Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2025

Plaçons l'origine du repère sur la charge q_1 supposée fixe. La position de la charge q_2 est alors repérée par le vecteur \vec{r}_{12} = r_{12}\,\vec{u}_r, avec \vec{u}_r le vecteur unitaire radial et r_{12} = \|\vec{r}_{12}\|.

D'après l'équation (8), la force de Coulomb exercée par q_1 sur q_2 s'écrit :

Lors d'un déplacement infinitésimal \mathrm{d}\vec{r}_{12} = \mathrm{d}r_{12}\,\vec{u}_r + r_{12}\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta + r_{12}\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi, le travail élémentaire reçu par la charge q_2 vaut :

La force électrostatique étant conservative, l'énergie potentielle U_{12} qui lui est associée vérifie par définition :

En intégrant entre l'infini et la distance finale r_{12}, il vient :

En adoptant la convention de l'énoncé selon laquelle l'énergie d'interaction s'annule à l'infini (U_{12}(\infty) = 0), on obtient :

La charge q_2 étant fixe à la position \vec{r}_2, on déplace la charge q_1 située en \vec{r}_1. La force électrostatique subie par q_1 dérive de l'énergie potentielle d'interaction U_{12} établie à la question précédente :

D'après la formule (2) du formulaire, le gradient par rapport à la position de la charge 1 s'écrit :

On en déduit :

Cette énergie potentielle décrit complètement l'interaction électrostatique entre les deux charges :

• d'une part, elle est symétrique par permutation des deux charges (U_{12} = U_{21}) et ne dépend que de leur distance relative r_{12} ;

• d'autre part, elle permet de retrouver directement les deux forces mutuelles par dérivation par rapport aux coordonnées de chacune des charges :

  \vec{F}_{1 \rightarrow 2} = -\operatorname{\vec{grad}}_2 U_{12} \quad \text{et} \quad \vec{F}_{2 \rightarrow 1} = -\operatorname{\vec{grad}}_1 U_{12},

  ce qui redonne exactement la loi de Coulomb et assure le respect du principe des actions réciproques (\vec{F}_{2 \rightarrow 1} = -\vec{F}_{1 \rightarrow 2}).

L'énergie électrostatique totale U_q du système de N charges ponctuelles est l'énergie nécessaire pour assembler ce système de façon quasi-statique depuis l'infini. En vertu du principe de superposition, elle correspond à la somme des énergies d'interaction électrostatique de toutes les paires \{i, j\} non ordonnées (avec i < j) :

où r_{ij} = \|\vec{r}_j - \vec{r}_i\| est la distance entre les charges q_i et q_j.

On définit le potentiel V_{i \rightarrow j} créé par la charge ponctuelle q_i à la position \vec{r}_j de la charge q_j (avec la convention d'un potentiel nul à l'infini) :

L'énergie de la paire s'écrit alors symétriquement :

Dans la somme double portant sur tous les indices i \neq j, chaque paire \{i, j\} apparaît exactement deux fois (sous la forme (i, j) et sous la forme (j, i)) :

Par identification avec l'expression U_q = a \sum_{i \neq j} q_j V_{i \rightarrow j}, on en déduit :

Signe de l'énergie : L'énergie U_q peut être positive, négative ou nulle :

• Si toutes les charges sont de même signe, tous les termes U_{ij} sont strictement positifs, donc U_q > 0 (système répulsif).
• Pour un système où les attractions dominent les répulsions (par exemple deux charges de signes opposés, ou un cristal ionique stable), les termes d'interaction attractifs l'emportent et U_q < 0.
• Pour des configurations particulières où les contributions attractives et répulsives se compensent exactement, on peut avoir U_q = 0.

D'après la question Q3, l'énergie électrostatique du système S_q = \{q_1, q_2, q_3, q_4\} s'écrit :

On partitionne l'ensemble des indices en deux sous-systèmes S_q^\alpha = \{1, 2\} et S_q^\beta = \{3, 4\}. La somme double sur les 12 couples (i, j) avec i \neq j se décompose naturellement en trois contributions :

1. Énergie propre de S_q^\alpha : elle regroupe les termes d'interaction interne à S_q^\alpha (i, j \in \{1, 2\} avec i \neq j) :

   U_q^\alpha = \frac{1}{2} \sum_{\substack{i, j \in S_q^\alpha \\ i \neq j}} q_j V_{i \to j} = \frac{1}{2} \left( q_1 V_{2 \to 1} + q_2 V_{1 \to 2} \right)

   Comme q_1 V_{2 \to 1} = q_2 V_{1 \to 2} = \dfrac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}, on a simplement :

   \boxed{U_q^\alpha = \frac{1}{2} \left( q_1 V_{2 \to 1} + q_2 V_{1 \to 2} \right) = q_2 V_{1 \to 2}}

2. Énergie propre de S_q^\beta : de même pour les indices i, j \in \{3, 4\} avec i \neq j :

   \boxed{U_q^\beta = \frac{1}{2} \left( q_3 V_{4 \to 3} + q_4 V_{3 \to 4} \right) = q_4 V_{3 \to 4}}

3. Énergie d'interaction U_q^{\alpha \leftrightarrow \beta} : elle contient tous les termes croisés entre S_q^\alpha et S_q^\beta :

   U_q^{\alpha \leftrightarrow \beta} = \frac{1}{2} \sum_{i \in S_q^\alpha} \sum_{j \in S_q^\beta} q_j V_{i \to j} + \frac{1}{2} \sum_{i \in S_q^\beta} \sum_{j \in S_q^\alpha} q_j V_{i \to j}

