Feuille d'entraînement : Mouvement dans un champ de force centrale

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q43

   On étudie le mouvement d'un nano-satellite de masse m_s, modélisé par un point matériel S, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

   La Terre, de masse M_T et de rayon R_T, étant assimilée à une sphère homogène, elle exerce sur le satellite situé à l'altitude h_s (soit à la distance r = R_T + h_s de son centre) la force d'attraction gravitationnelle :

   \boxed{\vec{F}_{\mathrm{T}\to s} = -\frac{\mathcal{G} M_T m_s}{(R_T + h_s)^2}\,\vec{u}_r = \frac{\mathcal{G} M_T m_s}{(R_T + h_s)^2}\,\vec{n}}

   où \vec{u}_r est le vecteur unitaire radial dirigé du centre de la Terre vers le satellite, et \vec{n} = -\vec{u}_r le vecteur unitaire normal centripète (dirigé vers le centre de la Terre).

   Le satellite n'étant soumis qu'à cette seule force gravitationnelle, la deuxième loi de Newton s'écrit :

   m_s \vec{a} = \vec{F}_{\mathrm{T}\to s}

   Dans le repère de Frenet (\vec{t}, \vec{n}), l'accélération d'un point décrivant une trajectoire circulaire de rayon r = R_T + h_s à la vitesse v_s s'écrit :

   \vec{a} = \frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}t}\,\vec{t} + \frac{v_s^2}{R_T + h_s}\,\vec{n}

   La force gravitationnelle étant purement centripète, la projection selon la direction tangentielle donne \frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}t} = 0 : le mouvement est uniforme.

   La projection sur le vecteur normal centripète \vec{n} donne :

   \begin{aligned} m_s \frac{v_s^2}{R_T + h_s} &= \frac{\mathcal{G} M_T m_s}{(R_T + h_s)^2} \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la vitesse orbitale v_s :

   \boxed{v_s = \sqrt{\frac{\mathcal{G} M_T}{R_T + h_s}}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} R_T + h_s &= (6\,371 + 650) \times 10^3\text{ m} = 7{,}021 \times 10^6\text{ m} \\ v_s &= \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{7{,}021 \times 10^6}} \simeq 7{,}53 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{v_s = 7{,}53\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\mathrm{T}\to s}=-\frac{\mathcal{G}{M}_T{m}_s}{(R_T+h_s{)}^2}{\vec{u}}_r=\frac{\mathcal{G}{M}_T{m}_s}{(R_T+h_s{)}^2}\vec{n}$$

   $$v_s=\sqrt{\frac{\mathcal{G}{M}_T}{R_T+h_s}}$$

   $$v_s=7,53\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q32

   Soit \vec{u}_{B \to A} = \frac{\vec{BA}}{\|\vec{BA}\|} le vecteur unitaire orienté de la source B vers le point d'observation A, et notons r = AB = \|\vec{BA}\| la distance séparant les deux points.

   • Force d'interaction électrostatique (loi de Coulomb) :

     La force exercée par la charge q_B sur la charge q_A s'écrit :

     \boxed{\vec{F}_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^3} \, \vec{BA}}

     où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide. Cette interaction est répulsive si les charges sont de même signe (q_A q_B > 0) et attractive si elles sont de signes opposés (q_A q_B < 0).

   • Force d'attraction gravitationnelle (loi de Newton) :

     La force exercée par la masse m_B sur la masse m_A est toujours attractive, dirigée de A vers B (donc opposée à \vec{u}_{B \to A}) :

     \boxed{\vec{F}_g = - G \frac{m_A m_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = - G \frac{m_A m_B}{r^3} \, \vec{BA}}

     où G est la constante gravitationnelle universelle.

   Résultat

   $${\vec{F}}_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_A{q}_B}{r^2}{\vec{u}}_{B\to A}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_A{q}_B}{r^3}\overrightarrow{BA}$$

   $${\vec{F}}_g=-G\frac{m_A{m}_B}{r^2}{\vec{u}}_{B\to A}=-G\frac{m_A{m}_B}{r^3}\overrightarrow{BA}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q34

   Soit un point de l'espace M repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z).

   1. Étude des invariances : La distribution de masse est une couche plane homogène d'épaisseur H, d'extension infinie selon les axes (Ox) et (Oy). Elle est donc invariante par :

   • translation de vecteur quelconque \delta x \, \vec{u}_x selon l'axe (Ox) ;
   • translation de vecteur quelconque \delta y \, \vec{u}_y selon l'axe (Oy).

