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E3A Mathématiques MPI 2023Sujet et rapport du jury

Pas encore noté
  • Polynômes et réduction des endomorphismes
  • Fonction Gamma et intégrales à paramètre
  • Endomorphismes d'espaces de fonctions et équations différentielles linéaires
  • Probabilités : suites de variables aléatoires et convergence
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Présentation du sujet

Difficile
Quatre exercices indépendants : réduction d'un endomorphisme polynomial, fonction Gamma, endomorphisme intégral et probabilités
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Le sujet comporte quatre exercices indépendants. Le premier étudie un endomorphisme de Rn[X] et sa diagonalisation, le deuxième porte sur la fonction Gamma et une intégrale à paramètre, le troisième sur un endomorphisme intégral d'un espace de fonctions continues et le quatrième sur une suite de variables aléatoires liées par une loi de Bernoulli.

  1. 1Exercice 1Étude d'un endomorphisme T de Rn[X] défini à partir d'une formule différentielle, recherche de ses éléments propres et de sa diagonalisabilité.
  2. 2Exercice 2Comparaison de fonctions puissances, développement en série entière de l'exponentielle et étude de la fonction Gamma.
  3. 3Exercice 3Étude d'un endomorphisme Ψ défini par une intégrale sur l'espace des fonctions continues, injectivité, surjectivité et recherche de ses éléments propres via une équation différentielle.
  4. 4Exercice 4Étude d'une suite de variables aléatoires de Bernoulli liées, convergence d'un produit de termes et calcul de probabilités d'événements limites.

Difficile. Le rapport multiplie les constats négatifs : maîtrise insuffisante de l'algèbre linéaire de première année, grande maladresse dans les calculs, et une question de l'exercice 3 qualifiée de 'réponses catastrophiques' par le jury.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Lecture trop rapide de l'énoncé · Bases d'algèbre linéaire mal maîtrisées · Calculs abandonnés trop vite
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Le jury regrette des copies mal présentées, raturées, parfois illisibles, et une lecture trop approximative des énoncés qui entraîne des erreurs évitables. Il constate qu'un trop grand nombre d'étudiants ne maîtrise pas les notions de base d'algèbre linéaire, même de première année, et déplore une grande maladresse dans des calculs pourtant simples.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Lecture trop rapide de l'énoncé

    Des consignes précises ne sont pas respectées : une question « à donner sans démonstration » donne lieu à une démonstration, et inversement pour une récurrence demandée.

    « donner sans démonstration » donne lieu à une démonstration, « démontrer par récurrence » ne donne pas lieu à une récurrence »
  2. 2
    Bases d'algèbre linéaire mal maîtrisées

    Le jury constate que beaucoup d'étudiants ne maîtrisent pas les notions de base d'algèbre linéaire de première année et appliquent des recettes mal comprises.

    « Un trop grand nombre d’étudiants ne maîtrise pas les notions de base d’algèbre linéaire, même de première année »
  3. 3
    Calculs abandonnés trop vite

    Des calculs pourtant simples sont menés avec maladresse et souvent abandonnés avant d'aboutir.

    « Nous constatons de nouveau une très grande maladresse dans les calculs (parfois très simples) qui sont trop rapidement abandonnés »
  4. 4
    Exercice de probabilités souvent évité

    Une part importante des candidats n'aborde pas du tout l'exercice de probabilités.

    « près de 30% des candidats n’abordent pas cet exercice »
  5. 5
    Question sur la classe C1 de F très mal traitéeQ1 (exercice 3)

    La première question de l'exercice 3, posée presque chaque année, obtient des réponses jugées catastrophiques par le jury.

    « Réponses catastrophiques à cette question que l’on pose à peu près tous les ans »
  6. 6
    Confusion de raisonnement à la question 8Q8 (exercice 1)

    La question 8 de l'exercice 1 est incomprise par la quasi-totalité des candidats, qui confondent un cas particulier avec le cas général.

