Feuille d'entraînement : Effet tunnel

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q37

   L'équation de Schrödinger à une dimension s'écrit :

   i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}(x,t) + V(x)\psi(x,t)

   Pour une fonction d'onde stationnaire \psi(x,t) = \varphi(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}, les dérivées temporelle et spatiale s'expriment par :

   \frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t) = -\frac{iE}{\hbar}\,\varphi(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t} \quad \implies \quad i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t) = E\,\varphi(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}

   \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}(x,t) = \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}

   En injectant ces expressions dans l'équation de Schrödinger et en simplifiant par le terme non nul \mathrm{e}^{-\frac{iE}{\hbar}t}, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \varphi(x) :

   \boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}(x) + V(x)\varphi(x) = E\varphi(x)}

   soit encore :

   \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{2m}{\hbar^2}\big(E - V(x)\big)\varphi(x) = 0

   Dans la région II (x_2 < x < x_3), le potentiel est constant et vaut V(x) = V_0 > E. L'équation différentielle devient :

   \frac{\mathrm{d}^2\varphi_{II}}{\mathrm{d}x^2}(x) - \frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}\varphi_{II}(x) = 0

   Comme V_0 - E > 0, l'équation caractéristique associée admet deux racines réelles opposées \pm \frac{1}{\delta}, où :

   \boxed{\delta = \frac{\hbar}{\sqrt{2m(V_0 - E)}}}

   La solution générale dans la région II s'exprime donc sous la forme :

   \boxed{\varphi_{II}(x) = A_{II}\,\mathrm{e}^{-x/\delta} + B_{II}\,\mathrm{e}^{x/\delta}}

   (les constantes A_{II} et B_{II} pouvant être redéfinies si l'on prend l'abscisse d'entrée x_2 comme référence, sous la forme A'_{II}\,\mathrm{e}^{-(x-x_2)/\delta} + B'_{II}\,\mathrm{e}^{(x-x_2)/\delta}).

   Résultat

   $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2\phi }{\mathrm{d}{x}^2}(x)+V(x)\phi (x)=E\phi (x)$$

   $$\delta =\frac{\hslash }{\sqrt{2m(V_0-E)}}$$

   $${\phi }_{II}(x)=A_{II}{\mathrm{e}}^{-x/\delta }+B_{II}{\mathrm{e}}^{x/\delta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q23

   • Nature de l'onde dans le domaine x \in [0, a] : Dans ce domaine, le potentiel est constant et vaut V_0 > E. L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit :

     -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + V_0 \underline{\psi}(x) = E \underline{\psi}(x) \iff \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} = K^2 \underline{\psi}(x)

     avec K = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \in \mathbb{R}^{+*}. La solution générale s'exprime comme une combinaison linéaire d'exponentielles réelles :

     \underline{\psi}(x) = A \mathrm{e}^{-Kx} + B \mathrm{e}^{Kx} \quad (A, B \in \mathbb{C})

     Il s'agit donc d'une onde évanescente (ou onde non propagative / amortie).

   • Relations permettant de déterminer \underline{R} et \underline{T} : Le potentiel V(x) ne présentant que des discontinuités de première espèce (marches finies), la fonction d'onde spatiale et sa dérivée spatiale première doivent être continues en tout point, en particulier aux frontières de la barrière :

     \begin{aligned} \text{Continuité de } \underline{\psi}(x) \text{ en } x = 0 \quad &\text{et} \quad x = a \\ \text{Continuité de } \frac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(x) \text{ en } x = 0 \quad &\text{et} \quad x = a \end{aligned}

     Ces quatre conditions aux limites fournissent un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues (A, B, \underline{R} et \underline{T}).

   • Phénomène physique mis en évidence : Bien que l'énergie mécanique E de la particule soit strictement inférieure à la hauteur de la barrière de potentiel V_0 (zone classiquement interdite), l'onde transmise pour x > a a une amplitude non nulle. Ce phénomène purement quantique est l'effet tunnel.

