CCINP Physique Chimie MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Séquence Physique-Chimie dans l'univers-fiction de "Fast and Furious"

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Faisable en sup ?

Faisable en partie en MPSI : 23 questions sur 47. Autres questions faisables en MPSI

Autres premières années : PCSI 32 · MP2I 22 · BCPST1 32 questions.

Détail par partie

Partie I : Course-poursuite dans les rues de Rio : une opération savamment préparée ?4/8En partie
Partie II : " Flashés " au radar à effet Doppler0/52e année
Partie III : Des moteurs " dopés "11/20En partie
Partie IV : Le protoxyde d'azote : un gaz prétendument "fun" ?8/11En partie
Partie V : Du "cash" en pierres précieuses modifiées0/32e année

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BanqueCCINP Année2021 FilièreMP MatièrePhysique-Chimie

Annales CCINP MP Physique-Chimie CCINP MP 2021 MP Physique-Chimie Physique-Chimie 2021

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Physique et chimie dans l'univers de « Fast and Furious » : voitures, radar Doppler, moteur « nitro » et protoxyde d'azote

Le sujet teste la vraisemblance scientifique de scènes de la saga « Fast and Furious » en cinq parties indépendantes. Il aborde successivement la mécanique du solide, la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur mobile, la thermodynamique d'un moteur à combustion interne, la chimie du protoxyde d'azote et un modèle quantique de couleur des cristaux.

1Partie I : course-poursuite dans les rues de RioDeux voitures tirent un container : frottement solide, théorème de l'énergie cinétique, loi du moment cinétique et condition de non-glissement des roues.
2Partie II : « flashés » au radar à effet DopplerRéflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur en mouvement, décalage Doppler, puis radar à impulsions et critère de Nyquist-Shannon.
3Partie III : des moteurs « dopés »Cycle de Beau de Rochas, combustion de l'octane, premier principe en écoulement permanent, puis gain apporté par un turbocompresseur et un kit « nitro ».
4Partie IV : le protoxyde d'azoteStructures de Lewis de N2O, thermochimie de sa préparation à partir du nitrate d'ammonium et cinétique de sa décomposition suivie par la pression.
5Partie V : du « cash » en pierres précieuses modifiéesÉtats stationnaires d'une particule dans un puits de potentiel et couleur de la lumière transmise par un cristal.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet raisonnablement long et son questionnement détaillé et guidé, mais plusieurs questions classiques de thermodynamique ont posé de grosses difficultés.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,84 / 20 · écart-type 3,59 · 7 553 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,84/ 20
Écart-type: 3,59
Présents: 7 553
Coefficient: 7
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Loi du moment cinétique confondue avec sa définition · Rendement et signe du travail dans un cycle moteur · Stœchiométrie de la combustion négligée

Le sujet, varié et construit en parties indépendantes, permettait de valoriser le cours de première et de deuxième année. Le jury a lu de très bonnes copies bien structurées. Il regrette toutefois un manque de soin dans la présentation, des justifications absentes et des notations négligées (unités, vecteurs, indice de réaction).

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Loi du moment cinétique confondue avec sa définitionQ4
Beaucoup de candidats écrivent la définition du moment cinétique au lieu de la loi, oublient que seuls les moments des actions extérieures interviennent et omettent les actions des liaisons pivot.
« De nombreux candidats ne savent pas énoncer la loi du moment cinétique »
2
Rendement et signe du travail dans un cycle moteurQ14, Q16
Le cycle de Beau de Rochas était très classique, mais le placement des points, le sens de parcours, le signe du travail et la définition du rendement ont souvent posé problème.
« La définition du rendement pose d'énormes problèmes à de trop nombreux candidats. »
3
Stœchiométrie de la combustion négligéeQ19, Q20, Q30
Le rapport entre quantité d'air et quantité de dioxygène est oublié, et le signe du pouvoir calorifique est souvent faux.
« Le facteur 5 entre la quantité d'air et la quantité de dioxygène est souvent oublié. »
4
Changements d'état oubliés en thermochimieQ35
La loi de Hess est connue, mais les changements d'état sont mal pris en compte ou absents alors que l'énoncé le rappelait.
« la prise en compte des changements d'états pose des difficultés »
5
Quantité de matière gazeuse mal identifiée en cinétiqueQ37, Q40
Un tableau d'avancement permettait d'obtenir la quantité totale de gaz. Beaucoup l'ont confondue avec la quantité de réactif, ce qui a compromis la suite.
« beaucoup de candidats ont confondu n(t) avec cette quantité, ce qui a été dommageable pour la suite »
6
Calculs inutiles sur une condition aux limitesQ10, Q11
La condition de continuité se ramenait à l'égalité de deux sinusoïdes du temps. Il suffisait d'identifier les pulsations, sans calcul lourd.
« il suffisait d'identifier les pulsations pour obtenir la réponse »

Ce qui a été bien réussi

Les équations de Maxwell et la relation de structure entre les champs électrique et magnétique sont bien connues (Q9).
Le critère de Nyquist-Shannon est en général connu (Q13).
La loi de Laplace est en général bien connue (Q15).
Des réponses bien argumentées sur le principe du turbocompresseur (Q27).
La mécanique quantique est bien connue des candidats.

Conseils du jury

Connaître précisément les définitions, les hypothèses des résultats et les méthodes exigibles du cours.
Lire attentivement l'énoncé pour s'approprier les questions et ne pas redémontrer ce qui n'est pas demandé.
Justifier les réponses, préciser le référentiel et les hypothèses, et mettre les résultats en valeur.
Soigner les notations : unités des résultats numériques, distinction entre un vecteur et sa norme, indice r des grandeurs de réaction.
Utiliser un tableau d'avancement pour les bilans de matière en phase gazeuse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

47 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

47 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE - CHIMIE

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de cinq parties indépendantes.

