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CCINP Physique MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique du point matériel
  • Physique quantique (équation de Schrödinger, niveaux d'énergie)
  • Interférences lumineuses et interféromètre de Michelson
  • Magnétostatique et dipôles magnétiques
  • Physique atomique
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Annales CCINP MP PhysiqueCCINP MP 2018MP PhysiquePhysique 2018

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Questionnements et découvertes autour de l'atome le plus simple de l'univers
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Le sujet part du modèle historique de Bohr de l'atome d'hydrogène pour aller vers une résolution simplifiée par l'équation de Schrödinger, puis vers le spectre de raies de l'hydrogène et ses corrections relativistes. Il se termine par l'étude interférométrique d'un doublet spectral et par le calcul des structures fine et hyperfine liées au spin de l'électron, mêlant mécanique du point, physique quantique, optique et électromagnétisme.

  1. 1Partie I : modèle historique de Bohr de l'atome d'hydrogène (1913)Étude du mouvement de l'électron par la mécanique du point matériel en interaction coulombienne.
  2. 2Partie II : une résolution simplifiée de l'atome de Bohr par l'équation de Schrödinger (1926)Résolution simplifiée de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour retrouver les niveaux d'énergie.
  3. 3Partie III : spectre de raies de l'hydrogèneÉtude des transitions entre niveaux d'énergie et du spectre de raies associé, dont la série de Balmer.
  4. 4Partie IV : corrections relativistes de Sommerfeld (1916)Introduction de la constante de structure fine et des corrections relativistes aux niveaux d'énergie.
  5. 5Partie V : résolution interférométrique d'un doublet spectralÉtude de l'interféromètre de Michelson pour résoudre un doublet de raies spectrales.
  6. 6Partie VI : calcul d'une structure fine par l'interaction spin-orbiteCalcul du champ magnétique créé par le noyau et étude de l'expérience de Stern et Gerlach.
  7. 7Partie VII : la structure hyperfine du niveau fondamental de l'atome d'hydrogèneÉtude de la structure hyperfine liée au moment magnétique nucléaire, à partir de documents annexes.

Difficulté moyenne. Le jury trouve peu de très bonnes copies mais relève aussi un bon nombre de candidats ayant traité correctement une bonne partie du sujet, avec une moyenne de 10,70.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,7 / 20 · écart-type 4,08 · 7 159 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,7/ 20
Écart-type
4,08
Présents
7 159
moyenne 10,705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Transition et émission de photon mal comprises · Chiffres significatifs et unités négligés · Caractère relativiste de l'électron mal identifié
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Le sujet a permis de tester les candidats sur de nombreux domaines et a valorisé ceux ayant travaillé leur cours de physique. Le jury regrette la méconnaissance de certains éléments de base, comme la notion de transition avec émission d'un photon ou l'expérience de Stern et Gerlach, et pointe un manque de rigueur récurrent dans les applications numériques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Transition et émission de photon mal comprisesQ13

    À la question Q13, de nombreux candidats confondent l'énergie du photon avec la notion de niveau d'énergie.

  2. 2
    Chiffres significatifs et unités négligés

    Le nombre de chiffres significatifs dans les applications numériques n'est pas respecté, et les unités sont souvent remplacées par un simple « SI ».

    « Le nombre de chiffres significatifs dans les applications numériques n'a pas été respecté. »
  3. 3
    Caractère relativiste de l'électron mal identifiéQ8

    Certains candidats concluent au caractère relativiste ou non de l'électron sans raisonnement correct sur la comparaison des vitesses à c.

  4. 4
    Expérience de Stern et Gerlach mal maîtriséeQ33

    L'expérience est souvent citée avec des électrons et un champ électrique, alors qu'il s'agit d'un champ magnétique inhomogène.

    « L'expérience de Stern et Gerlach a souvent été citée avec des électrons et un champ électrique »
  5. 5
    Vocabulaire de l'interféromètre de Michelson mal connuQ21

    Les noms « compensatrice » et « séparatrice » sont souvent inconnus des candidats, ce qui gêne l'analyse du montage.

    « Compensatrice et séparatrice sont souvent des noms inconnus »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions Q4 à Q6 et Q17 ont été traitées sans trop de difficulté.
  • La question Q30 a été bien réussie en général.
  • Les questions Q25 et Q26 portaient sur des résultats connus des candidats.

Conseils du jury

  • Bien travailler le cours de physique de MP dans l'objectif de maîtriser les compétences exigibles du programme, sans négliger les approches documentaires.
  • Revoir avec la même rigueur le cours de MPSI et les compétences exigibles associées.
  • S'exercer à présenter des copies bien rédigées et à justifier chaque résultat par un raisonnement structuré plutôt que par bricolage de formules.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Vendredi 4 mai : 8 h − 12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

L'énoncé de cette épreuve comporte 16 pages, dont 3 pages d'annexe.