   Pour chaque paire (i, j) \in S_q^\alpha \times S_q^\beta, l'égalité fondamentale q_j V_{i \to j} = \dfrac{q_i q_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}} = q_i V_{j \to i} montre que les deux sommes croisées sont identiques terme à terme. Le facteur 1/2 se compense donc, ce qui donne :

   \begin{aligned} U_q^{\alpha \leftrightarrow \beta} &= \sum_{i \in \{1, 2\}} \sum_{j \in \{3, 4\}} q_j V_{i \to j} \\ &= q_3 \left( V_{1 \to 3} + V_{2 \to 3} \right) + q_4 \left( V_{1 \to 4} + V_{2 \to 4} \right) \end{aligned}

   De façon totalement symétrique, on a également :

   U_q^{\alpha \leftrightarrow \beta} = q_1 \left( V_{3 \to 1} + V_{4 \to 1} \right) + q_2 \left( V_{3 \to 2} + V_{4 \to 2} \right)

Finalement, la décomposition s'écrit :

avec :

L'énergie électrostatique totale du système réunion S_q = S_q^\alpha \cup S_q^\beta s'écrit, d'après la question Q3 :

En décomposant la somme selon l'appartenance des indices à S_q^\alpha ou S_q^\beta, on sépare les termes internes à chaque sous-système (énergies propres U_q^\alpha et U_q^\beta) et les termes d'interaction croisée :

Or, d'après l'expression du potentiel coulombien V_{i \to j} = \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}, on a pour chaque paire (i,j) :

Les deux doubles sommes sont donc identiques :

Par le principe de superposition, le potentiel électrostatique créé en la position de la charge q_j par l'ensemble des charges de S_q^\alpha est :

On obtient ainsi :

De façon symétrique, en regroupant les termes sous la forme U_q^{\alpha \leftrightarrow \beta} = \sum_{i \in S_q^\alpha} q_i \left( \sum_{j \in S_q^\beta} V_{j \to i} \right), on définit le potentiel créé en la position de la charge q_i par l'ensemble des charges de S_q^\beta :

Ce qui conduit à l'expression équivalente :

La distribution totale de charge est la somme des distributions de charges des deux sous-systèmes :

Par le principe de superposition (linéarité des équations de l'électrostatique), le potentiel total créé en tout point \vec{r} est :

En injectant ces expressions dans la formulation intégrale de l'énergie électrostatique (équation 11) :

On identifie ainsi l'énergie électrostatique propre de chaque sous-système :

ainsi que l'énergie d'interaction électrostatique entre les deux sous-systèmes :

On a donc bien la décomposition :

Comparons successivement les énergies d'interaction, puis les énergies propres totales :

1. Énergies d'interaction : Pour les énergies d'interaction entre deux sous-systèmes distincts \alpha et \beta, il y a une analogie directe entre la description discrète et la description continue :

   U_q^{\alpha \leftrightarrow \beta} = \sum_{j \in S_q^\beta} q_j V_{\alpha \to j} \quad \longleftrightarrow \quad U_\rho^{\alpha \leftrightarrow \beta} = \iiint \rho_\beta(\vec{r}) V_\alpha(\vec{r}) \, \mathrm{d}\tau_{\vec{r}}.

   Dans les deux cas, l'énergie d'interaction représente uniquement le couplage électrostatique mutuel entre les deux distributions disjointes, sans faire intervenir l'auto-interaction des constituants de chaque distribution.

2. Énergies totales (ou énergies propres) : Il existe une différence fondamentale liée à la prise en compte de l'énergie propre :

   • Dans le cas discret :

     U_q = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} q_j V_{i \to j}.

     La sommation exclut rigoureusement les termes diagonaux i = j (le terme V_{i \to i} divergerait en raison du modèle ponctuel). Par conséquent, l'énergie propre intrinsèque de chaque charge ponctuelle isolée est omise (pour une charge ponctuelle seule, U_q = 0).

   • Dans le cas continu :

     U_\rho = \frac{1}{2} \iiint \rho(\vec{r}) V_\rho(\vec{r}) \, \mathrm{d}\tau_{\vec{r}}.

     L'intégrale porte sur tous les éléments de volume sans exclusion : en un point \vec{r}, le potentiel V_\rho(\vec{r}) est créé par l'ensemble de la distribution, y compris par le voisinage infinitésimal de ce point. Ainsi, U_\rho inclut l'énergie propre de la distribution continue, qui représente le travail nécessaire pour assembler les éléments de charge constitutifs depuis l'infini (pour une distribution continue isolée, U_\rho \neq 0).

Soit une redéfinition du potentiel électrostatique par l'ajout d'une constante arbitraire \Delta V, le champ électrique \vec{E} = -\vec{\mathrm{grad}}\,V restant inchangé.

1. Modification de l'énergie électrostatique propre U_{\rho}

En substituant V_{\rho}'(\vec{r}) = V_{\rho}(\vec{r}) + \Delta V dans l'expression (11) :

où Q = \iiint \rho(\vec{r}) \, \mathrm{d}\tau_{\vec{r}} est la charge totale du système S_{\rho}. La variation s'écrit donc :

2. Modification de l'énergie d'interaction U_{\rho}^{\alpha \leftrightarrow \beta}

D'après l'équation (12), l'énergie d'interaction s'exprime sous deux formes équivalentes :

Si l'on redéfinit le potentiel V_{\beta} créé par S_{\rho}^{\beta} par V_{\beta}' = V_{\beta} + \Delta V, la première intégrale devient :

De même, en effectuant la redéfinition sur le potentiel V_{\alpha}' = V_{\alpha} + \Delta V dans la seconde intégrale, on obtient :

Ainsi, selon le potentiel translaté, la modification s'écrit :

Commentaires :

• Invariance de jauge : L'énergie propre U_{\rho} n'est invariante par translation du potentiel que si la charge totale du système est nulle (Q = 0). Dès lors que Q \neq 0, la définition (11) nécessite impérativement de fixer une référence, usuellement la convention V(\vec{r}) \to 0 lorsque r \to \infty.
• Théorème de réciprocité : Les deux formes de l'équation (12) ne restent égales après une translation arbitraire que si Q_{\alpha} = Q_{\beta}. L'indépendance stricte vis-à-vis du potentiel impose Q_{\alpha} = Q_{\beta} = 0. Cela confirme que l'expression (12) est intimement liée à la convention d'un potentiel nul à l'infini pour chacune des distributions.

