Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2023

• Référentiel galiléen : Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout point matériel isolé ou pseudo-isolé (soumis à un système de forces dont la somme vectorielle est nulle) y possède un vecteur vitesse constant (mouvement rectiligne uniforme ou repos).

• Définition du poids : Le poids \vec{P} d'un corps de masse m au voisinage de la Terre est l'action mécanique exercée par la Terre sur ce corps dans le référentiel terrestre ; il correspond à la résultante de l'attraction gravitationnelle terrestre et de la force d'inertie d'entraînement axifuge liée à la rotation de la Terre :

  \vec{P} = m\vec{g}

• Expression du poids de la goutte : La goutte est modélisée par une sphère homogène de diamètre D et de masse volumique \rho. Son volume vaut V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{\pi D^3}{6}, d'où sa masse :

  m = \rho V = \frac{\pi}{6}\,\rho D^3

  L'accélération de la pesanteur étant \vec{g} = g\,\vec{e}_z, le poids de la goutte s'écrit :

Effectuons une analyse dimensionnelle des deux membres de l'égalité régissant la force de frottement.

Pour le membre de gauche, la force \vec{F}_{\text{frott}} a la dimension d'une force, reliée à la masse et à l'accélération par la seconde loi de Newton :

Pour le membre de droite, déterminons la dimension du produit C \pi \rho_a D^2 v^2 sachant que le coefficient C et le nombre \pi sont sans dimension ([C] = [\pi] = 1) :

• [\rho_a] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-3} (masse volumique de l'air),
• [D^2] = \mathrm{L}^2 (carré d'une longueur),
• [v^2] = [v]^2 = (\mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-1})^2 = \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-2} (carré d'une vitesse),
• [\vec{e}_z] = 1 (vecteur unitaire adimensionné).

On en déduit la dimension du membre de droite :

Les deux membres ont la dimension d'une force :

La formule proposée est donc bien homogène.

On étudie la goutte d'eau modélisée par un point matériel de masse m = \frac{\pi}{6}\rho D^3 dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après les questions précédentes, les forces appliquées à la goutte en mouvement descendant à la vitesse \vec{v} = v\vec{e}_z (v > 0) sont :

• son poids : \vec{P} = mg\vec{e}_z = \frac{\pi}{6}\rho g D^3 \vec{e}_z ;
• la force de frottement de l'air : \vec{F}_{\text{frott}} = -C\pi \rho_a D^2 v^2 \vec{e}_z.

La deuxième loi de Newton s'écrit :

En projection sur l'axe vertical descendant Oz :

Lorsque la vitesse limite est atteinte, la vitesse est constante au cours du temps, d'où \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0. Il vient :

La vitesse étant dirigée vers le bas (v_{\lim} > 0), on en déduit :

avec :

Applications numériques :

Calculons tout d'abord la valeur numérique du coefficient K :

Pour les différents diamètres :

• Pour D = 1\text{ mm} = 1,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  v_{\lim}(1\text{ mm}) = 145 \times \sqrt{1,0 \cdot 10^{-3}} \approx 4,6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

• Pour D = 3\text{ mm} = 3,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  v_{\lim}(3\text{ mm}) = 145 \times \sqrt{3,0 \cdot 10^{-3}} \approx 7,9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

• Pour D = 5\text{ mm} = 5,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  v_{\lim}(5\text{ mm}) = 145 \times \sqrt{5,0 \cdot 10^{-3}} \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

La comparaison entre la courbe expérimentale et le modèle théorique sur la figure 1 met en évidence deux désaccords majeurs :

1. Pour les grosses gouttes (D \gtrsim 2\text{ à }3\text{ mm}) : la vitesse limite mesurée sature autour de 9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} alors que le modèle prédit une croissance continue en \sqrt{D}. En réalité, l'hypothèse d'une goutte sphérique n'est plus valable : la pression aérodynamique exercée par l'écoulement d'air aplatit la goutte (elle adopte une forme d'ellipsoïde aplati, voire d'ombrelle), ce qui augmente notablement son maître-couple (section frontale effective) ainsi que le coefficient de traînée C. La force de frottement s'en trouve accrue, freinant davantage la goutte (les gouttes de diamètre supérieur à 5\text{ mm} finissent même par se fractionner).

2. Pour les petites gouttes (D \lesssim 1\text{ mm}) : le modèle suppose un frottement purement quadratique avec un coefficient C constant. Or, le régime d'écoulement dépend du nombre de Reynolds :

   \mathrm{Re} = \frac{\rho_a v D}{\eta_{\text{air}}}

   Pour les très petites gouttes, le nombre de Reynolds devient faible (\mathrm{Re} \ll 10^3) : le frottement tend vers un régime linéaire (force de Stokes proportionnelle à v et non à v^2), et le coefficient de traînée adimensionné dépend fortement de \mathrm{Re} au lieu d'être constant.

On étudie la platine de masse M dans le référentiel lié au support fixe, supposé galiléen.

À l'équilibre, en l'absence de goutte, la platine est immobile (\vec{v}_{\text{platine}} = \vec{0}, donc la force d'amortissement fluide est nulle) et soumise à deux forces :

• son poids vertical descendant :

  \vec{P} = M g \vec{e}_z

• la force de rappel élastique exercée par le ressort. Le support fixe étant situé sous la platine (figure 2), le ressort soutient celle-ci et travaille en compression (l_{\text{équ}} < l_0). Il exerce une force dirigée vers le haut :

  \vec{F}_{\text{él}} = -k(l_0 - l_{\text{équ}}) \vec{e}_z

D'après le principe fondamental de la statique :

En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{e}_z :

On en déduit l'expression de la longueur à l'équilibre :

On applique la seconde loi de Newton à la platine, assimilée à un point matériel de masse M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen lié au support fixe.