   En vertu du principe de Curie, le champ gravitationnel créé possède les mêmes invariances que sa source. Les composantes de \vec{g}_c(M) ne dépendent donc ni de x ni de y, mais uniquement de la coordonnée z :

   \vec{g}_c(M) = \vec{g}_c(z).

   2. Étude des symétries : Considérons les deux plans passant par le point M(x, y, z) et perpendiculaires à la couche :

   • le plan \Pi_1 = (M, \vec{u}_x, \vec{u}_z) ;
   • le plan \Pi_2 = (M, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

   La distribution de masse étant invariante par translation dans le plan (Oxy), ces deux plans sont des plans de symétrie plane de la distribution de masse.

   Le champ gravitationnel \vec{g}_c étant un champ vectoriel polaire (au même titre que le champ électrostatique \vec{E}), il appartient à tout plan de symétrie de sa distribution de source passant par le point considéré :

   \vec{g}_c(M) \in \Pi_1 \quad \text{et} \quad \vec{g}_c(M) \in \Pi_2.

   Le champ \vec{g}_c(M) est donc dirigé selon l'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire la droite passant par M et de vecteur directeur \vec{u}_z.

   En combinant l'étude des invariances et des symétries, on en déduit la forme recherchée :

   \boxed{\vec{g}_c = g_c(z)\,\vec{u}_z}

   Résultat

   $${\vec{g}}_c=g_c(z){\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q35

   Considérons une surface de Gauss \Sigma constituée d'un cylindre fermé d'axe (Oz), de section droite d'aire S, délimité par :

   • une base supérieure S_{\text{haut}} située à l'altitude z > H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = +\vec{u}_z ;
   • une base inférieure S_{\text{bas}} située à l'altitude -z < -H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{u}_z ;
   • une surface latérale S_{\text{lat}} cylindrique de génératrices parallèles à (Oz), de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} \perp \vec{u}_z.

   Le flux sortant du champ gravitationnel à travers \Sigma se décompose en :

   \Phi = \oiint_\Sigma \vec{g}_c \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{S_{\text{haut}}} \vec{g}_c \cdot \vec{u}_z\,\mathrm{d}S + \iint_{S_{\text{bas}}} \vec{g}_c \cdot (-\vec{u}_z)\,\mathrm{d}S + \iint_{S_{\text{lat}}} \vec{g}_c \cdot \vec{n}_{\text{lat}}\,\mathrm{d}S

   D'après la question Q34 :

   • sur la surface latérale, \vec{g}_c(z) \parallel \vec{u}_z \perp \vec{n}_{\text{lat}}, d'où \vec{g}_c \cdot \vec{n}_{\text{lat}} = 0 et le flux latéral est nul ;
   • sur la base supérieure (z > H/2), \vec{g}_c(z) \cdot \vec{u}_z = g_c(z), donc le flux vaut g_c(z) S ;
   • sur la base inférieure (-z < -H/2), \vec{g}_c(-z) \cdot (-\vec{u}_z) = -g_c(-z).

   Par antisymétrie par rapport au plan (Oxy), g_c(-z) = -g_c(z), d'où :

   \Phi = g_c(z) S + \big(-g_c(-z)\big) S = 2 g_c(z) S

   Puisque z > H/2, le cylindre intercepte toute l'épaisseur H de la couche plane. La masse intérieure est donc :

   M_i = \rho_c V = \rho_c S H

   En appliquant le théorème de Gauss gravitationnel (question Q33) :

   \begin{aligned} \Phi &= -4\pi G M_i \\ 2 g_c(z) S &= -4\pi G (\rho_c S H) \end{aligned}

   On simplifie par 2S, ce qui donne la composante g_c :

   \boxed{g_c = -2\pi G \rho_c H}

   Ce résultat est indépendant de l'altitude z dans toute la région z > H/2.

   Résultat

   $$g_c=-2\pi G{\rho }_{c}H$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q44

   Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d'un flotteur à la surface de l'océan est la superposition :

   • de la rotation propre de la Terre autour de son axe polaire à la vitesse angulaire \omega_T = \dfrac{2\pi}{T_T} ;
   • de sa dérive dans l'océan par rapport au référentiel terrestre, de l'ordre de quelques dixièmes de mètre par seconde (courants océaniques typiquement inférieurs à 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

