Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2023 (page 3/3 : Parties VII et VIII)

a) Dans le domaine visible, la longueur d'onde dans le vide est comprise entre \lambda_0 = 400\text{ nm} et \lambda_0 = 800\text{ nm}. La pulsation associée vaut \omega = \frac{2\pi c}{\lambda_0}. Pour \lambda_0 \approx 600\text{ nm} :

b) Le récepteur étant l'œil nu, la durée d'intégration \tau correspond au temps de persistance rétinienne :

Cette durée est extrêmement grande devant les périodes optiques T_i = \frac{2\pi}{\omega_i} \sim 10^{-15}\text{ s} (\tau \gg T_i).

c) Le principe de superposition donne l'amplitude totale en P :

En élevant au carré et en appliquant la moyenne temporelle :

En multipliant par la constante de sensibilité K, il vient :

avec les intensités propres de chaque onde :

car \langle \cos^2(\omega_i t + \dots) \rangle_\tau = \frac{1}{2} puisque \tau \gg T_i.

Le terme d'interférence s'écrit :

Le terme à très haute fréquence \omega_1 + \omega_2 \approx 2\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} a une moyenne temporelle strictement nulle sur \tau \sim 0{,}1\text{ s}. Le terme en \omega_1 - \omega_2 n'a une moyenne non nulle que si sa période d'oscillation est très grande devant \tau, c'est-à-dire si :

De plus, pour observer une figure stable dans le temps, la différence de phase à l'origine \varphi_1 - \varphi_2 doit être constante dans le temps (ondes mutuellement cohérentes).

d) Avec \omega_1 = \omega_2 = \omega, k_1 = k_2 = k = \frac{n\omega}{c} = \frac{2\pi n}{\lambda} (où \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} est la longueur d'onde dans le vide) et \varphi_1 = \varphi_2, le terme d'interférence devient :

En identifiant avec l'expression demandée :

où la différence de marche optique \delta(P) s'exprime par :

(ou par parité de la fonction cosinus, \delta(P) = n(x_1 - x_2)).

D'après la formule de Fresnel établie à la question Q29 :

La fonction \delta(P) \mapsto I(P) est une sinusoïde de période spatiale \lambda, oscillant autour de sa valeur moyenne I_1 + I_2 entre deux valeurs extrêmes :

• un maximum I_{\max} = \left(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}\right)^2 atteint pour \delta(P) = p\,\lambda avec p \in \mathbb{Z} ;
• un minimum I_{\min} = \left(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}\right)^2 atteint pour \delta(P) = \left(p + \frac{1}{2}\right)\lambda avec p \in \mathbb{Z}.

Sur la photo 5, on observe un réseau de franges d'interférences très bien contrastées : les zones sombres sont quasiment noires, ce qui traduit une extinction quasi-totale au niveau des minima d'intensité :

Le contraste (ou visibilité) des franges s'exprime par :

Puisque I_{\min} = \left(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}\right)^2 \approx 0, on en déduit que :

Les deux ondes qui interfèrent ont des intensités de même ordre de grandeur, très proches l'une de l'autre.

D'après l'énoncé et la figure 9, les deux rayons lumineux émergent de la goutte d'eau selon des directions parallèles.

Par conséquent, ces deux rayons :

En pratique, l'observateur observant le ciel à l'infini visualise ces interférences directement sur sa rétine, qui correspond au plan focal image du système optique de l'œil.

1. Condition d'interférences constructives

D'après la formule de Fresnel établie à la question Q29, l'intensité lumineuse est maximale lorsque le cosinus vaut 1, c'est-à-dire pour une différence de phase \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta(P) = 2p\pi, soit :

où p désigne l'ordre d'interférence et \lambda la longueur d'onde de la lumière dans le vide.

2. Dépendance de l'écart angulaire avec la taille des gouttes

La différence de marche s'écrit sous la forme factorisée :

où f(\Delta) = \cos(i_2) - \cos(i_1) - 2n(\cos(r_2) - \cos(r_1)) ne dépend que de la direction d'émergence des rayons (repérée par l'angle de déviation \Delta).

Deux franges brillantes successives correspondent à une variation d'ordre \Delta p = 1, soit une variation de différence de marche :

Par conséquent, l'écart angulaire \delta \theta entre les franges est d'autant plus grand que les gouttes sont petites.