L'axe Oz étant orienté verticalement vers le bas, la position de la platine est repérée par son écart à l'équilibre Z(t). La platine est soumise à :

• son poids : \vec{P} = M g \vec{e}_z ;

• la force de rappel du ressort : la platine étant située au-dessus du support fixe, un déplacement Z(t) > 0 vers le bas comprime davantage le ressort. Sa longueur s'écrit l(t) = l_{\text{équ}} - Z(t). Le ressort pousse la platine vers le haut avec une force :

  \vec{F}_{\text{ressort}} = -k\left(l_0 - l(t)\right)\vec{e}_z = -k\left(l_0 - l_{\text{équ}} + Z(t)\right)\vec{e}_z

  D'après la question Q5, à l'équilibre statique on a k(l_0 - l_{\text{équ}}) = Mg, d'où :

  \vec{F}_{\text{ressort}} = -\left(Mg + k Z(t)\right)\vec{e}_z

• la force d'amortissement fluide :

  \vec{f} = -\lambda \vec{v}_{\text{platine}} = -\lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} \vec{e}_z
• la force exercée par l'impact de la goutte : \vec{F}(t) = F(t)\vec{e}_z.

La seconde loi de Newton s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z :

En divisant par la masse M, on obtient l'équation différentielle demandée :

par identification des termes :

Signification physique de \tau :
La durée \tau représente la durée de l'impact (ou temps d'écrasement) de la goutte d'eau sur la platine du disdromètre. Pendant cet intervalle de temps, la quantité de mouvement de la goutte passe de m v_{\lim} à 0, ce qui se traduit d'après le théorème de l'impulsion par une force moyenne F_0 \approx \frac{m v_{\lim}}{\tau}.

Justification de l'ordre de grandeur :
Considérons une goutte sphérique de diamètre D arrivant à la vitesse v_{\lim}(D). Le contact s'établit dès que le bas de la goutte touche la surface plane de la platine ; l'impact se termine lorsque le sommet de la goutte rejoint la platine. Pendant cette phase d'écrasement, la matière parcourt une distance caractéristique de l'ordre de sa taille initiale D à une vitesse de l'ordre de v_{\lim}(D). Par conséquent :

Calcul numérique de \tau pour D = 2{,}5\text{ mm} :
D'après la loi donnée en début de partie II :

Avec K = 150\text{ m}^{1/2}\cdot\text{s}^{-1} et D = 2{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

On en déduit la durée de l'impact :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

a) L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle homogène établie en Q6 s'écrit :

Son discriminant est \Delta = \gamma^2 - 4\beta. Pour obtenir le retour ou la réponse la plus rapide possible sans oscillations (qui allongeraient le temps de réponse et risqueraient de fausser les mesures), le système doit être réglé dans le régime critique (\Delta = 0). La relation cherchée est donc :

b) Pour 0 \le t \le \tau, la force est constante et vaut F(t) = F_0. L'équation différentielle de Q6 devient :

• Une solution particulière constante est :

  Z_p = \frac{F_0}{M \beta} = \frac{F_0}{k} \quad \left(\text{car } \beta = \frac{k}{M}\right)

• La solution générale de l'équation homogène en régime critique (racine double r = -\gamma/2) est :

  Z_h(t) = (A + B t) \,\mathrm{e}^{-\gamma t / 2}

La solution complète s'écrit donc :

Les conditions initiales imposent que la platine est au repos à sa position d'équilibre à t = 0^- :

On en déduit l'expression de la réponse de la platine pour 0 \le t \le \tau :

c) Pour réaliser Z(\tau) \approx \dfrac{F_0}{k}, il faut que le terme transitoire soit devenu négligeable à l'instant t = \tau, soit :

Le temps de réponse propre du disdromètre est alors très court devant la durée \tau de l'impact de la goutte.

Exprimons alors F_0 en fonction de D. D'après l'expression donnée :

En utilisant \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)} (d'après Q7) :

Comme v_{\lim}(D) = K \sqrt{D}, il vient v_{\lim}^2(D) = K^2 D, d'où :

Avec la masse de la goutte m(D) = \rho \dfrac{\pi D^3}{6} (d'après Q1), la force maximale s'écrit :

Par conséquent, à t = \tau :

d) Pour 0 \le t \le \tau, Z(t) croît depuis 0 avec une tangente horizontale et atteint un palier de valeur F_0/k. Pour t > \tau, F(t) = 0 : le système retourne vers sa position d'équilibre Z = 0 selon le régime critique libre (décroissance apériodique).

e) La valeur maximale atteinte par le déplacement de la platine au cours de l'impact est :

La mesure expérimentale de l'amplitude Z_{\max} permet donc de déterminer directement le diamètre D de la goutte par la relation :

On repère l'espace en coordonnées cartésiennes (x,y,z), le plan infini chargé étant situé en z = e/2 et parallèle au plan (Oxy).

1. Invariances : La distribution de charge surfacique est uniforme et infinie dans le plan z = e/2. Elle est donc invariante par toute translation selon \vec{e}_x et selon \vec{e}_y :

Le champ électrique ne dépend que de la seule coordonnée z.

2. Symétries : Soit M(x, y, z) un point quelconque de l'espace.

• Le plan \Pi_{1} passant par M et dirigé par (\vec{e}_x, \vec{e}_z) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Par conséquent, \vec{E}(M) \in \Pi_{1}.
• Le plan \Pi_{2} passant par M et dirigé par (\vec{e}_y, \vec{e}_z) est également un plan de symétrie de la distribution de charges. Par conséquent, \vec{E}(M) \in \Pi_{2}.