    « Question incomprise par 99% des candidats pour qui 8.1.1. est le cas n = 1. »

Ce qui a été bien réussi

  • Certaines questions de début d'exercice, plus accessibles, sont correctement traitées en général, comme les questions 5.3 et 5.4 de l'exercice 3.
  • La première question de l'exercice 2 a été traitée par tous les candidats.

Conseils du jury

  • Lire attentivement la totalité du sujet pour comprendre l'architecture de chaque exercice avant de répondre.
  • Respecter précisément les consignes de chaque question (démonstration demandée ou non, récurrence ou non).
  • Rédiger de manière rigoureuse en détaillant les calculs effectués et les théorèmes utilisés à chaque étape.
  • Admettre clairement le résultat d'une question plutôt que de donner un argument faux ou inventé pour avancer.
  • Éviter les expressions comme « il est trivial que » ou « par une récurrence immédiate » sans justification.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit n un entier naturel non nul. On note E_n = ℝ_n[X] et pour tout k ∈ [ [0, n] ], P_k = X^k.

Questions de cours

Soit α un réel.
  1. Justifier que la famille E = (1, X − α, …, (X − α)^n) est une base de E_n.
  2. Soit P un polynôme de E_n.
Donner sans démonstration la décomposition de P dans la base E à l'aide des dérivées successives du polynôme P.
3. On suppose que α est une racine d'ordre r ∈ [ [1, n] ] de P.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par (X − α)^r.
À tout polynôme P de E_n, on associe le polynôme Q défini par :
Q(X) = XP(X) − 1/n(X^2 − 1)P^′(X)
et on note T l'application qui à P associe Q.
4. Soit k ∈ [ [0, n] ]. Déterminer T(P_k).
5. Montrer que T est un endomorphisme de E_n.
6. Écrire la matrice M de T dans la base ℬ = (P_0, P_1, …, P_n) de E_n.
7. On suppose que λ est une valeur propre réelle de l'endomorphisme T et soit P un polynôme unitaire, vecteur propre associé à la valeur propre λ.
7.1. Montrer que P est de degré n.
7.2. Soit z_0 une racine complexe de P d'ordre de multiplicité r ∈ ℕ^∗. Prouver que z_0^2 − 1 = 0.
7.3. En déduire une expression de P.
8. Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme T.
L'endomorphisme T est-il diagonalisable?

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Soit a et b deux réels avec a > 0. Choisir sans justification l'expression correcte de a^b :
(A) : e^(bln(a)) (B) : e^(aln(b)) (C) : e^(ln(a)ln(b)).
  1. Soit x et y deux réels tels que x < y et t un réel de ]0, 1[.
Comparer t^x et t^y.
3. Donner, sans démonstration, le développement en série entière de la fonction exponentielle réelle et donner son domaine de validité.
4. On considère la fonction Γ définie par Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt.
On admet que cette fonction est définie sur ]0, + ∞[ et que, pour tout réel x strictement positif :
Γ(x + 1) = xΓ(x)
Calculer Γ(1) et en déduire, en effectuant un raisonnement par récurrence, la valeur de Γ(n + 1) pour n ∈ ℕ.
5. Pour x ∈ ℝ, on note, lorsque cela a un sens :
F(x) = ∫_0^1 t^(t^x) dt
où, comme il est d'usage, t^(t^x) = t^(t^x).
5.1. Déterminer l'ensemble de définition de F.
5.2. Déterminer le sens de variation de F.
5.3. Démontrer que pour tout x réel positif, on a : F(x) ⩾ 1/2.
5.4. Démontrer que F est continue sur son ensemble de définition.
5.5. Déterminer lim_(x → + ∞)F(x) et lim_(x → − ∞)F(x).
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs hypothèses sont bien vérifiées.
5.6. Dresser alors avec soin le tableau de variations de F et donner une allure générale de sa courbe représentative dans un repère orthonormal. On admettra que F^′(0) = 1/4 et on tracera la tangente au point d'abscisse x = 0.
6. Soit x un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on note g_n la fonction définie sur ]0, 1] par g_n(t) = (t^(nx)ln^n(t))/(n!).
6.1. Démontrer que la série de fonctions ∑_(n ∈ ℕ)g_n converge simplement sur ]0, 1] et donner sa somme.
6.2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, ∫_0^1|g_n(t)|dt = 1/(n!)(Γ(n + 1))/((nx + 1)^(n + 1)).
6.3. Établir enfin que l'on a:
F(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((1 + nx)^(n + 1))