L'équation (11) donne l'énergie électrostatique propre étendue à tout l'espace :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss, on a \rho = \varepsilon_0 \operatorname{div}\vec{E}. On peut donc écrire, en intégrant sur une boule \mathcal{V}_R centrée sur l'origine et de rayon R :

En utilisant la formule vectorielle (3) du formulaire avec \phi = V et \vec{X} = \vec{E} :

Comme le champ électrostatique dérive du potentiel selon \vec{E} = -\vec{\operatorname{grad}} V, on a :

Il vient ainsi :

En reportant cette relation dans l'intégrale sur \mathcal{V}_R :

Par le théorème de Green-Ostrogradsky, l'intégrale de volume du terme de divergence se transforme en une intégrale de surface fermée sur la sphère \Sigma_R = \partial\mathcal{V}_R de normale extérieure \vec{n} = \vec{e}_r :

Étudions le comportement de ce terme de bord lorsque R \to \infty :

• La distribution de charges S_\rho étant d'extension spatiale finie, les propriétés à grande distance données dans l'énoncé précisent qu'au voisinage de l'infini :

  • si la charge totale Q \neq 0, V(R) = \mathcal{O}(R^{-1}) et \|\vec{E}(R)\| = \mathcal{O}(R^{-2}), d'où \|V\vec{E}\| = \mathcal{O}(R^{-3}) ;
  • si Q = 0, V(R) = \mathcal{O}(R^{-2}) et \|\vec{E}(R)\| = \mathcal{O}(R^{-3}), d'où \|V\vec{E}\| = \mathcal{O}(R^{-5}).
• L'élément de surface est \mathrm{d}S = R^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi, donc l'aire totale de la sphère croît comme 4\pi R^2.

Par suite, dans le cas le plus défavorable (Q \neq 0) :

En prenant la limite quand R \to \infty, l'intégrale surfacique s'annule identiquement, et l'on obtient l'expression recherchée sur tout l'espace :

1. Signe de l'énergie électrostatique U_{\text{es}}

D'après l'équation (13), l'énergie électrostatique s'écrit sous forme d'une intégrale sur tout l'espace :

Puisque la permittivité diélectrique du vide vérifie \varepsilon_0 > 0 et que \vec{E}^2(\vec{r}) \geqslant 0 en tout point, la densité volumique d'énergie électrostatique est partout positive ou nulle :

L'énergie est strictement positive dès lors que le champ électrique n'est pas identiquement nul, c'est-à-dire dès que le système contient des charges non nulles.

2. Explication de la différence avec les charges ponctuelles

Pour un système discret de charges ponctuelles, l'énergie U_q définie à la question Q3 omettait délibérément les termes i = j :

Cette expression ne comptabilise que les énergies d'interaction mutuelle entre charges distinctes, lesquelles peuvent être négatives si des charges de signes opposés prédominent.

En revanche, la formulation intégrale U_{\mathrm{es}} prend en compte l'énergie contenue dans le champ électrostatique total : elle englobe non seulement les énergies d'interaction entre différentes parties de la distribution, mais aussi l'énergie propre (ou auto-énergie) nécessaire pour assembler chaque élément de charge contre ses propres forces de répulsion. L'énergie propre étant toujours strictement positive et dominante, l'énergie totale U_{\mathrm{es}} est nécessairement positive.

3. Possibilité d'une interaction attractive

Le signe toujours positif de l'énergie totale U_{\mathrm{es}} n'interdit absolument pas une interaction attractive :

• D'une part, l'énergie d'interaction U^{\alpha \leftrightarrow \beta} entre deux sous-systèmes S^\alpha et S^\beta fait intervenir le produit scalaire des champs créés :

  U_{\mathrm{es}} = U^\alpha + U^\beta + U^{\alpha \leftrightarrow \beta} \quad \text{avec} \quad U^{\alpha \leftrightarrow \beta} = \iiint \varepsilon_0 \vec{E}_\alpha \cdot \vec{E}_\beta \, \mathrm{d}\tau_{\vec{r}}.

  Ce terme croisé n'a pas de signe déterminé : il est négatif pour deux charges de signes opposés (champs globalement antiparallèles dans l'espace intermédiaire).

• D'autre part, la force électrostatique dérive de l'énergie potentielle selon \vec{F} = -\vec{\nabla} U_{\mathrm{tot}} = -\vec{\nabla} U^{\alpha \leftrightarrow \beta}. Une interaction attractive signifie simplement que l'énergie décroît lorsque la distance diminue (\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r} > 0), ce qui est parfaitement compatible avec une énergie totale U_{\mathrm{es}} > 0.

Considérons une charge ponctuelle q située à l'origine O. En tout point \vec{r} \neq \vec{0}, elle crée le champ électrostatique coulombien :

D'après l'équation (13), l'énergie électrostatique propre de cette charge s'obtient en intégrant sur tout l'espace en coordonnées sphériques :

En régularisant l'intégrale entre un rayon de coupure \epsilon > 0 et R \to +\infty :

L'intégrale converge à l'infini mais présente une divergence ultraviolette en r \to 0. L'énergie électrostatique associée est donc infinie :

Commentaire sur l'utilisation des équations (11) et (13) :

• Pour l'équation (13), la localisation ponctuelle de la charge conduit à un champ électrique en 1/r^2 dont le carré 1/r^4 n'est pas intégrable en r=0 pour la mesure volumique r^2\,\mathrm{d}r.
• Pour l'équation (11), modéliser une charge ponctuelle par une distribution de Dirac \rho(\vec{r}) = q\,\delta(\vec{r}) requerrait d'évaluer le potentiel V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} en r = 0, où il diverge également vers +\infty.