Questionnements et découvertes autour de l'atome le plus simple de l'univers

Dans ce sujet, on propose d'étudier quelques étapes clés de l'étude des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.
Le problème est constitué de 7 parties, quasiment indépendantes, même s'il y a un fil conducteur entre elles. Il est conseillé au candidat de faire une première lecture rapide du sujet afin d'en retirer une vue d'ensemble. Les paragraphes rédigés en italique donnent des explications permettant de situer chaque partie dans son contexte scientifique historique, avec leurs hypothèses d'étude.
Les constantes fondamentales intervenant dans le problème sont rappelées ci-dessous avec leurs valeurs numériques données avec 5 chiffres significatifs :
  • charge élémentaire : e = 1, 6022 ⋅ 10^(− 19)C
  • charge de l'électron : − e
  • charge du proton : + e
  • masse de l'électron : m_e = 9, 1094 ⋅ 10^(− 31) kg
  • masse du proton : m_p = 1, 6726.10^(− 27) kg
  • rayon de Bohr : a_B = 5, 2919 ⋅ 10^(− 11) m
  • vitesse de la lumière dans le vide : c = 2, 9979.10^8 m.s^(− 1)
  • perméabilité magnétique du vide : μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1)
  • permittivité diélectrique du vide : ε_0 = 1/(μ_0 c^2) = 8, 8542.10^(− 12) F.m^(− 1)
  • constante de Planck : h = 6, 6261 ⋅ 10^(− 34) J.s
  • constante de Planck réduite : ℏ = h/(2π) = 1, 0546 ⋅ 10^(− 34) J.s
  • constante énergétique de Rydberg : R_y = (m_e)/(2ℏ^2)((e^2)/(4πε_0))^2 = 2, 1799 ⋅ 10^(− 18) J
  • l'électron-volt, unité d'énergie : 1eV = 1, 6022.10^(− 19) J
On donne l'expression du Laplacien en coordonnées cylindriques : Δf(r, θ, z) = 1/r∂/(∂r)(r(∂f)/(∂r)) + 1/(r^2)(∂^2 f)/(∂θ^2) + (∂^2 f)/(∂z^2) et l'expression de deux intégrales et leur valeur :
  • pour tout réel r_0 > 0 : ∫_0^∞rexp(− r/r_0)dr = r_0^2
    − ∫_0^π sin^3 θdθ = 4/3.
    Même si elles ne sont pas systématiquement rappelées dans l'énoncé, le candidat utilisera à son initiative dans cette liste toute constante qu'il jugera nécessaire pour répondre aux questions posées.
Les applications numériques demandées seront réalisées avec 4 chiffres significatifs pour les questions Q1 à Q17, puis avec 3 chiffres significatifs à partir de la question Q18.

Partie I - Modèle historique de Bohr de l'atome d'hydrogène (1913)

Dans le modèle planétaire de Bohr de l'atome d'hydrogène, l'électron (vu comme ponctuel en M) tourne autour de son proton (lui aussi ponctuel et supposé immobile en O ) en décrivant une orbite circulaire de rayon r = OM (figure 1). On note u⃗_z le vecteur unitaire normal au plan de l'orbite.
L'électron est repéré par ses coordonnées polaires ( r, θ ) comme indiqué sur la figure 1 et ( u⃗_r, u⃗_θ ) est la base locale correspondante.
On néglige l'interaction gravitationnelle entre l'électron et le proton.
Figure 1 - Trajectoire circulaire de l'électron autour du proton supposé immobile
Q1. Rappeler l'expression de la force électrique exercée par le proton sur l'électron.
Q2. Par l'application du théorème de la quantité de mouvement, déduire la norme v de la vitesse de l'électron en fonction entre autres du rayon r de l'orbite.
Q3. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle électrostatique E_p de l'électron. Montrer que l'énergie cinétique E_c de l'électron vérifie : E_c = − E_p/2.
Q4. Exprimer la norme L du moment cinétique en O de l'électron en fonction de r, m_e, e, et ε_0.
En 1913, Bohr a postulé que L est un multiple entier de ℏ en posant L = nℏ, où n est un entier naturel strictement positif et où ћ est la constante de Planck réduite. Pour de tels états du modèle de Bohr, dits stationnaires, l'électron, en mouvement circulaire uniforme, bien qu'accéléré, ne rayonne pas d'énergie.
Q5. De l'égalité L = nℏ, déduire que la relation de quantification du rayon r_n de l'orbite caractérisée par l'entier n s'écrit sous la forme r_n = a_B n^2, avec a_B le rayon de Bohr, qu'on exprimera en fonction de m_e, e, ε_0 et ℏ.
Q6. En déduire que l'énergie mécanique E_n de l'électron vaut E_n = − (R_y)/(n^2), avec R_y la constante énergétique de Rydberg.
Q7. Quelle est la signification du rayon de Bohr ?
Donner la valeur de a_B en picomètres et celle de R_y en électron-volts.
Q8. Donner la vitesse v_n de l'électron sur l'orbite caractérisée par l'entier n. On l'exprimera en fonction de n, R_y et m_e.
Donner la valeur numérique de v_1. Le mouvement de l'électron vous semble-t-il relativiste? Justifier.

