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CCINP Mathématiques 2 MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Algorithmique Python sur les nombres premiers, endomorphismes d'un espace euclidien, matrices semblables
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Le sujet comprend deux exercices indépendants suivis d'un problème. Le premier exercice fait coder en Python la décomposition d'un entier en facteurs premiers. Le second porte sur des propriétés d'endomorphismes d'un espace euclidien. Le problème propose plusieurs méthodes pour établir que deux matrices sont semblables, avant une démonstration générale et une étude de cas en dimension 4.

  1. 1Exercice I : décomposition en facteurs premiersÉcrire en Python des fonctions testant la primalité, calculant une valuation p-adique et produisant la décomposition en facteurs premiers.
  2. 2Exercice II : endomorphismes d'un espace euclidienÉtudier un endomorphisme nul au sens d'une forme quadratique puis l'équivalence de trois propriétés reliant un endomorphisme et son adjoint.
  3. 3Problème, partie I : étude de quelques exemplesComparer des matrices ayant mêmes trace, rang, déterminant et polynôme caractéristique pour déterminer si elles sont semblables.
  4. 4Problème, partie II : démonstration d'un résultatDémontrer que deux matrices réelles semblables dans les complexes le sont aussi dans les réels.
  5. 5Problème, partie IIIÉtudier si deux matrices de même polynôme caractéristique et même polynôme minimal sont nécessairement semblables.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le problème de simple mais efficace, bien construit et de longueur raisonnable, tout en notant que peu de candidats l'ont traité en entier.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,61 / 20 · écart-type 4,32 · 7 121 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,61/ 20
Écart-type
4,32
Présents
7 121
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 10,6105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2019. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Cas particuliers oubliés en Python · Bornes de boucle mal ajustées · Confusion sur la trace d'un produit
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Le jury juge le sujet bien construit, intéressant et de longueur raisonnable, couvrant une grande partie de l'algèbre linéaire. Les copies ont été agréables à corriger et le sujet a bien classé les candidats, avec quelques excellentes copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Cas particuliers oubliés en PythonQ1

    En Q1, le cas n=1 est fréquemment oublié et certains candidats pensent que 1 est premier.

  2. 2
    Bornes de boucle mal ajustéesQ2

    En Q2, l'usage de range(1,n) ne répond pas à la question posée.

  3. 3
    Confusion sur la trace d'un produitQ8

    Beaucoup de candidats écrivent à tort Tr(ABC) = Tr(BAC) ou tr(MN) = tr(M)tr(N).

  4. 4
    Polynôme minimal mal maîtriséQ9

    Le rapport signale que cette notion n'est pas maîtrisée par de nombreux candidats.

    « Dans beaucoup de cas, le polynôme minimal est une notion non maîtrisée. »
  5. 5
    Changement de base mal menéQ10, Q15

    En Q10 et Q15, de nombreux candidats expriment les images de vecteurs dans la base initiale au lieu de la nouvelle base.

Ce qui a été bien réussi

  • Q3 sur la valuation 2-adique a été globalement bien traitée
  • Q14 et Q16 ont été bien traitées dans la plupart des copies
  • Q18 a été bien traitée

Conseils du jury

  • Ne pas trafiquer les calculs pour retomber sur le bon résultat, ce qui indispose fortement le correcteur.
  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler les hypothèses utiles à chaque question.
  • Ne pas recopier l'énoncé avant chaque réponse, ce qui fait perdre du temps.
  • Numéroter les copies et les rendre dans le bon ordre.
  • Commencer par une lecture diagonale du sujet pour mieux s'en imprégner.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Jeudi 2 mai : 8 h - 12 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE I