Séquence Physique-Chimie dans l'univers-fiction de "Fast and furious"

Ce sujet aborde diverses questions de physique et de chimie librement inspirées d'un article de la N.S.T.A. (National Science Teaching Association aux Etats-Unis) qui traite de la vraisemblance scientifique de certaines scènes de la saga cinématographique "Fast and furious".

Le problème comporte cinq parties indépendantes, de thématiques différentes, listées ci-après.

Partie I : mécanique du solide avec ou sans glissement.
Partie II : réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur mobile, effet Doppler.
Partie III : thermodynamique d'un moteur à combustion interne, amélioration par turbocompresseur et kit "nitro".
Partie IV : chimie du protoxyde d'azote, un gaz aux propriétés étonnantes.
Partie V : mécanique quantique et couleurs cristallines.

Partie I - Course-poursuite dans les rues de Rio: une opération savamment préparée ?

Dans l'épisode 5 de la série, on voit les héros du film voler un coffre-fort container (contenant le butin d'un trafiquant de drogue) en l'accrochant par des filins à deux voitures de course.

Photo 1 - Course-poursuite (de l'épisode 5) dans les rues de Rio

Le container métallique a une masse

m_0

. On suppose que la course-poursuite s'effectue à la vitesse

V

constante dans le référentiel de la ville supposé galiléen. On néglige les frottements de l'air.

Les voitures sont des tractions-avant avec des roues munies de pneus en caoutchouc. On note

m_1

la masse d'une voiture,

d

le diamètre de ses roues et

J

leur moment d'inertie (par rapport à leurs axes de symétrie respectifs).
On note

f_0

le coefficient de frottement solide au contact métal/bitume et

f

celui au contact caoutchouc/bitume.
L'étude est ramenée à une seule voiture de masse

m = 2m_1

tirant le container en ligne droite, sur route horizontale (axe

Ox

). On entend par voiture l'ensemble {carrosserie, roues, moteur, conducteur}.
Le plan (Oxz), vertical contenant le filin, est plan de symétrie de l'ensemble {voiture, filin, container}. On suppose ainsi que toutes les actions mécaniques sont décrites par des forces coplanaires ramenées dans ce plan. Ainsi, la paire de roues arrière est remplacée par une seule roue
au contact avec le bitume en

I_1

. Il en est de même pour la paire de roues avant en

I_2

et on note

Γ⃗ = Γ_m u⃗_y

le couple appliqué par le moteur sur celle-ci (

Γ_m > 0

).
L'axe Oz du repère est choisi ascendant; on note

g⃗ = - gu⃗_z

l'accélération de la pesanteur.
Les réactions exercées par la chaussée sur le container et sur les roues sont décrites :

pour le container par: $R⃗_0 = - T_0 u⃗_x + N_0 u⃗_z$ ,
pour les roues par: $R⃗_1 = T_1 u⃗_x + N_1 u⃗_z$ et $R⃗_2 = T_2 u⃗_x + N_2 u⃗_z$ .

Le filin, accroché horizontalement à une hauteur

h

au-dessus de la chaussée, exerce une force de traction

F⃗

sur le container. Le centre de masse

G

de la voiture se trouve à la même hauteur

h

par rapport au sol, sur la médiatrice du segment

[I_1, I_2]

. On donne la valeur de l'empattement

I_1 I_2 = 2b

. Le schéma de l'ensemble {container, filin, voiture} est donné en figure 1. Les actions mécaniques subies par le container y sont représentées.

Toutes les valeurs numériques utiles de

Q1

Q8b

sont regroupées à la fin de cette partie

I

Figure 1 - Schéma de l'ensemble {container, filin, voiture}

Q1. Reproduire la figure 1 et la compléter en indiquant toutes les actions mécaniques extérieures subies par la voiture.

Q2. En appliquant le postulat fondamental de la dynamique au container et à l'aide d'une loi sur le frottement solide à préciser, obtenir l'expression de

F⃗

en fonction de

f_0, m_0, g

u⃗_x

On suppose qu'aucune roue ne glisse sur la chaussée. On admet alors que les actions de contact chaussée/roues ne dissipent ni ne fournissent de puissance aux roues.

Q3. a) Par l'application d'un théorème énergétique à la voiture, établir la relation entre la puissance de

F⃗

et la puissance

𝒫_m

fournie par le moteur.
b) Calculer

𝒫_m

en kilowatt et en cheval-vapeur. Le choix de deux voitures dans cette mise en scène vous semble-t-il réaliste ?

Q4. a) Rappeler la loi du moment cinétique scalaire appliquée à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen. On précisera tous les termes et notations introduits.
b) Recenser toutes les actions mécaniques (résultantes ou couples) s'exerçant sur la roue arrière, puis sur la roue avant.
c) On suppose chaque roue en liaison pivot parfaite avec le reste de la voiture. En appliquant la loi du moment cinétique scalaire à chaque roue en rotation à vitesse angulaire constante
dans un référentiel et par rapport à des axes à préciser, montrer que

T_1 = 0

et que

Γ_m = T_2 d/2

.
Q5. a) Montrer que

F⃗ = T_2 u⃗_x

.
b) En déduire

Γ_m

et faire l'application numérique.