Par conséquent, les formulations intégrales continues (11) et (13) ne peuvent pas être utilisées directement pour décrire l'énergie propre de charges strictement ponctuelles : elles attribuent à chaque charge une énergie propre infinie.

C'est précisément pourquoi la formulation discrète de la question Q3 excluait les termes i = j (V_{i \to i} n'étant pas défini), ne comptabilisant ainsi que les énergies d'interaction mutuelle. Pour réconcilier les approches continue et ponctuelle, il est nécessaire d'attribuer une extension spatiale finie aux charges, ce qui motive l'introduction des grandeurs nivelées dans la section suivante.

D'après le principe de superposition, le champ électrostatique total créé par les deux charges ponctuelles s'écrit \vec{E}(\vec{r}) = \vec{E}_1(\vec{r}) + \vec{E}_2(\vec{r}), où :

En injectant cette somme dans l'équation (13), il vient :

On identifie ainsi :

où U_1 et U_2 sont les énergies propres de chaque charge ponctuelle, qui divergent d'après la question Q11, et U_{1 \leftrightarrow 2} est l'énergie d'interaction électrostatique entre les deux charges :

Effectuons le changement de variable \vec{r}' = \vec{r} - \vec{r}_1, en notant \vec{r}_{12} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 et r_{12} = |\vec{r}_{12}| :

Posons ensuite la variable adimensionnée \vec{u} = \vec{r}' / r_{12}, telle que \mathrm{d}\tau_{\vec{r}'} = r_{12}^3 \, \mathrm{d}\tau_{\vec{u}} :

en posant \vec{n} = -\vec{r}_{12}/r_{12}, qui est un vecteur unitaire. D'après la relation (6) du formulaire :

L'intégrale est donc convergente et vaut :

Commentaires :

• Bien que l'énergie totale U_{\mathrm{es}} diverge à cause des termes d'énergie propre U_1 et U_2, le terme d'interaction U_{1 \leftrightarrow 2} est parfaitement convergent et fini.
• On retrouve rigoureusement l'énergie potentielle d'interaction U_{12} obtenue à la question Q1 à partir du travail mécanique des forces de Coulomb. La formulation intégrale continue de l'énergie de champ (13) contient donc fidèlement l'énergie d'interaction physique entre charges ponctuelles.

Une charge ponctuelle q_i située en \vec{r}_i est décrite de façon idéale par une densité singulière faisant intervenir la distribution de Dirac :

Le nivellement par la fonction fenêtre f consiste en un produit de convolution qui régularise cette singularité : la charge q_i est uniformément ou continûment étalée sur une boule de rayon R centrée en \vec{r}_i.

La charge totale Q contenue dans la distribution continue s'obtient en intégrant la densité volumique \rho(\vec{r}) sur tout l'espace :

En effectuant le changement de variable \vec{u} = \vec{r} - \vec{r}_i (de jacobien unité), et compte tenu de la propriété de normalisation de la fonction fenêtre donnée par l'équation (15), \iiint f(\vec{u})\,\mathrm{d}\tau_{\vec{u}} = 1, il vient :

La fonction fenêtre f(\vec{r}) associée à une charge nivelée de manière homogène sur une boule de rayon R centrée en l'origine est constante pour r \leqslant R et nulle pour r > R :

où r = \|\vec{r}\|.

La constante C est déterminée par la condition de normalisation issue de l'équation (15) :

On en déduit :

La fonction fenêtre s'écrit donc explicitement :

en notant \Theta la fonction échelon de Heaviside.

Le potentiel créé en un point \vec{r} par la distribution continue de charges \rho s'exprime par :

Par inégalité triangulaire et sachant que |\rho(\vec{r}')| < \rho_M pour tout \vec{r}' :

La distribution étant d'extension spatiale finie, son support \mathrm{supp}(\rho) est borné. Pour tout point d'observation \vec{r} fixé, il existe donc une boule de rayon fini R_M centrée en \vec{r} contenant entièrement ce support : \mathrm{supp}(\rho) \subset \mathcal{B}(\vec{r}, R_M). L'intégrande étant strictement positif :

En choisissant des coordonnées sphériques (u, \theta, \phi) centrées au point d'observation \vec{r}, on pose \vec{u} = \vec{r}' - \vec{r} (avec u = |\vec{r}' - \vec{r}|). L'élément de volume s'écrit \mathrm{d}\tau_{\vec{r}'} = u^2 \sin\theta\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi, ce qui donne :

On en déduit la majoration :

Considérons une distribution formée de N charges nivelées :

• Extension spatiale finie : la fonction fenêtre f étant à support compact (nulle au-delà de la distance R), la charge q_i est confinée dans la boule \mathcal{B}(\vec{r}_i, R). Le support de \rho est donc inclus dans la réunion finie de ces boules, \mathcal{V} = \bigcup_{i=1}^N \mathcal{B}(\vec{r}_i, R), qui est de volume fini.

• Densité bornée : la fonction de nivellement étant bornée (\sup |f| < +\infty, égal par exemple à \frac{3}{4\pi R^3} pour une boule homogène), il existe une borne \rho_M telle que :

  |\rho(\vec{r})| \leqslant \sum_{i=1}^N |q_i| \sup(f) = \rho_M < +\infty

D'après le résultat de la question 15*, une telle distribution engendre un potentiel électrique V(\vec{r}) partout fini et uniformément borné sur l'espace par une constante V_M < +\infty :

L'énergie électrostatique propre s'écrit d'après l'équation (11) :

En valeur absolue, l'intégrande est nul hors du support de \rho, d'où :

L'intégrale converge absolument :

D'après la question Q14, la distribution de charge nivelée associée à une charge ponctuelle q est une boule de rayon R et de densité volumique uniforme :

Par symétrie sphérique et invariance par rotation autour de tout axe passant par le centre O, le champ électrostatique est purement radial et ne dépend que de la coordonnée radiale r : \vec{E}(\vec{r}) = E(r)\,\vec{e}_r.