D'après les lois de Snell-Descartes pour la réfraction à la traversée air-eau :

Les angles de réfraction valent donc :

D'après le résultat de la question précédente, la condition d'obtention d'une frange brillante d'ordre p = -2 s'écrit :

En utilisant la formule admise pour la différence de marche \delta(P) :

On en déduit l'expression du diamètre D :

Calculons les termes trigonométriques intervenant au dénominateur :

Le dénominateur vaut ainsi :

Avec \lambda = 700\text{ nm} = 700 \cdot 10^{-9}\text{ m} :

L'analyse de l'intensité émergente calculée par la théorie de Mie (figure 10) révèle trois caractéristiques majeures :

• Lien avec la figure 8 (optique géométrique et caustique) : La figure 8 montrait l'existence d'une déviation minimale \Delta_m \approx 137{,}8^\circ pour cette gamme de longueurs d'onde.

  • Pour \Delta < \Delta_m, l'optique géométrique prévoit une absence totale de lumière émergente (zone d'ombre géométrique, correspondant au côté extérieur de l'arc ou bande sombre d'Alexandre). La figure 10 confirme une intensité quasi nulle pour \Delta < 137{,}5^\circ, mais celle-ci n'est pas strictement nulle : une fraction d'onde pénètre dans la région interdite par diffraction.
  • Au voisinage immédiat de \Delta_m, l'accumulation lumineuse géométrique est lissée par la diffraction en un pic d'intensité principal très marqué, décalé légèrement vers \Delta \approx 138{,}3^\circ.
• Lien avec la photo 5 (interférences à deux ondes) : Pour \Delta > \Delta_m, la figure 8 montre que deux rayons incidents d'angles i_1 et i_2 émergent avec la même déviation. En interférant, ils donnent naissance à une modulation d'intensité macroscopique formée d'une suite de maxima et de minima (périodicité de l'ordre de 0{,}8^\circ). Ces oscillations correspondent fidèlement aux franges alternées claires et sombres des arcs surnuméraires visibles sur la photo 5.
• Apport de la théorie de Mie (diffraction et résonances) : En plus de l'enveloppe oscillante des arcs surnuméraires, la courbe présente des fluctuations rapides à haute fréquence spatiale (structure fine ou « ripples »). Ces oscillations ne sont pas prévisibles par le modèle simplifié à deux rayons et traduisent des effets purement ondulatoires (ondes de surface, résonances morphologiques, effet tunnel optique).

D'après le théorème de Babinet, la figure de diffraction produite par un obstacle opaque de diamètre D (la goutte d'eau projetée en un disque opaque) présente la même distribution angulaire d'intensité que celle d'une ouverture circulaire de même diamètre (en dehors de l'onde incidente transmise directe).

L'angle caractéristique sous lequel l'onde est diffractée s'écrit classiquement :

Application numérique : Pour \lambda = 632\text{ nm} = 6{,}32 \cdot 10^{-7}\text{ m} et D = 0{,}6\text{ mm} = 6{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ m} :

On retient :

Justification de l'importance de la diffraction à l'aide de la figure 10 :

• Sur la courbe d'intensité de la figure 10, on constate la superposition de deux échelles angulaires :

  • une enveloppe modulée à basse fréquence (les pics des arcs surnuméraires espacés d'environ 0{,}7^\circ à 0{,}8^\circ) ;
  • une structure fine très dense (oscillations rapides) dont la période angulaire est de l'ordre de 0{,}05^\circ à 0{,}07^\circ (on dénombre une quinzaine de sous-pics sur un intervalle de 1^\circ).
• Cette échelle angulaire fine correspond exactement à l'ordre de grandeur de l'angle de diffraction \theta \approx 0{,}06^\circ\text{--}0{,}07^\circ.
• De surcroît, la diffraction explique que de la lumière soit diffusée sous des angles de déviation inférieurs à la déviation minimale géométrique (\Delta < 137{,}5^\circ), région théoriquement interdite en optique géométrique pure.

La prise en compte de la diffraction est donc essentielle pour modéliser précisément le profil d'intensité.