Q6. La loi du moment cinétique scalaire appliquée à la voiture par rapport à l'axe (

G, u⃗_y

) permet de montrer que

(N_1 - N_2)b = T_2 h

.
a) Pourquoi le couple

Γ_m

n'intervient-il pas dans ce résultat ?
b) En déduire

N_1

N_2

en fonction de

f_0, h, b, m, m_0

g

Q7. Les lois de Coulomb sur le frottement solide permettent d'assurer que les roues ne glissent pas sur la chaussée si

|T_k| < fN_k

avec

k \in {1, 2}

.
a) Quelles roues risquent de glisser?
b) Montrer qu'un tractage sans glissement des roues impose une masse maximale tractable

m_(0max) = mf/(2f_0(1 + fh/(2b)))

c) Faire l'application numérique. Commenter le résultat trouvé.

Q8. Lors de la préparation de leur plan, un des protagonistes suggère d'utiliser des voitures à propulsion arrière.
a) Quelles sont alors les expressions de

T_1

et de

T_2

?
b) En admettant que

N_1

N_2

trouvés en

Q6b

sont inchangés, dire quelles roues risquent de glisser dans ce cas.
c) En déduire l'expression de la masse maximale tractable

m_(0max)^'

.
d) Faire l'application numérique et conclure si les héros peuvent ou non réussir cette opération de tractage.

Données numériques nécessaires à la partie I

Accélération de la pesanteur :

g = 10 m \cdot s^(- 2)

Masse du container :

m_0 = 4500 kg

Masse totale des deux voitures :

m = 3000 kg

Diamètre des roues :

d = 20

pouces ( 1 pouce

= 2, 5 cm

)
Empattement :

2b = 2, 7 m

Hauteur du centre de masse et du filin :

h = 0, 5 m

Coefficient de frottement métal/bitume :

f_0 = 0, 4

Coefficient de frottement caoutchouc/bitume :

f = 1, 0

Vitesse lors de cette course poursuite :

V = 90 km \cdot h^(- 1)

1 cheval-vapeur (unité de puissance) :

1ch ≃ 736 W

Partie II - " Flashés " au radar à effet Doppler

Considérons une des nombreuses scènes de course-poursuite présentes dans le film et intéressonsnous au principe de la mesure d'une vitesse par effet Doppler électromagnétique.

La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide est notée

c

. Soient deux référentiels galiléens

(R)

(R^')

, avec

(R^')

en translation rectiligne uniforme par rapport à

(R)

à la vitesse

V⃗

.
Dans le cas où

‖V⃗‖≪c

, le système (

σ

) ci-dessous définit les relations de transformation d'un champ électromagnétique (

E⃗, B⃗

) dans le passage de (R) à (R') :

{E⃗^′ = E⃗ + V⃗ ∧ B⃗; B⃗^′ = B⃗.

Le véhicule est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse

V⃗ = Vu⃗_x

dans la direction d'un axe horizontal

Ox

appartenant au plan médian

(Oxz)

du véhicule. On note

O^'

le point situé au centre de la face arrière du véhicule, confondu avec

O

à la date

t = 0

. Un radar est positionné en un point

F

de l'axe

Ox

. Sur la figure 2 ont été représentés, en vue de dessus, le radar et le véhicule. On note

(R)

le référentiel de la chaussée et

(R

') celui du véhicule.

Figure 2 - Vue de dessus du radar et du véhicule

La face arrière du véhicule est modélisée par un plan métallique parfaitement conducteur

(P^') = (O^' y^' z^')

, perpendiculaire à l'axe

(Ox)

Le radar émet une onde électromagnétique plane progressive harmonique de direction de propagation

u⃗_x

, de fréquence

f_1

et réceptionne l'onde réfléchie par (

P^'

), qui a pour direction de propagation

- u⃗_x

et pour fréquence

f_2

, différente de

f_1

car le véhicule est en mouvement.
L'air est assimilé au vide.
En notant

j

le complexe tel que

j^2 = - 1

, le champ électrique de l'onde incidente émise dans (R) par le radar s'écrit, en représentation complexe,

E⃗_-_i(x, t) = E_0 exp(jω_1(t - x/c))u⃗_z

, où

E_0

est une constante réelle positive et où

ω_1 = 2πf_1

est la pulsation de l'onde incidente.
Le champ électrique de l'onde réfléchie par le véhicule en mouvement s'écrit alors dans ( R ) :

E⃗_-_r(x, t) = r_-E_0 exp(jω_2(t + x/c))u⃗_z

où

ω_2 = 2πf_2

est la pulsation de l'onde réfléchie et

r_-

une grandeur a priori complexe désignant le coefficient de réflexion en amplitude de champ électrique.

Q9. a) En exploitant une équation de Maxwell à préciser, exprimer le champ magnétique

B_-_i(x, t)

de l'onde incidente dans (R).
b) En utilisant le système (

σ

), établir l'expression ci-dessous du champ électrique de l'onde incidente dans ( R ') :

E⃗_-_i^'(x, t) = (1 - V/c)E_0 exp(jω_1(t - x/c))u⃗_z

Q10. En suivant la même démarche qu'en

Q9a

Q9b

, établir les expressions des champs de l'onde réfléchie,

B⃗_-_r^'(x, t)

E⃗_-_r^'(x, t)

dans

(R^')