EXERCICE 3

On note E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles continues sur ℝ_+. Pour tout élément f de E et tout x ∈ ℝ_+on pose F(x) = ∫_0^x f(u)du.
  1. Justifier que F est de classe C^1 sur ℝ_+et donner pour tout x ∈ ℝ_+l'expression de F^′(x).
Soit Ψ : f ∈ E ↦ Ψ(f) définie par: ∀x ∈ ℝ_+, Ψ(f)(x) = ∫_0^1 f(xt)dt.
2. Exprimer, pour tout réel x strictement positif, Ψ(f)(x) à l'aide de F(x).
3. Justifier que la fonction Ψ(f) est continue sur ℝ_+et donner la valeur de Ψ(f)(0).
4. Montrer que Ψ est un endomorphisme de E.
5. Surjectivité de Ψ
Soit h : x ∈ ℝ_+ ⟼ h(x) = {xsin(1/x), pour x > 0; 0, pour x = 0.
5.1. Montrer que la fonction h est continue sur ℝ_+.
5.2. La fonction h est-elle de classe C^1 sur ℝ_+?
5.3. Soit g ∈ Im(Ψ).
Montrer que la fonction x ↦ xg(x) est de classe C^1 sur ℝ_+.
5.4. A-t-on h ∈ Im(Ψ) ?
5.5. Conclure.
6. Montrer que Ψ est injective.
7. Recherche des éléments propres de Ψ
7.1. Justifier que 0 n'est pas valeur propre de Ψ.
Soit μ ∈ ℝ. On considère l'équation différentielle ( L ) sur ℝ_+^∗ :
y^′ + μ/xy = 0
7.2. Résoudre ( L ) sur ℝ_+^∗.
7.3. Déterminer les solutions de (L) prolongeables par continuité sur ℝ_+.
7.4. Déterminer alors les valeurs propres de Ψ et les sous-espaces propres associés.
8. Soit n ∈ ℕ, n > 1. Pour i ∈ [ [1, n] ], on pose :
f_i : x ∈ ℝ_+ ⟼ f_i(x) = x^i et g_i : x ∈ ℝ_+ ⟼ g_i(x) = {x^i ln(x), pour x > 0; 0, pour x = 0
On note ℬ = (f_1, …, f_n, g_1, …, g_n) et F_n le sous-espace vectoriel de E engendré par ℬ.
8.1. On veut montrer que la famille B = (f_1, …, f_n, g_1, …, g_n) est une base de F_n
Soit (α_i)_(i ∈ [ [1, n] ]) et (β_j)_(j ∈ [ [1, n] ]) des scalaires tels que ∑_(i = 1)^n α_i f_i + ∑_(j = 1)^n β_j g_j = 0.
8.1.1. Montrer que α_1 = β_1 = 0.
On pourra simplifier l'expression (*) par x lorsque x est non nul.
8.1.2. Soit p ∈ [ [1, n − 1] ]. On suppose que α_1 = ⋯ = α_p = β_1 = ⋯ = β_p = 0. Démontrer que α_(p + 1) = β_(p + 1) = 0.
8.1.3. Conclure et déterminer la dimension de l'espace vectoriel F_n.

8.2. Où l'on démontre que Ψ induit un endomorphisme sur F_n

8.2.1. Soit x > 0 et p ∈ ℕ^∗. Montrer que l'intégrale ∫_0^x t^p ln(t)dt est convergente et la calculer.
8.2.2. En déduire que Ψ induit un endomorphisme Ψ_n sur F_n.
8.3. Donner la matrice de l'application Ψ_n dans la base B.
8.4. Démontrer que Ψ_n est un automorphisme de F_n.
8.5. Soit z : x ∈ ℝ_+ ⟼ z(x) = {(x + x^2)ln(x), pour x > 0; 0, pour x = 0.
Après avoir vérifié que z ∈ F_n, déterminer Ψ_n^(− 1)(z).