En appliquant le théorème de Gauss à une sphère de rayon r centrée en O :

• Pour r \leqslant R :

  E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{q}{\varepsilon_0} \frac{r^3}{R^3} \implies E(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} r.

• Pour r > R :

  E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \implies E(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.

D'après la formulation de l'équation (13), l'énergie électrostatique propre s'écrit comme la somme de deux contributions :

Calculons séparément ces deux intégrales en coordonnées sphériques (\mathrm{d}\tau = 4\pi r^2 \mathrm{d}r) :

En sommant les deux contributions :

D'après le résultat de la question 17, l'énergie électrostatique propre d'une boule homogène de rayon R et de charge q = -e, tenant compte du champ à l'intérieur comme à l'extérieur, vaut :

En identifiant cette énergie à l'énergie de masse au repos de l'électron E = m_e c^2 pour un rayon R = r_e, on obtient :

ce qui conduit à l'expression du rayon classique de l'électron (dans ce modèle homogène) :

Effectuons l'application numérique avec les données de l'énoncé :

• e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}
• \varepsilon_0 = 8{,}9 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg}
• c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

On a :

soit, avec deux chiffres significatifs :

À cette échelle spatiale (r_e \sim 10^{-15}\text{ m}), les limitations de la physique classique sont déjà largement dépassées :

• La mécanique quantique intervient dès l'échelle atomique (rayon de Bohr a_0 \approx 5 \times 10^{-11}\text{ m} \gg r_e) ;

• Les effets quantiques relativistes apparaissent à l'échelle de la longueur d'onde de Compton de l'électron :

  \lambda_C = \frac{h}{m_e c} = \frac{6{,}6 \times 10^{-34}}{9{,}1 \times 10^{-31} \times 3{,}0 \times 10^8} \approx 2{,}4 \times 10^{-12}\text{ m} \gg r_e

À des échelles inférieures ou égales à \lambda_C, le principe d'indétermination d'Heisenberg \Delta p \sim \hbar / \Delta x implique une fluctuation d'énergie \Delta E \sim c \Delta p \gtrsim m_e c^2, ce qui autorise la création spontanée de paires électron-positron. La description classique d'une particule unique et localisée perd donc tout son sens bien avant d'atteindre le rayon r_e.

Le raisonnement repose sur deux propriétés fondamentales de l'électrostatique :

1. Théorème de Gauss pour une distribution à symétrie sphérique :
   Chaque charge nivelée i \in \{1, 2\} est décrite par une distribution à symétrie sphérique \rho_{q_i}(\vec{r}) = q_i f(\vec{r} - \vec{r}_i), de charge totale q_i, localisée dans une boule de rayon R centrée en \vec{r}_i. D'après le théorème de Gauss, pour tout point \vec{r} situé à l'extérieur de cette boule (|\vec{r} - \vec{r}_i| > R), le champ électrique et le potentiel créés par la distribution sont rigoureusement identiques à ceux d'une charge ponctuelle q_i placée en son centre \vec{r}_i :

   \forall \vec{r} \notin \mathcal{B}(\vec{r}_i, R), \quad V_i(\vec{r}) = \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 |\vec{r} - \vec{r}_i|}.

2. Énergie d'interaction entre les deux distributions :
   D'après la formulation continue de l'énergie d'interaction (équation (12)) :

   U_{12} = \iiint \rho_{q_2}(\vec{r}) \, V_1(\vec{r}) \, \mathrm{d}\tau_{\vec{r}}.

   Puisque les deux supports nivelés ne se recoupent pas, chaque point \vec{r} du support de \rho_{q_2} se situe strictement à l'extérieur de la boule support de \rho_{q_1}. Le potentiel V_1(\vec{r}) agissant sur \rho_{q_2} est donc exactement le potentiel coulombien créé par la charge ponctuelle q_1 placée en \vec{r}_1. L'énergie d'interaction de \rho_{q_2} avec ce champ est donc égale à l'énergie d'interaction d'une charge ponctuelle q_1 avec la distribution \rho_{q_2}.

   En utilisant le théorème de réciprocité (équation (12)) :

   U_{12} = \iiint \rho_{q_1}(\vec{r}) \, V_2(\vec{r}) \, \mathrm{d}\tau_{\vec{r}}.

   De même, le support de \rho_{q_1} est situé hors du support de \rho_{q_2}, où le potentiel V_2 est celui d'une charge ponctuelle q_2 située en \vec{r}_2. L'interaction entre la distribution sphérique \rho_{q_1} et ce potentiel équivaut donc à celle d'une charge ponctuelle q_1 située en son centre \vec{r}_1.

On en déduit que l'énergie d'interaction se réduit à celle de deux charges ponctuelles q_1 et q_2 situées en \vec{r}_1 et \vec{r}_2 :

tant que la distance internucléaire vérifie r_{12} \geqslant 2R.

Considérons la charge q_1 > 0 nivelée sur la boule B_1 de centre O_1 et de rayon R, et la charge q_2 < 0 nivelée sur la boule B_2 de centre O_2 et de rayon R, avec r_{12} = O_1 O_2.

1. Approche par le potentiel :

D'après le théorème de réciprocité (équation (12)), l'énergie d'interaction s'écrit :

Le champ électrique créé par la boule B_1 chargée positivement est purement centrifuge (\vec{E}_1 = E_1(r)\vec{u}_r avec E_1(r) > 0). Le potentiel électrostatique V_1(r), relié au champ par \vec{E}_1 = -\vec{\mathrm{grad}}\,V_1, est donc maximal en son centre O_1 et décroît de façon strictement monotone lorsque la distance r à O_1 augmente.