Le champ électrique appartient à l'intersection de ces deux plans de symétrie sécants selon la droite (M, \vec{e}_z) :

En combinant symétries et invariances, le champ électrique en tout point M(x,y,z) s'écrit :

De plus, le plan z = e/2 étant lui-même un plan de symétrie de la distribution, la composante E_z est impaire par rapport à z = e/2, soit :

Énoncé du théorème de Gauss :
Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers une surface fermée orientée vers l'extérieur \mathcal{S}_G est égal au quotient de la charge électrique totale Q_{\text{int}} contenue dans le volume délimité par \mathcal{S}_G par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

Calcul du champ électrostatique :
Le plan infini situé en z = e/2 porte une charge Q répartie uniformément sur une surface S, soit une densité surfacique de charge uniforme :

On choisit comme surface de Gauss \mathcal{S}_G un cylindre fermé d'axe vertical (Oz), de section droite d'aire \mathcal{A}, dont les bases planes sont situées symétriquement par rapport au plan z = e/2, aux cotes z_2 = e/2 + u et z_1 = e/2 - u (avec u > 0).

Le flux de \vec{E} à travers cette surface fermée se décompose en :

• Le flux à travers la surface latérale : en tout point de cette surface, le vecteur normal extérieur unitaire est orthogonal à \vec{e}_z. D'après la question précédente, \vec{E} = E_z(z)\,\vec{e}_z, donc \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{lat}} = 0, et le flux latéral est nul.

• Le flux à travers la base supérieure (z = e/2 + u) : la normale unitaire sortante est +\vec{e}_z, d'où :

  \Phi_{\text{sup}} = \iint \vec{E}\left(\frac{e}{2}+u\right) \cdot (\vec{e}_z\,\mathrm{d}S) = E_z\left(\frac{e}{2}+u\right) \mathcal{A}

• Le flux à travers la base inférieure (z = e/2 - u) : la normale unitaire sortante est -\vec{e}_z. En utilisant la relation d'antisymétrie E_z(e/2 - u) = - E_z(e/2 + u) :

  \Phi_{\text{inf}} = \iint \vec{E}\left(\frac{e}{2}-u\right) \cdot (-\vec{e}_z\,\mathrm{d}S) = - E_z\left(\frac{e}{2}-u\right) \mathcal{A} = E_z\left(\frac{e}{2}+u\right) \mathcal{A}

Le flux total s'écrit donc :

La charge contenue à l'intérieur de \mathcal{S}_G est la charge découpée par le cylindre sur le plan z = e/2 :

D'après le théorème de Gauss :

Par conséquent, le champ électrique créé en tout point de l'espace par cette distribution s'écrit :

ce qui peut également s'écrire sous forme condensée :

D'après la question Q10, le plan supérieur situé en z = e/2, portant la charge +Q (densité surfacique \sigma = Q/S > 0), crée en tout point M(z) tel que z < e/2 le champ électrique :

De même, l'électrode inférieure située en z = -e/2 porte la charge -Q, correspondant à la densité surfacique -\sigma = -Q/S. En un point situé au-dessus de ce plan (z > -e/2), le champ qu'elle crée s'écrit :

Par application du principe de superposition, le champ électrostatique total entre les deux électrodes (-e/2 < z < e/2) dans le vide est la somme de ces deux contributions :

Dans le matériau piézoélectrique de permittivité diélectrique \varepsilon, on remplace \varepsilon_0 par \varepsilon selon la prescription de l'énoncé :

D'après la question Q11, le champ électrique régnant dans le matériau piézoélectrique d'épaisseur e est uniforme et s'écrit :

La différence de potentiel u(t) = V(e/2) - V(-e/2) entre l'électrode positive et l'électrode négative vaut donc :

La tension u(t) est ainsi proportionnelle à la charge Q(t) (le capteur se comporte comme un condensateur plan de capacité C = \frac{\varepsilon S}{e}).

L'énoncé indique que la charge Q(t) est proportionnelle à la force F(t), ce qui implique :

Pendant la durée de l'impact (0 < t < \tau), la modélisation de la page 5 donne :

Or :

• la masse de la goutte sphérique est m(D) = \rho \dfrac{\pi D^3}{6} ;
• la durée de l'impact est modélisée par \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)} (question Q7) ;
• la vitesse limite s'écrit v_{\lim}(D) = K\sqrt{D} (question Q3).

En injectant l'expression de \tau(D), le rapport d'accélération moyenne devient :

Ce terme est donc rigoureusement indépendant du diamètre D. Il en résulte :

Puisque u(t) \propto Q(t) \propto F(t), on en déduit que pendant le choc :

Pendant une durée \tau, les gouttes qui atteignent la surface horizontale S du disdromètre sont celles situées initialement dans un cylindre vertical de base S et de hauteur h = v_{\lim}(D)\,\tau. Le volume de ce cylindre vaut :

Les gouttes étant réparties de manière homogène avec une densité volumique N, le nombre moyen de gouttes G reçues par le capteur pendant la durée d'un impact est :

En utilisant la relation fournie pour la durée de l'impact \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)}, le produit v_{\lim}(D)\,\tau se simplifie :

On obtient ainsi :

Pour éviter tout chevauchement entre deux impacts successifs, il faut qu'au maximum une goutte tombe sur la platine pendant la durée caractéristique d'un impact \tau, soit la condition limite G \le 1. La surface maximale admissible S_{\max} vérifie donc G = 1, ce qui donne :