Partie II - Une résolution simplifiée de l'atome de Bohr par l'équation de Schrödinger (1926)

On rappelle l'équation de Schrödinger pour une particule non relativiste de masse m décrite par la fonction d'onde ψ(r⃗, t) dans un champ d'énergie potentielle E_p(r⃗)
iℏ(∂ψ(r⃗, t))/(∂t) = − (ℏ^2)/(2m)Δψ(r⃗, t) + E_p(r⃗)ψ(r⃗, t)
où r⃗ désigne le vecteur position d'un point M quelconque de l'espace ( M est repéré par ses coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques, d'origine O ) et Δ est l'opérateur Laplacien.
Q9. On s'intéresse aux états stationnaires d'énergie E de l'électron de l'atome d'hydrogène : on note ψ(r⃗, t) = κ(r⃗)e^(− iEt/ℏ).
Écrire l'équation de Schrödinger indépendante du temps concernant la partie spatiale de la fonction d'onde κ(r⃗) (On n'explicitera à ce stade ni la fonction énergie potentielle ni le Laplacien).
Afin de simplifier la résolution de l'équation obtenue en Q9, nous nous limiterons à considérer que l'électron n'est spatialement détectable qu'en un lieu de points formé de cercles dans le plan d'équation z = 0, concentriques au point O où se trouve le proton (supposé ponctuel) et avec des rayons de valeurs quantifiées. Les points M où est évaluée la fonction d'onde sont ainsi repérés par leurs coordonnées polaires ( r = R, θ ), d'axe Oz, avec r contraint à prendre des valeurs R discrètes (que l'on cherche à déterminer). κ(r⃗) est alors une fonction continue de la variable θ : on la notera κ(θ).
Q10. Expliciter la fonction énergie potentielle électrostatique de l'électron évoquée à la question Q3 et pour laquelle on impose r = R.
Q11. Sachant que E_p = 2E (résultat déduit de Q3 ), montrer que κ(θ) vérifie l'équation différentielle suivante :
(ℏ^2)/(2m_e R^2)(d^2 κ(θ))/(dθ^2) = Eκ(θ).
Résoudre cette équation pour les états liés de l'électron en posant η^2 = (m_e Re^2)/(4πε_0 ℏ^2).
Q12. En remarquant que κ(θ + 2π) = κ(θ), déterminer une relation de quantification des valeurs de R, puis des énergies E. Commenter ces résultats.

Partie III - Spectre de raies de l'hydrogène

Cette partie n'est pas indépendante des précédentes.
On rappelle que l'émission de lumière par un atome est due aux transitions entre deux états stationnaires (stationnaires au sens de Bohr (partie I), ou, au choix, au sens de la mécanique quantique (partie II)).
Q13. Quelle est l'énergie du photon émis lors de la transition entre un état atomique d'énergie E_(sup) vers un état d'énergie plus faible E_(inf) ?
Montrer dans le cas de l'atome d'hydrogène que la longueur d'onde λ_(nn^′) de la raie d'émission correspondant à la transition de l'état d'énergie E_n vers l'état d'énergie E_(n^′) (avec n^′ < n ) vérifie la relation de Ritz 1/(λ_(nn^′)) = R_H(1/(n^(′2)) − 1/(n^2)). On explicitera la constante R_H en fonction de R_y, h et c.
Q14. Calculer les valeurs numériques des longueurs d'onde des quatre premières raies d'émission de la série de Balmer prédites par la formule de Ritz, c'est-à-dire les raies correspondant aux transitions des états n = 3, 4, 5, 6 vers l'état n^′ = 2 (représentées et nommées dans la partie gauche de la figure 2 de la partie IV, page 6).
Le tableau 1 ci-dessous indique les valeurs expérimentales établies en 1885.
Recopiez ce tableau sur votre copie en le complétant par les valeurs numériques précédemment calculées.
Les intervalles d'incertitudes expérimentales englobent-ils les valeurs de Ritz?
Nom de la raie Hα Hβ H_γ H_δ
λ_(Ritz)
λ_(exp) (valeurs de 1885) 656, 3 nm ± 0, 3 nm 486, 1 nm ± 0, 2 nm 434, 0 nm ± 0, 2 nm 410, 2 nm ± 0, 2 nm
Tableau 1 - Longueurs d'onde des premières raies de la série de Balmer