L'effet tunnel intervient dans de nombreux dispositifs et phénomènes physiques, parmi lesquels on peut citer :

1. Le microscope à effet tunnel (STM) : une pointe conductrice extrêmement fine est approchée à une distance nanométrique d'une surface conductrice. Les électrons franchissent la barrière de potentiel séparant la pointe de la surface par effet tunnel. La mesure du courant tunnel, qui décroît exponentiellement avec la distance, permet de cartographier la surface avec une résolution atomique.
2. La radioactivité \alpha (modèle de Gamow) : le noyau d'hélium (^4_2\text{He}) confiné au sein d'un noyau lourd franchit par effet tunnel la barrière de potentiel coulombienne, bien que son énergie soit inférieure à la hauteur de cette barrière, ce qui explique l'émission spontanée de particules \alpha.

L'équation de Schrödinger à une dimension s'écrit :

Pour une fonction d'onde stationnaire \psi(x,t) = \varphi(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}, les dérivées temporelle et spatiale s'expriment par :

En injectant ces expressions dans l'équation de Schrödinger et en simplifiant par le terme non nul \mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \varphi(x) :

soit encore :

Dans la région II (x_2 < x < x_3), le potentiel est constant et vaut V(x) = V_0 > E. L'équation différentielle devient :

Comme V_0 - E > 0, l'équation caractéristique associée admet deux racines réelles opposées \pm \frac{1}{\delta}, où :

La solution générale dans la région II s'exprime donc sous la forme :

(les constantes A_{II} et B_{II} pouvant être redéfinies si l'on prend l'abscisse d'entrée x_2 comme référence, sous la forme A'_{II}\,\mathrm{e}^{-(x-x_2)/\delta} + B'_{II}\,\mathrm{e}^{(x-x_2)/\delta}).

Pour quantifier l'effet tunnel, la profondeur de pénétration \delta doit être comparée à la largeur de la barrière de potentiel, notée :

Dans la zone sous la barrière (région II), la fonction d'onde s'atténue de manière exponentielle sur une distance caractéristique \delta. Le coefficient de transmission T de la particule à travers la barrière est de l'ordre de grandeur de :

L'effet tunnel est donc peu important (T \ll 1) lorsque la barrière est très large devant la profondeur de pénétration, ce qui se traduit par l'inéquation :

D'après l'énoncé, le potentiel effectif s'écrit :

• Dans l'air (r > a) : l'indice vaut n_{\text{air}} = 1, d'où :

  V(r) = E\frac{b^2}{r^2}

  V(r) est strictement décroissante de V(a^+) = E\dfrac{b^2}{a^2} à 0 lorsque r \to +\infty.

• Dans la goutte (0 < r \le a) : l'indice vaut n > 1, d'où :

  V(r) = E\left(1 - n^2\right) + E\frac{b^2}{r^2}

  V(r) est également strictement décroissante, diverge vers +\infty en r \to 0^+ et atteint en r = a^- la valeur :

  V(a^-) = E\left(1 - n^2\right) + E\frac{b^2}{a^2}

  L'hypothèse E\dfrac{b^2}{a^2} > \left(n^2 - 1\right)E assure que V(a^-) > 0.

• Discontinuité à l'interface (r = a) : le potentiel subit un saut négatif vers l'intérieur :

  V(a^+) - V(a^-) = \left(n^2 - 1\right)E > 0

Commentaire de l'allure :

• Pour r > b, on a V(r) < E : c'est un domaine classiquement accessible pour une particule venant de l'infini.
• Pour a < r < b, on a V(r) > E : cette zone constitue une barrière de potentiel (domaine classiquement interdit) d'épaisseur b - a.
• À la traversée de la surface en r = a, la chute brusque du potentiel d'amplitude (n^2 - 1)E permet d'avoir V(a^-) < E (lorsque b < na). Une particule incidente peut ainsi pénétrer dans la goutte (r \le a) en franchissant la barrière par effet tunnel.

Pour qu'une particule puisse pénétrer et se propager dans le domaine r < a, il faut qu'il existe à l'intérieur de la goutte une région classiquement permise, c'est-à-dire où son énergie totale soit supérieure ou égale au potentiel :

Comme la fonction V(r) = E(1 - n^2) + E \frac{b^2}{r^2} est strictement décroissante avec r pour r \in ]0, a], son minimum sur ce domaine est atteint en r = a^- :

Pour que le fond du puits soit accessible (c'est-à-dire que la barrière de potentiel ait une largeur finie et laisse place à une zone de propagation à l'intérieur de la goutte), il faut nécessairement que :

On identifie ainsi la valeur limite b_0 du paramètre d'impact :

L'indice optique de l'eau étant n > 1, on a bien b_0 > a.