   • Interprétation physique de |\underline{T}|^2 : Puisque le potentiel est identique dans les régions x < 0 et x > a (V=0), la vitesse de groupe et l'impulsion p sont les mêmes pour l'onde incidente et l'onde transmise. Le courant de probabilité incident s'écrit j_{\text{inc}} = \frac{p}{m}|\underline{\psi}_0|^2 et le courant transmis j_{\text{trans}} = \frac{p}{m}|\underline{T}|^2 |\underline{\psi}_0|^2.

     La quantité |\underline{T}|^2 s'interprète donc comme le coefficient de transmission en probabilité :

     \boxed{|\underline{T}|^2 = \frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}}

     Elle représente la probabilité pour une particule incidente de traverser la barrière de potentiel par effet tunnel.

   Résultat

   $$|\underline{T}{|}^2=\frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q24

   Dans le domaine x \in [0, a], le potentiel est constant et vaut V(x) = V_0.

   Cherchons une solution stationnaire en énergie sous la forme \underline{\Psi}(x, t) = \underline{\psi}(x) \exp\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E t\right). En injectant cette forme dans l'équation de Klein–Gordon (5) :

   \hbar^2 c^2 \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + \left(E - V_0\right)^2 \underline{\psi}(x) = m^2 c^4 \underline{\psi}(x)

   En posant \varepsilon = E - V_0, l'équation différentielle spatiale s'écrit :

   \hbar^2 c^2 \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + \left(\varepsilon^2 - m^2 c^4\right)\underline{\psi}(x) = 0

   Comme par hypothèse V_0 - E > mc^2, on a \varepsilon < -mc^2 < 0, de sorte que :

   \varepsilon - mc^2 < 0 \quad \text{et} \quad \varepsilon + mc^2 < 0

   Leur produit est donc strictement positif, ce qui justifie l'indication de l'énoncé :

   q^2 = \frac{(\varepsilon - mc^2)(\varepsilon + mc^2)}{c^2} = \frac{\varepsilon^2 - m^2 c^4}{c^2} > 0

   L'équation spatiale se met sous la forme canonique d'un oscillateur harmonique spatial :

   \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{q}{\hbar}\right)^2 \underline{\psi}(x) = 0

   avec q = \frac{\sqrt{\varepsilon^2 - m^2 c^4}}{c} \in \mathbb{R}_+^*.

   La solution générale pour \underline{\psi}(x) est une combinaison linéaire d'exponentielles imaginaires pures :

   \underline{\psi}(x) = \underline{A} \exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar} q x\right) + \underline{B} \exp\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} q x\right)

   \boxed{\text{Dans le domaine } x \in [0, a], \text{ l'onde est de nature propagative (progressive ou oscillante).}}

   Résultat

   $$\text{Dans le domaine }x\in [0,a],\text{ l’onde est de nature propagative (progressive ou oscillante).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q25

   Le module au carré du dénominateur s'écrit, pour \varphi réel :

   \begin{aligned} |\cos\varphi - \mathrm{i}\alpha \sin\varphi|^2 &= \cos^2\varphi + \alpha^2 \sin^2\varphi \\ &= 1 - \sin^2\varphi + \alpha^2 \sin^2\varphi \\ &= 1 + (\alpha^2 - 1)\sin^2\varphi \end{aligned}

   Comme p > 0 et q > 0, l'inégalité arithmético-géométrique donne :

   \alpha = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right) \geqslant 1

   avec égalité si et seulement si p = q. Ainsi, le coefficient (\alpha^2 - 1) est strictement positif ou nul :

   \alpha^2 - 1 \geqslant 0

   Le dénominateur vérifie donc en tout point :

   1 \leqslant |\cos\varphi - \mathrm{i}\alpha \sin\varphi|^2 \leqslant \alpha^2

   On en déduit que le facteur de transmission est borné par :

   \frac{1}{\alpha^2} \leqslant |\underline{T}|^2 \leqslant 1

   La valeur maximale de |\underline{T}|^2 vaut ainsi :

   \boxed{|\underline{T}|^2_{\max} = 1}

   Ce maximum est atteint pour \sin\varphi = 0, c'est-à-dire :

   \varphi = \frac{qa}{\hbar} = k\pi \quad (k \in \mathbb{N}^*)