Dans cet exercice "Algorithme de décomposition primaire d'un entier" (Informatique pour tous), on se propose d'écrire un algorithme pour décomposer un entier en produit de nombres premiers. Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code.
On définit la valuation p-adique pour p nombre premier et n entier naturel non nul. Si p divise n, on note v_p(n) le plus grand entier k tel que p^k divise n. Si p ne divise pas n, on pose v_p(n) = 0. L'entier v_p(n) s'appelle la valuation p-adique de n.
Q1. Écrire une fonction booléenne estPremier(n) qui prend en argument un entier naturel non nul n et qui renvoie le booléen True si n est premier et le booléen False sinon. On pourra utiliser le critère suivant : un entier n ≥ 2 qui n'est divisible par aucun entier d ≥ 2 tel que d^2 ≤ n, est premier.
Q2. En déduire une fonction liste_premiers (n) qui prend en argument un entier naturel non nul n et renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n.
Q3. Pour calculer la valuation 2-adique de 40 , on peut utiliser la méthode suivante :
  • 40 est divisible par 2 et le quotient vaut 20
  • 20 est divisible par 2 et le quotient vaut 10
  • 10 est divisible par 2 et le quotient vaut 5
  • 5 n'est pas divisible par 2.
La valuation 2 -adique de 40 vaut donc 3 .
Écrire une fonction valuation_p_adique(n, p) non récursive qui implémente cet algorithme. Elle prend en arguments un entier naturel n non nul et un nombre premier p et renvoie la valuation p-adique de n. Par exemple, puisque 40 = 2^3 × 5, valuation_p_adique (40, 2) renvoie 3 , valuation_p_adique (40, 5) renvoie 1 et valuation_p_adique (40, 7) renvoie 0 .
Q4. Écrire une deuxième fonction cette fois-ci récursive, val ( n, p ) qui renvoie la valuation p-adique de n.
Q5. En déduire une fonction decomposition_facteurs_premiers(n) qui calcule la décomposition en facteurs premiers d'un entier n ≥ 2.
Cette fonction doit renvoyer la liste des couples ( p, v_p(n) ) pour tous les nombres premiers p qui divisent n.
Par exemple, decomposition_facteurs_premiers(40) renvoie la liste [[2, 3], [5, 1]].

EXERCICE II

Soit E un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté ⟨, ⟩.
On note ‖x‖^2 = ⟨x, x⟩.
Q6. Un endomorphisme u de E vérifiant, pour tout vecteur x ∈ E, ⟨u(x), x⟩ = 0, est-il nécessairement l'endomorphisme nul?
Q7. Étant donné un endomorphisme u de E, on admet qu'il existe un unique endomorphisme v de E vérifiant : ∀(x, y) ∈ E^2, ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, v(y)⟩.
Démontrer l'équivalence des trois propriétés suivantes :
i. uov = vou.
ii. ∀(x, y) ∈ E^2, ⟨u(x), u(y)⟩ = ⟨v(x), v(y)⟩.
iii. ∀x ∈ E, ‖u(x)‖ = ‖v(x)‖.
On pourra, par exemple, successivement prouver les implications :
i ⇒ ii, ii ⇒ iii, iii ⇒ ii et ii ⇒ i.

PROBLÈME

On s'intéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à quelques méthodes pour prouver que deux matrices sont semblables.
Par la suite, n désigne un entier naturel, n ≥ 2.