1. Largeur maximale de la barrière de potentiel

Dans le milieu extérieur (air où n = 1), pour r > a, le potentiel effectif s'écrit d'après la question Q39 :

La région de barrière correspond aux positions où l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie mécanique E de la particule :

Pour un rayon incident hors de la goutte (b > a), la barrière de potentiel s'étend donc sur le domaine spatial r \in [a, b]. Son épaisseur vaut :

D'après la question Q40, la pénétration dans la goutte n'est possible que pour b \le b_0 = n a. La largeur maximale de la barrière est donc obtenue pour b = b_0 :

2. Expression de la profondeur de pénétration optique

D'après la question Q37, la profondeur de pénétration de l'onde de matière dans une barrière de potentiel de hauteur V_0 s'écrit :

Ici, au bord extérieur de la goutte (r = a^+), l'énergie potentielle vaut V(a^+) = E\frac{b^2}{a^2}. L'excès d'énergie potentielle au sommet de la barrière est donc :

Pour faire l'analogie avec l'optique ondulatoire, on associe à l'onde lumineuse de longueur d'onde dans le vide \lambda le vecteur d'onde k_0 = \frac{2\pi}{\lambda}. La relation de de Broglie donne une énergie cinétique dans le vide vérifiant :

En injectant cette relation dans l'expression de la profondeur de pénétration :

On obtient bien :

3. Valeur pour b = b_0 et importance de l'effet tunnel

Pour b = b_0 = n a, le terme sous le radical devient \frac{b_0^2}{a^2} - 1 = n^2 - 1. La profondeur de pénétration s'écrit alors :

Pour l'eau (n \approx 1{,}33), on a \sqrt{n^2 - 1} \approx \sqrt{1{,}33^2 - 1} \approx 0{,}88, d'où :

Comparons cette profondeur à la largeur de la barrière L_{\max} : pour une goutte de pluie millimétrique, a \approx 0{,}5\text{ mm}, ce qui donne :

On constate que :

D'après le critère établi en Q38 (\delta \ll \text{largeur de la barrière}), l'onde est quasi totalement atténuée avant d'atteindre la goutte : l'effet tunnel est donc extrêmement faible (négligeable) pour b = b_0.

L'observation attentive de la figure 10 révèle la présence simultanée de deux régimes de variations :

• une modulation à grande échelle angulaire (période de l'ordre de 0{,}8^\circ à 1^\circ), correspondant aux interférences à deux ondes entre les rayons d'incidences i_1 et i_2 (arcs surnuméraires étudiés en partie VII) ;
• des oscillations très rapides à haute fréquence angulaire (structure fine ou « ripple structure »), superposées à l'enveloppe précédente et inexplicables par le simple modèle à deux rayons.

Le modèle de pénétration par effet tunnel optique permet d'interpréter cette structure fine :

1. Piégeage et fuite par effet tunnel : Un rayon incident de paramètre d'impact b \in ]a, b_0] traverse la barrière de potentiel par effet tunnel et pénètre dans la goutte. Il s'y propage en subissant une suite de réflexions totales internes sur la surface r = a (guidage par onde de surface ou mode de galerie). À chaque rebond sur la frontière interne, une fraction de l'énergie fuit vers l'extérieur par effet tunnel optique inverse (franchissement de la barrière de potentiel vers r > a).

2. Interférences à ondes multiples : Les rayons émergeant après un nombre variable de réflexions internes (ou interférant avec les rayons géométriques classiques) présentent entre eux des différences de marche \Delta L considérables, de l'ordre de grandeur de la circonférence de la goutte ou de plusieurs cordes (\Delta L \sim \pi D \gg \lambda). L'interférence de ces multiples composantes produit des franges d'interférence extrêmement serrées, d'écart angulaire typique :

   \delta\theta \sim \frac{\lambda}{\Delta L} \ll 1^\circ
3. Résonances de cavité : Lorsque la condition de phase sur un tour complet de la goutte est vérifiée (interférences constructives le long du contour fermé), il apparaît un phénomène de résonance (résonance morphologique de Mie), qui se traduit par des pics d'intensité très étroits et intenses à certains angles de déviation.