Q11. On admet que la relation de continuité du champ électrique sur ( P ') s'écrit, pour tout

t \geq 0

E⃗_-_i^'(x = Vt, t) + E⃗_-_r^'(x = Vt, t) = 0\to

a) En déduire le rapport des fréquences

f_2/f_1

.
b) Exprimer l'écart de fréquence

Δf = f_2 - f_1

en fonction de

f_1

et du rapport

V/c

.
c) Donner

Δf

à l'ordre 1 en

V/c

Q12. Dans le cas du véhicule de la figure 2, le radar émet un signal sinusoïdal de fréquence

f_1 = 24, 1250000GHz

et reçoit un signal écho de fréquence

f_2 = 24, 1249950GHz

.
Donner la valeur du décalage Doppler

Δf

. En déduire la vitesse en

km/h

du véhicule. On prendra

c = 3, 00 \cdot 10^8 m \cdot s^(- 1)

Q13. Le radar utilise en fait la technique ULB (Ultra Large Bande) basée sur l'émission et la réception d'impulsions (ou pulses) de très courte durée (

τ_(pulse) = 1 ns

) avec une FRP (Fréquence de Répétition des Pulses)

f_r = 500kHz

, le signal émis par le radar de la question Q12 servant de porteuse.
a) Exprimer, puis calculer la portée de ce radar, c'est-à-dire la distance maximale à la cible assurant qu'un pulse écho soit reçu avant que le pulse suivant ne soit émis.

La porteuse des pulses échos est comparée à la porteuse des pulses émis afin d'obtenir (par un traitement non détaillé ici) un signal sinusoïdal de fréquence

f_D = |Δf|

. L'estimation de la vitesse du véhicule est ensuite réalisée au moyen d'un algorithme FFT ("Fast Fourier Transform") appliqué à un échantillonnage ("sampling") de ce signal sinusoïdal.
b) La gamme des vitesses mesurables par le radar est

[10 km/h; 180 km/h]

. Donner la valeur minimale

f_(smin)

de la fréquence d'échantillonnage nécessaire à assurer toute la gamme des vitesses mesurables.
c) Avec une fréquence d'échantillonnage

f_s = 40kHz

et un nombre

N = 256

points d'échantillonnage, exprimer puis calculer la résolution

δV

sur la mesure de la vitesse.

Partie III - Des moteurs " dopés "

On s'intéresse dans cette partie au principe d'un moteur suralimenté. Il s'agit d'expliquer par quels procédés il est possible d'augmenter la puissance d'un moteur thermique de cylindrée donnée.

On rappelle que le cheval-vapeur (symbole ch) est une unité de puissance :

1ch ≃ 736 W

III. 1 - Étude préliminaire du cycle de Beau de Rochas

Le bloc moteur correspond à un ensemble de 4 cylindres munis de 4 pistons.
Le mouvement de chaque piston se décompose selon les 4 étapes ou " temps-moteur " (figure 3), de durée totale

τ

, chaque " temps-moteur " ayant pour durée

τ/4

Figure 3 - Les quatre " temps-moteur "

Admission AB : la soupape d'admission s'ouvre, le piston descend en aspirant un mélange aircarburant. Le débit massique aspiré est constant au cours de cette étape.
Compression BC : la soupape d'admission se ferme, le piston remonte en comprimant le mélange air-carburant introduit dans le cylindre à l'étape précédente. Cette compression est supposée adiabatique réversible.
Explosion-détente CDE : une étincelle produit l'inflammation du mélange air-carburant. Le gaz ainsi chauffé de manière isochore (CD), finit par repousser le piston vers le bas (DE). Cette détente est supposée adiabatique réversible.
Échappement EBA : la soupape d'échappement s'ouvre, la pression chute de manière isochore $(EB)$ , puis le piston remonte en évacuant les gaz brûlés (BA).

Le piston évolue entre deux positions extrémales : le point mort haut (PMH) et le point mort bas (PMB), le volume du cylindre valant alors

V_(min)

quand le piston se trouve au PMH et

V_(max)

quand il est au PMB.

C_1 = V_(max) - V_(min)

définit la cylindrée unitaire et

C = 4C_1

la cylindrée du moteur.

Les quatre pistons sont montés sur un vilebrequin, ou arbre à cames, transformant le mouvement de va-et-vient des pistons en mouvement de rotation (figure 4). La fréquence de rotation du vilebrequin est notée

f_(vilb)

Figure 4 - Quatre pistons montés sur vilebrequin

Le mélange air-carburant ( G ) est assimilé à un gaz parfait de composition chimique inchangée malgré la combustion. Sa masse molaire

M

, ses capacités thermiques massiques à pression et à volume constants

c_p

c_v

, et son coefficient de Laplace

γ = c_p/c_v

sont supposés indépendants des conditions de température et de pression.

La constante molaire des gaz parfaits vaut

R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)

.
La figure 5 donne le cycle de Beau de Rochas en diagramme (

P, V

) décrit par une quantité donnée de ( G ) admise dans l'un des quatre cylindres :

Figure 5 - Le cycle de Beau de Rochas en diagramme (

P, V

)

Q14. Recopier la figure 5. La compléter en indiquant le sens de parcours du cycle et les points A ,

B, C, D

et E .

Q15. Exprimer les rapports

T_C/T_B

T_D/T_E

en fonction du rapport volumétrique

a = V_(max)/V_(min)

.
Q16. Rappeler la définition du rendement thermodynamique

η

associé à ce cycle. Exprimer

η

en fonction des températures

T_B, T_C, T_D

T_E

, puis en fonction de

a

et de

γ

. Application numérique : calculer

η

pour

a = 8

γ = 1, 3

Q17. Quel est le nombre de tours effectués par le vilebrequin au bout des 4 " temps-moteur " ? En déduire

τ

en fonction de

f_(vilb)

. Calculer

τ

pour

f_(vilb) = 2400tr/min

Dans toute la suite de cette partie III, on s'intéresse au fonctionnement du moteur sur des temps longs devant

τ

, ce qui amène à traiter le bloc moteur comme un système ouvert traversé par un flux moyenné permanent de gaz.