Partie IV - Corrections relativistes de Sommerfeld (1916) : introduction de la constante de structure fine

Le modèle de Bohr fut un premier succès dans la prévision du spectre d'émission de l'hydrogène. Mais les progrès de la spectroscopie ont rapidement conduit à observer que certaines raies vues initialement comme monochromatiques présentaient en fait une structure fine sous la forme de multiplets de raies voisines. C'est le cas, par exemple, de la raie Hα qui fut observée comme un doublet par Michelson et Morley dès 1887, mais qui, plus tard, se révèlera être formée de raies plus nombreuses. Sur la partie droite de la figure 2 (page 6) se trouve la carte actuelle simplifiée des niveaux d'énergie et des multiplets de raies qui composent la raie H_α (noter le changement d'échelle: facteur de zoom × 10^4 par rapport au spectre de la série de Balmer à gauche).
La première explication théorique de ces multiplets a été fournie par Sommerfeld en 1916 grâce à un traitement relativiste amélioré du modèle de Bohr utilisant la constante α = (e^2)/(4πε_0 ℏc), nommée constante de structure fine.
Figure 2 - Premières raies de la série de Balmer (à gauche) et structure fine (simplifiée) de la raie H_α (à droite)
Q15. En explicitant R_y dans l'expression de v_n obtenue en Q8, donner α en fonction de v_1 et de c. En déduire la dimension de α.
Q16. Donner la valeur numérique de α, puis celle de son inverse 1/α (que l'on utilise bien plus volontiers).
Au terme de son calcul, Sommerfeld aboutit à l'expression des niveaux d'énergie E_(n, l) suivants, indicés par deux entiers ( n, l ) avec n ≥ 1 et l = 0, 1, 2, …, n − 1 :
E_(n, l) = − (R_y)/(n^2)(1 + α^2 1/(n^2)(n/(l + 1) − 3/4)) où α est la constante de structure fine introduite ci-dessus.
Trois années auparavant, Bohr avait trouvé (question Q6) l'expression suivante à un seul indice entier : E_n = − (R_y)/(n^2).
Q17. Commenter la formule de Sommerfeld en liaison avec la formule de Bohr et la faible valeur de α.
Combien de sous-niveaux d'énergie ce calcul prévoit-il pour les niveaux n = 2 et n = 3 de la formule de Bohr?
Q18. Ces sous-niveaux constituent la structure fine de la raie H_α. En reproduisant sur votre copie la partie droite de la figure 2 (page 6), identifier chacun de ces niveaux d'énergie par leurs indices ( n, l ) respectifs.
En déduire, en fonction de R_y et α, l'expression de l'écart ΔE_f = E_(2, 1) − E_(2, 0) entre les deux sous-niveaux n = 2.
Calculer la valeur numérique de ΔE_f en électron-volts.
Q19. On rappelle que le nombre d'onde σ d'une radiation est l'inverse de sa longueur d'onde. Exprimer en fonction de h, c, et ΔE_f, l'écart Δσ = σ_a − σ_b des nombres d'onde σ_a et σ_b des radiations émises lors des deux transitions (a) et (b) suivantes :
(a) : obtenue par désexcitation depuis le niveau ( n = 3, l = 1 ) vers le niveau ( n = 2, l = 0 )
(b) : obtenue par désexcitation depuis le niveau ( n = 3, l = 1 ) vers le niveau ( n = 2, l = 1 ).
Calculer Δσencm^(− 1), unité habituelle des spectroscopistes.
Immédiatement après l'annonce du résultat négatif de leur expérience consacrée à confirmer l'existence de l'éther luminifère, Michelson et Morley mentionnèrent dans une publication l'observation de la raie H_α comme un doublet de nombre d'onde moyen σ_m = 15237, 40 cm^(− 1) et d'écart spectral Δσ_(exp) = 0, 360 cm^(− 1) (valeurs expérimentales de 1887).
Q20. De quelle couleur est ce doublet ? Calculer son écart relatif en nombre d'onde Δσ_(exp)/σ_m. Comparer cet écart relatif à celui du doublet jaune du sodium ( λ_1 = 589, 0 nm et λ_2 = 589, 6 nm ).

