Feuille d'entraînement : Magnétostatique

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2022, Q21

   1. Invariances et symétries :

   • Pour un solénoïde considéré comme infini (R \ll \ell), la distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe Oz et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

     \vec{B}(M) = \vec{B}(r)

   • Tout plan orthogonal à l'axe Oz est un plan de symétrie pour la distribution de courants orthoradiaux. Le champ magnétique \vec{B}, vecteur axial (pseudo-vecteur), est par conséquent orthogonal à ces plans en tout point, c'est-à-dire dirigé selon \vec{u}_z :

     \vec{B}(r) = B_z(r)\,\vec{u}_z

   2. Application du théorème d'Ampère :

   Considérons un contour fermé rectangulaire orienté \mathcal{C} = M_1 M_2 M_3 M_4 situé dans un plan méridien (\theta = \text{cte}) :

   • un segment intérieur [M_1 M_2] parallèle à l'axe Oz, de longueur L, situé à une distance r < R, orienté selon +\vec{u}_z ;
   • un segment radial [M_2 M_3] allant de r à r' > R ;
   • un segment extérieur [M_3 M_4] parallèle à Oz, de longueur L, situé à r' > R, orienté selon -\vec{u}_z ;
   • un segment radial [M_4 M_1] ramenant de r' à r.

   La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} s'écrit :

   \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_{M_1}^{M_2} B_z(r)\,\mathrm{d}z + \int_{M_2}^{M_3} \underbrace{\vec{B} \cdot \mathrm{d}r\,\vec{u}_r}_{= 0} + \int_{M_3}^{M_4} \underbrace{\vec{B}_{\text{ext}}}_{=\,\vec{0}} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} + \int_{M_4}^{M_1} \underbrace{\vec{B} \cdot (-\mathrm{d}r\,\vec{u}_r)}_{= 0} \\ &= B_z(r)\,L \end{aligned}

   Le nombre de spires traversées par la surface s'appuyant sur ce contour est N' = n\,L = \dfrac{N}{\ell}\,L. L'intensité totale enlacée par le contour est donc :

   I_{\text{enlacé}} = N' I = \frac{N}{\ell} L\,I

   D'après le théorème d'Ampère :

   \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \mu_0\,I_{\text{enlacé}} \\ B_z(r)\,L &= \mu_0\,\frac{N}{\ell} L\,I \end{aligned}

   On en déduit que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde :

   \boxed{\vec{B} = \mu_0 \frac{N}{\ell} I\,\vec{u}_z}

   Résultat

   $$\vec{B}={\mu }_0\frac{N}{\ell }I{\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2022, Q18

   Soit \mathcal{C} le contour circulaire de rayon r \in [R_1, R_2], centré sur l'axe Oz, situé à la cote z et orienté selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta. On l'appuie sur une surface plane \Sigma, constituée du disque de rayon r à cette même cote z. La règle de la main droite oriente la normale à cette surface selon l'axe longitudinal : \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_z.

   D'après le théorème de Stokes appliqué à l'équation de Maxwell-Ampère :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \iint_\Sigma \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \mu_0 \iint_\Sigma \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \iint_\Sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   Or, le champ électrique de l'onde est purement radial :

   \vec{E}(r', z, t) = E(r') \cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_r

   Comme la base locale cylindrique est orthonormée, \vec{u}_r \cdot \vec{u}_z = 0. Il en résulte que le flux du courant de déplacement à travers \Sigma est strictement nul :

   \iint_\Sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_\Sigma \frac{\partial E_r}{\partial t} \underbrace{(\vec{u}_r \cdot \vec{u}_z)}_{=0} \mathrm{d}S = 0

   L'équation se réduit ainsi à la somme des courants de conduction enlacés :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

   On retrouve bien la formulation classique du théorème d'Ampère statique.

   Le seul conducteur traversé par la surface \Sigma est le cylindre intérieur (de rayon R_1 < r). Le courant enlacé algébrique, orienté suivant \vec{u}_z, est l'intensité i(t, z) qui le parcourt :

   I_{\text{enlacé}} = i(t, z)

   Le champ magnétique étant purement orthoradial et de norme uniforme le long du contour \mathcal{C} où \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta :

   \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_0^{2\pi} B_\theta(r, z, t)\, r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi r \, B_\theta(r, z, t) \end{aligned}

   En utilisant l'expression du champ obtenue aux questions Q16 et Q17, avec k/\omega = 1/c :

   B_\theta(r, z, t) = \frac{E_0 R_1}{c\,r}\cos(\omega t - kz)

   La circulation vaut donc :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 2\pi \frac{E_0 R_1}{c} \cos(\omega t - kz)

   On en déduit :

   \mu_0 \, i(t, z) = 2\pi \frac{E_0 R_1}{c} \cos(\omega t - kz)

   Comme c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}, on a \frac{1}{\mu_0 c} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}. On obtient finalement :

   \boxed{i(t, z) = \frac{2\pi E_0 R_1}{\mu_0 c}\cos(\omega t - kz) = 2\pi \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0 R_1 \cos(\omega t - kz)}

   Résultat

   $$i(t,z)=\frac{2\pi E_0{R}_1}{{\mu }_{0}c}\cos (\omega t-kz)=2\pi \sqrt{\frac{{\epsilon }_0}{{\mu }_0}}{E}_0{R}_1\cos (\omega t-kz)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question