III. 2 - Combustion, débits et puissances

Considérons l'ensemble {collecteur d'admission, bloc moteur} représenté schématiquement sur la figure 6.

Figure 6 - Schéma fonctionnel de l'ensemble {collecteur d'admission, bloc moteur}

L'air et le carburant sont mélangés dans le collecteur d'admission. Leurs débits massiques moyennés sont respectivement

m˙_(air)

m˙_(carb)

. Le mélange gazeux (G) ainsi obtenu, traverse le bloc moteur avec un débit massique moyenné

m˙

Q18. Quelle relation lie

m˙, m˙_(air)

m˙_(carb)

?
Q19. On assimile le carburant à de l'octane

C_8 H_(18)

, de masse molaire

M_(carb)

. La réaction de combustion complète de l'octane avec le dioxygène de l'air (appelé comburant) est donnée cidessous :

C_8 H_(18(g)) + (25)/2O_(2(g)) = 8CO_(2(g)) + 9H_2 O_((g))

L'air, de masse molaire

M_(air)

, est supposé constitué uniquement de dioxygène et de diazote avec pour proportions molaires :

20%

en dioxygène et

80%

en diazote.

Le pouvoir comburivore du carburant en air, (pco) air est défini par le rapport des masses d'air et de carburant nécessaires pour une combustion complète dans les conditions stœchiométriques:

(pco)_(air) = (m_(air)/m_(carb))_(stechio)

.
a) Établir l'expression de

(pco)_(air)

sous la forme

(pco)_(air) = βM_(air)/M_(carb)

dans laquelle on explicitera le facteur numérique

β

.
Calculer

(pco)_(air)

pour

M_(air) = 29 g \cdot mol^(- 1)

M_(carb) = 114 g \cdot mol^(- 1)

.
b) En déduire l'expression de

m˙

en fonction de

m˙_(air)

et de (

pco)_(air)

pour que (G) soit un mélange stœchiométrique.

Consigne : compte-tenu de la valeur de

(pco)_(air)

, on admettra dans toute la suite les approximations

M ≃ M_(air)

m˙ ≃ m˙_(air)

On définit aussi le pci (pouvoir calorifique inférieur) d'un carburant comme la chaleur dégagée par kilogramme de carburant brûlé dans sa réaction de combustion complète produisant du dioxyde de carbone et de la vapeur d'eau.

Q20. Soit

Δ_r H^\circ

l'enthalpie de réaction standard de la réaction (

ε

). Donner la relation entre pci,

M_(carb)

Δ_r H^\circ

. Application numérique : calculer pci sachant que

Δ_r H^\circ = - 5000 kJ \cdot mol^(- 1)

Q21. Rappeler, sans la démontrer, l'expression générale du premier principe pour un fluide en écoulement permanent à travers une surface de contrôle

Σ

. On utilisera les notations suivantes :

$m˙$ pour le débit massique ;
$h$ pour l'enthalpie massique ;
$e_c$ et $e_p$ pour les énergies cinétique et potentielle macroscopiques massiques ;
$𝒫_(th)$ pour la puissance thermique reçue ;
$𝒫_u$ pour la puissance utile reçue.

On notera respectivement avec les indices e et s les grandeurs d'entrée et de sortie.
On rappelle que la puissance utile reçue est la puissance mécanique transférée au fluide par toutes les surfaces mobiles en contact avec lui.

Dans toute la suite, nous conviendrons de négliger tous les termes d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques.

Q22. Considérons (G) à la traversée du bloc moteur. Sa température est

T_(ad)

à l'admission et

T_(ec)

à l'échappement.
En appliquant, d'une part, le premier principe à ( G ) et en supposant, d'autre part, que la chaleur dégagée par la réaction de combustion est entièrement récupérée par ( G ), obtenir deux relations faisant intervenir la puissance utile

𝒫_u

et la puissance thermique

𝒫_(th)

en fonction de

m, m_(carb), c_p, pci, T_(ad)

T_(ec)

Q23. Soit

𝒫_m = - 𝒫_u

la puissance motrice. Justifier sans calcul quel est le signe de

𝒫_m

.
Q24. Montrer que

𝒫_m

peut s'écrire sous la forme suivante :

𝒫_m = m˙[(pci)/((pco)_(air)) - c_p(T_(ec) - T_(ad))].

Le bloc moteur joue le rôle d'une pompe. La fréquence du vilebrequin

f_(vilb)

, la cylindrée C et la masse volumique de ( G ) à l'admission

ρ_(ad)

, déterminent alors le débit massique

m˙

Q25. Établir l'expression de

m˙

en fonction de

ρ_(ad)

, C et

f_(vilb)

III.2.1 - Cas du moteur atmosphérique : simple mais moyennement puissant...

Dans le cas d'un moteur atmosphérique, l'air frais atmosphérique, de pression

P_0

et de température

T_0

, est directement admis dans le collecteur d'admission où il est mélangé au carburant de manière isotherme, isobare et steechiométrique. Alors, la température d'admission vaut

T_(ad) = T_0 = 290 K

et la pression d'admission vaut

P_(ad) = P_0 = 1

bar.