Le nombre total de gouttes de pluie par unité de volume, toutes tailles confondues, s'obtient en intégrant la distribution volumique de Marshall et Palmer sur tous les diamètres possibles D \in [0, +\infty[ :

En posant le changement de variable sans dimension x = \frac{D}{D_0}, soit \mathrm{d}D = D_0\,\mathrm{d}x :

Par définition, le diamètre moyen \langle D \rangle des gouttes au sein de l'averse est la moyenne pondérée par la distribution :

En effectuant le même changement de variable x = \frac{D}{D_0} :

En utilisant la valeur de l'intégrale donnée par l'énoncé \int_0^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1, on en déduit immédiatement :

Le paramètre D_0 s'interprète donc bien comme le diamètre moyen des gouttes de pluie.

D'après la modélisation établie à la question Q13, le nombre de gouttes de diamètre D tombant sur la surface S pendant la durée d'impact \tau(D) s'écrit :

Pour une distribution continue caractérisée par la densité différentielle \mathrm{d}N = n(D)\,\mathrm{d}D, chaque classe de diamètre apporte une contribution élémentaire :

Le nombre total de gouttes G s'obtient par intégration sur l'ensemble des diamètres possibles :

En posant le changement de variable sans dimension x = \frac{D}{D_0} (soit D = D_0 x et \mathrm{d}D = D_0\,\mathrm{d}x), et en utilisant l'intégrale donnée en Q14 (\int_{0}^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1) :

On obtient ainsi :

Remarque : On retrouve directement ce résultat en écrivant G = \xi S \langle D \rangle N_{\mathrm{tot}}, avec \langle D \rangle = D_0 et N_{\mathrm{tot}} = n_0 D_0 établis à la question Q14.

Pour éviter tout chevauchement entre deux signaux d'impact successifs, la probabilité d'avoir plus d'une goutte pendant une durée d'impact doit être négligeable, ce qui impose en moyenne G \le 1. La surface maximale admissible S_{\max} vérifie donc G = 1, soit :

Application numérique : Convertissons les grandeurs dans le Système International :

• \xi = 6{,}5 ;
• D_0 = 1{,}5\text{ mm} = 1{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ m} ;
• n_0 = 8{,}0 \cdot 10^3\text{ m}^{-3}\cdot\text{mm}^{-1} = 8{,}0 \cdot 10^6\text{ m}^{-4}.

On a :

D'où :

Commentaire au regard de la photo 2 : Sur la photo 2, l'échelle indique une largeur de référence de 10\text{ cm}. Le capteur circulaire du disdromètre possède un diamètre typique de l'ordre de d \approx 10\text{ cm}, ce qui correspond à une surface de collecte :

Cette surface réelle est bien du même ordre de grandeur et immédiatement inférieure à la surface maximale calculée (S \lesssim S_{\max} \approx 85\text{ cm}^2, valeur que l'on retrouvera fixée à S = 80\text{ cm}^2 à la question Q18). Le dimensionnement du capteur permet donc d'optimiser la statistique de comptage tout en prévenant le recouvrement des impacts.

Considérons une surface horizontale réceptrice d'aire S. Pendant une durée \mathrm{d}t, les gouttes qui atteignent cette surface sont celles situées dans un cylindre vertical de base S et de hauteur v_{\lim}(D_0)\,\mathrm{d}t.

Le nombre de gouttes ainsi captées est :

Chaque goutte étant supposée sphérique de diamètre D_0, le volume d'une goutte est :

Le volume total d'eau liquide collecté sur la surface S pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit alors :

Par définition, la hauteur d'eau précipitée pendant la durée \mathrm{d}t est \mathrm{d}h = \frac{\mathrm{d}V_{\text{eau}}}{S}.

L'intensité R de l'averse, définie comme la hauteur d'eau tombée par unité de temps (R = \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}), vaut ainsi :

1. Justification de l'expression générale de R

D'après la question Q16, une population homogène de gouttes de même diamètre D, de vitesse de chute v_{\lim}(D) et de densité volumique N, apporte une intensité pluviométrique :

Pour une averse polydisperse décrite par la distribution de Marshall-Palmer, le nombre de gouttes par unité de volume ayant un diamètre compris entre D et D + \mathrm{d}D s'écrit \mathrm{d}N = n(D)\,\mathrm{d}D.

Cette tranche de gouttes apporte donc une contribution élémentaire à l'intensité de l'averse :

En sommant les contributions de toutes les tailles de gouttes sur [0, +\infty[, on obtient :

2. Calcul de R

En injectant la distribution n(D) = n_0 \exp\left(-\frac{D}{D_0}\right) et l'expression de la vitesse limite v_{\lim}(D) = K\sqrt{D}, il vient :

Effectuons le changement de variable x = \frac{D}{D_0}, d'où D = D_0 x et \mathrm{d}D = D_0\,\mathrm{d}x :

Avec l'intégrale fournie par l'énoncé \int_0^\infty x^{3,5} \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = \frac{105\sqrt{\pi}}{16} :

3. Application numérique

Convertissons les grandeurs dans le système international :

• n_0 = 8,0 \cdot 10^3\text{ m}^{-3}\cdot\text{mm}^{-1} = 8,0 \cdot 10^6\text{ m}^{-4} ;
• K = 150\text{ m}^{1/2}\cdot\text{s}^{-1} ;
• D_0 = 1,5\text{ mm} = 1,5 \cdot 10^{-3}\text{ m} ;
• \int_0^\infty x^{3,5}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x \approx 11,6.