Par conséquent, à mesure que le centre O_2 de la distribution négative se rapproche de O_1 (c'est-à-dire lorsque r_{12} diminue), les éléments de charge négatifs de B_2 sont immergés dans des régions où le potentiel V_1 est plus élevé. L'intégrale \iiint |\rho_2| V_1 \, \mathrm{d}\tau augmente donc strictement, ce qui implique que l'énergie U_{12} devient de plus en plus négative.

L'intégrale de recouvrement est maximale lorsque les deux boules sont parfaitement concentriques (r_{12} = 0). L'énergie d'interaction atteint alors sa valeur algébrique minimale :

2. Approche par le travail des forces :

Chaque élément infinitésimal de charge \mathrm{d}q_2 < 0 de la boule 2 subit une force de Coulomb attractive dirigée vers O_1 :

La résultante \vec{F}_{1 \to 2} exercée sur la boule 2 est donc toujours attractive, orientée le long de \vec{u}_{12} = \overrightarrow{O_1 O_2}/r_{12} vers le centre O_1 :

Comme la force dérive de l'énergie potentielle d'interaction (\vec{F}_{1 \to 2} = -\frac{\mathrm{d}U_{12}}{\mathrm{d}r_{12}} \vec{u}_{12}), on a :

Lors d'un rapprochement des deux sphères (\mathrm{d}r_{12} < 0), la force attractive fournit un travail moteur (\delta W > 0), si bien que la variation d'énergie potentielle est négative :

L'énergie d'interaction diminue au fur et à mesure que les charges se rapprochent et atteint son minimum absolu à superposition complète (r_{12} = 0).

D'après les questions 1, 19* et 20*, on distingue deux régimes :

• Charges ponctuelles :

  U_{12}^{\text{ponct}}(r_{12}) = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}} \xrightarrow[r_{12} \to 0]{} \begin{cases} +\infty & \text{si } q_1 q_2 > 0, \\ -\infty & \text{si } q_1 q_2 < 0. \end{cases}

• Charges nivelées de rayon R :

  • Pour r_{12} \geqslant 2R : les supports sont disjoints, donc U_{12}(r_{12}) = \dfrac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}} ; en particulier, U_{12}(2R) = \dfrac{q_1 q_2}{8\pi\varepsilon_0 R}.

  • Pour 0 \leqslant r_{12} \leqslant 2R : les charges s'interpénètrent, ce qui supprime la divergence. Par parité due à la symétrie sphérique, la dérivée \dfrac{\mathrm{d}U_{12}}{\mathrm{d}r_{12}}(0) = 0. En r_{12}=0, l'énergie atteint une valeur finie :

    U_{12}(0) = \pm U_{12}^m.

Pour deux charges ponctuelles, l'énergie d'interaction électrostatique U_{12}(r_{12}) = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}} diverge lorsque la distance r_{12} tend vers zéro (divergence en -\infty pour des charges de signes contraires).

Pour des charges nivelées :

• tant que les supports ne s'intersectent pas (r_{12} \geqslant 2R), le potentiel et l'énergie d'interaction sont strictement identiques à ceux de charges ponctuelles (question Q19) ;
• lorsque les charges s'interpénètrent (r_{12} < 2R), l'énergie d'interaction s'adoucit et reste bornée, atteignant son extremum à superposition complète (r_{12} = 0) de valeur absolue U_{12}^m (question Q20*).

L'énergie d'interaction ne pouvant excéder U_{12}^m en valeur absolue, tout se passe comme si les deux charges ponctuelles ne pouvaient pas s'approcher à une distance inférieure à une distance effective minimale r_{\text{min}} définie par :

Calculons U_{12}^m = |U_{12}(0)| lorsque f(\vec{r}) est la fenêtre d'une boule homogène de rayon R et |q_1| = |q_2| = q.

À superposition complète (r_{12} = 0), les deux distributions de charge sont concentriques et proportionnelles :

Par linéarité des équations de l'électrostatique, le potentiel créé par la seconde distribution vérifie V_2(\vec{r}) = \frac{q_2}{q_1} V_1(\vec{r}). L'énergie d'interaction (équation (12)) en r_{12} = 0 vaut donc :

où U_{B_R}(q_1) est l'énergie propre électrostatique d'une boule homogène de charge q_1 et de rayon R. D'après la question Q17 :

Comme |q_1| = |q_2| = q, la valeur absolue de l'énergie d'interaction à l'origine vaut :

En identifiant cette valeur à l'énergie d'interaction coulombienne à la distance r_{\text{min}} :

on obtient :

a) La distribution de charge sur la sphère S présente une invariance par toute rotation autour de son centre O. D'après le théorème de Gauss appliqué à une sphère de rayon r concentrique à S, le champ électrique est purement radial : \vec{E}_S(r) = E_S(r)\,\vec{u}_r.

• Au point P^-, situé à r = R - \varepsilon < R, la surface de Gauss n'englobe aucune charge (Q_{\mathrm{int}} = 0) :

  \vec{E}_S(P^-) = \vec{0}.

• Au point P^+, situé à r = R + \varepsilon > R, la charge intérieure vaut la charge totale Q de la sphère :

  E_S(P^+)\times 4\pi (R+\varepsilon)^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \implies \vec{E}_S(P^+) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(R+\varepsilon)^2}\,\vec{u}_r.

b) L'élément \Sigma est modélisé par une plaque plane carrée de centre P, contenue dans le plan tangent à la sphère en P.

• Le plan de \Sigma est un plan de symétrie pour la distribution de charge de \Sigma. Les points P^+ et P^- sont symétriques l'un de l'autre par rapport à ce plan et situés sur la normale passant par le centre P. Par symétrie planaire, la composante tangentielle du champ en ces points est nulle et la composante normale s'inverse :

  \vec{E}_\Sigma(P^-) = -\vec{E}_\Sigma(P^+) \implies \alpha = -1.