Partie V - Résolution interférométrique d'un doublet spectral

Les moyens spectroscopiques conventionnels (spectroscope à prisme ou à réseau) peuvent se révéler insuffisants quand il s'agit de résoudre un doublet à très faible écart spectral. On peut alors avoir recours à des méthodes interférométriques. Il est question dans cette partie de l'utilisation de l'interféromètre de Michelson.
Le schéma 1 de principe d'un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air est donné page 8. On note Ox et Oy deux axes perpendiculaires définissant les directions des deux bras de l'interféromètre. S est une source lumineuse ponctuelle située sur Ox.M_1 et M_2 sont deux miroirs plans parfaitement réfléchissants, disposés perpendiculairement à Ox en H_1 et respectivement à Oy en H_2. Le trait incliné à 45^∘, noté L_s, schématise un groupe de deux lames semi-réfléchissantes à faces parallèles. Ce groupe est supposé n'introduire aucune différence de marche sur les trajets lumineux. L_p désigne une lentille mince convergente placée à la sortie de l'interféromètre de manière à ce que son axe optique soit confondu avec l'axe Oy. Un écran E est placé dans le plan focal image de L_p. On note C le foyer image de L_p.
Q21. Nommer les lames qui composent L_s. Qu'est-ce qui les distingue ? Expliquer la nécessité pratique d'utiliser deux lames.
Q22. Un rayon lumineux, noté (r), émis par S, a été représenté. Reproduire le schéma ci-dessous sur la copie avec SO = OH_1 = 2OH_2 et le compléter en faisant un tracé soigné des deux rayons (r_1) et (r_2) qui émergent de l'interféromètre après division de (r). On laissera apparent tout élément de construction (traits, prolongements de rayons, points remarquables, etc.) justifiant d'un tracé raisonné sans utilisation d'aucun rapporteur d'angle. Tout élément explicatif (noms, positions des points, constructions réalisées...) sera également mentionné.
Q23. Sur ce même schéma positionner le miroir fictif M^′ j justifiant de la dénomination «lame d'air » en faisant apparaître le point Q_1 intersection de M^′ ' avec les deux prolongements fictifs ad hoc de (r_1) et de (r_2).
Enfin, terminer le tracé des rayons ( r_1 ) et ( r_2 ) après la lentille L_p jusqu'à l'écran E (on demande comme ci-dessus un tracé raisonné).
Schéma 1 - Interféromètre de Michelson
Q24. Indiquer quelle est la forme des franges d'interférences observées sur l'écran (aucune justification n'est demandée). Comment nomme-t-on ces franges ?
Q25. En appelant e l'épaisseur de la lame d'air et en prenant l'indice optique de l'air égal à 1 , exprimer la différence de marche δ au centre C de l'écran.
Q26. On étudie le cas où la source de lumière utilisée présente un doublet spectral de nombres d'ondes σ_1 et σ_2. Donner l'expression des ordres d'interférence p_1 et p_2 en C pour chaque radiation du doublet en fonction de δ, σ_1 et σ_2.
Q27. Pour quelles valeurs de la différence p_1 − p_2 y − a − t − il brouillage en C ? En pratique la totalité de la figure d'interférences est affectée et on perd la visibilité des franges partout sur l'écran. En déduire, en fonction de l'écart spectral Δσ = σ_1 − σ_2, la variation D_δ de la différence de marche entre deux situations consécutives de brouillage. Comment nomme-t-on ces situations?
Application numérique : dans le cas du doublet Hα (écart spectral Δσ_(exp) = 0, 360 cm^(− 1) ), calculer la variation D_e de l'épaisseur de la lame d'air pour passer d'une situation de brouillage à la situation de brouillage directement consécutive.
Figure 3 - Schéma des trajets lumineux dans l'interféromètre de Michelson et Morley de 1887 (source : http://ondes-relativite.info/DominiqueCabala/chap4_histo.htm)
Q28. À l'entrée de leur interféromètre historique de 1887, Michelson et Morley ont utilisé un dispositif à prismes muni d'une fente pour sélectionner la raie H_α présente dans le spectre solaire. Ils ont observé des brouillages périodiques lors de la translation du miroir mobile de leur interféromètre. Partant du contact optique (bras de longueurs rigoureusement égales à L_0 ), ils ont compté un total de 6 brouillages de part et d'autre du contact optique ( 3 de chaque côté) pour un déplacement du miroir égal à 1/160^e de la longueur L_0.
Calculer la valeur de L_0 pour l'interféromètre de Michelson de 1887.
Q29. L'interféromètre, construit dans un sous-sol du campus de l'Université de Cleveland aux EtatsUnis, était monté sur une table en granite rectangulaire posée sur un cylindre de bois flottant dans du mercure.
La table faisait environ 130 cm × 110 cm de cotés. La longueur L_0 des bras de l'interféromètre était synthétisée grâce à deux groupes de miroirs permettant plusieurs allers-retours du faisceau sur chaque voie, comme représenté sur la figure 3 (page 9).
À partir de la figure 3 (page 9), donner, en expliquant votre calcul, une estimation grossière de la longueur d'un bras de l'interféromètre. L'ordre de grandeur obtenu est-il en accord avec la valeur L_0 trouvée à la question Q28 ?