   Commentaire :

   • Contraste avec la mécanique non relativiste : Dans le cadre de l'équation de Schrödinger (question Q23), pour une barrière telle que V_0 > E, l'onde dans la barrière est évanescente (q = \mathrm{i}K), ce qui conduit à un facteur de transmission par effet tunnel exponentiellement amorti avec l'épaisseur :

     |\underline{T}|^2 \propto \exp\left(-\frac{2Ka}{\hbar}\right) \xrightarrow[a \to +\infty]{} 0
   • Transmission résonante en régime relativiste : À l'inverse, pour l'équation relativiste de Klein-Gordon avec un potentiel très élevé (V_0 - E > mc^2), l'onde redevient propagative dans la barrière. L'interférence constructive des ondes aller et retour entre les parois x = 0 et x = a conduit à des résonances de transmission totale (|\underline{T}|^2 = 1), strictement identiques à celles d'une cavité de Fabry-Pérot ou à l'effet Ramsauer–Townsend, et ce quelle que soit la largeur a de la barrière.
   • Origine physique (paradoxe de Klein) : Cette pénétration sans atténuation exponentielle au travers d'une barrière d'énergie potentielle supérieure à l'énergie de la particule est la manifestation du paradoxe de Klein. En théorie quantique relativiste des champs, un tel potentiel électrostatique violent est capable d'arracher des paires particule-antiparticule au vide quantique : des antiparticules (d'énergie négative pour l'équation de Klein-Gordon) se propagent alors au sein de la région de fort potentiel.

   Résultat

   $$|\underline{T}{|}_{\max }^2=1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q36

   L'effet tunnel intervient dans de nombreux dispositifs et phénomènes physiques, parmi lesquels on peut citer :

   1. Le microscope à effet tunnel (STM) : une pointe conductrice extrêmement fine est approchée à une distance nanométrique d'une surface conductrice. Les électrons franchissent la barrière de potentiel séparant la pointe de la surface par effet tunnel. La mesure du courant tunnel, qui décroît exponentiellement avec la distance, permet de cartographier la surface avec une résolution atomique.
   2. La radioactivité \alpha (modèle de Gamow) : le noyau d'hélium (^4_2\text{He}) confiné au sein d'un noyau lourd franchit par effet tunnel la barrière de potentiel coulombienne, bien que son énergie soit inférieure à la hauteur de cette barrière, ce qui explique l'émission spontanée de particules \alpha.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q38

   Pour quantifier l'effet tunnel, la profondeur de pénétration \delta doit être comparée à la largeur de la barrière de potentiel, notée :

   L = x_3 - x_2

   Dans la zone sous la barrière (région II), la fonction d'onde s'atténue de manière exponentielle sur une distance caractéristique \delta. Le coefficient de transmission T de la particule à travers la barrière est de l'ordre de grandeur de :

   T \sim \exp\left(-2\,\frac{x_3 - x_2}{\delta}\right)

   L'effet tunnel est donc peu important (T \ll 1) lorsque la barrière est très large devant la profondeur de pénétration, ce qui se traduit par l'inéquation :

   \boxed{\delta \ll x_3 - x_2}

   Résultat

   $$\delta \ll x_3-x_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q39

   D'après l'énoncé, le potentiel effectif s'écrit :

   V(r) = E\left(1 - n_{\text{milieu}}^2\right) + E\frac{b^2}{r^2}

   • Dans l'air (r > a) : l'indice vaut n_{\text{air}} = 1, d'où :

     V(r) = E\frac{b^2}{r^2}

     V(r) est strictement décroissante de V(a^+) = E\dfrac{b^2}{a^2} à 0 lorsque r \to +\infty.

   • Dans la goutte (0 < r \le a) : l'indice vaut n > 1, d'où :

     V(r) = E\left(1 - n^2\right) + E\frac{b^2}{r^2}

     V(r) est également strictement décroissante, diverge vers +\infty en r \to 0^+ et atteint en r = a^- la valeur :

     V(a^-) = E\left(1 - n^2\right) + E\frac{b^2}{a^2}

     L'hypothèse E\dfrac{b^2}{a^2} > \left(n^2 - 1\right)E assure que V(a^-) > 0.