• Au centre P (z=0), la composante normale s'annule par symétrie par rapport au plan de \Sigma (\vec{E}_{\Sigma, N}(P) = \vec{0}), et la composante tangentielle s'annule par symétrie par rapport aux deux plans médiateurs du carré. Par conséquent :

  \vec{E}_\Sigma(P) = \vec{0}.

c) Par le principe de superposition, en tout point de l'espace :

En évaluant cette relation en P^+ et en P^- :

En sommant ces deux expressions :

Le point P n'appartient pas au support de \bar{\Sigma} (la calotte \Sigma ayant été retirée, P est à distance strictement positive des charges de \bar{\Sigma}). Le champ \vec{E}_{\bar{\Sigma}} est donc continu en P :

À la limite \varepsilon \to 0, il vient :

On en déduit :

Considérons l'élément surfacique \Sigma d'aire \mathrm{d}S, centré en P et portant la charge :

La force élémentaire exercée par le reste de la sphère \bar{\Sigma} sur cet élément \Sigma s'écrit :

D'après le résultat de la question 23.c, le champ électrique créé par \bar{\Sigma} en P vaut :

En reportant cette expression dans la force élémentaire, on obtient :

En introduisant le vecteur élément de surface orienté vers l'extérieur \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S \, \vec{u}_r, cette force se met sous la forme d'une force de pression \mathrm{d}\vec{F} = P_{\mathrm{es}} \, \mathrm{d}\vec{S}, avec :

Commentaire sur le sens de la force selon le signe de Q :

Comme la densité surfacique de charge est reliée à la charge totale par \sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}, la pression s'exprime également sous la forme :

La pression P_{\mathrm{es}} est proportionnelle à \sigma^2 (ou Q^2) : elle est donc strictement positive, quel que soit le signe de la charge totale Q (pour Q \neq 0).

Par conséquent, la force élémentaire \mathrm{d}\vec{F} = P_{\mathrm{es}} \, \mathrm{d}\vec{S} est toujours dirigée vers l'extérieur de la sphère (\vec{u}_r).

Lors d'une variation quasi-statique du rayon de la sphère de R à R + \mathrm{d}R, chaque élément de surface \mathrm{d}S subit un déplacement radial \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}R\,\vec{u}_r.

D'après le résultat de la question Q24, la force électrostatique élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{F} = P_{\mathrm{es}}\,\mathrm{d}\vec{S} = P_{\mathrm{es}}\,\mathrm{d}S\,\vec{u}_r, avec :

Le travail élémentaire \delta W fourni par la sphère sur elle-même s'écrit donc :

En intégrant ce travail élémentaire entre le rayon initial R_1 et le rayon final R_2, on obtient le travail fourni par la sphère :

Par définition de l'énergie potentielle propre associée aux forces intérieures conservatives (ou par application du premier principe au système constitué des charges de la sphère, sans échange thermique : \Delta U = W_{\mathrm{re\text{ç}u}} = -W_{\mathrm{fourni}}), la variation d'énergie propre \Delta U = U_S(R_2) - U_S(R_1) s'écrit :

Pour en déduire l'énergie propre U_S(R) à un rayon R donné, on choisit l'état initial R_1 = R et l'état final à l'infini R_2 \to +\infty. En utilisant la condition de référence U_S(R \to +\infty) = 0 :

On en déduit :

La sphère intérieure S^a de rayon R^a, portant la charge Q^a uniformément répartie, crée d'après le théorème de Gauss en tout point de l'espace situé à une distance r \geqslant R^a un champ électrostatique :

Chaque élément de surface \mathrm{d}S_b de la sphère extérieure S^b est situé à la distance r = R^b > R^a du centre et porte la charge \mathrm{d}q_b = \sigma_b \, \mathrm{d}S_b. La force exercée par la sphère S^a sur cet élément vaut :

Lors d'une dilatation quasi-statique faisant varier le rayon de R^b à R^b + \mathrm{d}R^b, chaque point de la sphère S^b subit un déplacement radial \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}R^b \, \vec{u}_r. Le travail élémentaire fourni par S^a sur l'ensemble de la sphère S^b s'obtient en intégrant sur toute la surface de S^b :

Pour une variation finie du rayon de R_1^b à R_2^b (avec R_1^b > R^a et R_2^b > R^a), le travail total fourni par S^a à S^b est :

Soit finalement :

D'après le théorème de Gauss appliqué à une sphère de rayon r < R^b pour la distribution de charge S^b seule (qui ne porte aucune charge dans son volume intérieur r < R^b) :

La sphère intérieure S^a étant située à r = R^a < R^b, le champ électrostatique créé par S^b est rigoureusement nul en tout point de S^a :

La force élémentaire exercée par S^b sur chaque élément de charge \mathrm{d}q^a = \sigma_a \mathrm{d}S de la sphère S^a est donc nulle :

La pression électrostatique exercée par S^b sur S^a étant identiquement nulle, le travail élémentaire reçu par S^a lors d'une variation quelconque de son rayon est nul :

Par conséquent, pour une transition quasi-statique de R_1^a à R_2^a :

Discussion vis-à-vis de la troisième loi de Newton : Ce résultat n'est en rien contradictoire avec la troisième loi de Newton :

• Forces et non travaux : Le principe des actions réciproques s'applique aux forces exercées entre deux systèmes et non aux travaux qu'ils échangent. Le travail dépend du déplacement des points d'application : ici, lors de la transformation considérée, les éléments de S^a se déplacent alors que la sphère S^b est maintenue immobile à rayon R^b fixé. Les deux transformations des questions Q26 et Q27 sont distinctes.

• Résultante globale : Par symétrie sphérique, la force totale exercée par S^a sur S^b est nulle, tout comme celle exercée par S^b sur S^a :

  \vec{F}_{a \rightarrow b}^{\,\text{tot}} = \vec{0} = -\vec{F}_{b \rightarrow a}^{\,\text{tot}}.