Q26. a) En écrivant la loi des gaz parfaits, exprimer puis calculer

ρ_(ad)

.
b) Pour

C = 2 L

, calculer

m

, puis le débit molaire en air

n_(air)

.
c) Donner la valeur de la puissance motrice pour ce moteur,

𝒫_m^(atmo)

, en kilowatt puis en cheval-vapeur, avec les valeurs numériques suivantes :

c_p = 1200 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1); pci = 44 \cdot 10^6 J \cdot kg^(- 1); (pco)_(air) = 16, T_(ad) = 290 K

T_(ec) = 1200 K

III.2.2 - Cas du moteur turbocompressé : l'incontournable en course automobile...

Dans un moteur turbocompressé, l'air frais atmosphérique traverse un compresseur avant d'entrer dans le collecteur d'admission dans lequel est réalisé le mélange stœchiométrique air comprimé/carburant. Après combustion dans les cylindres, les gaz d'échappement formés traversent une turbine couplée mécaniquement au compresseur, avant d'être rejetés dans l'atmosphère.
À cylindrée et à régime moteur inchangés par rapport au moteur atmosphérique, le dispositif de turbo-compression permet d'obtenir un débit molaire en air

n˙_(air) = 3, 7 mol \cdot s^(- 1)

et une puissance motrice

P_m^(turbo) = 340ch

Q27. Expliquer en trois ou quatre lignes au maximum :
a) l'obtention d'un débit molaire en air augmenté par rapport à la valeur trouvée en

Q26b

;
b) l'obtention d'une puissance motrice augmentée par rapport à la valeur trouvée en

Q26c

;
c) le rôle de la turbine couplée mécaniquement au compresseur.

III.2.3 - Cas du moteur turbocompressé avec kit "nitro" : l’option qui " décoiffe " !

Les amateurs de tuning automobile savent qu'il est possible d'augmenter ponctuellement la puissance d'un moteur par l'installation d'un kit "nitro" ou NOS (Nitrous Oxyde System) quand il s'agit de faire un "run", un dépassement, une pointe de vitesse, ou un top départ... La photo 2, illustre une telle installation. Le principe consiste à introduire dans le collecteur d'admission une masse gazeuse de protoxyde d'azote

N_2 O

en parallèle de l'admission d'air du système d'origine. Au moment de la compression, le protoxyde d'azote se décompose en libérant du diazote et du dioxygène. Il y a alors un surplus de dioxygène disponible, ce qui permet d'augmenter la quantité de carburant à injecter et ainsi d'obtenir plus de puissance.

Photo 2 - Voiture au moteur " tuné " par un kit "nitro" à deux bouteilles installées dans le coffre (https://luctuture.skyrock.com)

Q28. Écrire la réaction supposée totale de décomposition de

N_2 O

en diazote et en dioxygène.
Q29. Calculer le pourcentage molaire de dioxygène dans le gaz de décomposition de

N_2 O

. Comparer au pourcentage molaire de dioxygène dans l'air. Commenter.

Considérons d'abord la situation théorique où l'air d'admission serait remplacé en totalité par

N_2 O

.
Q30. Le carburant utilisé est inchangé (il s'agit toujours d'octane). Calculer son pouvoir comburivore en

N_2 O

, noté

(pco)_(N_2 O)

défini comme le rapport des masses de

N_2 O

et de carburant nécessaires à assurer la stœchiométrie de la réaction de combustion (

ε

) fournie en Q19. On donne la masse molaire de

N_2 O : M_(N_2 O) = 44 g \cdot mol^(- 1)

.
Q31. La capacité thermique massique du gaz de décomposition de

N_2 O

est

c_p^' = 1100 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)

. En notant

n˙_(N_2 O)

le débit molaire du protoxyde d'azote, la formule de la puissance motrice fournie en Q24 devient :

𝒫_m^(full nitro) = n˙_(N_2 O)M_(N_2 O)[(pci)/((pco)_(N_2 O)) - c_p^'(T_(ec) - T_(ad))].

On donne pour ce moteur muni de son kit

NOS : T_(ad) = 330 K, T_(ec) = 630 K

n˙_(N_2 O) = 3, 7 mol \cdot s^(- 1)

. Calculer la puissance

P_m^(fullnitro)

qui pourrait être obtenue dans ce cas théorique et la comparer à la valeur

𝒫_m^(turbo) = 340ch

En pratique, pour éviter la " casse-moteur ", on restreint l'accroissement de puissance à

40%

de la puissance nominale d'origine

P_m^(turbo)

. L'admission de

N_2 O

vient alors en complément de l'admission d'air. Les débits molaires en air et en

N_2 O

sont alors

n˙_(air) = 3, 2 mol \cdot s^(- 1)

n˙_(N_2 O) = 0, 5 mol \cdot s^(- 1)

Q32. Quelle est la puissance maximale

𝒫_m^(boost)

alors accessible ?
Q33. Le kit NOS monté est constitué de deux bouteilles de contenance 7300 g de

N_2 O

chacune. Calculer la durée maximale du "boost" réalisable avec ce kit.

Partie IV - Le protoxyde d'azote : un gaz prétendument "fun"?

Le protoxyde d'azote de formule brute

N_2 O

est aussi connu sous le nom de gaz hilarant. C'est un gaz aux nombreux usages : il est utilisé dans les cartouches pour siphon à chantilly, dans certains aérosols, dans les kits NOS qui augmentent la puissance des moteurs à combustion interne, ou encore en chirurgie comme agent antalgique et anesthésique. Mais détourné de ces usages courants, il est parfois inhalé comme produit euphorisant, ce qui lui vaut une surveillance accrue par l'observatoire français des drogues et des toxicomanies. Cette pratique dangereuse et addictive, touchant souvent un public jeune et insouciant, est à proscrire absolument. Cette partie traite de quelques aspects de la chimie de cette molécule.