Partie VI - Calcul d'une structure fine par l'interaction spin-orbite

Une interprétation globale satisfaisante de l'ensemble des spectres observés, ainsi que des dédoublements de raies obtenus lors de l'application d'un champ magnétique extérieur (effet Zeeman), n'a pu voir le jour qu'avec les travaux de Pauli, puis de Goudsmit et Uhlenbeck en 1925 conduisant à introduire le spin. Dans ce cadre nouveau, on explique la structure fine des raies spectrales par une levée de dégénérescence des niveaux d'énergie produite par l'interaction entre le moment magnétique de spin de l'électron et le champ magnétique créé par le proton en mouvement autour de l'électron dans le changement de référentiel.
Q30. Dans cette question, on reprend le modèle de Bohr de la partie I, figure 1 page 3 : dans le référentiel du laboratoire, le proton est immobile en O et l'électron décrit une orbite circulaire de rayon r centrée sur le proton, à la vitesse v. Exprimer en fonction de r, m_e, v et u⃗_z le moment cinétique orbital en O de l'électron, noté L⃗.
Q31. En se plaçant dans le référentiel de l'électron, c'est le proton qui est en mouvement circulaire autour de l'électron. Donner les expressions du champ magnétique B⃗ ressenti par l'électron dû au mouvement du proton en fonction de μ_0, e, v, r et u⃗_z, puis de μ_0, e, m_e, r et L⃗.
On rappelle à cet effet l'expression du champ magnétique b⃗ créé par une spire circulaire de courant d'intensité I, d'axe Oz et de rayon r, en son centre : b⃗ = (μ_0 I)/(2r)u⃗_z, le sens de u⃗_z étant relié à celui de I par la "règle du tire-bouchon".
Q32. On note μ⃗_s le moment magnétique de spin de l'électron.
On rappelle que μ⃗_s = g_e γ_e S⃗ où S⃗ est le moment cinétique de spin, γ_e = − e/(2m_e) le rapport gyromagnétique de l'électron et g_e = 2, 0023 le facteur de Landé de l'électron.
On rappelle également que l'énergie potentielle d'un dipôle magnétique μ⃗ interagissant avec un champ magnétique extérieur B⃗ est : E = − μ⃗ ⋅ B⃗.
On note E_(so) l'énergie d'interaction de μ⃗_s avec le champ B⃗ (indice "so" pour "spin-orbite"). Montrer que cette énergie d'interaction s'écrit :
E_(SO) = g_e α^2 R_y((a_B)/r)^3(L⃗ ⋅ S⃗)/(ℏ^2).
On utilisera pour cela l'identité γ_e^2(μ_0)/(2π) = (a_B^3 α^2 R_y)/(ℏ^2), dans laquelle α est la constante de structure fine introduite à la fin du paragraphe en italique de la partie IV (page 5), R_y est la constante énergétique de Rydberg et a_B est le rayon de Bohr.
La projection sur u⃗_z du moment cinétique de spin de l'électron est quantifiée : S_z = ± 1/2ℏ, celle du moment cinétique orbital l'est aussi: L_z = m_l ℏ où m_l est un entier relatif tel que − l ≤ m_l ≤ l avec l = 0, 1, 2…, n − 1.
Q33. Citer, en la décrivant succinctement (particules utilisées, principe de la manipulation, résultats) l'expérience historique qui a prouvé la quantification du moment cinétique et magnétique.
En faisant intervenir le moment cinétique total J⃗ = L⃗ + S⃗, chaque état atomique est caractérisé par un triplet de nombres ( n, l, j ) avec n le nombre quantique principal ( n ≥ 1 ), l le nombre quantique de moment cinétique orbital ( l = 0, 1, 2…, n − 1 ) et j un troisième nombre (associé à la quantification de ‖J⃗‖ ), tel que j = 1/2 si l = 0 et j = l − 1/2 ou l + 1/2 si l ≥ 1.
Dans ce modèle à trois nombres quantiques ( n, l, j ) la formule classique de E_(SO) (obtenue en Q32) doit être remplacée par la forme suivante
E_(SO, n, l, j) = g_e α^2 R_y(∭|ψ_(n, l)(r⃗)|^2((a_B)/r)^3 d^3 r⃗)(L⃗.S⃗)/(ℏ^2)
avec L⃗.S⃗ = (j(j + 1) − l(l + 1) − 3/4)(ℏ^2)/2, l'intégrale triple portant sur tout l'espace, ψ_(n, l)(r⃗) désignant la valeur de la fonction d'onde de l'électron au point de l'espace repéré par le vecteur position r⃗ dans un système de coordonnées sphériques avec pour origine le proton et d^3 r⃗ étant la notation couramment utilisée pour désigner un élément de volume.
Avec les notations ( r, θ, φ ) habituelles (utilisées par exemple dans le document 1, en annexe, page 14) : d^3 r⃗ = r^2 sinθdrdθdφ.
Q34. Commenter le remplacement de la quantité ((a_B)/r)^3 par l'intégrale ∭|ψ_(n, l)(r⃗)|^2((a_B)/r)^3 d^3 r⃗.
Calculer cette intégrale pour n = 2 et l = 1.
On donne pour cela : |ψ_(2, 1)(r⃗)| = 1/((4a_B)^(3/2))1/(√π)r/(a_B)sinθexp(− r/(2a_B)).
Q35. On s'intéresse à la structure fine du niveau n = 2 de l'atome d'hydrogène.
Faire un décompte des différents états ( 2, l, j ) possibles et exprimer en fonction de g_e, α et R_y leurs énergies d'interaction spin-orbite correspondantes.
On note E_(so, n = 2)^(min) (respectivement E_(so, n = 2)^(max) ) la plus petite (respectivement la plus grande) des valeurs prises par E_(so) dans le cas où n = 2.
Donner l'expression de la différence ΔE_(so, n = 2) = E_(so, n = 2)^(max) − E_(so, n = 2)^(min) en fonction de g_e, α et R_y.
L'introduction du spin par Uhlenbeck et Goudsmith en 1925 a permis d'expliquer la levée de dégénérescence des niveaux d'énergie (structure fine et effet Zeeman), mais il subsistait une difficulté pour l'écart des niveaux de la structure fine : la valeur calculée en considérant un facteur de Landé g_e ≃ 2 pour l'électron conduisait au double de la valeur attendue. On retrouvait le bon résultat si on posait g_e = 1, mais c'était alors l'effet Zeeman qui était incorrectement traité.
En 1927, Llewellyn Thomas parvint à montrer que la valeur g_e ≃ 2 n'est à remettre en question pour aucun des deux effets, mais qu'il faut corriger l'expression de l'interaction spinorbite dans le référentiel du laboratoire par un facteur 1/2 à cause d'un effet relativiste. Ce résultat (appelé précession de Thomas) a définitivement démêlé le lien étroit entre spin et relativité.
Donner l'expression corrigée de ΔE_(so, n = 2) après l'analyse de Thomas.
La comparer à ΔE_f trouvée en Q18 à partir de la formule de Sommerfeld.