  La troisième loi de Newton est donc rigoureusement vérifiée pour les forces globales.

• Niveau microscopique : Entre deux éléments de charge infinitésimaux \mathrm{d}q_a et \mathrm{d}q_b, la force de Coulomb vérifie \mathrm{d}^2\vec{F}_{a \rightarrow b} = -\mathrm{d}^2\vec{F}_{b \rightarrow a}. L'asymétrie des pressions locales provient de l'effet d'écran géométrique : la somme vectorielle des forces élémentaires exercées par l'ensemble de S^b sur une charge locale de S^a s'annule exactement à l'intérieur de la sphère (effet cage de Faraday), tandis que la somme des forces exercées par l'ensemble de S^a sur une charge locale de S^b ne s'annule pas (la sphère S^a équivaut à l'extérieur à une charge ponctuelle centrale Q^a).

L'énergie électrostatique totale de l'ensemble des deux sphères se décompose en :

D'après la question Q25, l'énergie propre d'une sphère conductrice de rayon R portant une charge Q est :

donc :

L'énergie d'interaction U^{a \leftrightarrow b} correspond au travail fourni par la sphère S^a sur la sphère S^b lors d'une dilatation quasi-statique depuis sa position R_1^b = R^b jusqu'à l'infini (R_2^b \to +\infty), où, selon la convention de l'énoncé, l'énergie d'interaction tend vers zéro. D'après le résultat de la question Q26 :

On en déduit l'expression de l'énergie totale :

Pour étudier son signe, réorganisons cette expression :

Comme R^b > R^a, on a \dfrac{1}{R^a} - \dfrac{1}{R^b} > 0. Les deux termes étant constitués de carrés réels pondérés par des facteurs strictement positifs, on en déduit que :

L'énergie totale est toujours positive ou nulle, et ne s'annule que si Q^a = 0 et Q^b = 0.

D'après la question Q28, l'énergie totale des deux sphères conductrices concentriques s'écrit pour une configuration (R^a, R^b) avec R^b > R^a :

Dans le cas où Q^a = Q et Q^b = -Q, la charge totale est nulle (Q^a + Q^b = 0), ce qui donne :

Calculons à présent cette énergie à l'aide de la formulation locale de l'équation (13) :

Par invariance par rotation autour du centre O, le champ est radial \vec{E}(\vec{r}) = E(r)\,\vec{u}_r. Le théorème de Gauss appliqué à une sphère de rayon r centrée en O donne :

• Pour r < R^a : Q_{\mathrm{int}} = 0 \implies \vec{E}(\vec{r}) = \vec{0} ;
• Pour R^a < r < R^b : Q_{\mathrm{int}} = Q^a = Q \implies \vec{E}(\vec{r}) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_r ;
• Pour r > R^b : Q_{\mathrm{int}} = Q^a + Q^b = 0 \implies \vec{E}(\vec{r}) = \vec{0}.

Le champ électrique n'est donc non nul qu'entre les deux sphères conductrices. L'intégrale sur tout l'espace se réduit à l'intégration sur la coquille sphérique comprise entre R^a et R^b :

On obtient ainsi :

D'après l'expression de l'énergie totale obtenue à la question Q28 (valable aussi pour le cas particulier de la question Q29) :

Lorsque les rayons R^a et R^b tendent vers l'infini (avec R^b > R^a), chaque terme proportionnel à 1/R^a ou 1/R^b tend vers zéro. On en déduit :

Ce résultat n'est pas compatible avec la prise en compte de l'énergie propre des charges élémentaires individuelles composant ces conducteurs :

• Au niveau microscopique, les charges totales Q^a et Q^b sont portées par un ensemble discret de N particules chargées élémentaires (comme des électrons de charge -e).
• Chacune de ces particules possède une énergie propre U_{\text{propre}} non nulle : celle-ci est infinie dans le modèle ponctuel (question Q11), ou finie et égale à l'énergie de masse m_e c^2 dans le modèle nivelé (questions Q17 et Q18). La contribution cumulée de ces énergies propres vaut N U_{\text{propre}} > 0 et ne dépend pas des rayons R^a et R^b.

Ce désaccord apparent s'explique par les hypothèses adoptées dans cette section :

1. Modèle de charge continue : on a décrit les charges par des densités surfaciques uniformes \sigma. Dans ce cadre continu, l'énergie calculée ne représente que l'énergie macroscopique d'interaction mutuelle entre les éléments de surface \mathrm{d}S de la sphère, et ignore la structure discrète sous-jacente de la matière.
2. Origine énergétique (travail d'assemblage) : les énergies propres U_S(R) et totales U_{\mathrm{tot}} ont été définies à partir du travail mécanique macroscopique nécessaire pour former la distribution à partir de charges déjà existantes et infiniment éloignées les unes des autres (R \to \infty). L'énergie propre intrinsèque de constitution des particules n'intervient jamais dans ces échanges de travail et joue simplement le rôle d'une constante de référence additive omise dans le bilan macroscopique.

Un élément filiforme orienté \mathrm{d}\vec{l} parcouru par un courant I, placé dans un champ magnétique extérieur \vec{B}, subit la force élémentaire de Laplace :

Lors d'un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{u} de cet élément, le travail mécanique élémentaire fourni par la force de Laplace s'écrit :

D'après la propriété de permutation circulaire du produit mixte rappelée à l'équation (5) du formulaire, (\vec{X} \wedge \vec{Y}) \cdot \vec{Z} = (\vec{Z} \wedge \vec{X}) \cdot \vec{Y}, appliquée avec \vec{X} = \mathrm{d}\vec{l}, \vec{Y} = \vec{B} et \vec{Z} = \mathrm{d}\vec{u}, on a :

On en déduit directement l'expression demandée :