Source : document officiel du concours, épreuve du 4 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

Notations pour l'ensemble du sujet :

K désigne

ℝ

ℂ

.
On note, pour

n

entier naturel,

n \geq 2

$M_n(K)$ le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans K.
$D_n(ℝ)$ le sous-espace vectoriel des matrices diagonales de $M_n(ℝ)$ .

EXERCICE

Q1. On munit

M_n(ℝ)

du produit scalaire canonique

(⟨A|B⟩ = trace(^t A \cdot B))

, déterminer

(D_n(ℝ))^⊥

, l'orthogonal de

D_n(ℝ)

pour ce produit scalaire.

PROBLÈME - Théorème de décomposition de Dunford

On admet le théorème suivant que l'on pourra utiliser librement :
Si

A

est une matrice de

M_n(K)

telle que son polynôme caractéristique

χ_A

soit scindé sur K , alors il existe un unique couple (

D, N

) de matrices de

M_n(K)

vérifiant les quatre propriétés :
(1)

A = D + N

;
(2)

D

est diagonalisable dans

M_n(K)

(pas nécessairement diagonale);
(3)

N

est nilpotente ;
(4)

DN = ND

De plus,

D

N

sont des polynômes en

A

χ_A = χ_D

.
Le couple (

D, N

) s'appelle la décomposition de Dunford de

A

Partie I - Quelques exemples

Q2. Donner le couple de la décomposition de Dunford d'une matrice

A

M_n(K)

lorsque

A

est diagonalisable, puis lorsque la matrice

A

M_n(K)

est nilpotente.
Justifier qu'une matrice trigonalisable vérifie l'hypothèse du théorème, admettant ainsi une décomposition de Dunford.
Le couple de matrices

((1, 0; 0, 2), (0, 1; 0, 0))

est-il la décomposition de Dunford de la matrice

(1, 1; 0, 2)

Q3. Donner un exemple d'une matrice de

M_2(ℝ)

n'admettant pas de décomposition de Dunford dans

M_2(ℝ)

Q4. Soit la matrice

A = (3, 0, 8; 3, - 1, 6; - 2, 0, - 5)

Calculer son polynôme caractéristique

χ_A

, puis donner le couple

(D, N)

de la décomposition de Dunford de

A

(on utilisera le fait que

χ_A = χ_D

Q5. Application
Pour

A \in M_n(K), exp(A) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)1/(k!)A^k

est l'exponentielle de la matrice

A

.
Déduire de la question précédente l'exponentielle de la matrice

A

définie en

Q4

.
On pourra utiliser sans démonstration que si

M

N

sont deux matrices de

M_n(K)

qui commutent,

exp(M + N) = (expM)(expN)

Q6. Soit

A \in M_n(K)

telle que

A^2(A - I_n) = 0

.
Justifier que le polynôme

X(X - 1)

est annulateur de la matrice

A^2

.
Démontrer que le couple (

D, N

) de la décomposition de Dunford de la matrice

A

est donné par :

D = A^2

N = A - A^2

Partie II - Un exemple par deux méthodes

Soit la matrice

A = (3, - 1, 1; 2, 0, 1; 1, - 1, 2)

.
On note

u

l'endomorphisme de

ℝ^3

canoniquement associé à la matrice

A

.
On notera id l'application identité de

ℝ^3

.
Q7. La matrice

A

est-elle diagonalisable dans

M_3(ℝ)

?
Démontrer qu'on a la somme directe :

ℝ^3 = ker(u - id) \oplus ker(u - 2id)^2

.
Q8. Déterminer une base

(e_1, e_2, e_3)

ℝ^3

telle que :

ker(u − id) = vect{e_1}, ker(u − 2id) = vect{e_2}

ker(u − 2id)^2 = vect{e_2, e_3}

.
Écrire la matrice

B

u

dans la base

(e_1, e_2, e_3)

ℝ^3

.
Q9. Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice

B

et en déduire le couple (on calculera ces matrices) de la décomposition de Dunford de la matrice

A

Q10. Décomposer en éléments simples la fraction

1/((X - 1)(X - 2)^2)

et en déduire deux polynômes

U

V

tels que :

(X - 1)U(X) + (X - 2)^2 V(X) = 1 avec degU < 2 et degV < 1.

Q11. On pose les endomorphismes :

p = V(u) \circ (u - 2id)^2

q = U(u) \circ (u - id)

.
Calculer

p(x) + q(x)

pour tout

x

vecteur de

ℝ^3

.
Démontrer que

p

est le projecteur sur

ker(u - id)

parallèlement à

ker(u - 2id)^2

q

est le projecteur sur

ker(u - 2id)^2

parallèlement à

ker(u - id)

Q12. On pose

d = p + 2q

. Écrire la matrice de

d

dans la base

(e_1, e_2, e_3)

ℝ^3

(de la question Q8).
Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice

A

en exprimant

D

N

comme polynômes de la matrice

A

(sous forme développée).

Partie III - Une preuve de l'unicité de la décomposition

Q13. Soit

E

un K-espace vectoriel de dimension

n

.
Soient

u

v

deux endomorphismes diagonalisables de

E

qui commutent. On note

λ_1, λ_2, \dots, λ_p

les valeurs propres de

u

et pour tout

1 \leq i \leq p, E_(λ_i)(u)

le sous-espace propre de

u

associé à la valeur propre

λ_i

.
Démontrer que tout sous-espace propre de

u

est stable par

v

.
En déduire qu'il existe une base commune de diagonalisation pour

u

v

.
Pour tout

1 \leq i \leq p

, on pourra noter

v_i

l'endomorphisme induit par

v

sur

E_(λ_i)(u)

.
Q14. Soient

A

B

deux matrices diagonalisables de

M_n(K)

qui commutent. Démontrer que la matrice

A - B

est diagonalisable.

Q15. Soient

A

B

deux matrices nilpotentes de

M_n(K)

qui commutent, démontrer que la matrice

A - B

est nilpotente.

Q16. Déterminer les matrices de

M_n(K)

qui sont à la fois diagonalisables et nilpotentes.
Q17. Dans cette question, on admet, pour toute matrice carrée

A

M_n(K)

à polynôme caractéristique scindé, l'existence d'un couple (

D, N

) vérifiant les conditions (1), (2), (3), (4) et tel que

D

N

soient des polynômes en

A

.
Établir l'unicité du couple (

D, N

) dans la décomposition de Dunford.

Partie IV - Non continuité de l'application $A \mapsto D$

Q18. On note

𝒟

l'ensemble des matrices de

M_n(ℂ)

qui sont diagonalisables.

𝒟

est-il un espace vectoriel ?
Si

P

est une matrice inversible de

M_n(ℂ)

, justifier que l'application de

M_n(ℂ)

vers

M_n(ℂ), M \mapsto PMP^(- 1)

est continue.

Q19. Démontrer que

𝒟

est dense dans

M_n(ℂ)

.
Q20. Si

(D, N)

est le couple de la décomposition de Dunford d'une matrice

A

, on note

φ

l'application de

M_n(ℂ)

dans

𝒟

qui à la matrice

A

associe la matrice

D

.
Justifier que

φ

est l'application identité sur

𝒟

et en déduire que l'application

φ

n'est pas continue.

FIN

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PROBLÈME - Théorème de décomposition de Dunford

Partie I - Quelques exemples

Partie II - Un exemple par deux méthodes

Partie III - Une preuve de l'unicité de la décomposition

Partie IV - Non continuité de l'application A ↦ D

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Partie IV - Non continuité de l'application $A \mapsto D$