Partie I - Étude de quelques exemples

Q8. Justifier que deux matrices de M_n(ℝ) qui sont semblables ont la même trace, le même rang, le même déterminant et le même polynôme caractéristique.
Q9. On donne deux matrices :
A = (1, 1, 1; 0, 2, 0; 0, 0, 2) et B = (1, 0, 0; 0, 2, 1; 0, 0, 2).
Vérifier que ces deux matrices ont la même trace, le même déterminant, le même rang et le même polynôme caractéristique.
Ces deux matrices sont-elles semblables ? (on pourra vérifier que l'une de ces matrices est diagonalisable).
Ont-elles le même polynôme minimal ?
Q10. On donne deux matrices :
A = (0, 1, 1; 1, 0, 0; 2, 1, 0) et B = (0, 1, 0; 1, 0, 1; 1, 2, 0).
Établir que ces deux matrices sont semblables par les deux méthodes suivantes :
première méthode: en utilisant u l'endomorphisme associé à A dans une base ( e_1, e_2, e_3 ) d'un espace vectoriel E et en cherchant, sans calculs, une nouvelle base de E; deuxième méthode: en prouvant que le polynôme X^3 − 3X − 1 admet trois racines réelles distinctes (que l'on ne cherchera pas à déterminer) notées α, β et γ.
Q11. Démontrer que toute matrice A ∈ M_n(ℝ) de rang 1 est semblable à une matrice :
U = (0, 0, ., 0, a_1; ., ., ., ., a_2; ., ., ., ., .; ., ., ., ., .; 0, 0, ., 0, a_n) ∈ M_n(ℝ)
On pourra utiliser l'endomorphisme u canoniquement associé à la matrice A.
Q12. Application: soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 2 et u un endomorphisme de E de rang 1 vérifiant иои ≠ 0, démontrer que u est diagonalisable.
On pourra calculer U^2.
Q13. Démontrer qu'une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas nécessairement diagonalisable.
Q14. On donne une matrice A = (α, β, α, β; β, α, β, α; α, β, α, β; β, α, β, α) où α et β sont deux nombres complexes non nuls, différents et non opposés.
Déterminer le rang de la matrice A et en déduire que 0 est valeur propre de A.
Justifier que 2(α + β) et 2(α − β) sont aussi valeurs propres de A.
Préciser une base de vecteurs propres de A.
Dans cette question, il est déconseillé de calculer le polynôme caractéristique de la matrice A.
Q15. Démontrer que quels que soient les réels non nuls a, b et le réel λ, les matrices A = (λ, a; 0, λ) et B = (λ, b; 0, λ) sont semblables.

Partie II - Démonstration d'un résultat

On se propose de démontrer que deux matrices de M_n(ℝ) qui sont semblables dans M_n(ℂ) sont semblables dans M_n(ℝ).
Soient A et B deux matrices de M_n(ℝ) semblables dans M_n(ℂ), il existe une matrice P inversible à coefficients complexes telle que B = P^(− 1)AP. Écrivons P = R + iS où R et S sont deux matrices à coefficients réels.
Q16. Démontrer que RB = AR et SB = AS.
Q17. Justifier que la fonction x ↦ det(R + xS) est une fonction polynomiale non identiquement nulle et en déduire qu'il existe un réel x tel que la matrice R + xS soit inversible.
Q18. Conclure que les matrices A et B sont semblables dans M_n(ℝ).
Q19. Application : démontrer que toute matrice A de M_3(ℝ) de polynôme caractéristique X^3 + X est semblable à la matrice B = (0, 0, 0; 0, 0, 1; 0, − 1, 0).

Partie III

On s'intéresse dans cette question à la proposition P_n :
«Deux matrices de M_n(ℝ) ayant à la fois le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal sont semblables dans M_n(ℝ)».
Q20. En étudiant les différentes valeurs possibles pour le polynôme caractéristique et le même polynôme minimal, démontrer que la proposition P_n est vraie pour n = 2.
On admet qu'elle l'est également pour n = 3.
Q21. Démontrer que la proposition P_n est fausse pour n = 4. On pourra fournir deux matrices composées uniquement de 0 et de 1 .

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2019 ?

Le sujet mêle un exercice d'algorithmique en Python, un exercice sur les espaces euclidiens et un problème d'algèbre linéaire sur les matrices semblables.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Des oublis de cas particuliers en Python, des confusions sur la trace d'un produit de matrices et une maîtrise insuffisante du polynôme minimal et des changements de base.

Ce sujet est-il difficile pour un candidat MP ?

Le jury le décrit comme bien construit et de longueur raisonnable, avec une moyenne de 10,61 sur 20, ce qui correspond à un niveau intermédiaire.

Pas de description pour le moment