   • Discontinuité à l'interface (r = a) : le potentiel subit un saut négatif vers l'intérieur :

     V(a^+) - V(a^-) = \left(n^2 - 1\right)E > 0

   Commentaire de l'allure :

   • Pour r > b, on a V(r) < E : c'est un domaine classiquement accessible pour une particule venant de l'infini.
   • Pour a < r < b, on a V(r) > E : cette zone constitue une barrière de potentiel (domaine classiquement interdit) d'épaisseur b - a.
   • À la traversée de la surface en r = a, la chute brusque du potentiel d'amplitude (n^2 - 1)E permet d'avoir V(a^-) < E (lorsque b < na). Une particule incidente peut ainsi pénétrer dans la goutte (r \le a) en franchissant la barrière par effet tunnel.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q40

   Pour qu'une particule puisse pénétrer et se propager dans le domaine r < a, il faut qu'il existe à l'intérieur de la goutte une région classiquement permise, c'est-à-dire où son énergie totale soit supérieure ou égale au potentiel :

   E \ge V(r) \quad \text{pour } r \le a.

   Comme la fonction V(r) = E(1 - n^2) + E \frac{b^2}{r^2} est strictement décroissante avec r pour r \in ]0, a], son minimum sur ce domaine est atteint en r = a^- :

   V(a^-) = E(1 - n^2) + E\frac{b^2}{a^2}.

   Pour que le fond du puits soit accessible (c'est-à-dire que la barrière de potentiel ait une largeur finie et laisse place à une zone de propagation à l'intérieur de la goutte), il faut nécessairement que :

   \begin{aligned} V(a^-) \le E &\iff E(1 - n^2) + E\frac{b^2}{a^2} \le E \\ &\iff \frac{b^2}{a^2} \le n^2 \\ &\iff b \le n a. \end{aligned}

   On identifie ainsi la valeur limite b_0 du paramètre d'impact :

   \boxed{b_0 = n a}

   L'indice optique de l'eau étant n > 1, on a bien b_0 > a.

   Résultat

   $$b_0=na$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q41

   1. Largeur maximale de la barrière de potentiel

   Dans le milieu extérieur (air où n = 1), pour r > a, le potentiel effectif s'écrit d'après la question Q39 :

   V(r) = E\frac{b^2}{r^2}

   La région de barrière correspond aux positions où l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie mécanique E de la particule :

   V(r) > E \iff E\frac{b^2}{r^2} > E \iff r < b

   Pour un rayon incident hors de la goutte (b > a), la barrière de potentiel s'étend donc sur le domaine spatial r \in [a, b]. Son épaisseur vaut :

   L(b) = b - a

   D'après la question Q40, la pénétration dans la goutte n'est possible que pour b \le b_0 = n a. La largeur maximale de la barrière est donc obtenue pour b = b_0 :

   \boxed{L_{\max} = b_0 - a = (n - 1)a}

   2. Expression de la profondeur de pénétration optique

   D'après la question Q37, la profondeur de pénétration de l'onde de matière dans une barrière de potentiel de hauteur V_0 s'écrit :

   \delta = \frac{\hbar}{\sqrt{2m(V_0 - E)}}

   Ici, au bord extérieur de la goutte (r = a^+), l'énergie potentielle vaut V(a^+) = E\frac{b^2}{a^2}. L'excès d'énergie potentielle au sommet de la barrière est donc :

   V(a^+) - E = E\left(\frac{b^2}{a^2} - 1\right)

   Pour faire l'analogie avec l'optique ondulatoire, on associe à l'onde lumineuse de longueur d'onde dans le vide \lambda le vecteur d'onde k_0 = \frac{2\pi}{\lambda}. La relation de de Broglie donne une énergie cinétique dans le vide vérifiant :

   E = \frac{\hbar^2 k_0^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 \iff 2mE = \hbar^2\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2