   La vitesse du flotteur dans le référentiel géocentrique est donc très largement dominée par la vitesse d'entraînement due à la rotation terrestre. À une latitude \lambda, cette vitesse vaut :

   v_f \simeq \omega_T R_T \cos\lambda = \frac{2\pi R_T}{T_T}\cos\lambda

   Elle est maximale à l'équateur (\lambda = 0) :

   v_{f,\mathrm{max}} = \frac{2\pi R_T}{T_T}

   Application numérique avec R_T = 6\,371\text{ km} = 6{,}371 \times 10^6\text{ m} et T_T = 86\,164\text{ s} :

   v_{f,\mathrm{max}} = \frac{2\pi \times 6{,}371 \times 10^6}{86\,164} \simeq 465\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 0{,}465\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}

   D'après la question Q43, la vitesse orbitale des satellites Kinéis est v_s \simeq 7{,}53\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 7\,530\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On a donc :

   \frac{v_s}{v_f} \ge \frac{7\,530}{465} \simeq 16

   Aux latitudes moyennes (\lambda \approx 45^\circ), la vitesse du flotteur n'est plus que d'environ 330\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui porte le rapport à plus de 20.

   \boxed{v_s \gg v_f}

   La vitesse du satellite est ainsi supérieure d'au moins un ordre de grandeur à celle du flotteur, ce qui justifie de considérer le flotteur comme fixe dans le référentiel géocentrique durant les quelques minutes que dure le survol.

   Résultat

   $$v_s\gg v_f$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q33

   D'après les lois d'interaction établies à la question Q32, le champ électrostatique \vec{E} créé en un point A par une charge ponctuelle q_B située en B et le champ gravitationnel \vec{g} créé par une masse ponctuelle m_B située en B s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{E} &= \frac{\vec{F}_e}{q_A} = \frac{q_B}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \vec{u}_{B\to A}, \\ \vec{g} &= \frac{\vec{F}_g}{m_A} = -\frac{G m_B}{r^2} \vec{u}_{B\to A}. \end{aligned}

   La comparaison terme à terme de ces deux expressions conduit au dictionnaire d'analogie suivant :

   • Champ : \vec{E} \longleftrightarrow \vec{g} ;
   • Source ponctuelle (ou intérieure) : q \longleftrightarrow m (et Q_{\text{int}} \longleftrightarrow M_i) ;
   • Facteur de couplage : \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \longleftrightarrow -G, ce qui équivaut à \dfrac{1}{\varepsilon_0} \longleftrightarrow -4\pi G.

   Le théorème de Gauss pour le champ électrostatique à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur s'écrit :

   \oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.

   En remplaçant \vec{E} par \vec{g}, Q_{\text{int}} par la masse intérieure M_i et \dfrac{1}{\varepsilon_0} par -4\pi G, on obtient le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :

   \boxed{\oiint_{\Sigma} \vec{g} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -4\pi G M_i}

   Résultat

   $$\iint \vec{g}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=-4\pi G{M}_i$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q36

   Par application du principe de superposition linéaire du champ gravitationnel, la configuration avec nappe de pétrole (figure 10 droite) est équivalente à la somme :

   • du sol homogène non perturbé créant le champ -g\,\vec{u}_z ;

   • d'une tranche plane d'épaisseur H, infinie selon (Ox) et (Oy), de masse volumique apparente :

     \rho_c = \rho_p - \rho_s.

   D'après le résultat de la question Q35, cette couche crée en tout point situé au-dessus d'elle (z > H/2) un champ gravitationnel additionnel :

   \vec{g}_{\text{add}} = -2\pi G (\rho_p - \rho_s) H \, \vec{u}_z = 2\pi G (\rho_s - \rho_p) H \, \vec{u}_z.

   Le champ gravitationnel total mesuré par l'avion s'écrit donc :

   \vec{g}' = -g\,\vec{u}_z + \vec{g}_{\text{add}} = -\big[ g - 2\pi G (\rho_s - \rho_p) H \big] \vec{u}_z.

   Par identification avec l'expression donnée par l'énoncé, \vec{g}' = -(g - \Delta g)\,\vec{u}_z, on en déduit l'expression de l'anomalie gravitationnelle :

   \boxed{\Delta g = 2\pi G (\rho_s - \rho_p) H}

   Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

   • G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2},
   • \rho_s = 2800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
   • \rho_p = 800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \implies \rho_s - \rho_p = 2000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
   • H = 200\text{ m}.

   \begin{aligned} \Delta g &= 2\pi \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2000 \times 200 \\ &= 8\pi \times 6{,}67 \times 10^{-6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \\ &\approx 1{,}68 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. \end{aligned}

   \boxed{\Delta g \approx 1{,}7 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}}

   Résultat

   $$\Delta g=2\pi G({\rho }_s-{\rho }_p)H$$

   $$\Delta g\approx 1,7\times 10^{-4}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question