On calcule d'abord la vitesse de précipitation R en \text{m}\cdot\text{s}^{-1} :

Pour obtenir R dans l'unité usuelle \text{mm}\cdot\text{h}^{-1}, on multiplie par 10^3\text{ mm}\cdot\text{m}^{-1} \times 3\,600\text{ s}\cdot\text{h}^{-1} = 3,6 \cdot 10^6\text{ mm}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{h}^{-1} :

Par définition, l'intensité de précipitation R représente la hauteur d'eau reçue par unité de temps, ce qui équivaut au flux volumique d'eau par unité de surface collectrice :

où :

• S = 80\text{ cm}^2 = 8{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 est la surface sensible du capteur ;
• \Delta t = 24\text{ h} est la durée totale de la mesure.

Pour calculer le volume total d'eau V_{\text{tot}} à partir de l'histogramme de la figure 4, on procède ainsi :

1. Pour chaque classe i de gouttes (centrée sur le diamètre moyen D_i), on relève sur l'histogramme le nombre de gouttes comptées N_i.

2. En assimilant chaque goutte à une sphère de diamètre D_i, le volume d'une goutte de cette classe est :

   V_i = \frac{\pi}{6} D_i^3

3. Le volume total d'eau tombé sur le capteur pendant la durée \Delta t s'obtient en sommant les contributions de toutes les classes :

   V_{\text{tot}} = \sum_i N_i V_i = \frac{\pi}{6} \sum_i N_i D_i^3
4. On en déduit l'intensité de l'averse :

Pour obtenir R dans l'unité usuelle (\text{mm}\cdot\text{h}^{-1}), il suffit d'exprimer les diamètres D_i en \text{mm}, la surface S en \text{mm}^2 (S = 8{,}0 \cdot 10^3\text{ mm}^2) et la durée \Delta t en heures (\Delta t = 24\text{ h}).

1. Élimination de la composante continue :

Pour supprimer la valeur moyenne (composante continue, de pulsation \omega = 0) d'un signal tout en transmettant ses variations temporelles, on utilise un filtre passe-haut passif RC (ou un condensateur de liaison suivi d'une résistance de tirage à la masse).

Le montage est constitué d'un condensateur de capacité C placé en série avec l'entrée, et d'une résistance R reliée à la masse aux bornes de laquelle est prélevée la tension de sortie :

En régime continu (\omega = 0), l'impédance du condensateur est infinie (circuit ouvert), d'où un gain nul : la composante continue est totalement éliminée.

Pour que le créneau correspondant au passage de la goutte ne soit pas déformé, on choisit la fréquence de coupure f_c = \frac{1}{2\pi RC} très inférieure aux fréquences caractéristiques du signal (soit RC \gg \tau).

2. Réalisation du bloc d'inversion :

Pour réaliser un changement de signe (s_2(t) = -s_1(t)), on utilise un amplificateur opérationnel (ou amplificateur linéaire intégré, ALI/AOP) associé à deux résistances identiques R_0, câblé en montage amplificateur inverseur de gain unité :

• la borne non-inverseuse (+) est reliée à la masse ;
• le signal d'entrée est appliqué à la borne inverseuse (-) à travers une première résistance R_0 ;
• une boucle de rétroaction négative comportant une seconde résistance R_0 relie la sortie à la borne inverseuse (-).

En régime linéaire (V_+ = V_-), on obtient la relation :

Le faisceau lumineux possède une épaisseur verticale h = 1{,}0\text{ cm}. La goutte de pluie, de diamètre D < h, tombe verticalement à vitesse constante v à travers cette tranche de lumière :

• à t_0 = 1{,}3\text{ ms} : la partie inférieure (front) de la goutte entre dans le faisceau ;
• à t_1 = 1{,}6\text{ ms} : la goutte est entièrement immergée dans le faisceau (le sommet vient de franchir la frontière supérieure) ;
• à t_2 = 2{,}8\text{ ms} : la partie inférieure de la goutte atteint la frontière inférieure du faisceau et commence à en sortir ;
• à t_3 = 3{,}1\text{ ms} : le sommet de la goutte quitte le faisceau.

Entre les instants t_0 et t_2, le front de la goutte traverse toute l'épaisseur h du faisceau. De même, entre t_1 et t_3, le sommet de la goutte parcourt la même distance h.

La vitesse de chute de la goutte s'exprime donc par :

On vérifie la cohérence temporelle :

Application numérique :

Le faisceau lumineux se propage selon l'axe de longueur L et présente une section droite rectangulaire d'aire S_{\text{faisceau}} = h \times l. En supposant le flux lumineux uniformément réparti sur cette section, la fraction d'intensité lumineuse occultée par la goutte est égale au rapport de sa section apparente à celle du faisceau.

Pour une goutte modélisée par une sphère de diamètre D (D < h), la surface occultée projetée perpendiculairement au faisceau est un disque d'aire :

Lorsque la goutte est entièrement immergée dans le faisceau (pour t \in [t_1, t_2]), l'intensité lumineuse occultée est maximale et s'écrit :

L'intensité occultée maximale I_{\max} est donc proportionnelle à D^2.

D'après le synoptique de la chaîne de traitement :

1. Le signal issu du capteur vaut e(t) = k(I_0 - I(t)).
2. L'élimination de la composante continue soustrait la valeur permanente k I_0, ce qui donne -k I(t).
3. L'inverseur change le signe pour donner k I(t).