   En injectant cette relation dans l'expression de la profondeur de pénétration :

   \begin{aligned} \delta_{\text{opt}} &= \frac{\hbar}{\sqrt{2m\left(V(a^+) - E\right)}} \\ &= \frac{\hbar}{\sqrt{2mE\left(\frac{b^2}{a^2}-1\right)}} \\ &= \frac{\hbar}{\hbar \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-1}} \end{aligned}

   On obtient bien :

   \boxed{\delta_{\text{opt}} = \frac{\lambda}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-1}}}

   3. Valeur pour b = b_0 et importance de l'effet tunnel

   Pour b = b_0 = n a, le terme sous le radical devient \frac{b_0^2}{a^2} - 1 = n^2 - 1. La profondeur de pénétration s'écrit alors :

   \boxed{\delta_{\text{opt}}(b_0) = \frac{\lambda}{2\pi\sqrt{n^2 - 1}}}

   Pour l'eau (n \approx 1{,}33), on a \sqrt{n^2 - 1} \approx \sqrt{1{,}33^2 - 1} \approx 0{,}88, d'où :

   \delta_{\text{opt}}(b_0) \approx \frac{\lambda}{5{,}5} \sim 0{,}1\,\mu\mathrm{m} \quad (\text{pour } \lambda \approx 600\text{ nm})

   Comparons cette profondeur à la largeur de la barrière L_{\max} : pour une goutte de pluie millimétrique, a \approx 0{,}5\text{ mm}, ce qui donne :

   L_{\max} = (n - 1)a \approx 0{,}33 \times 0{,}5\text{ mm} \approx 165\,\mu\mathrm{m}

   On constate que :

   \delta_{\text{opt}}(b_0) \ll L_{\max} \quad (\text{avec un rapport de l'ordre de } 10^{-3})

   D'après le critère établi en Q38 (\delta \ll \text{largeur de la barrière}), l'onde est quasi totalement atténuée avant d'atteindre la goutte : l'effet tunnel est donc extrêmement faible (négligeable) pour b = b_0.

   Résultat

   $$L_{\max }=b_0-a=(n-1)a$$

   $${\delta }_{\text{opt}}=\frac{\lambda }{2\pi }\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-1}}$$

   $${\delta }_{\text{opt}}(b_0)=\frac{\lambda }{2\pi \sqrt{n^2-1}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q42

    L'observation attentive de la figure 10 révèle la présence simultanée de deux régimes de variations :

    • une modulation à grande échelle angulaire (période de l'ordre de 0{,}8^\circ à 1^\circ), correspondant aux interférences à deux ondes entre les rayons d'incidences i_1 et i_2 (arcs surnuméraires étudiés en partie VII) ;
    • des oscillations très rapides à haute fréquence angulaire (structure fine ou « ripple structure »), superposées à l'enveloppe précédente et inexplicables par le simple modèle à deux rayons.

    Le modèle de pénétration par effet tunnel optique permet d'interpréter cette structure fine :

    1. Piégeage et fuite par effet tunnel : Un rayon incident de paramètre d'impact b \in ]a, b_0] traverse la barrière de potentiel par effet tunnel et pénètre dans la goutte. Il s'y propage en subissant une suite de réflexions totales internes sur la surface r = a (guidage par onde de surface ou mode de galerie). À chaque rebond sur la frontière interne, une fraction de l'énergie fuit vers l'extérieur par effet tunnel optique inverse (franchissement de la barrière de potentiel vers r > a).

    2. Interférences à ondes multiples : Les rayons émergeant après un nombre variable de réflexions internes (ou interférant avec les rayons géométriques classiques) présentent entre eux des différences de marche \Delta L considérables, de l'ordre de grandeur de la circonférence de la goutte ou de plusieurs cordes (\Delta L \sim \pi D \gg \lambda). L'interférence de ces multiples composantes produit des franges d'interférence extrêmement serrées, d'écart angulaire typique :

       \delta\theta \sim \frac{\lambda}{\Delta L} \ll 1^\circ
    3. Résonances de cavité : Lorsque la condition de phase sur un tour complet de la goutte est vérifiée (interférences constructives le long du contour fermé), il apparaît un phénomène de résonance (résonance morphologique de Mie), qui se traduit par des pics d'intensité très étroits et intenses à certains angles de déviation.

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