant l'id des élèves n'ayant effectué aucun paiement.

EXERCICE II

Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

.
On note

G_X

la fonction génératrice de

X

définie par :

G_X(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)P(X = n)t^n.

Q5.Montrer que $G_X$ est bien définie sur $[ - 1, 1]$ .
Q6.Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ , rappeler et démontrer l'expression de $G_X$ .
Q7.En utilisant un produit de Cauchy de deux séries entières, démontrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $ℕ$ , alors on a :
$\forallt \in ] - 1, 1[, G_(X + Y)(t) = G_X(t)G_Y(t).$
Q8.On suppose désormais que $X$ et $Y$ sont indépendantes et suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs $λ$ et $μ$ . Déterminer la loi de $Z = X + Y$ .

PROBLÈME

Les parties I et II de ce problème sont indépendantes mais les résultats seront utilisés pour la résolution de la partie III.

Partie I - Calcul d'une intégrale

Dans toute cette partie, on pose

g(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)x/(x^2 + t^2)e^(it) dt

pour tout

x > 0

Q9. Démontrer que

g

est bien définie sur

]0, + \infty[

.
Q10. Pour tout

x > 0

, démontrer que

g(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(e^(ixu))/(1 + u^2) du

.
En déduire que

g

est bornée sur

]0, + \infty[

.
Q11. Démontrer que

lim_(x \to 0^+)g(x) = π

.
Q12. Démontrer que

g

est de classe

C^2

sur

]0, + \infty[

.
Q13. Calculer

(\partial^2)/(\partialx^2)(x/(x^2 + t^2)) + (\partial^2)/(\partialt^2)(x/(x^2 + t^2))

pour

(x, t) \in ]0, + \infty[ \times ℝ

.
En déduire que

g

est solution de l'équation différentielle

y^('') - y = 0

sur

]0, + \infty[

.
Q14. Pour tout

x > 0

, déterminer une expression de

g(x)

Partie II - Formule sommatoire de Poisson

Dans toute la suite, on pose :

\forallt \in ℝ, f(t) = 1/(1 + t^2),

\forallx \in ℝ, F(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f(x + n) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)f(x - n).

Q15. Démontrer que

F

est bien définie sur

ℝ

et 1 périodique.
Q16. Démontrer que

F

est continue sur

[0, 1]

et en déduire que

F

est continue sur

ℝ

Pour toute fonction

u

continue sur

ℝ

et 1 périodique, on pose, pour tout

k \in ℤ

c_k(u) = \int_0^1 u(t)e^(- 2iπkt) dt.

Q17. Démontrer que

c_k(F) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)e^(- 2iπkt) dt

pour tout

k \in ℤ

.
Q18. Pour tout

k, n \in ℤ

, calculer la valeur de l'intégrale

\int_0^1 e^(- 2iπ(n + k)t) dt

Partie III - Applications

On rappelle les notations:

\forallx \in ℝ, F(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f(x + n) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)f(x - n)

f : t \mapsto 1/(1 + t^2)

.
Q19. Calculer

c_0(F)

.
En utilisant les résultats des parties I et II, calculer

c_k(F)

pour tout entier

k > 0

.
On admettra que

c_(- k)(F) = c_k(F)

pour tout

k \in ℤ

.
Q20. On pose :

\forallx \in ℝ, G(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)c_n(F)e^(2iπnx) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)c_(- n)(F)e^(- 2iπnx)

.
Démontrer que

G

est continue sur

ℝ

et 1 périodique.

On admet le résultat suivant :

« Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $ℝ$ , 1 périodiques et vérifient $c_k(u) = c_k(v)$ pour tout $k \in ℤ$ , alors $u = v$ ».

Q21. Démontrer que

F = G

.
Q22. En déduire la valeur de

F(x)

pour tout

x \in ℝ

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Maths 1 CCINP MPI 2026 ?

Sur un exercice de requêtes SQL, un exercice sur les fonctions génératrices et la loi de Poisson, et un problème sur une intégrale à paramètre et la formule sommatoire de Poisson, qui aboutit à la somme d'une série.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de Maths 1 CCINP MPI 2026 ?

Le rapport indique une moyenne de 10.07 et un écart type de 4,18 en filière MPI.

Pourquoi y a-t-il du SQL dans l'épreuve de mathématiques CCINP MPI 2026 ?

Le jury explique que la session 2026 a choisi d'interroger les candidats MPI sur la compétence bases de données, jamais évaluée aux écrits précédents, dans une approche interdisciplinaire propre à cette session.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 1 CCINP MPI 2026 ?

Des requêtes SQL sans jointure ni GROUP BY correct, des dominations par des fonctions non intégrables, une équation y'' - y = 0 non résolue et une confusion entre convergence de la norme infinie et convergence uniforme d'une série.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 MPI 2026

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