4. L'extracteur de racine carrée produit le signal final :

   s(t) = \sqrt{k I(t)}

Pour t \in [t_1, t_2], la valeur maximale s_{\max} du signal est donc :

On obtient bien la relation de proportionnalité :

Le disdromètre optique présente plusieurs avantages déterminants par rapport au disdromètre à impact :

1. Mesure simultanée et indépendante de la vitesse et de la taille :
   Le disdromètre à impact ne mesure qu'une force (ou une impulsion mécanique) et déduit le diamètre D en faisant l'hypothèse forte que la goutte a atteint sa vitesse limite théorique v_{\lim}(D). À l'inverse, le disdromètre optique détermine directement et indépendamment la vitesse v de chute (via la durée de traversée du faisceau) et la dimension D (via l'amplitude du signal occulté). Il reste donc précis même si la goutte n'a pas atteint sa vitesse limite (chute sous abri, rafales de vent vertical, etc.).
2. Caractère non intrusif :
   La goutte traverse le faisceau sans contact mécanique : il n'y a ni déformation, ni éclaboussure (splashing), ni fragmentation lors de la détection, et aucun dépôt résiduel d'eau ne vient modifier l'étalonnage ou la masse de la platine.
3. Absence d'inertie mécanique et temps de réponse réduit :
   Le système optoélectronique ne présente pas de temps de relaxation mécanique lié à un équipage mobile amorti (ressort, membrane piézoélectrique), ce qui élimine les temps morts et les risques de perturbation entre impacts très rapprochés.

Les lois de Snell-Descartes pour la réfraction s'énoncent de la manière suivante :

1. Planéité : le rayon réfracté appartient au plan d'incidence, formé par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence.

2. Loi angulaire : les angles d'incidence et de réfraction, mesurés par rapport à la normale, sont liés par :

   n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)

   où n_1 et n_2 désignent respectivement les indices des milieux incident et réfracté.

Dans le cas de la goutte d'eau, le rayon passe de l'air d'indice n_{\text{air}} = 1 à l'eau d'indice n. Avec i_1 = i et i_2 = r, la relation liant i et r s'écrit :

Soit une goutte sphérique de centre O et de rayon R. Notons A le point d'entrée du rayon, B le point de réflexion interne, et C le point de sortie.

• À l'entrée en A (réfraction air \to eau) : le rayon passe d'un milieu d'indice n_{\text{air}} = 1 à un milieu plus réfringent d'indice n > 1. Il se rapproche de la normale OA. La déviation subie, comptée dans le sens horaire (sens de courbure du rayon sur la figure 7), s'écrit :

  D_1 = i - r

• À la réflexion en B : le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB = R. L'angle entre le rayon incident et la normale OB est donc égal à r. En vertu de la loi de la réflexion de Descartes, l'angle de réflexion vaut également r. La déviation subie dans le sens horaire est :

  D_2 = \pi - 2r

• À la sortie en C (réfraction eau \to air) : de même, le triangle OBC est isocèle en O (OB = OC = R), de sorte que l'angle d'incidence en C est r. D'après la loi de Snell-Descartes établie à la question Q23, l'angle de réfraction dans l'air est i. Le rayon s'écarte de la normale et subit une déviation dans le sens horaire :

  D_3 = i - r

Les trois déviations élémentaires s'effectuant dans le même sens horaire (opposé au sens trigonométrique direct défini comme positif sur la figure 7), l'angle opposé à la déviation algébrique, noté \Delta, est simplement la somme de ces trois angles :

Par ailleurs, avec x = \sin(i), comme i \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], on a i = \arcsin(x).
La loi de Descartes donne \sin(r) = \frac{\sin(i)}{n} = \frac{x}{n}, ce qui conduit à r = \arcsin\left(\frac{x}{n}\right).

On obtient ainsi l'expression de \Delta en fonction de n et de x :

D'après la question Q24, l'angle de déviation s'exprime en fonction de x = \sin(i) par :

En utilisant la formule de dérivation de la composée \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin(u(x)) = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u(x)^2}}, la dérivée de \Delta(x) par rapport à x s'écrit :

La fonction \Delta(x) passe par un extremum en x = x_m lorsque sa dérivée s'annule :

Les deux membres étant strictement positifs pour x_m \in \,]0, 1[, on élève au carré :

Comme x_m = \sin(i_m) > 0, on obtient bien :

D'après la figure 8, la fonction \Delta(i) présente un minimum (noté \Delta_m) pour un angle d'incidence particulier i_m \approx 60^\circ, en lequel la tangente est horizontale :

Par conséquent, au voisinage de cet extremum :

• pour une large plage de variations de l'angle d'incidence i autour de i_m, l'angle d'émergence \Delta varie très peu et reste extrêmement proche de \Delta_m ;
• le flux lumineux incident distribué sur cet intervalle d'angles d'incidence émerge donc concentré dans un intervalle angulaire \mathrm{d}\Delta très étroit.

En termes de densité angulaire d'énergie lumineuse émise, la puissance par unité d'angle \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\Delta} = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i} \left| \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}\Delta} \right| tend formellement vers l'infini en \Delta = \Delta_m en optique géométrique. Il en résulte une accumulation de lumière (formation d'une caustique) dans la direction d'émergence \Delta_m, ce qui explique la brillance intense de l'arc-en-ciel.