Partie VII - Encore plus fin (!) : la structure hyperfine du niveau fondamental de l'atome d'hydrogène

Après plusieurs années passées à étudier la structure de la Voie lactée par des moyens optiques, l'astronome néerlandais Jan Oort réalisa l'importance d'une fenêtre d'observation dans le domaine des ondes radio afin de contourner le problème de l'absorption de la lumière visible par les nuages de poussière galactiques. L'hydrogène étant l'élément le plus abondant dans l'univers, Oort demanda à son élève H.-C. Van de Hulst d'étudier la possibilité d'une raie spectrale dans le domaine radio en rapport avec l'hydrogène. Celui-ci aboutit en 1944 à la prévision d'une raie due à la structure hyperfine du niveau fondamental de l'atome d'hydrogène. Cette raie, appelée raie de l'hydrogène à 21 cm , a été observée pour la première fois en 1951 par Ewen et Purcell. Cette nouvelle fenètre d'observation astronomique a permis de découvrir la forme spirale des bras de notre galaxie.
À l'aide notamment des documents 1, 2, 3 et 4 fournis en annexe (pages 14 à 16), répondre aux questions suivantes.
Q36. Justifier le choix et la valeur de la fréquence suggérée par Morrison et Cocconi (document 4). Calculer, en électron-volts, l'écart en énergie ΔE_(hf exp) (indice "exp" pour expérimental) entre les deux niveaux hyperfins de l'atome d'hydrogène impliqués dans la raie à 21 cm (en fait 21, 1 cm pour être plus précis).
Q37. Rappeler l'unité de moment magnétique dans le Système International. On appelle magnéton de Bohr (μ_B), respectivement magnéton nucléaire (μ_N), la norme du moment magnétique de spin de l'électron, respectivement du proton. Donner les valeurs numériques de μ_B et de μ_N.
Q38. Établir une formule (classique) d'estimation de l'écart énergétique entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène (on prendra le rayon de Bohr a_B comme la distance séparant le proton de l'électron). On attend une expression ΔE_(hf, classique) faisant intervenir μ_0, μ_B, μ_N, et a_B.
Q39. La résolution de l'équation de Schrödinger donne en fait ΔE_(hf) = (16/3) × ΔE_(hf fclassique).
Application numérique : calculer ΔE_(hf).
La valeur trouvée est-elle cohérente avec la valeur expérimentale ΔE_(hf exp) de la question Q36 ?
Q40. Il est indiqué dans le document 4 (page 16) que la longueur d'onde 21 cm peut servir d'unité de mesure. Pouvez-vous citer un exemple de transition hyperfine intervenant dans la définition d'une unité SI ?