IV. 1 - La molécule $N_2 O$

Q34. a) Donner la structure de Lewis des trois formes mésomères de la molécule

N_2 O

(l'atome central est un atome d'azote). Indiquer celle qui met en défaut la règle de l'octet.
b) Justifier par un argument simple si les deux autres formes sont équiprobables. Expliquer si on peut conclure à l'existence d'un moment dipolaire pour la molécule

N_2 O

IV. 2 - Obtention de $N_2 O$

Données thermodynamiques à 298 K

Constante molaire des gaz parfaits :

R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)

NH_4 NO_(3(s))

H_2 O_((l))

N_2 O(g)

N_(2(g))

O_(2(g))

Enthalpie standard de formation

Δ_f H^\circ(kJ \cdot mol^(- 1))

- 365, 6

- 285, 1

82,05

\times

\times

Entropie standard

S^\circ(J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1))

151,1

69,91

219,9

191,3

204,8

	$NH_4 NO_3$	$H_2 O$
Enthalpie standard de fusion $Δ_(fus)H^\circ(kJ \cdot mol^(- 1))$	5,86	$\times$
Température de fusion $T_(fus)(K)$	443	$\times$
Enthalpie standard de vaporisation $Δ_(vap)H^\circ(kJ \cdot mol^(- 1))$	$\times$	40,8
Température de vaporisation $T_(vap)(K)$	$\times$	373

Q35. Le protoxyde d'azote est préparé par décomposition du nitrate d'ammonium fondu à 520 K selon la réaction bilan suivante :

NH_4 NO_3_((l)) = 2H_2 O(g) + N_2 O(g)

On suppose les grandeurs

Δ_f H^\circ

S^\circ

indépendantes de la température dans tout domaine délimité par deux changements d'états successifs.
a) Calculer l'enthalpie standard de la réaction (1) (on fera attention aux phases des constituants réactionnels). Cette réaction est-elle thermodynamiquement favorisée à basse ou à haute température? Justifier votre réponse.
b) Calculer les entropies standards de

NH_4 NO_3

(l) et de

H_2 O

(g).
c) En déduire l'entropie standard de la réaction (1). Justifier son signe.
d) Exprimer l'enthalpie libre standard de réaction

Δ_r G^\circ_1(T)

.
e) Calculer la constante d'équilibre de la réaction (1) à 520 K . Commenter.

Q36. Dans cette question, on considère un domaine de température tel que la réaction (1) est un équilibre chimique.
Quelle est alors l'influence sur cet équilibre :
a) de l'ajout de vapeur d'eau à température et volume constants ?
b) de l'ajout d'un gaz inerte à température et pression constantes?

On justifiera les réponses à l'aide de la notion de quotient réactionnel.

IV. 3 - Aspect cinétique de la décomposition de $N_2 O$

Soit la réaction de décomposition de

N_2 O

suivante, supposée totale dans le domaine de température

T

considéré :

N_2 O(g) = N_(2(g)) + (1/2)O_(2(g))

À l'instant initial

t = 0

, on introduit dans un réacteur thermostaté à la température

T

, de volume constant V, préalablement vidé, une quantité

n_1

de protoxyde d'azote à la pression initiale

P_1

. Soit

n(t)

la quantité de matière en protoxyde d'azote à une date ultérieure

t

quelconque. On suit l'évolution de la réaction en mesurant la pression totale

P(t)

en fonction du temps. Les résultats obtenus à 873 K sont reportés dans le tableau ci-dessous.

$t(s)$	0	25	45	90
$P(t)/P_1$	1,000	1,120	1,196	1,314

Tableau - Valeurs du rapport

P/P_1

en fonction du temps

Q37. Établir l'expression de

P(t) - 3/2P_1

en fonction de

n(t), R, T

et V .
Q38. En déduire l'expression de la vitesse volumique de la réaction

v = - 1/V(dn)/(dt)

en fonction de

R, T

(dP)/(dt)

.
La réaction est d'ordre 1 par rapport à

N_2 O

avec

k

la constante de vitesse à la température

T

.
Q39. Établir l'équation différentielle vérifiée par

P(t)

. On la mettra sous la forme :

(dP)/(dt) + kP = 3/2kP_1

Q40. Donner l'expression de

P(t)

et l'allure du graphe correspondant.
Q41. La figure 7 est la représentation graphique de

ln(3 - 2P/(P_1))

en fonction du temps, tracée à l'aide des données du tableau ci-dessus.
En tirer la valeur de

k

Figure 7 - Graphe

ln(3 - 2P/(P_1)) = f(t)

avec

t

en seconde

Q42. On rappelle que le temps de demi-réaction est défini comme la durée au bout de laquelle l'avancement est égal à la moitié de l'avancement final (c'est-à-dire quand

t \to \infty

) et qu'il vaut

t_(1/2) = (ln2)/k

pour une réaction d'ordre 1 . Calculer

t_(1/2)

pour la réaction (2).

Q43. Rappeler la loi d'Arrhenius. L'énergie d'activation de la réaction est

E_a = 280 kJ \cdot mol^(- 1)

. Calculer le temps de demi-réaction à la température

T_2 = 1200 K

Q44. Dans un moteur automobile à combustion interne, la durée de l'étape de compression est typiquement de l'ordre de quelques dizaines de millisecondes et la température atteinte en fin de compression est de l'ordre de 1200 K . Conclure quant à l'utilisation du protoxyde d'azote dans les kits "nitro" pour moteur automobile.