D'après les questions Q24 et Q25, le minimum de déviation est atteint pour :

L'angle d'incidence i_m et l'angle de réfraction r_m associés vérifient :

La déviation minimale s'exprime alors en degrés par :

1. Pour la radiation rouge (\lambda = 700\text{ nm}, n = 1{,}330) :

2. Pour la radiation violette (\lambda = 400\text{ nm}, n = 1{,}343) :

D'après la question Q27, les angles de déviation minimale valent :

Le Soleil étant situé dans le dos de l'observateur, les rayons incidents se propagent horizontalement vers le rideau de pluie. L'angle d'émergence \theta d'un rayon renvoyé vers l'observateur par rapport à l'axe antisolaire (axe horizontal passant par l'œil) vaut :

On en déduit les angles d'élévation sous lesquels les rayons sont observés :

Comme \theta_{\text{R}} > \theta_{\text{B}} :

• une goutte située plus haut dans le rideau de pluie renvoie son rayonnement rouge dans l'œil de l'observateur (le rayonnement bleu, dévié selon un angle \theta_{\text{B}} plus faible, passe au-dessus de l'œil) ;
• une goutte située plus bas renvoie son rayonnement bleu dans l'œil de l'observateur (le rayonnement rouge passe sous l'œil).

Puisque les rayons rouges perçus proviennent de directions plus élevées (\theta_{\text{R}} > \theta_{\text{B}}) que les rayons bleus :

a) Dans le domaine visible, la longueur d'onde dans le vide est comprise entre \lambda_0 = 400\text{ nm} et \lambda_0 = 800\text{ nm}. La pulsation associée vaut \omega = \frac{2\pi c}{\lambda_0}. Pour \lambda_0 \approx 600\text{ nm} :

b) Le récepteur étant l'œil nu, la durée d'intégration \tau correspond au temps de persistance rétinienne :

Cette durée est extrêmement grande devant les périodes optiques T_i = \frac{2\pi}{\omega_i} \sim 10^{-15}\text{ s} (\tau \gg T_i).

c) Le principe de superposition donne l'amplitude totale en P :

En élevant au carré et en appliquant la moyenne temporelle :

En multipliant par la constante de sensibilité K, il vient :

avec les intensités propres de chaque onde :

car \langle \cos^2(\omega_i t + \dots) \rangle_\tau = \frac{1}{2} puisque \tau \gg T_i.

Le terme d'interférence s'écrit :

Le terme à très haute fréquence \omega_1 + \omega_2 \approx 2\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} a une moyenne temporelle strictement nulle sur \tau \sim 0{,}1\text{ s}. Le terme en \omega_1 - \omega_2 n'a une moyenne non nulle que si sa période d'oscillation est très grande devant \tau, c'est-à-dire si :

De plus, pour observer une figure stable dans le temps, la différence de phase à l'origine \varphi_1 - \varphi_2 doit être constante dans le temps (ondes mutuellement cohérentes).

d) Avec \omega_1 = \omega_2 = \omega, k_1 = k_2 = k = \frac{n\omega}{c} = \frac{2\pi n}{\lambda} (où \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} est la longueur d'onde dans le vide) et \varphi_1 = \varphi_2, le terme d'interférence devient :

En identifiant avec l'expression demandée :

où la différence de marche optique \delta(P) s'exprime par :

(ou par parité de la fonction cosinus, \delta(P) = n(x_1 - x_2)).

D'après la formule de Fresnel établie à la question Q29 :

La fonction \delta(P) \mapsto I(P) est une sinusoïde de période spatiale \lambda, oscillant autour de sa valeur moyenne I_1 + I_2 entre deux valeurs extrêmes :

• un maximum I_{\max} = \left(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}\right)^2 atteint pour \delta(P) = p\,\lambda avec p \in \mathbb{Z} ;
• un minimum I_{\min} = \left(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}\right)^2 atteint pour \delta(P) = \left(p + \frac{1}{2}\right)\lambda avec p \in \mathbb{Z}.

Sur la photo 5, on observe un réseau de franges d'interférences très bien contrastées : les zones sombres sont quasiment noires, ce qui traduit une extinction quasi-totale au niveau des minima d'intensité :

Le contraste (ou visibilité) des franges s'exprime par :

Puisque I_{\min} = \left(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}\right)^2 \approx 0, on en déduit que :

Les deux ondes qui interfèrent ont des intensités de même ordre de grandeur, très proches l'une de l'autre.

D'après l'énoncé et la figure 9, les deux rayons lumineux émergent de la goutte d'eau selon des directions parallèles.

Par conséquent, ces deux rayons :

En pratique, l'observateur observant le ciel à l'infini visualise ces interférences directement sur sa rétine, qui correspond au plan focal image du système optique de l'œil.

1. Condition d'interférences constructives

D'après la formule de Fresnel établie à la question Q29, l'intensité lumineuse est maximale lorsque le cosinus vaut 1, c'est-à-dire pour une différence de phase \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta(P) = 2p\pi, soit :

où p désigne l'ordre d'interférence et \lambda la longueur d'onde de la lumière dans le vide.

2. Dépendance de l'écart angulaire avec la taille des gouttes

La différence de marche s'écrit sous la forme factorisée :

où f(\Delta) = \cos(i_2) - \cos(i_1) - 2n(\cos(r_2) - \cos(r_1)) ne dépend que de la direction d'émergence des rayons (repérée par l'angle de déviation \Delta).

Deux franges brillantes successives correspondent à une variation d'ordre \Delta p = 1, soit une variation de différence de marche :

Par conséquent, l'écart angulaire \delta \theta entre les franges est d'autant plus grand que les gouttes sont petites.