ANNEXE - Documents utiles pour la partie VII

Document 1 - Expression du champ magnétique créé en un point M de coordonnées sphériques (r, θ, φ) par un moment magnétique μ⃗ = μu⃗_z :
B⃗(r, θ, φ) = (μ_0)/(4π)((2μcosθ)/(r^3)u⃗_r + (μsinθ)/(r^3)u⃗_θ)
Document 2 - Rappels de mécanique quantique et tableau de valeurs pour l'électron et le proton
Le moment magnétique de spin μ⃗ et le moment cinétique de spin S⃗ d'une particule sont liés par la formule μ⃗ = gγS⃗ où γ est le rapport gyromagnétique de la particule et g son facteur de Landé.
Particule Électron Proton
Moment cinétique de spin S_z
(en projection sur un axe Oz
quelconque)
± 1/2ℏ ± 1/2ℏ
Rapport gyromagnétique γ_e = − e/(2m_e) γ_p = e/(2m_p)
Facteur de Landé g_e = 2, 0023 g_p = 5, 5857
Document 3 - Extrait de texte sur la structure hyperfine, consultable à l'adresse suivante : http://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/physique-raie-21-cm-cle-astrophysique-cosmologie
L'atome d'hydrogène possède des niveaux d'énergie hyperfins résultant de l'interaction entre le moment magnétique de spin de son électron (appelé magnéton de Bohr) et le moment magnétique de spin de son proton (appelé magnéton nucléaire). Selon que ces deux spins sont parallèles ou antiparallèles, le niveau d'énergie de l'atome n'est pas le même et une transition avec émission d'un photon d'une longueur d'onde de 21 cm est possible.
Une transition quantique dans l'atome d'hydrogène
Copyright © 2005 Pearson Prentice Hall, Inc.
Document 4 - La raie à 21 cm : un moyen de communication avec une éventuelle intelligence extraterrestre?
En 1959 Morrison et Cocconi suggérèrent que la meilleure fréquence pour chercher des signaux provenant de sources extraterrestres intelligentes serait 1420 MHz . Dans le cadre du programme américain SETI (acronyme pour "search for extra-terrestrial intelligence") mis en place dans les années 1960, les premiers signaux émis depuis la Terre pour établir un contact avec une éventuelle intelligence extraterrestre ont été envoyés en 1974 par le grand radiotélescope situé à Arecibo (Puerto Rico). Plusieurs sondes spatiales (Pioneer 10, Voyager 1 et Voyager 2) ont également été lancées dans le but d'explorer des régions externes au système solaire. Sur la sonde Pioneer 10, lancée le 2 mars 1972, une plaque en aluminium anodisé a été fixée, comportant une gravure pouvant servir de message.
La plaque montre un homme et une femme à l'échelle de la sonde et la position du Soleil (position of Sun) par rapport à 14 pulsars et au centre de la Galaxie. En haut à gauche, une représentation de la transition hyperfine de l'atome d'hydrogène donne une longueur d'onde de 21 cm , qui peut servir d'unité de mesure. Ainsi, la hauteur de la femme à droite est donnée en numérotation binaire comme étant 8 fois la longueur d'onde de la raie de l'hydrogène (binary equivalent of decimal 8). Les pulsars sont identifiables par leur fréquence de rotation en binaire, exprimée comme un multiple entier de celle de la raie d'hydrogène. En bas, le Système solaire et la planète d'origine de la sonde sont représentés avec les distances relatives des planètes (planets of Solar System and binary relative distances), également en numérotation binaire. © Nasa
Bien qu'aucune communication avec Pioneer 10 ne soit plus possible depuis janvier 2003, la sonde poursuit actuellement son voyage au-delà du système solaire...

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique CCINP MP 2018 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique CCINP MP 2018 ?

Le sujet porte sur l'atome d'hydrogène : modèle de Bohr, équation de Schrödinger, spectre de raies, corrections relativistes, interférométrie et structures fine et hyperfine.

Quelle est la moyenne du sujet de physique CCINP MP 2018 ?

Le rapport indique une moyenne de 10,70 avec un écart-type de 4,08.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury relève une mauvaise compréhension de la notion de transition avec émission de photon, une méconnaissance de l'expérience de Stern et Gerlach et un manque de rigueur sur les chiffres significatifs et les unités.

Ce sujet CCINP physique MP 2018 est-il difficile ?

Le jury trouve peu de très bonnes copies mais note qu'un bon nombre de candidats ayant maîtrisé leur cours ont traité correctement une bonne partie du sujet.

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