EXERCICE 4

Question de cours

  1. Rappeler la définition d'un évènement négligeable et d'un évènement presque sûr.

*****

Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite de réels telle que u_0 = 1 et pour tout n ⩾ 1, u_n ∈ ]0, 1[.
Pour tout n ∈ ℕ, on pose p_n = ∏_(k = 0)^n u_k.
2. Étude de la suite (p_n)_(n ∈ ℕ)
2.1. Montrer que la suite (p_n)_(n ∈ ℕ) est convergente. On note ℓ sa limite.
2.2. Démontrer que ℓ ∈ [0, 1[.
2.3. Soit q ∈ [0, 1[. Montrer que si à partir d'un certain rang n_0, on a u_n ⩽ q, alors ℓ = 0.
2.4. Que peut-on dire de ℓ si la suite (u_n) est décroissante?
2.5. Déterminer la valeur de ℓ dans le cas où u_0 = 1 et pour tout n ⩾ 1, u_n = 1 − 1/((n + 1)^2).
3. On considère une famille (X_n)_(n ∈ ℕ) de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, ℙ) avec :
  • X_0 est constante et égale à 1 ,
  • X_1 suit la loi de Bernoulli de paramètre u_1,
  • pour tout n ⩾ 1, X_n suit une loi de Bernoulli de telle sorte que :
ℙ_([X_n = 0])([X_(n + 1) = 1]) = 0 et ℙ_([X_n = 1])([X_(n + 1) = 1]) = u_(n + 1).
3.1. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel n que l'on a:
∀n ∈ ℕ, ℙ([X_n = 1]) = p_n.
3.2. En déduire l'espérance 𝔼(X_n) de la variable aléatoire X_n.
3.3. Déterminer les valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles les deux variables aléatoires X_n et X_(n + 1) sont indépendantes.
4. On suppose que ℓ = 0
4.1. Soit deux entiers naturels non nuls m et n tels que m < n.
Montrer que la probabilité de l'évènement [X_m = 0] ∩ [X_(m + 1) = 1] ∩ … ∩ [X_n = 1] est nulle.
4.2. Quelle est la probabilité de l'évènement ⋂_(k = 0)^n[X_k = 1] ?
4.3. En déduire que la probabilité de l'évènement A = ⋂_(n ∈ ℕ)[X_n = 1] est nulle.
4.4. On définit les variables aléatoires Y et Z par :
∀ω ∈ Ω, Y(ω) = {Max{n ∈ ℕ/X_n(ω) = 1} s'il existe; − 1 sinon
et
∀ω ∈ Ω, Z(ω) = {∑_(k = 1)^(+ ∞)X_k(ω) si la série converge; + ∞ sinon.
Démontrer que ℙ([Y ≠ Z]) = 0.
Que peut-on en conclure pour l'évènement [Y = Z] ?

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths E3A MPI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths E3A MPI 2023 ?

Le sujet mêle quatre exercices indépendants : réduction d'un endomorphisme de Rn[X], étude de la fonction Gamma, endomorphisme intégral sur un espace de fonctions avec équation différentielle, et probabilités sur une suite de variables aléatoires de Bernoulli.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet MPI 2023 ?

Le jury relève une lecture trop rapide des énoncés, une maîtrise insuffisante de l'algèbre linéaire de première année, une grande maladresse dans les calculs et une confusion fréquente entre variable et paramètre dans les intégrales.

L'exercice de probabilités du sujet E3A maths MPI 2023 est-il difficile ?

Le rapport indique que près de 30% des candidats n'abordent pas du tout cet exercice, alors qu'un exercice de probabilités est systématiquement proposé.

Ce sujet E3A maths MPI 2023 est-il bien réussi par les candidats ?

Non, le jury dresse un constat globalement sévère, avec des réponses qualifiées de catastrophiques sur certaines questions et une maîtrise jugée insuffisante des bases du programme.

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