Partie V - Du "cash" en pierres précieuses modifiées

Le butin récupéré à l'ouverture du coffre-fort est supposé contenir des émeraudes de Colombie (la variété d'émeraude la plus recherchée en joaillerie) ; en fait, ce sont des pierres cristallines qui, à l'issue d'un traitement thermique, ont une couleur modifiée qui permet de les faire passer pour des émeraudes. On se propose d'expliquer cette modification de couleur à l'aide de la mécanique quantique.

L'équation de Schrödinger pour une particule non relativiste de masse

m

décrite par la fonction d'onde

ψ(r⃗, t)

dans un champ d'énergie potentielle

V(r⃗)

est:

jℏ(\partialψ(r⃗, t))/(\partialt) = - (ℏ^2)/(2m)Δψ(r⃗, t) + V(r⃗)ψ(r⃗, t)

où

ℏ

est la constante de Planck réduite,

Δ

l'opérateur Laplacien et

j

le complexe tel que

j^2 = - 1

.
On considère un électron de masse

m

confiné dans un puits d'énergie potentielle unidimensionnel de profondeur infinie et de largeur

a

. L'énergie potentielle au fond du puits est prise nulle :

V = 0

pour

x \in [0; a]

Q45. a) Rappeler l'écriture de la fonction d'onde d'un état stationnaire d'énergie

E

. On notera

φ(x)

la partie spatiale de la fonction d'onde.
b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par

φ(x)

.
c) Donner la forme générale de

φ(x)

, puis montrer que l'énergie de l'électron est quantifiée.

Q46. a) Exprimer l'énergie

E_1

associée à l'état fondamental et

E_2

associée au premier niveau excité. L'application numérique avec

a = 0, 633 nm

donne

E_1 = 0, 931eV

E_2 = 3, 74eV

.
b) À l'issue d'un traitement thermique, le puits dans lequel se trouve l'électron est élargi à la valeur

a^' = 2^(1/3)a

. Calculer les nouveaux niveaux d'énergie

E^'_1

E^'_2

Q47. Si de la lumière blanche pénètre dans le cristal, quelle est la longueur d'onde de la lumière absorbée et la couleur de la lumière transmise dans le cas du cristal modifié ? Les données numériques sont fournies en fin d'énoncé et on pourra s'aider de la roue des couleurs donnée en figure 8.

Figure 8 - La roue des couleurs

Les longueurs d'onde sont indiquées en nm. Chaque couleur est diamétralement opposée à sa couleur complémentaire.
Du blanc auquel on soustrait une couleur donne sa couleur complémentaire.

Données numériques

Masse de l'électron :

m = 9, 11 \cdot 10^(- 31) kg

;

Constante de Planck :

h = 6, 63 \cdot 10^(- 34) J \cdot s

;

Vitesse de la lumière :

c = 3, 00 \cdot 10^8 m \cdot s^(- 1)

;

Conversion d'énergie :

1eV = 1, 60 \cdot 10^(- 19) J

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Physique-Chimie MP 2021 ?

Il couvre la mécanique du solide, l'électromagnétisme, la thermodynamique, la thermochimie et la cinétique chimique, ainsi que la mécanique quantique. Le rapport indique qu'il se réfère aux programmes de MPSI et de MP.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées au CCINP Physique-Chimie MP 2021 ?

La loi du moment cinétique mal énoncée, la définition du rendement d'un moteur, l'oubli des changements d'état dans les calculs thermochimiques et la confusion sur la quantité de matière gazeuse en cinétique.

Le sujet CCINP Physique-Chimie MP 2021 est-il long ?

Le jury le décrit comme raisonnablement long, avec un questionnement détaillé et guidé. Ses cinq parties sont indépendantes.

Quelles parties du sujet CCINP Physique-Chimie MP 2021 ont été peu traitées ?

La partie III.2 sur le pouvoir comburivore et le premier principe en système ouvert a été assez peu traitée. Les questions Q31, Q32 et Q44 ont aussi été peu abordées.

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PHYSIQUE - CHIMIE

RAPPEL DES CONSIGNES

Les calculatrices sont autorisées.

Séquence Physique-Chimie dans l'univers-fiction de "Fast and furious"

Partie I - Course-poursuite dans les rues de Rio: une opération savamment préparée ?

Données numériques nécessaires à la partie I

Partie II - " Flashés " au radar à effet Doppler

Partie III - Des moteurs " dopés "

III. 1 - Étude préliminaire du cycle de Beau de Rochas

III. 2 - Combustion, débits et puissances

III.2.1 - Cas du moteur atmosphérique : simple mais moyennement puissant...

III.2.2 - Cas du moteur turbocompressé : l'incontournable en course automobile...

III.2.3 - Cas du moteur turbocompressé avec kit "nitro" : l’option qui " décoiffe " !

Partie IV - Le protoxyde d'azote : un gaz prétendument "fun"?

IV. 1 - La molécule N_2 O

IV. 2 - Obtention de N_2 O

Données thermodynamiques à 298 K

IV. 3 - Aspect cinétique de la décomposition de N_2 O

Partie V - Du "cash" en pierres précieuses modifiées

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Physique-Chimie MP 2021 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées au CCINP Physique-Chimie MP 2021 ?

Le sujet CCINP Physique-Chimie MP 2021 est-il long ?

Quelles parties du sujet CCINP Physique-Chimie MP 2021 ont été peu traitées ?

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IV. 1 - La molécule $N_2 O$

IV. 2 - Obtention de $N_2 O$

IV. 3 - Aspect cinétique de la décomposition de $N_2 O$