D'après les lois de Snell-Descartes pour la réfraction à la traversée air-eau :

Les angles de réfraction valent donc :

D'après le résultat de la question précédente, la condition d'obtention d'une frange brillante d'ordre p = -2 s'écrit :

En utilisant la formule admise pour la différence de marche \delta(P) :

On en déduit l'expression du diamètre D :

Calculons les termes trigonométriques intervenant au dénominateur :

Le dénominateur vaut ainsi :

Avec \lambda = 700\text{ nm} = 700 \cdot 10^{-9}\text{ m} :

L'analyse de l'intensité émergente calculée par la théorie de Mie (figure 10) révèle trois caractéristiques majeures :

• Lien avec la figure 8 (optique géométrique et caustique) : La figure 8 montrait l'existence d'une déviation minimale \Delta_m \approx 137{,}8^\circ pour cette gamme de longueurs d'onde.

  • Pour \Delta < \Delta_m, l'optique géométrique prévoit une absence totale de lumière émergente (zone d'ombre géométrique, correspondant au côté extérieur de l'arc ou bande sombre d'Alexandre). La figure 10 confirme une intensité quasi nulle pour \Delta < 137{,}5^\circ, mais celle-ci n'est pas strictement nulle : une fraction d'onde pénètre dans la région interdite par diffraction.
  • Au voisinage immédiat de \Delta_m, l'accumulation lumineuse géométrique est lissée par la diffraction en un pic d'intensité principal très marqué, décalé légèrement vers \Delta \approx 138{,}3^\circ.
• Lien avec la photo 5 (interférences à deux ondes) : Pour \Delta > \Delta_m, la figure 8 montre que deux rayons incidents d'angles i_1 et i_2 émergent avec la même déviation. En interférant, ils donnent naissance à une modulation d'intensité macroscopique formée d'une suite de maxima et de minima (périodicité de l'ordre de 0{,}8^\circ). Ces oscillations correspondent fidèlement aux franges alternées claires et sombres des arcs surnuméraires visibles sur la photo 5.
• Apport de la théorie de Mie (diffraction et résonances) : En plus de l'enveloppe oscillante des arcs surnuméraires, la courbe présente des fluctuations rapides à haute fréquence spatiale (structure fine ou « ripples »). Ces oscillations ne sont pas prévisibles par le modèle simplifié à deux rayons et traduisent des effets purement ondulatoires (ondes de surface, résonances morphologiques, effet tunnel optique).

D'après le théorème de Babinet, la figure de diffraction produite par un obstacle opaque de diamètre D (la goutte d'eau projetée en un disque opaque) présente la même distribution angulaire d'intensité que celle d'une ouverture circulaire de même diamètre (en dehors de l'onde incidente transmise directe).

L'angle caractéristique sous lequel l'onde est diffractée s'écrit classiquement :

Application numérique : Pour \lambda = 632\text{ nm} = 6{,}32 \cdot 10^{-7}\text{ m} et D = 0{,}6\text{ mm} = 6{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ m} :

On retient :

Justification de l'importance de la diffraction à l'aide de la figure 10 :

• Sur la courbe d'intensité de la figure 10, on constate la superposition de deux échelles angulaires :

  • une enveloppe modulée à basse fréquence (les pics des arcs surnuméraires espacés d'environ 0{,}7^\circ à 0{,}8^\circ) ;
  • une structure fine très dense (oscillations rapides) dont la période angulaire est de l'ordre de 0{,}05^\circ à 0{,}07^\circ (on dénombre une quinzaine de sous-pics sur un intervalle de 1^\circ).
• Cette échelle angulaire fine correspond exactement à l'ordre de grandeur de l'angle de diffraction \theta \approx 0{,}06^\circ\text{--}0{,}07^\circ.
• De surcroît, la diffraction explique que de la lumière soit diffusée sous des angles de déviation inférieurs à la déviation minimale géométrique (\Delta < 137{,}5^\circ), région théoriquement interdite en optique géométrique pure.

La prise en compte de la diffraction est donc essentielle pour modéliser précisément le profil d'intensité.

L'effet tunnel intervient dans de nombreux dispositifs et phénomènes physiques, parmi lesquels on peut citer :

1. Le microscope à effet tunnel (STM) : une pointe conductrice extrêmement fine est approchée à une distance nanométrique d'une surface conductrice. Les électrons franchissent la barrière de potentiel séparant la pointe de la surface par effet tunnel. La mesure du courant tunnel, qui décroît exponentiellement avec la distance, permet de cartographier la surface avec une résolution atomique.
2. La radioactivité \alpha (modèle de Gamow) : le noyau d'hélium (^4_2\text{He}) confiné au sein d'un noyau lourd franchit par effet tunnel la barrière de potentiel coulombienne, bien que son énergie soit inférieure à la hauteur de cette barrière, ce qui explique l'émission spontanée de particules \alpha.

L'équation de Schrödinger à une dimension s'écrit :

Pour une fonction d'onde stationnaire \psi(x,t) = \varphi(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}, les dérivées temporelle et spatiale s'expriment par :

En injectant ces expressions dans l'équation de Schrödinger et en simplifiant par le terme non nul \mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \varphi(x) :

soit encore :

Dans la région II (x_2 < x < x_3), le potentiel est constant et vaut V(x) = V_0 > E. L'équation différentielle devient :

Comme V_0 - E > 0, l'équation caractéristique associée admet deux racines réelles opposées \pm \frac{1}{\delta}, où :

La solution générale dans la région II s'exprime donc sous la forme :

(les constantes A_{II} et B_{II} pouvant être redéfinies si l'on prend l'abscisse d'entrée x_2 comme référence, sous la forme A'_{II}\,\mathrm{e}^{-(x-x_2)/\delta} + B'_{II}\,\mathrm{e}^{(x-x_2)/\delta}).